BDHSG Toan 6 Phan II So hoc

Chú ý : Khi chia BSCNN của nhiều số lần lượt cho các số ấy, thì được nhiều số nguyên tố cùng nhau.. Chứng minh rằng hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau..[r]

(1)

Vì nghiệp giáo dục

Phn II:

TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN I Tính chia hết số nguyên:

1 Định ngh ĩa :

a gọi chia hết cho b đạt ba điều kiện sau: * a = bq (r = 0)

* a = kb (k số nguyên, a bội b) *

a b =

k (k số nguyên, b ước a)

Đặc biệt : Số chia hết cho tất số Tính chia hết:

a Hai số a a/ chia cho d tổng chúng chia hết cho d.

Chứng minh :

Vì a = dq a/ = dq/ nên a ( )

/ /

a d q q

± = ±

Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho số số hạng tổng chia hết cho số

b Tích nhiều số chia hết cho số thừa số tích chia hết cho số

Hệ quả:

m

a d ka d (Béi sè cña a d) a d a d

Þ Þ

M M M

M M

c Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a + b a – b đề không chia hết cho m Nếu tổng hiệu hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m

3 Qui ước: Chia hết: “M”

Không chia hết: “M ”

4 Điều kiện chia hết:

a Chia hết cho 5:

* Nhận xét: Số dư phép chia số nguyên cho số dư phép chia chữ số cuối bên phải số cho

VÝ dô: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c

(2)

Vậy: Muốn abc chia hết cho c chia hÕt cho vµ

* Ta có điều kiện:

- Một số chia hết cho chữ số tận chia hết cho2

- Một số chia hết cho 25 số hợp hai chữ số tận bên phải số chia hết cho 25

- Một số chia hết cho 125 số hợp ba chữ số tận bên phải số chia hết cho 125

- Một số vừa chia hết cho chia hết cho 10 - Một số vừa chia hết cho 25 chia hết cho 100 - Một số vừa chia hết cho 125 chia hết cho 1000

b Chia hết cho 9:

* Nhận xét:

Số dư phép chia số nguyên cho số dư phép chia tổng chữ số số cho

Thật vậy: 10 = = = Bs9 + = Bs3 + 100 = 99 = = Bs9 + = Bs3 + 10n = 99 + = Bs9 + = Bs3 + 1

Vì số abcd= 1000a + 100b + 10c + d =

= a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d

= Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d) * Điều kiện:

Một số nguyên chia hết cho tổng chữ số chia hết cho * Lưu ý:

- Một số chia hết cho chia hết cho 18

- Một số chia hết cho chia hết cho 6, chia hết cho chia hết cho 18

- Một số chia hết cho chia hết cho 15, chia hết cho chia hết cho 45

c Chia hết cho 11:

Trong số nguyên N gọi L tổng chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trái) C tổng chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), số dư phép chia N co 11 số dư hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11

Thật vậy: 102 = 99 + = Bs11 + 1

104 = 999 + = Bs11 + 1

102n = Bs11 + 1

Mặt khác: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1

Vì ta có số :

5

(3)

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

( ) ( )

11 f + d + b Bs11+ a + c + e = Bs11 + f + d + b a + c + e

= a(Bs11 -1) + b(Bs11 + 1) + c(Bs11 - 1) + d(Bs11 + 1) + e(Bs11 - 1) + f

= éëBs + ù éû ë- ùû

é - ù

ë û

* Điều kiện:

Một số nguyên chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ với tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11

Lưu ý :

- Một số nguyên chia hết cho 11 chia hết cho 22 - Một số nguyên chia hết cho 11 chia hết cho 33 - Một số nguyên chia hết cho 11 chia hết cho 55 - Một số nguyên chia hết cho 11 chia hết cho 99

………

Bài tập áp dụng:

1 Chứng minh (a3 – a) chia hết cho 3

Giải:

Ta thấy a3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1).

Đây tích ba số tự nhiên liên tiếp có thừa số bội Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho 3.

………

2 Chứng minh (2n + 1)2 – chia hết cho 8.

Giải:

Ta có (2n + 1)2 – = 4n2 + 4n + – = 4n2 + 4n = 4n(n + 1).

Đây tích thừa số có thừa số thừa số cịn lại hai số nguyên liên tiếp, tích vừa chia hết cho vừa chia hết cho

Do (2n + 1)2 – chia hết cho 8.

………

3 Cho số 2x chia hết cho Hãy tìm số ? Giải:

( ) ( )

( )

3x2 3 + x + + x Mà x x nên ta cã: x = + =

5 + x x = + = x = + = 12 ậy số cần tìm là: 312; 342; 372

V

Û Û ³ £

ìï Þ

ïï ïï

Û íï Þ

ùù ị

ùùợ

M M M

M

M M

(4)

4 Tìm số 80x2 , biÕt r»ng chia cho 11 cßn d 7. Giải:

80x2 = Bs11 + => 80x2 + = Bs11 = 80x6

Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta có: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyên) hay + x – = x + = 11k hay x = 11k –

Vì £ x £ nªn k = th× x = 9. Số phải tìm là: 8092

………

5 Tỡm số 742 , biết số chia hết cho 4.x Giải :

* 742x nªn 2x vµ 2x cã thĨ lµ: 20; 24; 28 Tøc lµ x = 0; 4; 8.M M * 742x nªn (7 + + + x) => 13 + x = Bs3

=> x = Bs3 -1= Bs3 + = 3k +2

M M

à x nên k = => x =2

k = => x = k = => x =

So sánh hai điều kiện ta thấy có x = thích hợp Vậy

M Ê Ê

số phải tìm 7428

………

6 Cho số N gồm chữ số khác không Biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục

a Chứng minh N chia hết cho 11 b Tính N N chia hết cho

Giải:

a Theo đề ta biểu diễn số phải tìm sau: abba Khi muốn cho abba

chia hết cho 11 éêë(a + b - b + a 11) ( )ùúûM .

Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = Mà M 11 nên abba M 11

b - N chia hết chữ số cuối bên phải a = 5, theo điều kiện a khác nên a = số phải tìm có dạng: 5bb5

( ) ( )

- N chia hÕt cho nªn + b + b + 10 + 2b

2 + b + b mµ b nên có tr ờng hợp b = Vậy số phải tìm là: 5445

ị

Û £

M M

(5)

7 Tìm số tự nhiên n cho: a) n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho n + c) 2n + chia hết cho – n d) 3n chia hết cho – 2n e) 4n + chia hết cho 2n + Giải:

Căn vào tính chất chia hết tổng, hiệu, tich tâ rút phương pháp chung để giải loại toán dựa vào nhận xét sau đây:

Nếu A M B th× (mA ± nB) B (m, n M Î N )*

a) (n + 2) M (n – 1) suy [(n + 2) – (n – 1)] M (n – 1) hay M (n – 1) Do (n -1) phải ước

Với n – = ta suy n = Với n – = ta suy n =

Vậy với n = n = n + chia hết cho n –

b) (2n + 7) M (n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] M (n + 1) => M (n + 1) Với n + = n =

Với n + = n = Số n phải tìm

c) (2n + 1) M(6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)]M(6 – n) => 13 M (6 – n) Với – n = n =

Với – n = 13 khơng có sơ tự nhiên thỏa mãn Vậy với n = 2n + chia hết cho – n

d) 3n M (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] M ((5 – 2n) => 15 M(5 – 2n) Với – 2n = n =

Với – 2n = n = Với – 2n = n =

Với – n = 15 khơng có số tự nhiên n thỏa mãn Vậy với n lấy giá trị 0, 1, 3n chia hết cho – 2n

e) Ta thấy với số tự nhiên n 4n + = 2(2n + 1) + số lẻ 2n + = 2(n + 3) số chẵn Một số chẵn ước số lẻ Vậy khơng thể có số tự nhiên n để 4n + chia hết cho 2n +

(6)

8 Với a, b chữ số khác 0, chứng minh:

(abab - baba) vµ 101 (a > b)M

Giải:

abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a) (1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b

= 909a - 909b = 101.(a - b)

=

Vậy: với a > b ta có (abab - baba) vµ 101.M ………

9 Tìm tất số có chữ số có dạng : 34x5y mà chia hết cho 36 Giải:

Vì 36 = 9.4 nên số 34x5y vừa chia hết cho vừa chia hết cho

Để 34x5y M ta ph¶i cã (3 + +x + + y) 9M Vì x y chữ số nên x + y = x + y = 15

Mặt khác 34x5y nªn 5y 4, suy y = hc y = 6.M M Kết hợp với điều kiện trên, ta có :

Nếu y = x = – =

Nếu y = x = – = x = 15 – = Vậy số phải tìm : 34452 ; 34056 ; 34956

………

10 Cho A = 9999931999 – 555571997 Chứng minh A chia hết cho 5.

Giải:

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng

Ta có: 31999 = (34)499.33 = 81499.27 Suy số bị trừ có số tận 7.

Mặt khác: 71997 =(74)499.7 = 2041499.7 Do số trừ có tận bằn 7.

Vậy A tận (7 – 7=) 0, nên A chia hết cho

11 Cho số tự nhiên A người ta đổi chỗ chữ số A để số B gấp ba lần số A Chứng minh số B chia hết cho 27

Gii:

(7)

Vì nghiệp giáo dôc

Từ (1) (2) suy B M Nếu A M (vì chữ số chúng nhau) (3)

Từ (1) (3) ta suy B M 27 ………

12 Cho B = n ch÷ sè

88 88 - + n Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 9144424443

Giải:

Ta viết B dạng sau:

{ {

n n

B = 88 - 8n + 9n - = 8(11 - n) + (n - 1)

Vì n tổng chữ số số {n {n

11 nªn 11 1- n chia hÕt cho

Từ suy B chia hết cho ………

13 Tìm số tự nhiên viết chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, … , chữ số cho số lại lập phương số tự nhiên

Giải:

Giả sử số tự nhiên N viết chữ số 1, chữ số 2, chữ số 3,… ,9 chữ số 9.Như tổng chữ số số N bằng: + 2.2 + 3.3 + ….+ 9.9 = 285 Số 285 chia hết cho không chia hết cho Nếu N khơng thể lập phương số tự nhiên (vì n = a3M số nguyên tố nên a3 ch hết cho 3.3.3.)

Vậy số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đầu ………

14 Có số có chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau: a Chia hết cho

b Có chữ số Giải:

Số số có chữ số là: 99999 – 10000 + = 90000 (số) Cứ ba số tự nhiên liên tiếp lại có số chia hết số số có chữ số chia hết cho là: 90000 : = 30000 (số) Bây giờ, ta tìm số có chữ số chia hết cho mà khơng có chữ số

Có cách chọn chữ số hàng vạn (chọn số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9)

(8)

Cú cách chọn chữ số hàng đơn vị (phụ thuộc vào tổng chữ số bốn hàng để chia hết 0, 3, 1, 4, 2, 5,

Do số số có chữ số chia hết cho mà khơng có chữ số là: 8.9.9.9.3 = 17496 (số)

Vậy số số có chữ số thoả mãn hai điều kiện đầu là: 30000 – 17796 = 12504 (số)

15 Chứng minh A = 10n + 18n – chia hết cho 27.

Giải:

Ta viết số A dạng sau:

A = 10n + 18n – = 10n – – 9n + 27 n

 

n

n n

= 99 9n + 27n = 9(11 n) + 27n

n tổng chữ số 11 nên (11 n) Từ suy A 27 với n tự nhiên

 

 



………

II SỐ NGUYÊN TỐ

1 Định nghĩa : Số nguyên tố số có hai ước số

Lưu ý :

- Hai số gọi nguyên tố UCLN chúng - Hợp số số có từ ước số trở lên

- Số phương số bình phương số tự nhiên Định lý tìm số nguyên tố :

a Định lý : Muốn tìm số nguyên tố không lớn số N Ta viết tất số tự nhiên từ đến N Sau bỏ số bội số số nguyên tố không lớn N , trừ số Những số lại số nguyên tố.

b Định lý : Muốn phát xem số N cho trước có phải số ngun tố khơng ta làm sau : Lần lượt đem chia N cho số nguyên tố từ nhỏ đến lớn dừng lại thương số nhỏ số chia Nếu phép chia tất số dư khác không N chắn số nguyên tố

(9)

1 Mi số phức hợp phân tích nhiều thừa số ngun tố Phép phân tích có cách độc

b Định lý điều kiện chia hết:

Nếu số A chi hết cho số B số ngun tố có B phải có A, số mũ số nguyên tố phải số mũ cữ số B

( × )

, , ,

p p

m n m n

Tổng quát: A = a b c B = a b c

, , ,

a, b, c số nguyên tố m m ; n ³ n ; p ³ p th A BM

Chú ý :

* Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố chia hết cho tích hai số

* Nếu tích ab chia hết cho m, b m hai số nguyên tố a chia hết cho m

c Cách làm:

Muốn phân tích số N thừa số nguyên tố, ta chia N cho số nguyên tố từ đến (không theo thứ tự), đến thương dừng lại

Ví dụ:

10200 510 255 85 17

2

1020 = 22.3.5.17

4 Cách tìm ước số số N:

* Ta phân tích số thừa số nguyên tố: N = a b ca b g

* Số ước số N tích x = (a + 1)(b + 1)(g + ) * ước số có giá trị theo cơng thức:

P = (1 + a + a2 + a3 + + aa)(1 + b + b2 + b3 + + ba)(c + )

5 Bài tập áp dụng:

(10)

10200 5100 2550 1275 255 51 17

2 2 5 17

10200 = 23.3.52.17

11274 5637 1879

2

2 Tìm xem 72 có ước số? Liệt kê ước số ? Giải:

Áp dụng định lý tìm ước số số ta làm sau: + Phân tích 72 thừa số nguyên tố: 72 = 23 32 = 2 3a b

+ Vậy số ước 72 là: n = (a+1)(b + 1)= (3 + 1) (2 + 1) = 12

+ Giá trị ước số dó : P = (1 + a + a2 +….+ ( )

1 + b + b b

a )a + + b

Ta có P = (1 + + 22 + 23).(1 + + 32) = (1 n+ + + 8).(1 + + 9

= + + + + + 18 + + 12 + 36 + + 24 + 72 Vậy ước số 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 24, 36, 72 ………

3 Tìm số nhỏ có 15 ước số ? Giải :

Gọi số nhỏ N ; Ta thấy N = a b c a b g số ước số tính cơng thức: n = (a + 1)(b+1)(g+1 ) Ở số US 15.1 3.5 5.3

Vậy: - N = 15.1 n = (a+1)(b + 1) Û = 14 vµ = 0a b số là: N = 214 30 = 214 = 16348.

- Nếu n = 3.5 n = (a+1)(b + 1) Û = vµ = 4a b số : N = 22.34 = 324.

- Nếu n = 5.3 n = (a+1)(b + 1) Û = vµ = 2a b số : N = 24.32 = 144.

So sánh ba số vừa tìm số 144 thỏa mãn nhỏ bảo đảm có 15 ước số

(11)

4 Cho số N phân tích thừa số nguyên tố có dạng: N = 2x.5y, biết N có

15 ước số Nhưng đem chia cho số cjỉ cịn ước số Tìm số N ? Giải :

Theo ta có: N = 2x.5y (1)

n = (x + 1)(y + 1) = 15 (2)

,

N

th× n (3)

8 =

Từ (2) ta có xy + x + y = 14 (4) Mặt khác

x x

N 5 x-3

= = =

3

8 2

y y

y

và n = (x – + 1).(y + 1) = => (x – 2)(y + 1) = => xy + x – 2y – = => xy + x – 2y = (5) Trừ vế (4) (5) cho ta có :

3y = xy + x - 2y = xy + x + y = 14

Thay y = vào (5) ta có : 2x + x – = => 3x = 12 => x = Do N = 2x.5y = 24.52 = 16.25 = 400.

………

5 Hãy chứng tỏ số nguyên tạo thành ba chữ số giống chia hết cho 37

Gii :

37

ọi số phải tìm lµ xxx ta cã xxx = 100x + 10x + x 111x = 3.37x điều chứng tỏ xxx

G

M

………

6 Cho số N phân tích thừa số ngun tố có dạng N = 2x.3y đem chi N

cho số có 10 ước số Nếu đem chia N cho số có ước số Tìm số N ?

Giải:

Theo ta có :

* ( )( )

x

N x - 1

= = n = x - + + = 10 xy + x = 10 (1)

2

y

yÞ y Û

* 2.3 ( )( )

x

N = 2 3y = 2x - 1.3y - 1Þ n = x - + 1 y -1 + = Û xy = (2)

Từ (1) (2) ta suy x = y =

Vậy N = 22 34 = 4.81 = 324

(12)

7 Một số có chữ số giống có hai ước số số nguyên tố Hãy tính số ước số ngun tố ?

Giải:

Ta biểu diễn số N aaaa = 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 101.11.1 => a = số N = 1111 Các ớc số là: 11 101

8 Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố

Giải:

Nếu pq + 11 số ngun tố phải số lẻ (vì số nguyên tố lớn 2) Suy số p q phải chẵn tức

a) Giả sử p = Khi 7p – q = 7.2 + q = 14 + q pq + 11 = 2q + 11 Nếu q = 14 + q = 14 + = 16 hợp số

Nếu q số nguyên tố lớn khơng chia hết cho Với q = 3k + 14 + q = 14 + 3k + = 3(k + 5) hợp số Với q = 3k + 2q + 11 = 2(3k + 2) + = 6(k + 1) hợp số Vậy p = q = đáp số cần tìm

b) Giả sử q = Lập luận tương tự phần a), ta có đáp số : p = , q =

Như số nguyên tố cần tìm : p = ; q = p = ; q =

9 Chứng tỏ với số tự nhiên n khác số :

 

n ch÷ sè n ch÷ sè

11 11 hợp số.

Gii:

   



n ch÷ sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè n ch÷ sè (n + 1) ch sè

(n + 1) ch sè

11 11 = 11 00 11 = 11 (10n + 1).

  

Số cho đ ợc phân tích thành tích hai thừa số lớn Vậy hợp số

(13)

Giải:

Ta bắt đầu xét thừa số nguyên tố nhỏ Vì 2.3.5 = 30 ; 2.3.7 = 42 ; 2.3.11 = 66 nên thừa số thứ tư số nguyên tố sau : 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Đối với tích thứ hai, ta có : 11, 13, 17, 19, 23 Đối với tích thứ có số

Như tổng tất tích : 30.(7 + 11 + 13 + 17 = 19 + 23 + 29 + 31) + 42.(11 + 13 + 17 + 19 + 23) + 66.13 = 8814

Vì 2.3.13.17 > 1000 nên trường hợp khác mà hai thừa số đầu 2.3 không thoả mãn đầu

Với hai thừa số đầu ta có : 2.5.7.11.= 770 2.5.7.13 = 910

Vì 2.7.11.13 3.5.7.11 lớn 1000 nên khơng cịn bốn số ngun tố khác để tích chúng số có ba chữ số

Vậy tổng phải tìm : 8844 + 770 + 910 = 10524

………

III ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT – BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT

1 Ước số chung lớn nhất:

ƯSC: a Khi nhiều số chia cho d, ta nói d ước số chung số

Ví dụ: 18 30 có ước số chung 1, 2, 3, Lưu ý: ước chung tất số

b Ước số chung lớn (USCLN): Ước chung lớn nhiều số số lớn chia hết cho số

Ví dụ: Trong ước chung 18 30 : 1, 2, 3, số lớn nên USCLN 18 30

Kí hiệu: USCLN a b d viết là: USCLN(a,b) = d

2 Ước số chung lớn số: (ta khảo sát USCLN a b với a > b)

a Trường hợp chia hết: a b hay a = bqM

- Như rõ ràng US b US bq tức a

- Ta lại thấy b US a b USCLN a b

Định lý 1: Khi a chia hết cho b thì:

* Tập hợp USC a b tập hợp ước số b * USCLN a b b

b Trường hợp chia không hết: a = bq + r hay a – bq = r

(14)

* Tp hp USC a b tập hợp ước số số dư áp chót rn

trong phép chia liên định luật Ơ Cơ lit

* Ước số chung lớn a b số dư rn

c Chú ý: Thật tính Ơ Cơ lit có nội dung sau: Khi chia hai số a b ta số dư r, lấy b chia cho r ta số dư r1, lấy r chia cho r1 số dư r2, lấy r1 chia

cho r2 số dư r3, …… Vì số dư nhỏ dần nên đến lúc số dư lúc

số dư đứng trước số dư phép chia gọi số dư áp chót rn (trong định

luật Ơ Cơ lit)

Ví dụ: Tìm USCLN 19521 1357 ? * Ta có 19521 : 1357 = 14 dư 253

1357 : 253 = dư 92 253 : 92 = dư 69 92 : 69 = dư 23 69 : 23 = dư USCLN (19521, 1357) = 23 * Khi thực hành ta đặt:

Thương số 14

Phép chia 19521 1357 253 92 69 23 Số dư 253 92 69 23

USCLN (19521, 1357) = 23

d Cách tìm USCLN số: Có cách Cách 1:

* Nếu a chia hết cho b b USCLN a b

* Nếu a không chia hết cho b USCLN a b số dư áp chót phép chia a cho b thuật tính Ơ Cơ lit

Cách 2: Phân tích hai số thừa số nguyên tố lấy tích tất thừa số chung Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ số cho

đ Cách tìm USCLN nhiều số: Có cáh

Cách 1: Tìm USCLN cặp số, sau tìm USCLN cặp

Ví dụ:

{ {

1 a b c d

d d

d

14444244443

(15)

Vớ d:

{

1

3

a b c d d

d d

1442443 14444244443

e Tính chất USCLN:

* T/c 1: Tập hợp USC nhiều số a, b, c, d …… tập hợp ước số USCLN

* T/c 2: Khi nhân (hay chia đúng) nhiều số a, b, c, d …… cho số m USCLN chúng nhân hay chia cho m

* T/c 3: Điều kiện có đủ để d USCLN nhiều số a, b, c, d,… Là thương số

a b c d

; ; ;

d d d d …… nguyên tố nhau.

Chú ý: Khi chia nhiều số a, b, c, d … cho USCLN chúng nhiều số nguyên tố

f Ứng dụng vào tính chia hết:

* Định lý 1: Nếu số N chia hết cho nhiều số a, b, c, nguyên tố N chia hết cho tích a.b.c

Ví dụ: N M N M

N M N M 12

N M N M 15

* Định lý 2: Nếu số N nguyên tố với nhiều số a, b, c N nguyên tố với a.b.c => (a b nguyên tố am bm nguyên tố nhau.

……… Bội số chung nhỏ :

a Bội số chung : Bội số chung nhiều số số chia hết cho số Ví dụ : 48 BSC 6, 12, 16

b Bội số chung nhỏ (BSCNN) : BSCNN nhiều số số nhỏ chia hết cho số (Ký hiệu D)

4 Bội số chung nhỏ số:

a Định lý : Khi hai số A B coc BSCNN D USCLN d : D x d = A x B

b Cách tìm BSCNN hai số : ta làm theo cách Cách 1: Dựa vào định lý :

A.B D =

d Nếu d = D = A.B

(16)

Vớ dụ :

/

/ /

/ / / /

A = a b c ; B = aa b g a bb cg db ổỗỗỗốa a b b g g; ; ư÷÷÷

ø

> > >

: D = a b c da b g b/

c Cách tìm BSCNN cảu nhiều số : (Tương tự cách tìm USCLN nhiều số)

d Tính chất BSCNN :

* Ngoài t/c tương tự t/c USCLN cịn có tính chất sau :

Điều kiện có đủ để D BSCNN nhiều số A, B, … Là thương

D D

; ; nguyên tố A B

Chú ý : Khi chia BSCNN nhiều số cho số ấy, nhiều số nguyên tố

5 Bài tập áp dụng :

1 Chứng minh hai số nguyên liên tiếp ngun tố Giải:

Ta có n n + hai số nguyên liên tiếp => USCLN (n, n + 1) = d Ta thấy n M

d (n + 1) M d nên [(n + 1) – n] M d hay M d Û d = 1.

Vậy (n, n + 1) = nên n n + nguyên tố ………

2 Chứng minh 2752 221 hai số nguyên tố Giải:

2752 221 nguyên tố USCLN chúng d = Vậy ta tìm USCLN 2752 221

Theo thuật tốn Ơ Cơ lit ta có:

12

2752 221 100 21 16

100 21 16

USCLN (2752, 221) = nên 2752 221 nguyên tố

3 Chia 7600 629 cho số nguyên N số dư Tính N Giải:

N > (vì số dư 5) 7600 – = 7596 M N

629 – = 624 M N

Vậy N USC 7596 624 nên US USCLN 7596 624

(17)

………

4 Tìm hai síi ngun, biết tổng số chúng 192 USCLN 24 ? Giải :

Gọi A B là hai số phải tìm, a b thương số chúng với 24 Ta có A = 24a ; b = 24b Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 =

Mặt khác theo định lý :

A B

( a, b) = nªn (a, b) =

24= 24=

Vậy: a = => =

a = => b = (không hợp lý) a = => b =

a = => b = (khơng hợp lý)

Do số phải tìm là: a = 1, b = => A = 24 ; B = 168 a = 3, b = => A = 72 ; B = 120 ………

5 Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số chia hết cho 48 Giải:

Gọi 2n, 2n + 2, 2n + ba số chẵn liên tiếp Ta có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2)

n(n + 1)(n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết cho Suy n(n + 1)(n + 2) M 8.

Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) M 48

6 Tìm BSCNN 3080 1100 ? Giải :

* Ta tìm theo cách :

2

3080 1100 880 220

880 220

=> d = (3080, 1100) = 220 Vậy : D =

3080.1100

15400

220 =

………

7 Tìm hai số A B, biết USCLN BSCNN 120 Giải :

Gọi BSCNN A B D, USCNN A B d Ta có : A.B = D.d Nếu

A B A B D.d D 120

a = b = a.b = = = 20

(18)

Như a b xẩy trường hợp sau:

a =

a = a = 10 a = a = 20 a =

; ; ; ; ;

b =

b = 10 b = b = 20 b = b =

ì ì ì ì ì ì

ï ï ï ï ï ï

í í í í í í

ï ï ï ï ï ï

ï ï ï ï ï ïỵ

ỵ ỵ ỵ î î

Như (a, b) = nên

;

a = a =

b = 20 b =

ì ì

ï ï

í í

ï ï

ỵ î

Suy ra:

A = ad = 1.6 = A = 20.6 = 120

* hc

B = bd = 20.6 = 120 B = 1.6 =

A = ad = 4.6 = 24 A = 5.6 = 30

* hc

B = bd = 5.6 = 30 B = 4.6 = 24

………

8 Tìm số nhỏ 400 mà chia cho 2, 3, 4, 5, dư Khi chia cho khơng cịn dư

Giải:

N – = BSC 2, 3, 4, 5, Như N = BS BSCNN (2,3,4,5,6) = 60 Số : 61, 121, 181, 241, 301, 361 Căn theo điều kiện N M nên ta có N

= 301

………

9 Tìm hai số biết tổng chúng 288 USCLN chúng 24 Giải:

Gọi hai số phải tìm a b (giả sử a£ b) Ta có a + b = 288 (a,b) =24 Vì 24 ƯSCLN a b nên ta viết a = 24a,, b = 24 b, a, b, hai số tự

nhiên nguyên tố a, £ b, Do :

, , , ,

24a + 24b = 288 24(a + b ) = 288 a + b = 288 : 24 = 12¢

12 tổng hai cặp số nguyên tố nhau: 11,

, ,

Víi a = 1, b = 11 ta cã a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264 Víi a = 5, b = ta cã a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168

(19)

10 Tìm hai số biết tích chúng 4320 BSCNN chúng 360 Giải:

Gọi hai số phải tìm a b (giả sử a£ b), gọi d = (a, b) nên a = a’.d,

b = b’.d (a’,b’) = Ta biết:

[a,b] =

a.b

(a,b) Từ ta có a.b = a’.b’.d2 [a,b] = a’b’d.

Theo đầu bài, ta suy ra:

, ,

4320 360

d = = 12 vµ a b = = 30

360 12

Đảo lại, (a’,b’) = a’.b’ = 30 số a = a’.12 b = b’.12 có tích 4320

và có BCNN 360

Vậy cần tớm hai số a’ b’ nguyởn tố cỳng nhau (ađê b vẾ cọ tÝch bÍng 30 Ta cọ bảng sau:đ)

a’ b’ a b

1

30 15 10

12 24 36 60

360 180 120 72

Vậy cặp số phải tìm : 12 360, 24 180, 36 120, 60 72 ………

11 Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số chia cho 1292 dư bao nhiêu?

Giải:

Gọi số cho A Theo ta có: A = 4q1 +

= 17q2 +

= 19q3 + 13 (q1, q2, q3 Ỵ N)

Nếu ta thêm vào số cho 25 ta có: A + 25 = 4q1 + + 25 = 4.(q1 + 7)

= 17q2 + + 25) = 17.(q2 + 2)

= 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)

Như A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19 Nhưng 4, 17, 19 ba số đôi nguyên tố nhau, suy A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292

Vậy A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….)

Suy A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267.

(20)

Vì nghiệp giáo dơc

………

12 Tìm hai số biết hiệu BSCNN ƯSCLN chúng 18 Giải:

Gị hai số phải tìm a b, ƯSCLN a b d Ta có a = a’.d; b = b’.d (a’ và

b’ hai số nguyên tố nhau) BCNN a b a’b’d Theo đầu ta có: a’b’d –

d = 18

(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ =

18 +

d .

Vì a’b’ số tự nhiên nên d phải ước 18 Khơng tính tổng qt, ta giả

sử ab, a, b Ta cã b¶ng sau:,

d a’b’ a’ b’ a b

1 19 19 19

2 10 10

5

1

20 10

2

3 7 21

6 4 24

9 3 27

18 2 36 18

13 Tìm tất số lớn 10000 nhỏ 15000 mà chia chúng cho 393 chia chúng cho 655 số dư 210

Giải:

Gọi số phải tìm A Theo đầu ta có: 10000 < A < 15000 (1) A = 393q1 + 210 (2)

A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2  N)

Từ (2) (3) ta suy A – 210 chia hết cho 393 655 tức A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965

Do A – 210 = 1965 q (q  N), nên A = 1965q + 210

Từ (1) suy q 5, 6, Với q = A = 1965.5 + 210 = 10035 Với q = A = 1965.6 + 210 = 12000 Với q = A = 1965.7 + 210 = 13965

Vậy số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 ………

(21)

Chng minh rng hai số p, q, r phải Giải:

Trong ba số tự nhiên a, b, c phải có hai số tính chẵn, lẻ Giả sử hai số Vì bc tính chẵn lẻ với b nên p = bc + a chẵn, p lại số nguyên tố, đó

p = 2, suy b = a = Khi q = ab + c = + c = ca + = ca + r Nếu hai số tính

chẵn lẻ a c b c lý luận tương tự, ta suy ba số nguyên tố p, q, r phải có hai số