Đang tải... (xem toàn văn)
CMR: N lµ trung ®iÓm cña BH.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 1,5 điểm )
1 Cho hai sè : b1 = + √2 ; b2 = - √2 TÝnh b1 + b2
2 Giải hệ phơng trình
m+2n=1 2mn=3
{
Bài 2: ( 1,5 điểm ) Cho biÓu thøc B = ( √b √b+2−
√b √b −2+
4√b −1 b −4 ):
1
√b+2 víi b vµ b Rót gọn biểu thức B
2 Tính giá trị B b = + 2 Bài 3: ( 2,5 ®iĨm )
Cho phơng trình : x2 - ( 2n -1 )x + n (n - 1) = ( ) víi n tham số Giải phơng trình (1) với n =
2 CMR phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi n Gäi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) ( v¬Ý x1 < x2) Chøng minh : x12 - 2x2 +
Bµi 4: ( ®iĨm )
Cho tam giác Δ BCD có góc nhọn Các đờng cao CE DF cắt H 1. CM: Tứ giác BFHE nội tiếp đợc đờng tròn
2. Chứng minh Δ BFE Δ BDC đồng dạng
3. Kẻ tiếp tuyến Ey đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt BH N CMR: N trung điểm BH
Bài 5: ( điểm )
Cho cỏc s dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức: √ x y+z+√
y x+z+√
z x+y>2
====================
Hướng dẫn giải Bµi 1: ( 1,5 ®iĨm )
1 Theo bµi ta cã : b1 + b2 = - √2 + - √2 =
VËy b1 + b2 =
(2)2 Giải hệ phơng trình
¿ m+2n=1 2m−n=−3
¿{ ¿
¿
−2m−4n=−2 2m− n=−3
¿{ ¿
¿ −5n=−5 2m−n=−3
¿{ ¿
¿ n=1 m=−1
¿{ ¿
Vậy hệ cho có cặp nghiệm ( n = ; m = -1 ) Bài 2: ( 1,5 điểm )
1 Với với b b ta có : B = (b −2√b − b −2√b+4√b −1
b −4 ):
√b+2 = ( −1 b −4):
1 √b+2=−
√b+2
(√b −2)(√b+2)=
1 2−√b 2 Víi b = + 4 √2
V× : + 4 √2 = + 4 √2 + √2 = ( + √2 )2
=> B =
2+√2¿2 ¿ ¿ 2−√¿
1 2−√b=
1 Bài 3: ( 2,5 điểm )
1 Với n = phơng trình cho đợc viết lại : x2 - 3x + =
Ta thÊy : a = ; b =-3 ; c = mµ a + b + c = nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = x2 =
2 Từ phơng trình (1) ta có Δ = 4n2 - 4n + - ( n ( n - 1))
= => Δ > ∀n phơng trình cho ln cóhai nghiệm phân biệt x1 = n -1 x2 = n
3 Theo bµi ta cã : x12 - 2x2 + = ( n - ) 2 -2n + = n2 - 4n + = ( n - )2 V× ( n - 2)2 0∀n dÊu b»ng x¶y n = VËy : x12 - 2x2 + = ( n - )2≥ víi mäi n ( §pcm ) Bài 4: ( điểm )
4. K tiếp tuyến Ey đờng trịn tâm O đờng kính CD cắt BH N CMR: N trung điểm BH
HD :
∠ BFE = 900 - ∠ EFD
= 900 - ∠ ECD = ∠ EDC
=> ∠ BFE = ∠ EDC (1 )
XÐt hai tam gi¸c : Δ BFE vµ Δ BDC ta cã :
B N a Ta cã : ∠ BFH = ∠ BEC = 90 ( gt)
∠ BFH + ∠ BEC = 1800
tứ giác BFHE nội tiếp đờng trịn đờng kính BH H F E H H b Xét tứ giác CFED ta có :
∠CED = ∠ DFC = 900
( nhìn đoạn thẳng CD dới góc vng) => CFED nội tiếp đờng trịn đờng kính CD
=> ∠ EFD = ∠ ECD ( Cùng chắn cung ED )
Mặt khác ta l¹i cã :
C D
(3)∠ BFE = 900 - ∠ EFD
= 900 - ∠ ECD = ∠ EDC
=> ∠ BFE = ∠ EDC (1 )
XÐt hai tam gi¸c : Δ BFE vµ Δ BDC ta cã :
∠ B : Chung
=> Δ BFE đồng dạng Δ BDC ( g -g ) ( Đpcm ) ∠ BFE = ∠ EDC
c Ta có : BNE cân N ThËt vËy :
∠ EBH = ∠ EFH ( Cùng chắn cung EH ) (1)
Mặt khác ta lại có : BEN = 1/2 sđ cung ED ( Góc tạo tiếp tuyến dây cung ) => ECD = ∠ BEN = ∠ EFH (2)
Tõ (1 ) vµ (2) ta cã : ∠ EFH = ∠ BEN => BNE cân N => BN = EN ( 3) Mà BEH vuông E
=> EN đờng trung tuyến tam giác BHE => N trung điểm BH (Đpcm ) Bài : ( điểm )
Cho số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức : √ x
y+z+√
y x+z+√
z x+y>2
Áp dơng B§T Cosi ta cã :
√y+z x 1≤
y+z x +1
2 =
x+y+z 2x =>√
x y+z≥
2x x+y+z √x+z
y 1≤ x+z
y +1
2 =
x+y+z 2y =>√
y x+z≥
2y x+y+z √y+x
z 1≤ y+x
z +1
2 =
x+y+z 2z =>√
z y+x≥
2z x+y+z
Céng vÕ víi vÕ ta cã : √ x y+z+√
y x+z+√
z y+x≥
2(x+y+z)
x+y+z =2 dÊu b»ng x¶y y+ z = x
x+ z = y x + y + z = y+ x = z
Vì x, y ,z > nên x + y + z > vËy dÊu b»ng kh«ng thĨ x¶y a Ta cã : ∠ BFH = ∠ BEC = 90 ( Theo gi¶ thiÕt)
∠ BFH + ∠ BEC = 1800
tứ giác BFHE nội tiếp đờng trịn đờng kính BH
b XÐt tø gi¸c CFED ta cã :
∠CED = ∠ DFC = 900
( nhìn đoạn thẳng CD dới góc vng) => CFED nội tiếp đờng trịn đờng kính CD
(4)=> √ x y+z+√
y x+z+√
z