Đang tải... (xem toàn văn)
- Moät soá tích phaân haøm höõu tyû, löôïng giaùc, voâ tyû vaø sieâu vieät - Moät soá öùng duïng cuûa tích phaân tính dieän tích vaø theå tích - Moät soá baøi toaùn khaùc.. YEÂU CAÀU[r]
(1)Chuyên đề 04:
tích phân ứng dụng Tổng số tiết dạy:
Ngày dạy : MUẽC TIEU
Hc sinh cn nắm vững toán : - Các phương pháp tính tích phân
- Một số tích phân hàm hữu tỷ, lượng giác, vô tỷ siêu việt - Một số ứng dụng tích phân tính diện tích thể tích - Một số tốn khác
YÊU CẦU
- Nắm vững phương pháp
- Biết vận dụng vào toán cụ thể - Tự giác, tích cực rèn luyện TÝch ph©n - diƯn tích- th tích Một số kiến thức cần nắm vững:
1 Bảng nguyên hàm hàm số.
∫k dx=k.x+C ∫sin(ax+b)dx=−1
acos(ax+b)+C ∫e xdx
=ex+C
∫xndx=x
n+1
n+1+C ∫cos(ax+b)dx=
1
asin(ax+b)+C ∫e
(ax+b)dx
=1
ae (ax+b)
+C
∫
x2dx=−
x+C
1
dx tgx C cos x
∫ ax+b¿
n+1
¿ ¿
ax+b¿n dx=1
a.¿
¿
∫¿
∫1xdx=ln|x|+C
2
1
dx cot gx C sin x
∫ ∫axdx= a
x lna+C ∫(ax1+b)dx=1
aln|ax+b|+C ∫ cos2
(ax+b)dx=
1
atg(ax+b)+C ∫sinx dx=−cosx+C
2
1
dx cot(ax b) C sin (ax b) a
∫
∫cosx dx=sinx+C ax+b¿n ¿
ax+b¿n −1 ¿
a(n−1)¿ ¿
1
¿
2 Các phơng pháp tính tích phân:
(2) D¹ng:
2
a x dx
∫
,
2
dx
a x
∫ đặt x = asint.
D¹ng:
2
dx
x a
∫ đặt x = atgt,
2
( )
dx
ax b c
∫
đặt ax b c t tg * Loại 2:
( ( )) '( ) b
a
f u x u x dx
Đặt t = u(x)
+ Nhiu phải biến đổi xuất u’(x)dx + Ta biến đổi:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
∫ ∫
Những phép đổi biến phổ thông:
HÀM SỐ CHỨA CÁCH ĐỔI BIẾN HÀM SỐ CHỨA CÁCH ĐỔI BIẾN [ u(x) ]n t = u(x) cos xdx ( sin xdx
)
t=sinx ( t=cosx )
căn thức t = BT dấu căn dx
x2 t=
1 x dx
x t=lnx
dx
cos2x t=tgx
dx
√x t=√x
dx
sin2x t=cot gx
b) Phơng pháp tích phân phÇn:
Cơng thức tích phân phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d u x v x v x u x dx
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
∫
@ Dạng 2:
( ) ln( )
f x ax dx
∫
Đặt
ln( ) ( )
( )
dx du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
∫
@ Dạng 3:
sin
∫eax cosaxax dx
@ Dạng 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u = x, dv = cos2
dx
x hc dv = sin2 dx
(3)a) Tích phân hữu tỉ:
( ) ( )
∫
b
a
P x dx Q x
P(x), Q(x) đa thức + Nếu bậc P(x) bËc Q(x) chia P(x) cho Q(x)
+ Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp đổi biến phơng pháp hệ số bất định tích phân hàm hữu tỷ dạng
D¹ng:
A A
dx ln ax b C ax b a
∫ D¹ng:
ax b a A
dx dx dx
cx d c cx d
∫ ∫ ∫
D¹ng:
2
ax bx c C
dx Ax B dx dx
dx e dx e
∫ ∫ ∫
D¹ng: dx ax bx c
∫ - NÕu
Δ>0
:
1
1 2 1
x x x x dx
dx
a x x x x x x a x x x x
∫ ∫
- NÕu
Δ=0
:
2
dx
b a x
2a
∫
- NÕu
Δ<0
:
2 2
dx x
Đặt x tgt
D¹ng:
Ax B
I dx
ax bx c
∫ Ph©n tÝch:
2 2
ax bx c '
Ax B dx
I dx m dx n
ax bx c ax bx c ax bx c
∫ ∫ ∫
2
2
dx m.ln ax bx c n
ax bx c
b) Tích phân chứa hàm số lợng giác.
Dạng:
b
a
f sin x;cos x dx
- Nếu f hàm lẻ theo sinx: Đặt t = cosx.
- Nếu f hàm lẻ theo cosx: Đặt t = sinx.
- Nếu f hàm chẵn theo sinx cosx: Đặt t=tgx.
Bài tập minh hoạ:
1
3
3
sin x dx cos x ∫
3
0
cos x dx sin x
∫
4
3
dx sin x.cos x
∫
D¹ng:
b
m n
a
sin x.cos x.dx
∫
- NÕu m n chẵn: Hạ bậc - Nếu m lẻ: Đặt t=cosx - Nếu n lẻ: Đặt t=sinx
Bài tập minh ho¹:
1
2
3
0
sin x.cos x.dx
∫
2
4
0
sin x.cos x.dx
∫
4
2
sin x dx cos x ∫
2
4
0
dx cos x.sin x
(4) D¹ng:
b
a
R sin x;cos x dx
∫
R hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Đặt
x t tg
2
dx 2dt2
1 t
;
2t sin x
1 t
;
2
1 t cos x
1 t
;
2t tgx
1 t
Cơ thĨ lµ hµm:
b
a
dx I
a sin x b cos x c
Bài tập minh hoạ:
1
4
0
dx I
sin x cos x
∫
2
0
1 sin x
I dx
sin x cos x
∫
2
0
dx I
cos x
∫
D¹ng:
b
a
a sin x b cos x
I dx
csin x d cos x
∫
Ph©n tÝch:(Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’
b b b b b
a a a a a
d csin x d cos x a sin x b cos x ccos x d sin x
I dx A dx B dx A dx B
csin x d cos x csin x d cos x csin x d cos x
∫
Bài tập minh hoạ:
0
3sin x 2cos x
I dx
4sin x 3cos x
∫
D¹ng:
b
1 1
2 2
a
a sin x b cos x c
I dx
a sin x b cos x c
∫
Ph©n tÝch:(Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè) +C’
b b b
2
2 2 2
a a a
b b
2 2
2 2
a a
a cos x b sin x dx
I A dx B dx C
a sin x b cos x c a sin x b cos x c d a sin x b cos x c
A dx B C.J
a sin x b cos x c
∫ ∫ ∫
∫ ∫
J tích phân tính đợc c Tích phõn hàm vụ tỷ
D¹ng:
b b
n
n
a a
dx ax b.dx;
ax b
∫ ∫
: §ỉi
1 n ax b ax b n
D¹ng:
b a
ax bx c.dx
∫
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng
b
2
a
u a du
∫
t u=atgt
Hoặc chứng minh ngợc công thøc:
2
2 u 2 u 2
u a du u a ln u u a C
2
∫
NÕu a<0 : Tích phân có dạng
b
2
a
a u du
∫
đặt u=asint
D¹ng:
b a
dx ax bx c
(5)- NÕu Δ>0
:
1
2
1 2
x x x x dx
dx
x x
a x x x x a x x x x
∫ ∫
- NÕu Δ=0
:
2
dx dx
b
b a x
a x 2a
2a
∫ ∫
- NÕu Δ<0
: Víi a>o:
2 2
dx x
Đặt x tgt Hoặc chứng minh ngợc công thức:
2
2
du
ln u u a C
u a
∫
Víi a<0:
2
dx x
Đặt x sin t
D¹ng
b
2 a
dx
a x ax bx c
Đặt x
t
BTMH:
1
2
dx
x 1 x x
∫
1
2
dx
2x 4 x 2x
∫
D¹ng:
n m q p
R ax b ; ax b dx
∫
Đặt
1 s
t ax b
víi s lµ BCNN cđa n vµ q.
BTMH:
1
2
0
dx
2x 1 2x 1
∫
1
4
dx
1 2x 2x
∫
∫
a b
R(x , f(x))dx +) R(x, a x
a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0;
π 2] +) R(x, a2 x2 ) Đặt x = |a|sint x = |a|cost +) R(x, n
√ax+b
cx+d ) Đặt t =
n ax+b
cx+d
+) R(x, f(x)) =
(ax+b)√αx2+βx+γ Víi ( αx
2
+βx+γ )’ = k(ax+b)
Khi đặt t = √αx2
+βx+γ , đặt t = ax1+b
+) R(x, a2+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [−π2;π2]
+) R(x, √x2−a2 ) §Ỉt x = cos|a|x , t
¿ [0; π] {π
2
¿
+) R
1 i
n n n
x; x; ; x
Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn th×
( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
∫ ∫
+ y = f(x) lẻ thì:
( ) a
a
f x dx
∫
(6)e) TÝch ph©n d¹ng
( ) x
f x dx a
∫ ú f(x) l hm s chn
Cách giải: Tách thành tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
∫ ∫ ∫
XÐt tÝch ph©n
0
( ) x
f x dx a
∫ đổi biến số x = -t.
Kết ta đợc
( )
( )
x
f x
dx f x dx
a
∫ ∫
f, TÝch phân dạng: 0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
∫ ∫
f(x) hàm số liên tục [0; a] Đổi biến x = a - t
Các ví dụ
Bài 1: TÝnh tÝch ph©n I=∫
0
x3 x2
+1dx
ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: TÝnh tÝch ph©n ex
+1¿3 ¿ ¿
√¿
ex
¿
I=∫
0 ln
HD: đa dạng
b
a
u du ∫
§S
I=21
Bài 3: Tính tích phân I=
1
x(e2x+31+x)dx
HD Tách thành tích phân. ĐS I=3/4e-2 - 4/7
Bài 4: Tính tÝch ph©n I= ∫
0 π
6
√1−cos3x sinx cos5dx
HD: t =61 cos 3x cos3x = 1- t6
§S I =12/91
Bài 5: Tính tích phân I= 23
1
x.√x2+4dx
HD: nhân tử mẫu với x đặt t=√x2
+4
§S I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân I=
0 π
x
1+cos 2xdx
HD:§a dạng tích phân phần. ĐS I = /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân I=
0
x3❑
(7)Bµi 8: Cho hµm sè
x+1¿3 ¿ ¿
f(x)=a ¿
Tìm a,b biết f(0) = -22
f(x)dx=5
Bài 9: Tính tích phân I=∫
π π
tgx cosx.❑
√1+cos2x
dx
HD: Biến đổi dạng
3
2
4
cos
tg tg
x
I dx
x x
∫
Đặt
2
1 tg
t x
Bài tập áp dụng
1) TÝnh tÝch ph©n I=∫
1
√3 x+x3dx
2) TÝnh tÝch ph©n I=∫
ln ln
√ex
+1.e2xdx
3) TÝnh tÝch ph©n I= ∫
0 π
(2x −1)cos2xdx
4) TÝnh tÝch ph©n I=∫
1 e3
ln2x
x√lnx+1dx
5) TÝnh tÝch ph©n I
=∫
0 π
(esinx+cosx)cos xdx
6) TÝnh tÝch ph©n I=∫
0
x4− x+1
x2+4 dx
7) TÝnh tÝch ph©n I=∫
0
x+2
3
√x+1dx
8) TÝnh tÝch ph©n I
=∫
0 π
(tgx+esinxcosx)dx
9) TÝnh tÝch ph©n I= ∫
0 π
sin2x tgx dx
10) TÝnh tÝch ph©n I
=∫
0 π
ecosxsin2x dx 11) TÝnh tÝch ph©n I=∫
0 π
x sinx 1+cos2x dx
12) TÝnh tÝch ph©n I=∫
0
√3
x5+2x3 √x2+1 dx
13) TÝnh tÝch ph©n I=∫
1 e
x2lnx dx
14) TÝnh tÝch ph©n
1
2
0
4
(8)15) TÝnh tÝch ph©n
4
0
sin cos cos
x x
I dx
x
∫
16) TÝnh tÝch ph©n:
1
2
sin
x x
I
x
∫
17) TÝnh tÝch ph©n
2
sin 2x
x
I dx
∫
18) TÝnh tÝch ph©n
2
2
( x sin )
I e x e x dx
∫
19) TÝnh tÝch ph©n
1
1
1 x
x
I dx
e
∫
20) TÝnh tÝch ph©n
2
sin cos
x x
I dx
x
∫
4 DiƯn tÝch:
* Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đoạn [a; b] Trong phơng trình: f(x) - g(x) = vô nghiệm [a; b]
( ) ( ) b
a
S ∫f x g x dx
* Bài tốn 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đoạn [a; b] Trong phơng trình: f(x) - g(x) = có nghiệm x = x0 [a; b]
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
x b
a x
S∫f x g x dx∫f x g x dx
* Bài tốn 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc nghiệm x = a, x = b
( ) ( ) b
a
S ∫f x g x dx
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x
vµ phÝa díi 0x b»ng
Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn
¿
x − x3 o ≤ x ≤1
y=0 ¿y={ {
¿
Cã hai phÇn diƯn tÝch b»ng
(9)Bµi 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn
¿
y=x
2
+2 ax+3a2
1+a4
y=a
2 −ax 1+a4 ¿{
¿
Tìm a để diện tích lớn
nhÊt
Bµi 6:Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2 x y
4 x y
4
2) (H2) :
2
y x 4x y x
3) (H3):
3x y
x y x
4) (H4):
2 y x x y
5) (H5):
y x y x
6) (H6):
2
y x x y
7) (H7):
ln x y
2 x y x e x
8) (H8) :
2 y x 2x y x 4x
9) (H9):
2 3
y x x
2 y x
10) (H10):
2
y 2y x x y
11)
¿ (C):y=√x
(d):y=2− x (Ox)
¿{ { ¿
12)
¿ (C):y=ex
(d):y=2 (Δ):x=1
¿{ { ¿
13)
¿
y2=2x+1
y=x −1 ¿{
¿
14)
¿
y=−√4− x2
x2
+3y=0 ¿{
¿
15)
¿
y=√x
x+y −2=0
y=0 ¿{ {
¿
16
¿
y=x
2
y=
1+x2 ¿{
¿
17
¿
y2
=2x
y=x , y=0, y=3 ¿{
¿
18)
¿
y=lnx , y=0
x=1
e, x=e
¿{ ¿
19
¿
y=
sin2x ; y= cos2x x=π
6; x= π
¿{ ¿
(10)21)
¿
y=x2−4x+5
y=−2x+4
y=4x −11 ¿{ {
¿
22)
¿
y=− x2+6x −5
y=− x2+4x −3
y=3x −15 ¿{ {
¿
23)
¿
y=x
y=1
x y=0
x=e ¿{ { {
¿
24)
¿
y=x2−1/❑ y=x/ +5
¿{ ¿
25)
¿
y=−3x2− x/+2
y=0 ¿{
¿
26)
¿
y=−3x2− x/+2
y=0 ¿{
¿
27)
¿
y=x2+2
y=4− x ¿{
¿
28)
¿
y=x2−2x+2
y=x2+4x+5
y=1 ¿{ {
¿
29)
¿
y=x2−1/❑ y=− x2+7
¿{ ¿
30)
¿
y=x3
y=0
x=−2; x=1 ¿{ {
¿
31)
¿
y=sinx −2 cosx
y=3
x=0; x=π ¿{{
¿
32)
¿
y=x+3+2
x y=0
¿{ ¿
33)
¿
y=x2+2x
y=x+2 ¿{
¿
34)
¿
y=2x2−2x
y=x2+3x −6
x=0; x=4 ¿{ {
¿
35)
¿
y=x2−5x+6/❑ y=6
¿{ ¿
36)
¿
y=2x2
y=x2−2x −1
y=2 ¿{ {
¿
37)
¿
y=x2−3x+2/❑ y=2
¿{ ¿
38)
¿
y=x2−5x+6/❑ y=x+1
¿{ ¿
39)
¿
y=x2−3x+2/❑ y=− x2
¿{ ¿
40)
¿
y=x2−4x+3/❑ y=3
¿{ ¿
41)
¿
y=eÏ
y=e− x
x=1 ¿{ {
¿
42)
¿
y= x
2
√x2− x6 x=0; x=1
¿{ ¿
43)
¿
y=sin/x/❑ y=x/− π
¿{ ¿
44)
¿
y=2x2
y=x2−4x −4
y=8 ¿{ {
¿
45)
¿
y2=2x
2x+2y+1=0
y=0 ¿{ {
¿
46)
0
) ( 2
2 a
(11)47)
x+1¿2 ¿ x=sinπy
¿ ¿ y=¿
48)
¿
y2=x −1/❑ x=2
¿{ ¿
49)
¿
x=y2−1/❑ x=2
¿{ ¿
32)
y+1¿2 ¿
y=sinx ¿
x=0 ¿
x=¿
33)
¿
y=√4−x
2 y= x
2 4√2
¿{ ¿
34)
¿
x=0;
x=
√2
y= x
√1− x4; y=0
¿{ { ¿
35)
¿
y=5x−2
y=0
x=0; y=3− x ¿{ {
¿
36)
¿
y2=6x
x2
+y2=16 ¿{
¿
37)
¿
y=x2
y=x
2 27 y=27
x
¿{ { ¿
36) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác nh k din tớch
hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ
37)
¿
y=x3−2x2+4x −3
y=0 ¿{
¿
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức:
V=π∫
a b
[f(x)]2dx V=π∫
a b
[f(y)]2dy
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2) y =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2; 22
a y0 b
) ( :
)
(C y f x
b a
x
b
x
x y
O
b
a
x y
0
x
O
) ( : )
(C xf y b
y
a
(12)Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :
2 21 ;1 2
x
y y
x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + 4
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x12.ex2 ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x √ln(1+x3) ; y = ; x =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
1)
x −2¿2 ¿ y=4
¿ ¿ y=¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
¿
y=x2, y=4x2
y=4 ¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
¿
y=
x2+1
y=0, x=0, x=1 ¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
¿
y=2x − x2
y=0 ¿{
¿
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
¿
y=x lnx
y=0
x=1;x=e ¿{{
¿
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
¿
y=x2(x>0)
y=−3x+10
y=1 ¿{ {
¿
quay quanh trơc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
¿
y=x2
y=√x
¿{ ¿
quay quanh trôc a) 0x;
8) Miền hình tròn (x 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn (E): x +
y2
(13)10)
¿
y=xeÏ
y=0
x=1 ,;0≤ x ≤1 ¿{ {
¿
quay quanh trôc 0x;
11)
¿
y=√cos4x+sin4x
y=0
x=π
2; x=π
¿{{ ¿
quay quanh trôc 0x;
12)
¿
y=x2
y=10−3x ¿{
¿
quay quanh trôc 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)
4 x −4 x=0; x=2
y=❑
❑
{
quay quanh trôc 0x;
15)
¿
y=√x −1 y=2
x=0; y=0 ¿{ {
¿