Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)(2)Chuyên đề 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
3 1 1 432 4
M (2 )
229 433 229 433 229 433
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
1 a ;b 229 433 Đặt Giải:
M = 3a(2 + b) – a(1 – b) – 4ab = 6a + 3ab – a + ab – 4ab = 5a
1 5
M 5
(3)Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
A = x5 – 5x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – với x = 4
Chuyên đề 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
Giải:
Cách 1. Thay x = vào biểu thức A, ta có
A = 45 – 5.44 + 5.43 – 5.42 + 5.4 – 1
= 45 – (4+1).44 + (4+1).43 – (4+1)42 + (4+1).4 – 1
= 45 – 45 – 44 + 44 + 43 – 43 – 42 + 42 + 4 –
= – = 3
5 4 3 2
A = x - (x + 1)x + (x + 1)x - (x + 1)x + (x + 1)x -1
Cách 2: x = x + = 5, Thay x + ta có:
= x5 – x5 – x4 +x4 +x3 – x3 – x2 + x2 + x –
(4)Chuyên đề 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
Nhận xét:
Khi tính giá trị biểu thức,
ta thường thay chữ số.
(5)2
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ab + bc + ca - x
Chuyên đề 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức
biết 2x = a + b + c
Giải: Biến đổi vế trái:
= x2– bx –ax + ab + x2– cx – bx + bc + x2– ax – cx + ac
= 3x2 – 2x(a + b + c) + ab + bc + ac
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a)
3x2 – 2x.2x + ab + bc + ac
Thay 2x = a + b + c ta được: = 3x2 – 4x2 + ab + bc + ac
= ab + bc + ac – x2
2
(6)1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A+B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
(7)1
1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 1 5 10 10 5 1
II Bảng hệ số khai triển (a + b)n
Tam giác Pascal
1) (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2
2) (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3
3) (A ± B)4 = A4 ± 4A3B + 6A2B2 ± 6A2B3 + B4
(8)a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + an–3 b2 + … + abn–2 + bn–1)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5)
an + bn = (a + b)(an–1 – an–2b + an–3b2 – … + abn–2 – bn–1)
2 2 2
1 n n n n n
(a a a ) a a a a 2a a 2a a
Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
(9)1) Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b)
Tính giá trị biểu thức sau:
a) x2 + y2 b) x3 + y3
c) x4 + y4 d) x5 + y5
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2
= (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5
= (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay: (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2
x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
(10)Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
2) Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3
– [z + (x – y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3]
– [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3]
– [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3]
– [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]
= = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz
(11)3) Chứng minh đẳng thức:
a) a3+b3+c3–3abc = (a+b c)(a2+b2+c2–ab–bc–ca)
b) (a+b+c)3–a3– b3– c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
a) a3+ b3+ c3 – 3abc = (a + b)3 + c3– 3abc – 3a2b –3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b+c)[(a+b+c)2+ (a + b + c)a + a2]– (b + c)(b2– bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca)
= 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a)
(12)4) Cho x + y + z = Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Vì x + y + z = nên x + y = – z (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3+ y3+ z3
Do : 3xyz(x2+ y2+ z2) = (x3+ y3+ z3)(x2+ y2+ z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
Mà x2+ y2 = (x + y)2– 2xy = z2– 2xy (vì x + y = –z)
Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
Vì vậy: 3xyz(x2 + y2 + z2)
= x5+ y5+ z5+ x3(x2– 2yz) + y3(y2– 2zx) + z3(z3– 2xy)
(13)(14)Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
2y x 2x y y 3x (5y x)
2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} = 2y – x – {2x – y – [y + 3x – 5y + x]} = 2y – x – {2x – y – y – 3x + 5y – x}