Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh tổng tất cả các phần tử được chọn bằng 1.. 1..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN
TOANMATH.com
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN – LỚP 12
NĂM HỌC 2020 - 2021
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận
Bài (6,0 điểm)
a Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số yx11 x29 đoạn 0; b Cho hàm số đa thức y f x( ) có đồ thị sau:
Tìm số điểm cực trị hàm số y f x 22x2
Bài (5,0 điểm) Xét dãy số un thỏa u1 a b, *
1 , ;
n
n ab
u u n
u
,a b hai số thực
dương
a Chứng minh un dãy số giảm a b ; b Tính lim un
Bài (3,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình
1
3
x xy x y m
có ba
nghiệm phân biệt
Bài (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k n cho k n Xét tất tập hợp gồm k
phần tử tập hợp 1, 2, , n Trong tập hợp ta chọn phần tử nhỏ Chứng minh tổng tất phần tử chọn
1 k n C
Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M điểm di động O cho M khác với điểm ,A B OM khơng vng góc với AB Các tiếp tuyến O A M cắt C Gọi I đường tròn qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C Đường thẳng OC cắt lại I điểm thứ hai E
a Chứng minh E trung điểm OC;
b Gọi CD đường kính I Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động O
HẾT
x
y
O
1
(2)LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số yx11 x29 đoạn 0;4 b) Cho hàm số đa thức y f x có đồ thị sau:
Tìm số điểm cực trị hàm số y f x 22x2 Lời giải a) Hàm số cho liên tục đoạn 0;4
Ta có
2
2
2 11
9
x x
y
x
,
1 TM
0 9
KTM
x y
x
Ta có y 0 33, 1y 10 10,y 4 35 Vậy
0;4 0;4
miny 35,maxy 10 10
b) Đặt g x f x 22x2 Ta có g x 2 x1f x 22x2
Gọi x x x x x x 1, 2, (với x1x2x3) điểm cực trị hàm số f x Từ đồ thị, ta có x1 1;0 , x2 0;1 ,x3 1;2
Ta có
2
1
2 2
2
2
3
1
2
1 2
0
2 2 2 2
2 2
x x
x x x
x x x x
g x
f x x x x x x x x
x x x x x x
Xét phương trình (1), ta có 2 x1 x1 nên phương trình (1) vơ nghiệm Xét phương trình (2), ta có x2 1 nên phương trình (2) vơ nghiệm
Xét phương trình (3), ta có x3 nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác Như phương trình g x 0 có ba nghiệm đơn nên hàm số g x có ba điểm cực trị Câu Xét dãy số un thỏa
* , n1 ,
n ab
u a b u u n
u
; a b, hai số thực dương a) Chứng minh un dãy số giảm a b
b) Tính limun
(3)a) Khi a b , ta có * 1 , n n u a a
u u n
u
Ta chứng minh: , * 1 n
n
u a n
n
phương pháp quy nạp Ta có:u12a 1 với n1
Giả sử 1 với n k , tức là: k ; 1 k
u a k
k Ta có: 2 1 2 1 k k
a a k
u u a a
k
u a k
k
1 với n k 1
Vậy , * 1
n
n
u a n
n
, ta có 0, *
n
u n
Ta có * 2 1,
1
n n
n a
u n n n
n n
u a n n
n
Vậy un dãy số giảm b) Không tính tổng quát, giả sử a b
* Trường hợp 1: a b
Khi , *.
n n
u a n
n
* Trường hợp 2: a b
Khi đó:
2 3
2 2;
ab a ab b a b u a b
a b a b a b
2 4 4
3 3 3
2
; ab a b
ab a b
u a b a b
u a b a b
Qui nạp ta
1
*
,
n n
n n n
a b u n a b Do 1 khi n n n n n
a b a b
a b u
n
a a b
n
, n *.
* Khi a b , ta có limun limn 1a lim 1 a a
n n
* Khi a b ,ta có
1
1 1
lim lim lim
1
n
n n
n n n n
b
a b a
u a
a b b
(4)Vậy limuna
Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình
1
3
x xy x y m
có ba nghiệm phân
biệt
Lời giải
Xét hệ phương trình:
1
3
x xy x y m
Điều kiện: xy0
Vì x0 khơng phải nghiệm phương trình nên x0 Ta có : (1) xy 1 x
2
1
1 x
xy x
1
2 x
y x
x
Thay vào phương trình (2) ta có: 3x2 2 x m x
(3)
Để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0
Xét hàm số f x 3x2 2 x x
, x ;1 \ 0 Ta có: f x 6x 12 6x3 2x2
x x
0 6 1 0
2
f x x x x
Bảng biến thiên:
Số nghiệm phương trình (3) số giao điêm đồ thị hàm số y f x đường thẳng ym
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0 5;3
4 m
Vậy 5;3
4 m
hệ phương trình
1
3
x xy x y m
có ba nghiệm phân biệt
(5)Câu Cho hai số nguyên dương k n cho k n Xét tất tập hợp gồm k phần tử tập hợp 1, 2, , n Trong tập hợp ta chọn phần tử nhỏ Chứng minh tổng tất phần tử chọn
1 k n C
Lời giải Theo đề ta có:
TH1: Tập có phần tử nhỏ số có 1 k n C
tập
TH2: Tập có phần tử nhỏ số có 2 k n C
tập
…
TH k: Tập có phần tử nhỏ số có k k n k C
tập
Suy tổng phần tử chọn 2
k k k k
n n n k
C C C
Dễ dàng ta chứng minh
1
k k k k k
n n n k n
C C C C
(đpcm)
Câu Cho đường trịn O có đường kính AB cố định, M điểm di động O cho M khác với điểm ,A B OM khơng vng góc với AB Các tiếp tuyến O A
M cắt C Gọi I đường tròn qua tiếp xúc với đường thẳng AC C Đường thẳng OC cắt lại I điểm thứ hai E
a) Chứng minh E trung điểm OC
b) Gọi CDlà đường kính I Chứng minh đường thẳng qua D vuông góc với BC ln qua điểm cố định M di động O
Lời giải a) Có MCO ACO CME EC EM
Mà CMO vuông M M
trung điểm OC b) Vẽ DF BC F ( )I
', ' DEAB E DD AB
'
F trung điểm AOF' cố định Ta có CD/ / 'E O (CA)
E trung điểm CO '
CDOE
hình bình hành Mà CDD A' hình chữ nhật
' '
D A CD E O
F
trung điểm ' 'D E
Gọi Bx tiếp tuyến B ( )O Có: (BC Bx BM BA, , , ) 1
Mà BC DF Bx, DC BM, DE BA, DD' (BM AM AM, OC OC, DE) (DC DF DE DD, , , ')
(6)Mà DC/ /ABDF qua trung điểm ' 'D E , ', '
D E F DF
qua 'F cố định