Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Câu 5:
Cho x.y.z số không âm thỏa mãn
3 x y z
Tìm giá trị nhỏ S= x3+y3+z3+x2y2z2
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy
Dãy x x y y z z; ; dãy x; y; z Ta có
3 3 2 2 3 2 2
3
( ) ( ) ( ) (*)
2 x y z x y z x y z 3 x y z Ta chứng minh BĐT
( )( )( )(*)
xyz x y z x z y y z x
Vế trái khơng âm vế phải có thừa số thừa số âm BĐT (*) Vế phải có thừa số âm giả sử x y z 0 &x z y 0 2x 0 x0 trái GT Trường hợp ba thừa số đương áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có
2
( )( ) (1)
2
x y z x z y xy z xz y x
tương tự
2
( )( ) (2)
2
z y x x z y z y x x z y z
2
( )( ) (3)
2
x y z y z x
x y z z y x y
Từ (1) (2) (3) BĐT (*) chứng minh Áp dụng BĐT (*) ta có
2
2 2
2 2 2
3 3
( )( )( ) 2
2 2
27
6
8
27
9 (**)
8
xyz x y z x z y y z x z x y
x y z xy yz xz xyz
x y z xyz x y z x y z
Mặt khác Bunhia cho x; y; z 1;1;1; ta có
2 2 ( ) 3(***)
3
x y z t x y z
Từ (*) , (**) , (***)ta có
2 2 2 2
2
2 7 25 25 25
3 3 64 12 64 64 64
t t t t t t t t
S t t
25 3 1
( )
64 4 2
(2)Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x, y, z số không âm thoả mãn
3
x y z
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 3y3z3x y z 2
ĐÁP ÁN
Ta có 2x 2y 1 2y 2z 1 2z 2x 1
Do số 2x 2y 1 , 2y 2z 1 , 2z 2x 1 có số
không âm
Không tính tổng quát, giả sử 2y 2z 1 0
1
yz 2y 2z 1 x
4
- Nếu x 1 S 1 (do y, z 0 )
- Nếu x 1
2
2
y z x
4
,
2
2 2
x y z x x
Dễ thấy y3z3 yz y z nên
3 3
y z x
2 x
Do
3 3 3
x y z x x
2 x
Khi
3 2
1
S 4x 2x 5x x 2x x
4
3
1 17 23 25
2x 2x 5x x
16 4
2
1 25 25
2x 2x 14 , x
64 64 64
Dấu “=” xảy
1 x
2
Vậy giá trị nhỏ S
25
64
1
x y z
2