Đang tải... (xem toàn văn)
b Nếu bác An vay 100 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 4 năm, lãi suất 0,85% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn [r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT MÔN TOÁN THCS Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề PHÒNG GIÁO DỤC TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH Chú ý: Đề thi có 05 trang Quy định chung: 1, Thí sinh dung các loại máy tính: Casio fx-500A, fx-500MS, fx-500ES, fx570MS, fx-570ES, VINACAL Vn-500MS, Vn-570MS 2, Nếu có yêu cầu trình bày lời giải, thí sinh cần nêu vắn tắt, công thức áp dụng, kết tính vào ô qui định 3, Đối với các kết tính toán gần đúng, không có quy định cụ thể câu thì lấy đến chữ số thập phân sau dấu phảy 4, Thí sinh không dùng bút xóa Phần ghi thí sinh: Họ và tên:…………………………………………………………………………………………… Ngày sinh: …………… , Lớp ……………, Trường ……………………………………………… Điểm bài thi Các giám khảo Số phách ( Họ, tên, chữ kí ) ( Do chủ tịch hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM Bài 4,85 : 1,23(7).3,6 : 3 1 1 : :13 : 0,3(1) 20 a) Tính giá trị biểu thức A= Đáp số: A b) Cho P(x) = x2 Tính chính xác kết sau: P(567 898 765) 25 47 17 46 22 : 149 5665 (2) B= Bài a) Bác An vay ngân hàng với số vốn là 100 triệu đồng, lãi suất là 1,25% trên tháng, thời hạn là năm, tính theo dư nợ, trả đúng ngày quy định Hỏi hàng tháng, Bác An phải đặn trả vào ngân hàng khoản tiền gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến vừa hết năm thì Bác An trả hết gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu bác An vay 100 triệu đồng tiền vốn ngân hàng khác với thời hạn năm, lãi suất 0,85% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ngân hàng trên, việc vay vốn ngân hàng này có lợi gì cho người vay không? a)Bác An phải gửi đêu đặn hàng tháng số tiền là:……………… Tóm tắt cách giải …… …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… ……………………………… b) Tóm tắt cách giải ……… …… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ………………………… ……………………………………………………………………………… Bài Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2010 Biết P(1) = -3 , P(2) = , P(3) = , P(4) = a) Xác định hệ số a, b, c, d (3) b) Tính P(32) a) a = b= c= d= Tóm tắt cách giải:…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….……… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b) P(32) = ………………… (4) Bài a) Một học sinh có 32 ô vuông Ô thứ bỏ hạt thóc, ô thứ hai bỏ thóc, ô thứ ba bỏ hạt thóc, ô thứ tư bỏ hạt thóc, …(số hạt thóc ô gấp đôi ô trước) và đặt liên tiếp đến ô cuối cùng Hỏi cần bao nhiêu hạt thóc để đặt vào đủ 32 ô vuông đó b) Ngày 24/11/2008 là ngày thứ hai Hỏi ngày 24/11/2097 là ngày thứ tuần? c) Tìm các chữ số x, y cho A = 9x1 167 y17 là lập phương số tự nhiên a)Số hạt thóc cần là:……………… b) ngày 24/11/2097 là ngày:…………… Trình bày sơ lược cách tìm:……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… c) x = …… ; y = …… Trình bày sơ lược cách tìm:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Bài Giải các phương trình sau: (Kết lấy chính xác) x x 10 1 9 8 1 7 6 1 5 4 a) Nghiệm phương trình x = 1 1 3 x x x 3 x 3 x 4 x 2011 x 2012 b) x x Nghiệm phương trình x = 92011 Bài Tìm chữ số hàng đơn vị số: Chữ số hàng đơn vị là:…………………………………………… Trình bày sơ lược cách tìm: ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… (5) n Un 11 11 n 11 Bài Cho +3 với n = 0;1; 2; 3; a) Chứng minh công thức truy hồi dãy số : Un+2 = Un+1 - 5Un + b) Từ công thức truy hồi trên viết quy trình bấm phím liên tục tính các giá trị un Tính từ U11 đến U13 ? c) Tính tổng 13 số hạng đầu tiên dãy a) Sơ lược cách chứng minh:………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b)Quy trình bấm phím……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… U11 = ……………….U12 =……………………………… U13 =………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… c) Tổng 13 số hạng đầu tiên dãy là:……………………………………………………0 Quy trình bấm phím:………………… ………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Bài a) Cho số a = 1.2.3.4…15 (Tích 15 số tự nhiên 1)Tìm ước số lớn a biết số này là lập phương số tự nhiên a)Ước số cần tìm là: …… Sơ lược cách giải:…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b) Tìm số dư r phép chia: 715 192 198 765 567 cho 2354 (6) Số dư là: r =……… Bài Cho ΔABC vuông A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC D Biết DA = 2cm; DC = 3cm a) Tính số đo góc C và góc B ΔABC b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC Bài 10 Một hình gọi tên là Ma trận vuông có cấu tạo gồm 25 dòng, dòng có 25 ô vuông nhỏ Hỏi ma trận vuông này có tất bao nhiêu hình vuông? Số hình vuông là:……………… Sơ lược cách giải:…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… (7) Bài 557 a) 1, 23(7) = 450 A = 4, 869 964 14 0,3(1) = 45 b) B = 322 509 007 288 525 225 Bài HD a) Gọi số tiền vay là N đồng, lãi suất m% /tháng, số tháng vay là n, số tiền trả hàng tháng là A đồng - Sau tháng thứ số tiền gốc còn lại ngân hàng là: m m 1 1 N 100 – A = N.x – A đồng với x = 100 - Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại là: (Nx– A)x– A = Nx2– A(x+1) đồng - Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại là: [Nx2– A(x+1)]x– A = Nx3– A(x2+x+1) đồng - Số tiền gốc còn lại sau tháng thứ n là : Nxn– A(xn-1+xn-2+ +x+1)đồng Vì lúc này số tiền gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : Nx n Nx n ( x 1) n n n Nxn - A (xn-1 +xn-2 + +x+1) = A = x x x = x Thay số với N = 100 000 000 đồng, n = 4năm = 48 tháng, x =1+0,0125=1,0125 Ta có : A = 783 074, 827 đồng b) Nếu vay ngân hàng khác người đó phải trả cho ngân hàng khoản tiền là: 100 000 000 + 100 000 000 0,85% 48 = 140 800 000 đồng Vay ngân hàng ban đầu người đó phải trả cho ngân hàng khoản tiền là: 783 074, 827 48 = 133 587 519,7 đồng Như việc vay vốn ngân hàng thứ hai không có lợi cho người vay vốn Bài Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + Ta có Q(1) = , Q(2) = 12 , Q(3) = 15 , Q(4) = 18 Đặt H(x) = P(x) – Q(x) Ta có H(1) = H(2) = H(3) = H(4) = hay H(x) có nghiệm là , , , Đa thức H(x) phải có hệ số cao là hệ số cao P(x) nên H(x) phân tích thành nhân tử sau H(x) = (x + a) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) Vì H(x) = P(x) – Q(x) P(x) = H(x) + Q(x) Hay P(x) = (x + a) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Hệ số tự P(x) là a.(–1)(–2).(–3).(–4) + = - 2010 24a = - 2016 a = – 84 Vậy P(x) = (x – 84)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + = x5 – 94x4 + 875x3 - 2990x2 + 4227x - 2010 a) a = – 94, b = 875, c = - 2990, d = 4227 b) P(32) = -39 268 218 (8) Bài a) Tổng số hạt thóc người đó cần là: 20 + 21 + 22 + 23 + …+ 231 = 232 – = 294 967 295 (hạt) b) Khoảng cách hai năm là: 2097 – 2008 = 89 (năm) Số năm nhuận từ năm 2008 đến năm 2097 là: [(2097 – 2008):4]+1 = 23 (năm) Số ngày hai năm là: (89.365 + 23 ) – = 32 507 (Vì năm 2008 là năm nhuận ngày 29/02/2008 không tính vào nên số ngày phải trừ 1) 32 506 chia thương là 4643 và dư Ngày 24/11/2097 là ngày CHỦ NHẬT c) Đặt n3 = A = 9x1 167 y17 Ta có 901 167 017 ≤ n3 ≤ 991 167 917 966 ≤ n ≤ 997 Quy trình ấn phím: 965 D; D = D + 1: D3 Dừng lại D đến 997 KQ: x = 2; y = 4803070 6301 Bài a) x = 1996 b) x = 15 Bài Cách 1: (40) Ta có và 40 nguyên tố cùng nên theo định lý Ơ le suy = 916 ≡ (mod 40) 92011 = (916)125+11 = (916)125.911 ≡ (916)125.95 96 ≡ 1.9.1 ≡ 92011 = 40k + (k Z) (100) Mặt khác theo định lý Ơ le ta có = 340 ≡ (mod 100) 39 2011 = 340k+9= (340)k.39 ≡ 1.39 ≡ 83 Vậy chữ số hàng đơn vị là 3; hàng chục là: Cách 2: 91 Ta có 39 = ≡ 83 39 39 9 83 83 83 ≡ 43.21 ≡ 03 3 83 39 39.9 39 92 9 ……………………………… và 2011 = 2.1005 + nên Chu kì lặp lại là: Vậy chữ số hàng đơn vị là 3; hàng chục là: Bài a) Đặt an = 4 a = n 11 n n 4 ,b = , bn = 11 a n n n 11 11 n .b n 2011 có hai chữ số tận cùng là 83 (9) 1 n n 11 a n 11 b n Un = 11 (an - bn) + = 11 { }+3 1 2 11 a n 11 b n Un+1 = 11 (an+1 - bn+1) = 11 - 11 +3 1 27 11 a n 27 11 b n = 11 - 11 +3 1 8.(4 11) a n 8(4 11) b n = 11 - 11 +3 1 1 (4 11)a n - 11 (4 11)b n ] – [5 11 a - 11 b ] + = [8 11 n-1 n-1 = 8un+1 - 5un + b) Quy trình trên fx 570 MS -> D; -> A; -> B; Viết vào màn hình: D=D+1:A = 8B – 5A + :D=D+1: B = 8A – 5B + Kq: U11 = 484 944 782 ; U12 = 548 158 995 ; U13 = 25 960 548 053 c) Quy trình bấm phím (fx 570 MS) Cách 1: -1 -> D; Viết vào màn hình: D = D + 1:((4 + 11)^D - (4 11)^D) (1 11) + = = …Dừng lại D = 12 Cách 2: -> D; -> A; -> B; -> C; Viết vào màn hình: D=D+1:A = 8B – 5A + 3:C = C + A:D=D+1: B = 8A – 5B + 3:C = C + B KQ: 109 876 579 Bài a) Số a chứa các luỹ thừa 2:2x22x2x23x2x22x2= 211 = (23)3.2 Vì a có mặt các thừa số: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28) Tương tự lập luận trên, ta có: -a chứa các luỹ thừa 3: 3x3x32x3x3 = 36 = (32)3 -a chứa các luỹ thừa 5: 5x5x5= 53 Ước số lớn a là lập phương số tự nhiên là: (23)3(32)3 53 = 46 656 000 b) r = 1611 B Bài 9: a) H A D C DA BA = = =sinC Ta có BD là phân giác góc B suy DC BC từ đó tính (10) 410 48'37,13'' 48011'22,87'' C B b) AH=AC.sinC 3,33333(cm) HB=AH.cotgB 2,98142(cm) HC=AH.tgB 3, 72678(cm) Bài 10 Gọi ma trận này là hình gồm nxn ô vuông Ma trận vuông này có: x hình vuông kích thước n x n x hình vuông kích thước (n – 1) x (n – 1) ………… n x n hình vuông kích thước x n n 1 2n 1 Số hình vuông trên bàn cờ là: 12 + 22 + 32 +…+n2 = Áp dụng: Ma trận vuông có số ô vuông là: 8775 ô vuông (11)