Đang tải... (xem toàn văn)
Có thể lí giải hai biểu thức của x và y nói trên bằng cách coi trạng thái ban đầu biểu diễn bởi (25) và (26) như chồng chập của hai trạng thái ban đầu. Ý tưởng đó được trình bày bằng h[r]
(1)DAO ĐỘNG LIÊN KẾT I DAO ĐỘNG LIÊN KẾT BỞI LÒ XO (TỤ ĐIỆN)
1 Dao động
Xét hai lắc dây coi lắc đơn, lắc đơn có độ dài vật nhỏ khối lượng m (Hình 1) Hai vật nối với lò xo nằm ngang có độ cứng k, có khối lượng khơng đáng kể Ở vị trí cân bằng, hai dây treo thẳng đứng, lị xo có độ dài tự nhiên (khơng bị dãn bị co) Kí hiệu x li độ vật lắc bên phải, y li độ vật lắc bên trái
Phương trình động lực học lắc bên phải là:
g
mx m xk xy ,
với x đạo hàm hạng hai x theo thời gian Phương trình động lực học lắc bên trái là:
g
my m yk xy
Nếu đặt:
2
g ,
ta có phương trình
2
k
x x x y ,
m
(1)
2
k
y y y x
m
(2)
Đây hệ hai phương trình vi phân, phương trình hệ chứa hai hàm x y thời gian Muốn giải hệ phương trình này, cần phải chuyển thành hệ tương đương gồm hai phương trình mà phương trình chứa biến số hàm thời gian Với hệ tương đương giải riêng biệt phương trình phương pháp toán học quen thuộc
Để làm điều đó, ta cộng vế (1) (2) được:
2
0
xy xy 0.
Nếu chọn hàm x + y tọa độ (biến số) hai lắc liên kết
X = x + y, (3)
thì phương trình cịn chứa hàm số (biến số) X, có dạng quen thuộc:
0
X X0. (4)
Phương trình (4) có nghiệm tổng qt dạng:
1
XA cos t , (5)
trong
1
g .
(6)
Bây trừ vế (1) cho (2) đặt
Y = x - y, (7)
thì ta có phương trình chứa hàm Y:
0
2k
Y Y 0.
m
(8) x y
m k m
(2)Đặt
2 2
2k , m hay là:
2
2
2k g 2k
,
m m
(9)
thì nghiệm Y phương trình (8) có dạng tổng quát:
2
YBcos t . (10)
Nhìn tổng thể trình vừa thực hiện, ta đưa vào hai hàm tọa độ X = x + y Y = x - y Hai hàm này, hàm thỏa mãn phương trình (4) cho X (8) cho Y Hai phương trình tương đương với hệ hai phương trình (1) (2) Có thể tìm nghiệm x y thỏa mãn hệ hai phương trình (1) (2) theo nghiệm X Y (5) (8):
1 2
1 A B
x X Y cos t cos t ,
2 2 2
(11)
1 2
1 A B
y X Y cos t cos t .
2 2 2
(12)
Như vậy, dao động lắc (trong số hai lắc liên kết) cộng trừ chồng chập hai dao động điều hòa với tần số góc 1 g
,
g 2k
. m
2 Dao động điện: Mạch LC liên kết
Xét hai mạch LC giống hệt Để hai mạch riêng rẽ, tần số góc riêng dao động điện từ mạch 0 1
LC
Ghép hai mạch sơ đồ hình thành mạch liên kết qua tụ điện điện dung C1
Mối liên hệ cường độ dòng điện điện tích tụ điện:
1
a b
dq
dq dq
i ; i ; i
dt dt dt
Mối liên hệ cường độ dòng điện: i0 + ia = ib
Áp dụng định luật Ôm cho đoạn mạch chứa L: a
F B
di
V V L ,
dt
b B D
di
V V L .
dt
C C
1
C
L L
A C
D F
1
q
B
E
3
q
2
q
i
a
i ib
Hình
L L
(3)Mối liên hệ điện tích tụ điện hiệu điện hai bản:
1
F E B E D E
1
q
q q
V V ; V V ; V V .
C C C
Bây ta chọn biến số q1 + q2 q1 - q2 thiết lập phương trình vi phân
cho biến số việc tính:
2 a b
1 2
2
d i i d
q q q q ,
dt dt
(13) theo hiệu điện thế:
a b
F D
d i i 1
L V V q q
dt C
(14) Ta có:
2 2
1
q q q q 0.
LC
Như vậy, đặt Y = q1 - q2 phương trình vi phân để xác định Y là:
2
Y Y0, (15)
với
1
1
. LC
(16)
Cũng tương tự ta tính:
2 a b
1 2
2
d i i d
q q q q ,
dt dt
(17) theo hiệu điện
a b
B D F
B E D E F E
3
1
d i i
L 2V V V
dt
2 V V V V V V
2q 1
q q
C C
(18)
Chú ý rằng, ban đầu ba tụ điện khơng tích điện q1 + q2 + q3 =
vế cuối phương trình (18) trở thành:
2
1
1 2
q q
C C
Cuối cùng, ta có phương trình vi phân cho X = q1 + q2:
1 2
1
C 2C
q q q q 0,
LCC
hay
2
X X0, (19)
với
2
1
1 2
.
LC LC
(20)
Bây trở biểu thức điện tích q1 q2 tụ điện:
1 1 2
1 A B
q X Y cos t cos t ,
2 2 2
(4)
2 1 2
1 A B
q X Y cos t cos t .
2 2 2
(22)
Nếu viết biểu thức cường độ dòng điện đoạn mạch được:
1
a 1 2
dq A B
i sin t sin t ,
dt 2 2
2
b 1 2
dq A B
i sin t sin t ,
dt 2 2
0 b a 1
i i i A sin t . II MÔ TẢ DAO ĐỘNG
1 Kiểu chuẩn tần số góc chuẩn a Dao động
Dựa vào hai công thức (11) (12) mơ tả dao động lắc liên kết Trước hết ta xét hai trường hợp đặc biệt:
Trường hợp
Nếu Y0 x = y thời điểm:
1
X A
x y cos t .
2 2
(23)
Hai lắc liên kết dao động tần số
g ,
pha có li độ ln ln x = y Lị xo ln ln có độ dài tự nhiên khơng có tác dụng đến chuyển động lắc (Hình 3) Mỗi lắc dao động tự (1 trùng với tần số góc riêng
0
lắc độc lập) Trường hợp
Nếu X0 x = - y thời điểm:
2
Y B
x y cos t .
2 2
Hai lắc liên kết dao động tần số
g 2k
, m
có li độ ln ln độ lớn trái dấu x = - y (hai lắc có vị trí đối xứng), xem hình Lị xo co dãn có tác dụng liên kết hai lắc
Chuyển động hai lắc trường hợp đặc biệt nói gọi kiểu chuẩn dao động liên kết Các tần số góc 1 2 kiểu chuẩn gọi tần số góc chuẩn
b Dao động điện
Dựa kết thiết lập giải phương trình mạch LC liên kết đoạn trên, mơ tả hai kiểu dao động chuẩn sau:
Kiểu chuẩn với tần số góc 1 0 1 . LC
Y = q1 - q2 biến đổi điều hịa theo thời gian với tần số góc 0 Xq1q2 0 tức
ln ln có q1 = -q2 :
x Hình y
x Hình
(5)ia = ib,
i0 = ia - ib =
Phần tử liên kết đoạn mạch BE chứa tụ điện C1 khơng có tác dụng ABCDEF có
tác dụng mạch dao động hợp nhất, chứa cuộn dây có độ tự cảm 2L tụ điện nối tiếp có điện dung C
2 Dịng điện mạch có cường độ ia = ib biến đổi điều hòa theo thời gian với tần số góc
1
1 1
.
C LC
2L. 2
Đó tần số góc chuẩn ứng với kiểu dao động chuẩn Kiểu chuẩn với tần số góc 2
1
1 2
.
LC LC
X = q1 + q2 biến đổi điều hòa với tần số góc 2
Y = q1 - q2 0 tức ln ln có q1 = q2 ia = - ib,
i0 = ib - ia = 2ib = - 2ia
Dao động trở thành đối xứng (Hình 5) Dịng điện qua hai nhánh bên FAB DCB mạch có cường độ ngược chiều ia i b
Dịng điện qua nhánh có cường độ i0 lần cường độ ia ib Điện tích q1 q2 luôn
nhau Tần số góc dịng điện 2
1
1 2
.
LC LC
c Dao động
Trong trường hợp tổng quát dao động mạch chồng chập dao động theo hai kiểu chuẩn Biên độ theo kiểu chuẩn xác định theo điều kiện ban đầu
2 Trường hợp tổng quát Điều kiện ban đầu
Theo cơng thức (11) (12) trường hợp tổng quát, dao động lắc chồng chập hai kiểu dao động chuẩn với biên độ khác A
2 B 2 Nhưng biên độ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu
Có thể viết điều kiện ban đầu x y, viết X Y
a Ví dụ:
Hai lắc liên kết đặt vị trí ban đầu (Hình 6) với:
x(0) = 2a, y(0) = 0, (25)
rồi thả tự do, khơng có vận tốc ban đầu:
x 0 0, y 0 0. (26) Tìm x(t) y(t)
Ta viết điều kiện ban đầu X Y:
X(0) = x(0) + y(0) = 2a, X 0 x 0 y 0 0, Y(0) = x(0) - y(0) = 2a, Y 0 x 0 y 0 0, đối chiếu với biểu thức (5) (10) suy được:
C C
1
C
L L
A C
D F
1
q
B
E
2
q
i
a
i
b
i
Hình
2a Hình y
(6)1
X2a cost Y2a cos2t từ suy ra:
1
x X Y a cos t a cos t,
2
(27)
1
y X Y a cos t a cos t
2
(28) b Giải thích
Có thể lí giải hai biểu thức x y nói cách coi trạng thái ban đầu biểu diễn (25) (26) chồng chập hai trạng thái ban đầu Ý tưởng trình bày hình vẽ
Điều kiện ban đầu trạng thái (I) (II) viết sau:
x 0 a, y 0 a, x 0 a, y 0 a,
I II
x 0 0, y 0 0, x 0 0, y 0 0.
Cộng phương trình cặp lại (25) (26) Chú ý (I) trạng thái ban đầu kiểu dao động chuẩn với tần số góc 1 g,
li độ hai lắc luôn x = y
(II) ứng với kiểu chuẩn với tần số góc 2 g 2k, m
li độ hai lắc ln nghịch đối x = - y
c Cách giải nhanh
Bằng cách phân tích điều kiện ban đầu trên, ta thấy nhanh lời giải số tốn
Ví dụ: Với điều kiện ban đầu
x 0 2a, y 0 a,
x 0 0, y 0 0.
Có thể dùng sơ đồ hình để phân tích điều kiện ban đầu
Ta thấy dao động liên kết chồng chập hai kiểu chuẩn với biên độ 2a (cho kiểu 1) a (cho kiểu 2):
1
3a cos t a cos t
x ,
2
Hình 2a
=
a a a
+
- a
1
(7)1
3a cos t a cos t
y .
2
Kết kiểm tra lại cách viết điều kiện ban đầu cho X Y đối chiếu với (5) (10) để tìm X, Y sau tính x, y
III PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÌM CÁC TẦN SỐ GĨC CHUẨN Phương pháp toạ độ chuẩn
a Sự biến đổi lượng hệ dao động liên kết
Biến đổi cách đơn giản công thức (27) (28) ta thu
2 1
x 2acos t cos t ,
2 2
(27’)
2 1
y 2a sin t sin t
2 2
(28’) Chúng ta vẽ đồ thị thay đổi hàm công thức (27’) (28’) theo thời gian sau
Từ hình cho thấy li độ x lắc bên phải ban đầu có độ lệch 2a sau biến đổi theo thời gian với tần số góc trung bình cộng hai tần số góc chuẩn biên độ lại thay đổi theo thời gian với tần số góc nửa độ chênh lệch hai tần số góc chuẩn Mặt khác, li độ y lắc bên trái có độ lệch ban đầu sau biến đổi theo thời gian với tần số góc trung bình cộng hai tần số
Hình 2a
=
a a
+
- a
1
2 3a
3a
(I) (II)
Hình
Độ
dờ
i x
Đ
ộ d
(8)góc chuẩn biên độ biến đổi theo thời gian với tần số góc nửa độ chênh lệch hai tần số góc chuẩn Sau khoảng thời gian ngắn li độ y đạt giá trị cực đại 2a, đồng thời li độ x điều chứng tỏ lượng lắc bên phải truyền hồn tồn sang lắc bên trái lắc bên trái trạng thái dừng với biên độ 2a, sau lượng lại truyền ngược trở lại lắc ban đầu Quá trình lặp lại tạo thành dao động liên kết hệ Điều kiện để lượng trao đổi hoàn toàn hai lắc khối lượng hai vật nặng phải đồng tỉ số 1 2 / 2 1 số ngun, trường hợp khác khơng chuyển hồn tồn
Vậy câu hỏi đặt là: lượng lắc riêng biệt chuyển hố lẫn nhau, liệu có tồn hệ toạ độ mà ta tách hệ tưởng tượng thành dao động điều hồ độc lập, nghĩa khơng có trao đổi lượng dao động
Để trả lời câu hỏi trên, ta quay trở lại biểu thức toạ độ X Y:
X2a cost Y2a cos2t,
từ biểu thức xủa X Y ta thấy toạ độ Y biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc lớn nên sau số dao động tồn phần dao động thu nửa li độ dao động X, điều hình 10 Tổng hợp dao động X Y dẫn đến lắc bên phải có li độ y 2a lắc bên phải có li độ x trình lặp lại Như lắc trao đổi lượng với dao động điều hồ X Y hồn tồn khơng trao đổi lượng với nên người ta gọi toạ độ toạ độ chuẩn
Để tăng cường vai trò quan trọng toạ độ chuẩn, thay đổi phép biến đổi toạ độ chuẩn cách đặt
q
m
X x y
2
, Yq mx y 2
Khi sau số phép biến đổi đơn giản ta thu lượng hệ lắc liên kết có dạng
2 2 2
2 2 2
q q q q
1 mg 1
E m x y x y k x y
2 2 2
1 1 1 1
X X Y Y .
2 2 2 2
l
Như hệ toạ độ chuẩn lượng hệ tổng lượng kiểu dao động chuẩn dao động liên kết Trong biểu thức lượng hệ khơng có chứa số hạng tích toạ độ chuẩn XqYq X Yq q nên lượng dao
động chuẩn không trao đổi với b Tọa độ chuẩn
(9)+ Tọa độ chuẩn tọa độ phương trình động lực học có dạng tập hợp phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số, phương trình chứa biến số độc lập
+ Dao động liên quan đến biến số độc lập X (hoặc Y) gọi kiểu chuẩn của dao động có tần số góc chuẩn Trong kiểu chuẩn vậy, thành phần hệ dao động với tần số góc chuẩn
+ Năng lượng tồn phần hệ thống khơng tắt dần diễn tả tổng bình phương tọa độ chuẩn nhân với hệ số khơng đổi cộng với tổng bình phương đạo hàm theo thời gian tọa độ chuẩn nhân với số không đổi:
2 2
i i i i
i i
W=A X B X ,
trong Xi tọa độ chuẩn thứ i, dấu kí hiệu lấy tổng theo tất tọa độ chuẩn
Như vậy, lượng hệ hai dao động tử liên kết kiểu X kiểu Y dao động biểu diễn theo bình phương tọa độ X2 Y2 bình phương vận tốc X2 Y2:
2
X
W aX bX ,
2
y
W cY dY , a, b, c d số
+ Các kiểu dao động chuẩn hoàn toàn độc lập với
Các kiểu dao động không trao đổi lượng với nhau, có kiểu dao động thực kiểu nghỉ ln nghỉ
+ Mỗi đường độc lập mà hệ nhận lượng gọi bậc tự Mỗi dao động tử điều hịa có hai bậc tự do: nhận thêm lượng qua động qua Hai lắc liên kết có bốn bậc tự
c) Phép biến đổi toạ độ chuẩn
Trong gần điều hoà, ta biểu diễn lượng hệ dao động liên kết toạ độ chuẩn để lượng hệ khoả sát lượng dao động điều hoà độc lâp
Phép biến đổi từ toạ độ hệ toạ độ chuẩn phải thoả mãn điều kiện sau:
+ Phép biến đổi phải tuyến tính phương trình dao động hệ liên kết gần điều hoà tuyến tính
+ Phép biến đổi hệ phải vị trí cân toạ độ hay toạ độ chuẩn khơng
Vậy phép biến đổi có dạng
S
i ij j
j
x X
,
trong S số toạ độ độc lập để xác định vị trí hệ, αij số phụ thuộc vào
các thông số đặc trưng cho hệ Ta chọn hệ số αij thoả mãn điều kiện cho biểu thức
năng lượng hệ không chứa số hạng chứa tích từ hai toạ độ trở lên XiXj tích
đạo hàm toạ độ d) Ví dụ
Trong mục áp dụng phương pháp biến đổi toạ độ chuẩn để tìm tần số dao động chuẩn Xét hệ lắc dao động liên kết mục I.1, lượng hệ tính theo công thức
2 2 2
1 mg 1
E m x y x y k x y
2 2 2
l
(10)11 12 21 22
x X X ; y X X
Có thể đơn giản hố chút tốn đặt đưa việc xác định hệ số không đổi Thực vậy, kí hiệu 21X1X, 22X2 Y Khi biểu thức động không chứa số hạng với tích toạ độ chuẩn X1X2 với tích đạo hàm theo thời gian toạ độ
1
X X chuyển sang toạ độ chuẩn X Y không chứa dạng Vậy khơng làm tính chất tổng qt lập luận, tìm phép biến đổi sang dạng toạ độ chuẩn theo công thức
1
x X Y; yXY
Đây phép biến đổi chung cho hệ có hai toạ độ Thay phép biến đổi vào động hệ ta có
T 1m 12 1 X 22 1 Y 2 1 2 1 X Y
2
,
từ biểu thức động hệ ta suy điều kiện
1 1 0
Thay phép biến đổi vào hệ ta có
2 2
1 2
2 2
1 2
mg
U 1 X 1 Y 2 1 XY
2 1
k 1 X 1 Y 2 1 1 XY
2
l
từ biểu thức hệ ta suy điều kiện mg
1 k 1 1 0
l
Kết hợp điều kiện ta có hệ phương trình xác định số α1 α2
sau
1
1
1, 0.
Giải hệ phương trình ta thu nghiệm
1 1
1 1
Vậy ta có hai phép biến đổi sang toạ độ chuẩn sau
+ Cách 1: xXY; yXY, hệ toạ độ chuẩn ta có biểu thức hệ
2 2
2 2 2
1
mg mg
E m X Y X 2k Y
m X X m Y Y
l l
+ Cách 2: xYX; yXY, hệ toạ độ chuẩn ta có biểu thức hệ
2 2
2 2 2
1
mg mg
E m X Y Y 2k X
m Y Y m X X
(11)Với hai hệ toạ độ chuẩn ta thu hai tần số góc ứng với hai kiểu dao động chuẩn dao động liên kết: 1 g
l
g 2k
m
l
Phương pháp tìm tần số kiểu dao động hệ liên kết đơn giản Chúng ta thấy rằng, hệ liên kết dao động theo kiểu chuẩn đơn độc thành phần hệ dao động với tần số kiểu Dựa vào điều ta đề phương pháp tính giá trị tần số kiểu chuẩn biên độ tỉ đối dao động tử thành phần
Giả sử hệ hai lắc liên kết xét dao động theo kiểu chuẩn với tần , phương trình động lực học là:
x
mx mg k xy 0,
x
my mg k xy 0.
Chúng ta thừa nhận nghiệm hệ phương trình có dạng xAcos t,
yBcos t,
trong A B biên độ li độ x y với tần số Với nghiệm đó, phương trình động lực trở thành:
2 1
m A mg A k A B cos t 0,
2 1
m B mg B k A B cos t 0.
Các phương trình thoả mãn đại lượng dấu móc [ ] khơng, nghĩa xếp lại số hạng theo A B ta có hệ hai phương trình bậc nhất, A B:
g
m m k A kB 0,
(29)
2 g
kA m m k B 0.
(30)
Giải hệ phương trình (29) (30) ta tìm A B, viết đầy đủ biểu thức x y, tức tìm dao động theo kiểu chuẩn với tần số góc
Tuy nhiên, cần lưu ý hệ phương trình (29) (30) có nghiệm A = B = (gọi nghiệm tầm thường) Nghiệm ứng với trạng thái không chuyển động x = 0, y = Chỉ hệ phương trình có nghiệm A0, B0 (khơng tầm thường) hệ liên kết dao động
Như vậy, điều kiện để hệ dao động liên kết dao động theo kiểu chuẩn với tần số góc hệ phương trình (29) (30) có nghiệm khơng tầm thường Tốn học chứng tỏ điều kiện định thức tạo hệ số A B không
2
2
g
m m k k
0. g
k m m k
(31)
(12)2 g g
m m 2k m m 0.
(32) Phương trình (32) nghiệm nhận hai giá trị sau
1
g ,
(33)
2
g 2k . m
(34)
Hai giá trị hai tần số góc chuẩn mà ta phải tìm Nhìn chung phương pháp áp dụng cho hệ dao động liên kết có dạng đơn giản, nghĩa ta dễ dàng thiết lập hệ phương trình động lực học mơ tả chuyển động hệ
3 Phương pháp tìm tần số kiểu dao động hệ liên kết phức tạp cách sử dụng phương trình Lagrange loại II
Trong trường hợp tổng quát phải áp dụng phương trình Lagrange loại II tọa độ suy rộng để tìm tần số dao động chuẩn kiểu dao động chuẩn hệ Xét hệ gồm s dao động liên kết, dạng tổng quát hệ, trạng thái hệ mô tả qua số hạng phụ thuộc vào s tọa độ suy rộng độc lập qk (k = 1, 2, 3,
., s) vận tốc suy rộng tương ứng Chúng ta chọn tọa độ suy rộng cho hệ trạng thái cân (bền) tất toạ độ (ở trạng thái cân vận tốc suy rộng gia tốc suy rộng hệ 0), trạng thái hệ thời điểm t mơ tả tương ứng với trạng thái cân hệ Người ta chứng minh rằng: hệ hôlônôm tiến triển theo thời gian hệ mơ tả phương trình Lagrange loại II tọa độ suy rộng có dạng
k k
d L L
0, k 1, 2, ,3, ,s
dt q q
, (35)
với L gọi hàm Lagrange hệ, hệ
k k
LTUL q ,q , t
Ta giả sử hệ trạng thái cân bền đưa khỏi trạng thái với độ lệch nhỏ Trong trường hợp cân hệ cân bền nên hàm cần có cực trị, tức cần có đẳng thức
1 k s
k k q q q q
U U
0, k 1, 2,3, ,s
q q
(36)
Ta tính tọa độ suy rộng hệ từ vị trí cân chọn vị trí cân tất tọa độ suy rộng Khai triển hàm hệ thành chuỗi Taylor lân cận vị trí cân hệ, thu kết
2
s s
1 s k j k
k k j,k j k
U 1 U
U q , q , , q U q q q ,
q 2 q q
(37)
Tổng (37) 0, theo (36) Ngồi ra, ta coi U0 0, mà
khơng làm tính chất tổng qt hàm xác định đến số tùy ý Có thể bỏ qua số hạng từ bậc ba trở lên độ lệch khỏi vị trí cân hệ nhỏ, ta thu biểu thức có dạng
2 s
1 s j k
j,k j k 0
1 U
U q , q , , q q q
2 q q
(38)
(13)2 jk
j k 0
U
C ,
q q
(39)
thì thu hệ
s
1 s jk j k
j,k
1
U q , q , , q C q q , 2
(40)
trong Cjk hệ số không đổi, thỏa mãn điều kiện
jk kj
C C , (41)
vì đạo hàm riêng khơng phụ thuộc vào thứ tự đạo hàm, ta nói Cjk đối xứng với
việc hoán vị hai số j k
Nếu ta xét liên kết hệ liên kết dừng số hạng động hệ phụ thuộc vào tọa độ suy rộng vận vận tốc suy rộng có dạng
jk j k j,k
1
T a q q ,
2
(42)
trong
i i
jk i
i j k
r r
a m ,
q q
với i =1, 2, , N, (43)
ở N số chất điểm hệ Từ biểu thức (43) ta thấy ajk phụ thuộc vào tọa độ
suy rộng thỏa mãn điều kiện ajk = akj, nghĩa đối xứng với việc hoán vị hai
số j k Phân tích hệ số thành chuỗi Taylor lân cận vị trí cân hệ ta
s s
jk jk
jk jk0 m m n
m m m,n m n
a 1 a
a a q q q ,
q 2 q q
(44)
vì tọa độ suy rộng khai triển nhỏ nên ta cần giữ lại số hạng đầu tiên, động hệ chứa số hạng bé hạng hai Vậy xét dao động nhỏ
hệ, cần coi hệ số ajk biểu thức động không đổi, nên biểu thức động
có dạng tường minh
jk j k
j,k
1
T m q q ,
2
trong
1 k s
i i i i
jk i i
i j k i j k
0 q q q q
r r r r
m m m
q q q q
(45) Hàm Lagrange hệ gần dao động bé có dạng
k k s jk j k jk j k
j,k
1
L q , q m q q C q q
2
(46)
Do thu kết
kj k k
j j j j
L T U U
C q ,
q q q q
(47)
kj k k
j j j j
L T U T
m q
q q q q
(48)
(14)kj k kj k kj k kj k
k k k
j j
L d L d
C q m q C q m q 0
q dt q dt
(49)
Trong phương trình (49) số k chạy từ đến s số bậc tự hệ, nên ta thu hệ s phương trình vi phân tuyến tính, cấp có hệ số khơng đổi Để tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình này, tìm nghiệm dạng tường minh mô tả dao động chuẩn mong muốn
i t
j j
q t a e . (50)
Với nghiệm dạng (50), hệ phương trình chuyển động (49) trở thành
kj kj k k
C m a 0.
(51)
Để hệ phương trình (51) có nghiệm khơng tầm thường định thức hệ số (ak)
ở vế trái hệ phải triệt tiêu, nghĩa
2 2
11 11 12 12 1s 1s
2 2
2 21 21 22 22 2s 2s
2 2
s1 s1 s2 s2 ss ss
C m C m . C m
C m C m C m
D 0.
. . . .
C m C m . C m
(52)
Khai triển D 2 0, ta nhận phương trình bậc s 2 Đó phương trình
đặc trưng cho tần số Trong trường hợp tổng qt, phương trình (52) có s nghiệm
2
khác 12, 22, ,2s Dễ dàng nhận thấy 2 thực dương, 2
là số phức mâu thuẫn với định luật bảo toàn (hay bảo toàn lượng)
hệ Thật vậy, số phức ta đặt 1 i 2, 1 2 số
thực Thay 1 i 2 vào biểu thức qj qj (j = 1, 2, , s) ta nhận thấy qj
j
q tỉ lệ với nhân tử e 2t Như (hay lượng) hệ thay đổi theo
thời gian, điều mâu thuẫn với định luật bảo toàn (hay lượng) Vậy 2
phải thực dương
4 Ví dụ vận dụng phương pháp chung
Trong toán hai lắc đơn liên kết đầu chuyên đề này, thấy trực quan cách đưa vào hai biến số X Y để tìm kiểu chuẩn dao động Trong số toán khác làm mà phải theo trình tự phương pháp chung tìm tần số góc chuẩn Sau ví dụ cụ thể
a.Con lắc lò xo kép thẳng đứng
Con lắc lò xo kép gồm hai lị xo có độ cứng k hai vật nặng có khối lượng m, nối với sơ đồ vẽ hình 11
Tìm kiểu dao động chuẩn, tính kiểu: tần số góc dao động tỉ số biên độ dao động hai vật nặng
Bài giải:
Kí hiệu x1 x2 li độ vật nặng
lắc kép
Phương trình chuyển động vật nặng là:
1
mx kx k x x , (53)
2
mx k x x (54) Khi thực kiểu dao động chuẩn hai vật nặng dao động với tần số góc Đặt
2
x k
Hình 11 k
m m
1
(15)1
x A cos t,
2
x A cos t,
rồi thay vào phương trình (53) (54) chia hai vế cho cos t đưa số hạng vế đầu, ta có:
2km2A1kA2 0, (55)
2
1
kA k m A 0.
(56)
Điều kiện để hệ phương trình (55) (56) có nghiệm khác không là:
2
2
2k m k
0,
k k m
hay
2
4
2
3k k
0.
m m
(57)
Phương trình (57) có nghiệm là:
2 1 k
3 5 .
2 m
Như có hai giá trị thoả mãn phương trình (57) hai tần số góc chuẩn:
1
3 5 k
,
2 m
(58)
2
3 5 k
.
2 m
(59)
Từ (55) (56) rút tỉ số hai hệ số A1 A2 hàm cos
kiểu chuẩn
Kiểu dao động chuẩn thứ nhất: Tần số góc: 1 3 5 k
2 m
Tỉ số hệ số:
A 1 5
1, 618.
A 2
Hai vật nặng có li độ ln trái dấu, vật lên vật xuống Tỉ số biên độ 1,618, dao động hai vật ngược pha
Kiểu dao động chuẩn thứ hai: Tần số góc: 2 3 5 k
2 m
Tỉ số hệ số:
A 5 1
0, 618.
A 2
Hai vật nặng có li độ ln ln dấu, hai vật luôn chuyển động chiều, tỉ số biên độ 0,618
Nếu muốn kích thích lắc kép dao động theo kiểu chuẩn thứ chẳng hạn, phải có điều kiện ban đầu thoả mãn hệ thức:
1
x 0 1 5
,
x 0 2
(16)b Mạch điện tương đương với lắc kép
Mạch điện có sơ đồ hình 12 tương đương với lắc kép mục trước, với tương ứng sau:
1 2
1
m L, k , x q , x q
C
Chọn chiều dương dòng điện mạch hình 10, ta có: i2 dq2 q2
dt , (60)
i1 dq1 q1
dt
(61)
Xét mạch điện kín JA1B1KJ A2B2KJ
q1 L(i1 i )2 0,
C
Li2 q2 L(i1 i )2 0 C
,
hay
1
q
q q 0,
LC
(62)
1
q
q 2q 0.
LC (63)
Hệ phương trình (62) (63) mơ tả biến thiên q1 q2 theo thời gian
Đặt q1A cos t,1 q2 A cos t,2 A1 A2 số, thay vào
hai phương trình (62), (63) chia hai vế cho cos t , ta có:
2 1 2
(LC 1)A LC A 0, (64)
2 1 2
LC A (2LC 1)A 0. (65)
Điều kiện để hệ phương trình (64) (65) có nghiệm khơng tầm thường định thức hệ số không Điều dẫn đến
L C2 2 4 3LC 2 1 0 (66) Giải phương trình ta thu hai nghiệm dương
2 1,2
1 3 5
2 LC LC , (67)
Tức có hai giá trị tần số góc
1 3 5, 2LC
và
2 3 5.
2LC Kiểu dao động chuẩn thứ Tần số góc: 1 3 5 1 .
2 LC
Tỉ số hệ số:
2
1
2
2
A LC 1 5
.
A 1 LC 2
B1
A1
B2
A2
q2
C C
L L
q1
2
i
i1
i1+i2
K J
(17)Kiểu dao động chuẩn thứ hai Tần số góc: 2 3 5 1 .
2 LC
Tỉ số hệ số:
2
1
2
2
A LC 5 1
.
A 1 LC 2
Ta thu kết toán lắc kép c Bài toán sử dụng phương trình Lagrange
Hai hình cầu nhỏ (được coi chất điểm đặt tâm quả) có khối lượng m treo giá đỡ cứng hình 13 Giả thiết hai hạt di chuyển mặt phẳng hình vẽ theo hai hướng lên xuống trái phải Ba lò xo giống có độ cứng k Trên hình 11 lị xo bị biến dạng, trạng thái khơng biến dạng chiều dài a/2 Các lị xo coi khơng khối lượng đàn hồi tuyệt đối Giả sử hình cầu dao động nhỏ quanh vị trí cân Tìm tần số góc chuẩn ứng với bốn dao động chuẩn trực giao hệ
Bài giải:
Do chuyển động bị ràng buộc mặt phẳng hình vẽ hình 14, chuyển động theo phương ngang giải thích chuyển động dọc theo lị xo
Gọi (x1, y1) (x2, y2) dịch chuyển
ngang dọc tâm hình cầu, đánh số từ trái sang, so với vị trí cân tương ứng chúng Chọn x1, x2, y1 y2 làm tọa
độ suy rộng hệ Do tọa độ hoàn
toàn độc lập nên hệ có số bậc tự s = Dùng hệ tọa độ hình 14, m1,
m2 tương ứng có tọa độ (a + x1, y1), (2a + x2, y2) Lấy trạng thái cân hình 11
trạng thái khơng, ta hệ
2
2 2
1
2
2
2
2
2 2
2 2
1 a 1 a
U k a x y k
2 2 2 2
1 a 1 a
k a x x y y k
2 2 2 2
1 a 1 a
k a x y k mg y y
2 2 2 2
(68)
Do số hạng hệ chưa tỉ lệ với bình phương tọa độ suy rộng nên ta khai triển Taylor hàm U lân cận vị trí cân
Hình 13
a a a
1
m
a 2a 3a x
0
2
m
(18)0 2
10 10
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2
1
1 0 1 0
U U U U
U U x x y y
x x y y
1 U 1 U 1 U 1 U
x x y y
2 x 2 x 2 y 2 y
U U
x x
x x x y
1 1
1
2 2
2 2
2 2
U
x y x y
x y
U U U
x y x y y y
x y x y y y
(69)
10 0 0 0
U U U U
U 0; 0; 0; mg; mg;
x x y y
2 2
2 2
1 2
U U U U
2k; 2k; k; k;
x x y y
(70)
2 2 2
1 1 2 2
U U U U U U k
k; 0; 0; 0; 0; .
x x x y x y x y x y y y 2
Thế biểu thức (70) vào (69), gần cấp theo tọa độ suy rộng ta thu biểu thức hệ có dạng:
2 2
1 2 2
1
U k 2x 2x y y 2x x y y mg y y
2
(71)
Chú ý: Ngoài cách khai triển hàm U theo cách trên, ta làm cách khác sau
Xét số hạng sau biểu thức hệ
2
2
1 1
2
2 2 2 2
1 1 1
1 a 1 a
U k a x y k
2 2 2 2
1 a 1
k a x 2ax y a a x 2ax y ka
2 4 8
Do biểu thức U1 có biểu thức liên quan tới bậc hai nên viết
như sau
1
2 2
2 2 1
1 1
2 2
2 1 1
2
2 2
1 1
x 2ax y
a a x 2ax y a 1
a
1 x 2ax y 1 1 1 4x
a 1
2 a 2! 2 2 a
1 1
a x 2ax y x
2 2
Chỉ giữ lại số hạng bậc hai đại lượng nhỏ x1 y1, biểu thức
trên trở thành
2
1 1
1 1
U k x 2ax y .
2 2
(19)Áp dụng cách làm gần tương tự cho số hạng lại biểu thức U ta thu kết biểu thức (71)
Động hệ tổng động hai hình cầu coi hai chất điểm đặt tâm hình Vậy động hệ
2 2
1 2
1
T m x y x y
2
(72)
Từ (71) (72) ta thu hàm Lagrange hệ
2 2
1 2
2 2
1 2 2
1
L T U m x y x y
2 1
k 2x 2x y y 2x x y y mg y y
2
(73)
Áp dụng phương trình Lagrange loại hai ta thu hệ phương trình mơ tả dao động hệ
1
2
1
2
mx 2kx kx 0,
mx 2kx kx 0,
1
my ky ky mg 0,
2 1
my ky ky mg 0.
2
(74)
Hệ phương trình (74) chia cách đơn giản thành hai nhóm độc lập,
nhóm theo x1, x2 nhóm theo y1, y2
Xét hai phương trình đầu hệ (74) ta có
1
2
mx 2kx kx 0,
mx 2kx kx 0.
(75)
Ta tìm nghiệm hệ (75) dạng xi A ei i t , với i = 1, Khi hệ phương
trình (75) có phương trình đặc trưng
2
2
2
2k m k
3k m k m 0,
k 2k m
(76)
từ phương trình (76) ta suy hai tần số góc chuẩn ứng với dao động dọc (theo trục lò xo)
1
k , m
2
3k . m
Xét hai phương trình sau hệ (74) ta có
1
2
1
my ky ky mg 0,
2 1
my ky ky mg 0.
2
(77)
Đối với nhóm hai phương trình hệ (77), ta đặt
1 2
2mg 2mg
Y y , Y y .
k k
(20)m m m m m m m
0 a 2a (j - 1)a ja (j + 1)a (n - 1)a na (n +1 )a =L
1 2 j -1 j j +1 n - n
Hình 15
1
2
1
mY kY kY 0,
2 1
mY kY kY 0.
2
(78)
Tương tự, ta tìm nghiệm hệ (78) dạng Yi B ei i t , với i = 1, Khi hệ
phương trình (78) có phương trình đặc trưng
2
2
k
k m
3 1
2 k m k m 0,
k 2 2
k m
2
(79)
từ phương trình (79) ta suy hai tần số góc chuẩn ứng với dao động thẳng đứng hay dao động ngang (theo phương vng góc với trục lị xo)
3
k , 2m
4
3k . 2m
IV ỨNG DỤNG CỦA DAO ĐỘNG LIÊN KẾT
1 Dao động liên kết sợi dây có khối lượng Phương trình sóng a Dao động liên kết sợi dây có khối lượng
Một sợi dây mảnh, đàn hồi có chiều dài (n + 1)a (n số nguyên dương) Sợi dây căng theo phương ngang, cố định hai đầu cho sức căng taị điểm dây thời điểm T không đổi Người ta gắn vào dây cầu nhỏ (coi chất điểm hay hạt) có khối lượng m, khoảng cách hai hạt a (đây xem mơ hình sợi dây có khối lượng a nhỏ) hình 15 Giả thiết cầu làm dịch chuyển đoạn nhỏ khỏi vị trí cân theo phương vng góc với sợi dây dây cân Bỏ qua tác dụng trọng lực lực cản môi trường
1 Lập phương trình vi phân mơ tả chuyển động cầu thứ j (0 < j < n + 1)
2 Hãy tìm tần số dao động chuẩn cầu biên độ dao động chuẩn theo thông số cho
(21)Giải
1 Hình 16 độ lệch khỏi vị trí cân theo phương vng góc với sợi dây cân cầu thứ j với hai cầu lân cận (thứ j - thứ j + 1) Khi phương trình chuyển động cầu thứ j viết xét thành phần lực căng hướng vị trí cân Quả cầu thứ j chịu tác dụng kéo
xuống hướng vị trí cân lực T sin1 lực căng tác dụng phía trái lực
T sin lực căng tác dụng phía bên phải, ta có j j 1
y y
sin ,
a
j j
y y
sin ,
a
do phương trình chuyển động cầu thứ j có dạng
2 j
1
2
d y
m T sin sin
dt
j j j j
y y y y
T , j 1, 2, 3, , n.
a a
Phương trình viết lại dạng đơn giản
2 j
j j j j
d y T
y y 2y y , j 1, 2, 3, , n.
dt ma (80) Nếu kiểu dao động chuẩn với tần số góc ω sợi dây, biến đổi theo thời gian li độ yj cầu thứ j dao động điều hoà quanh trục cân sợi
dây nên viết biểu thức độ dịch chuyển tương ứng với tần số góc chuẩn dạng
i t j j
y A e ,
trong Aj độ dịch chuyển cực đại hạt thứ j Tương tự ta có yj 1 A ej 1 i t
i t j j
y A e Thế giá trị y vào phương trình chuyển động (80) thu
2 i t i t
j j j j
T
A e A 2A A e
ma
hay dạng đơn giản
2
j j j
ma
A 2 A A 0
T
(81)
Phương trình (81) phương trình dao động liên kết sợi dây có khối lượng
m
m
m
m
j
y
j
y
j
y
j j
y y j j
y y
a a
1
2
(22)Bây tiến hành theo trình tự cầu thứ tiến dọc theo sợi dây, viết phương trình tương tự cho cầu thứ j với giá trị cụ thể j = 1, 2, 3, , n Cần ý hai đầu dây cố định nên
0
y A 0 yn 1 An 1 0 Theo cách ta thấy, j = phương trình (81) trở thành
2
1
ma
2 A A 0 A 0
T
Khi j = thu phương trình
2
1
ma
A 2 A A 0
T
, j = n phương trình (81) trở thành
2
n n n
ma
A 2 A 0 A 0
T
Như thu hệ gồm n phương trình giải hệ phương trình thu n giá trị khác ω2, giá trị ω tần số góc chuẩn kiểu chuẩn dao động liên kết sợi dây Vậy số kiểu dao động chuẩn số cầu gắn sợi dây
Cách thức chuẩn để giải hệ gồm n phương trình trình bày lí thuyết ma trận Tuy nhiên dễ dàng giải số trường hợp đơn giản gồm hai cầu gắn lên sợi dây từ cách thức giải trường hợp có n cầu gắn lên sợi dây mà khơng cần sử dụng cơng cụ tốn học phức tạp
Thật vậy, trước tiên xét trường hợp đơn giản có cầu gắn lên sợi dây dây có chiều dài 2a, cần phương trình trường hợp j = 1, đồng thời cần nhớ hai đầu dây cố định nên A0 = A2 = Do thu phương trình mô tả dao động sợi dây
2
ma
2 A 0
T
,
từ phương trình suy trường hợp có tần số chuẩn kiểu chuẩn dao động cầu gắn dây
2 2T
. ma
Dao động chuẩn cầu gắn lên sợi dây có chiều dài 2a với tần số góc
2
2T / ma
mô tả hình 17.a
Khi n = 2, chiều dài sợi dây 3a, cần phương trình với j = j = Đó phương trình
2
1
ma
2 A A 0
T
,
2
1
ma
A 2 A 0 A A 0
T
Rút A1 A2 từ phương trình vào phương trính thu
phương trình xác định tần số góc dao động chuẩn sợi dây
2 2
ma ma ma
2 1 0 2 1 2 1 0
T T T
(23)Như vậy, trường hợp có hai tần số góc chuẩn tương ứng với hai kiểu chuẩn dao động liên kết sợi dây có khối lượng
2
T ma
22 3T ma
Hình 17.b kiểu chuẩn thứ dao động liên kết hai cầu gắn sợi dây có chiều dài 3a dao động liên kết đồng pha với tần số góc chuẩn
2
1 T / ma
kiểu chuẩn thứ hai dao động liên kết sơi dây ngược pha với tần số góc lớn 22 3T / ma Số kiểu chuẩn dao động liên kết sợi dây với số cầu gắn sợi dây
Để tìm nghiệm tổng quát giá trị n viết lại phương trình sau
j j j
ma
A 2 A A 0
T
dưới dạng
2 j j
2
j
A A 2
A
,
T ma
(82) Từ phương trình (81) ta thấy giá trị thơng thường tần số góc dao động chuẩn vế phải phương trình số, số độc lập với j, phương trình giữ tất giá trị j Do phải đưa giá trị Aj thoả mãn phương trình (81) đồng thời thoả mãn điều
kiện biên A0 = An + = hai đầu dây
Để thoả mãn điều kiện phân tích chọn biểu thức biên độ dao động cầu thứ j tần số góc chuẩn ωk ứng với kiểu chuẩn
dao động liên kết sợi dây có dạng
j
A Csin j ,
với C số θ góc số tần số góc dao động chuẩn ω Khi vế trái phương trình (82) trở thành
j j j
C sin j 1 sin j 1
A A
2cos
A Csin j
,
(24)vế phải phương trình số số độc lập với j Giá trị θj (hằng số ωj) dễ dàng tìm từ điều kiện biên
A0 = An + = 0,
Đối với trường hợp j = hiển nhiên biên độ tính theo cơng thức Aj Csin j thoả mãn, cịn đối j = n + từ điều kiện biên suy phương trình
n
A C sin n 1 0, ta thu kết sau
n 1 k k , k = 1, 2, 3, , n Do
k
k n 1
,
Aj Csin j k Csin jk
n 1
,
biểu thức biên độ cầu thứ j tần số góc chuẩn ωk kiểu chuẩn
dao động liên kết sợi dây
Để tìm giá trị cho phép ωk ta viết lại biểu thức
2 j j k
k
j
A A 2 k
2cos 2cos
A n+1
,
từ biểu thức ta suy
2
k
k
2 1 cos
n+1
, (83)
ở k nhận giá trị k =1, 2, 3, , n 02 T / ma
Như tần số góc chuẩn lớn kiểu chuẩn dao động liên kết sợi dây có khối lượng ωk = 2ω0 Điều gọi tần số giới hạn hay ngưỡng tần
số hay gọi tượng cắt tần số Nó giống đặc trưng giới hạn tần số tất hệ dao động liên kết mà hệ tạo từ phần tử tương tự (khối lượng nhau) lặp lại cách tuần hồn hệ có cấu trúc
Tóm lại tìm kiểu chuẩn dao động liên kết hệ gồm n cầu giống gắn sợi dây (hay sợi dây có khối lượng a bé) với tần số góc chuẩn tương ứng
2
k
k
2 1 cos
n+1
, k = 1, 2, 3, , n
Ứng với tần số góc chuẩn ωk kiểu chuẩn dao động liên kết hệ n
hạt gắn sợi dây, hạt thứ j có biên độ dao động j
jk A C sin
n 1
, C số
b Phương trình sóng
Trong mục cách để chuyển phương trình dao động liên kết cấu trúc tuần hồn sợi dây có khối lượng thành phương trình sóng mơi trường liên tục
Thật vậy, tìm phương trình chuyển động cầu thứ j có dạng
2 j
j j j
d y T
y 2y y
(25)Chúng ta biết tồn kiểu chuẩn dao động liên kết mà tất cầu gắn dây dao động với tần số góc chuẩn tất li độ yj
cầu phụ thuộc vào thời gian với dạng Tuy nhiên, trường hợp đơn giản dây gắn hai cầu tồn kiểu chuẩn dao động liên kết mà cầu dao động ngược pha, điều chứng tỏ độ dịch chuyển ngang yj cầu j phải phụ thuộc
vào vị trí cầu Hay nói cách khác, yj hàm hai biến độc lập, thời
gian vị trí cầu thứ j dây
Nếu sử dụng phương pháp chia cắt sợi dây theo cách a x, với x 0, cầu gần xem số hạng phụ thuộc vào vị trí dọc theo sợi dây hàm biến liên tục x nên độ dịch chuyển ngang hạt gắn dây hàm x t: y(x, t)
Bây xét dịch chuyển ngang yj vị trí x = xj dọc theo sợi dây, vế
trái phương trình (84) trở thành
2
j
2
y y
t t
,
với y tính x = xj Trong trường hợp x 0 viết xj = x,
j
x x x xj 1 x x, với y tj y x, t , yj 1 t y x x, t,
j
y t y x x, t
Sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biểu thức y x x, t theo số hạng đạo hàm riêng y tương ứng với biến x, ta có
2
2
y x, t 1 y x, t
y x x, t y x, t x x
x 2 x
,
sau biểu thức vào phương trình (84), thu phương trình có dạng
2
2
y x y
T
t m x
Đặt m x, ρ mật độ tuyến tính (khối lượng cho đơn vị dài dây) dây, khối lượng bắt buộc phải dần tới x 0 để tránh mật độ khối lượng vô hạn Như ta thu phương trình sau
2
2
y T y
t x
(85)
Phương trình (85) gọi phương trình sóng Sóng ngang cấu trúc tuần hồn
Trong mục thảo luận kiểu chuẩn dao động ngang liên kết hệ n cầu gắn cho hai cầu cách khoảng a dọc theo sợi dây có chiều dài (n + 1)a Sợi dây căng ngang với hai đầu cố định lực căng xuất dây có độ lớn T điểm Phương trình chuyển động hạt thứ j tìm có dạng
j j j j
T
y y 2y y
ma
,
và trường hợp có n hạt gắn lên dây tần số chuẩn kiểu chuẩn dao động liên kết có dạng
2
k
k
2 1 cos
n+1
(26)2
2
y T y
t x
,
m / x
phương trình sóng mật độ tuyến tính
i t kx
ye
Bây xét truyền sóng ngang dọc theo dãy nguyên tử thẳng hàng, khối lượng m, mạng tinh thể, lực căng thay lực đàn hồi nguyên tử (như T/a hệ số đàn hồi), a khoảng cách nguyên tử cỡ khoảng A0 10-10 m Đồng thời tượng hai đầu dây kẹp cố định thay hai đầu tinh thể biểu diễn độ dịch chuyển hạt thứ j sóng ngang truyền dây gây dạng
i t kx i t kja
j j j
y A e A e , x = ja Phương trình chuyển động trở thành
2 4T ka
m sin
a 2
từ biểu thức dễ dàng suy tần số sóng ngang phép truyền qua sợi dây
2 4T ka
sin
ma 2
(87)
Biểu thức ω2 công thức (87) hoàn toàn tương đương với biểu thức tần số góc chuẩn tương ứng với kiểu chuẩn dao động liên kết n cầu gắn sợi dây
2
j
2T j 4T j
1 cos sin
ma n+1 ma 2 n+1
(88)
ka j
2 2 n 1
, j = 1, 2, 3, , n
Nhưng (n + 1)a = l chiều dài sợi dây dãy tinh thể, thấy bước sóng phép p / 2 l= n +1 a
Do
ka 2 a a ja j a
.
2 2 2 n a p
Khi j = p, đơn vị thay đổi j tương ứng từ số giá trị cho phép nửa số lần bước sóng đến giá trị nhỏ bước sóng λ = 2a, dẫn đến giá trị lớn tần số góc 2m 4T / ma Như hai hệ thức xem xét tương đượng
Khi λ = 2a, sin(ka/2) = ka = π, nguyên tử cạnh có độ lệch pha xác π
j ika i j
y
e e 1
y
(27)Nếu phương trình (87) vẽ sin ka / 2 theo k (Hình 16) tìm thấy ka tăng đến tận giá trị π, hệ thức pha giống giá trị âm ka đạt đến giá trị - π Đây sở đầy đủ để ta hạn chế giá trị k miền
k
a a
,
điều dẫn đến chúng giống vùng (miền) Brillouin thứ
Đối với sóng dài giá trị số sóng k nhỏ sin(ka/2) ka/2 nên 2
2 4T k a
ma 4
,
và vận tốc sóng hay cịn gọi tốc độ sóng đưa biểu thức có dạng
2
Ta T
c
k m
, giống trước, biểu thức ρ = m/a
Trong trường hợp chung vận tốc pha sóng xác định công thức sin ka / 2
v c
k ka / 2
,
cùng với hệ thức tán sắc hình (17) ta thấy có miền bước sóng hẹp mà cấu trúc khơng gian tinh thể ảnh hưởng lên q trình truyền sóng, giới hạn lớn số sóng km / a10 m10 1
3 Sóng ngang mạng chiều gồm hai loại nguyên tử tinh thể Iôn Trong mục tiếp tục trình bày ứng dụng dao động liên kết sợi dây có khối lượng để nghiên cứu mạng tinh thể chiều gồm hai loại nguyên tử tinh thể iôn Chúng ta giả thiết nguyên tử cầu có khối lượng gắn dây với khoảng cách hai cầu a giống trước Các nguyên tử có
Hình 16
(28)khối lượng M chiếm vị trí lẻ: 2j + ngun tử có khối lượng m chiếm vị trí chẵn: 2j Khi phương trình chuyển động cho loại có dạng
2 j j j j
T
my y y 2y
a
,
và
2 j j 2 j j
T
My y y 2y
a
Chúng ta tìm nghiệm hệ dạng
i t jka j m
y A e ,
i t j ka j M
y A e ,
trong Am AM biên độ loại nguyên tử có khối lượng tương ứng
Thế nghiệm vào phương trình chuyển động ta thu kết
2 ika ika
m M m
T 2T
mA A e e A
a a
,
và
2 ika ika
M m M
T 2T
mA A e e A
a a
Điều kiện để hệ hai phương trình có nghiệm khơng tầm thường
1/ 2
2 T 1 1 T 1 1 4
sin ka
a m M a m M mM
(89) Đồ thị hệ thức tán sắc ω theo k trường hợp dấu cộng m > M đường cong nhánh hình 18 với
2 2T 1 1
a m M
k = 0,
2 2T
aM
km 2a
(giá trị nhỏ λ = 4a)
Trường hợp dấu trừ phương trình 89 tương ứng với nhánh đồ thị hình 18 với
Nhánh quang
Nhánh âm
(29)2 2Ta
k
m M
số sóng k nhỏ,
2 2T
am
k 2a
Chuyển động hai loại nguyên tử nhánh hình 19
4 Sự hấp thụ xạ hồng ngoại tinh thể Iôn
Bức xạ hồng ngoại có tần số 3.10 Hz12 nên bước sóng 100 μm số sóng
4
k 2 / 6.10 m Chúng ta biết tần số lớn dao động mạng tinh thể
một chiều dẫn đến số sóng lớn tương ứng km 10 m10 1, giá trị số sóng
k tia hồng ngoại bé so với km nên coi khơng Khi iơn có
điện tích trái dấu độ lớn e di chuyển ảnh hưởng véctơ cường độ điện
trường EE e0 i t xạ điện từ, phương trình chuyển động hai loại tinh
thể iơn có dạng (k = 0)
2mAm 2TAM Am eE0
a
,
và
2
M M m
2T
MA A A eE
a
Giải hệ phương trình ta thu nghiệm
0
M 2
0
eE A
M
,
0
m 2
0
eE A
m
,
2
2T 1 1
a m M
là tần số giới hạn nhánh quang học k nhỏ (k = 0)
Từ biểu thức biên độ cho ta thấy ω = ω0 xạ hồng ngoại bị hấp thụ
mạnh tinh thể iôn biên độ AM Am tăng lên Thực nghiệm
muối ăn (NaCl) hấp thụ mạnh xạ bước sóng λ = 62 μm, KCl hấp thụ mạnh xạ bước sóng λ = 71 μm
Kiểu dao động quang
Kiểu dao động âm
(30)BÀI TẬP
Bài Hai nặng M N, coi hai chất điểm, có khối lượng tương ứng m1 m2 Chúng nối với lị xo có độ cứng k2, nối với hai điểm cố
định P, Q hai lị xo có độ cứng k1 hình 20 Các nặng
trượt không ma sát trục nằm ngang Ta gọi x y độ dời khỏi vị trí cân nặng M N
1 Giả sử nặng lệch khỏi vị trí cân chúng:
a Hãy viết phương trình động lực học mô tả chuyển động nặng b Xác định tần số đặc trưng hệ
c Tìm biểu thức x(t) y(t) cho độ dời nặng theo thời gian trường hợp m1 = m2 = m
2 Giả sử m1 = m2 = m Cho ngoại lực điều hòa F = F0cost hướng theo trục, tác
dụng lên N Giả thiết có lực ma sát nhỏ tác dụng lên nặng, cho sau giai đoạn chuyển tiếp kể từ lực điều hòa bắt đầu tác dụng, hệ dao động ổn định với tần số ngoại lực
a Tính biên độ dao động nặng theo tần số ngoại lực tần số đặc trưng hệ
b Phác họa dạng biến thiên biên độ dao động nặng N theo tần số ngoại lực
Đáp số gợi ý:
1 a
1 2
1
1 2
2
k k k
x x y
m m
k k k
y y x
m m
b)
1
1
m m 1
(k k ) ,
2m m 2
và
2
1
m m 1
(k k ) ,
2m m 2
trong
2 2
2
1 2
1
1 2
m m 4k
(k k )
m m m m
c) x t 1 A cos 1t 1 Bcos 2t 2 , 2
và
y t 1 A cos 1t 1 B cos 2t 2 , 2
trong
1
k , m
2
k 2k
m
,
m1
k1 k2 m2 k1
M P
N
Q
(31)các số A, B, 1 2 xác định từ điều kiện ban đầu
2 a
2
0 A
2 2
1
F D
m ( )( )
với 2
1 A
2
b Phác họa phụ thuộc D vào Ω (Hình 21) : lấy 1 1, 2 2
A
5 2
Bài Từ tương tự - điện, vẽ sơ đồ mạch điện đơn giản nhất, gồm
các tụ điện cuộn cảm, tương tự với hệ học nêu Bài
1 Chứng tỏ mạch điện có hai tần số đặc trưng tìm mối liên hệ tần số với thông số mạch điện
2 Các thông số mạch điện lựa chọn lại cho tương tự với hệ học nêu câu Bài đặt hiệu điện xoay chiều có biểu thức u U cos t0 vào hai điểm mạch điện Hãy xác định hai điểm mạch phụ thuộc trở kháng Z mạch vào tần số Ω có dạng giống phụ thuộc biên độ dao động vật N vào tần số Ω câu Bài
Đáp số gợi ý
1 Mạch điện hình 22 Hai tần số chuẩn mạch 1
1
1 L(C 2C )
,
2
1
1 LC
2 Ta đặt hiệu điện xoay chiều vào hai điểm A B hình 22, tính trở kháng
của mạch tín hiệu xoay chiều trường hợp
1
2 1
1 (C C )
L
1 1
2C C C
L L
Ta thấy trở kháng có giá trị lớn tần số cộng hưởng 1 2 Nó triệt
tiêu tần số
A =
1 2
1
L C C
Bài Hai đĩa trịn A B đồng tính giống hệt Mỗi đĩa có mơmen qn tính I trục quay qua tâm đĩa vng góc với mặt phẳng đĩa Đĩa A nằm ngang, tâm đĩa gắn vào đầu sợi dây mảnh thẳng đứng có số xoắn K, đầu dây gắn vào điểm cố định C Đĩa B nằm ngang tâm đĩa gắn vào đầu sợi dây mảnh khác có số xoắn K, giống đĩa A, khác đầu sợi dây gắn vào tâm mặt đĩa A, khiến cho hai dây treo nằm đường thẳng đứng (Hình 23)
Hình 21
L2
B A
q1 C1
i1
L1
i2
i5
i4
C2
C1 q
2 q3
(32)Ở vị trí cân hai đĩa, hai dây treo không bị xoắn Kí hiệu θ1 θ2 tọa độ góc đĩa (vào thời điểm t)
tính từ vị trí cân
1 Viết phương trình vi phân cho chuyển động đĩa Giả thiết hai đĩa dao động điều hòa với tần số góc ω theo phương trình 1 A cos t 2 Bcos t Với giá trị ω hai phương trình thỏa mãn Tính tỉ số A/B
3 Ban đầu đĩa A có tọa độ góc θ1(0) = θ0 vận tốc góc
0 Cần phải để đĩa B tọa độ góc ban đầu (vận tốc góc ban đầu đĩa B 0) hai đĩa dao động với tần số góc câu 2? Chiều quay hai đĩa so với nào?
Đáp số gợi ý
1 Phương trình động lực mô tả chuyển động đĩa
1
2
I K K ,
I K .
2 Tần số góc dao động chuẩn hệ
3 5 K
2 I
, 2 3 5 K.
2 I
+ Nếu ω = ω1 12
A I 1 5
1
B K 2
+ Nếu ω = ω2 22
A I 5 1
1
B K 2
3 Nếu θ1(0) = θ0 2 0
B 0
A
Theo kết câu - Nếu B 2
A 1 5 hai đĩa dao động với tần số góc:
1
3 5 K K
1, 618
2 I I
và 2 0 2 0 0, 618 0
1 5
- Nếu B 2
A 5 1 hai đĩa dao động với tần số góc:
3 5 K K
0,618
2 I I
,
và 2 0 2 0 1, 618 0
5 1
Suy
Nếu đĩa B có vận tốc góc ban đầu 0, có tọa độ góc ban đầu
2 0 0, 618
hai đĩa chuyển động quay ngược chiều A
B
C
1
O
2
O
1
2
(33)Nếu đĩa B có vận tốc góc ban đầu 0, có tọa độ góc ban đầu 2 0 1, 6180 hai đĩa chuyển động quay chiều
Bài Một phao đồng chất có chiều dài L, diện tích tiết diện thẳng S khối lượng M thẳng đứng mặt nước Nước có khối lượng riêng ρ (ρ = 1) Phao gắn lị xo có khối lượng khơng đáng kể, hệ số đàn hồi k với đồng chất có trục quay cố định tâm hình 24 Thanh có khối lượng với phao chiều dài gấp đơi chiều dài phao Phao chuyển động theo phương thẳng đứng chiều dài tự nhiên lò xo chọn cho vị trí cân nằm ngang Bỏ qua lực cản mơi trường
1 Thành lập phương trình vi phân mơ tả chuyển động hệ
2 Tìm kiểu dao động chuẩn (tần số dao động chuẩn tỉ số dịch chuyển) dịch chuyển nhỏ
3 Nhận xét ý nghĩa vật lí kiểu dao động chuẩn tắc giới hạn lò xo cứng
Đáp số gợi ý
1 Chọn x độ dịch chuyển đầu phao thẳng đứng khỏi vị trí cân bằng, θ góc quay thanh, hàm Lagrange hệ
2
2 2
1 1 1 1
L Mx ML Sgx K x L .
2 6 2 2
Do ta thu phương trình chuyển động hệ
Mx Sgx K x L 0,
ML 3K x L 0.
2 Tần số góc chuẩn ứng với hai dao động chuẩn hệ
2
1
4K Sg 4K Sg 12KSg
2M
,
và
2
2
4K Sg 4K Sg 12KSg
2M
Các tỉ số độ dịch chuyển
2
2K Sg 4K Sg 12KSg
x
.
L 6K
3 Trong giới hạn lò xo cứng K , hệ phương trình mơ tả chuyển động suy biến thành
4Mx3Sgx0, tần số góc dao động
3Sg 4M
Tỉ số dịch chuyển x
1, L
Hình 24 L 2L
h
Nước Không
(34)m m m m m m m
0 a 2a (j - 1)a ja (j + 1)a (n - 1)a na (n +1 )a =L
1 2 j -1 j j +1 n - n
Hình 26
và chúng đồng pha Chú ý kết nhận từ kết trước cách cho K bời quan hệ ràng buộc khác Về mặt vật lí, ràng buộc x L có nghĩa chiều dài lị xo khơng đổi hệ dao động, điều đạt lị xo cứng
Bài Một kim loại M có bề dày khơng đáng kể, đồng chất, hình chữ nhật với chiều dài a chiều rộng b, khối lượng M Tấm M đỡ đỉnh lị xo có độ cứng k Các lò xo gắn cho chúng chuyển động theo hướng thẳng đứng (Hình 25) Ở vị trí cân mặt phẳng ABCD nằm ngang Chỉ xét dao động nhỏ
1 Viết phương trình vi phân mơ tả chuyển động M
2 Hãy tìm tần số góc chuẩn dao động chuẩn với biên độ nhỏ M
Đáp số gợi ý
1 Sử dụng hệ tọa độ Descartes với gốc khối tâm O M trạng thái cân Tấm M ngồi chuyển động theo phương Oz quay quanh trục Ox trục Oy với góc quay tương ứng φ θ Gọi z tọa độ thẳng đứng khối tâm O thời điểm t Chọn z, φ θ làm tọa độ suy rộng, hàm Lagrange M có dạng
2 2 2 2 2
1 1 1 1
L Mz Ma Mb k 4z a b Mgz.
2 24 24 2
Từ ta thu phương trình chuyển động sau
Mz 4kz Mg 0,
1
M k 0,
12 1
M k 0.
12
2 Tần số góc chuẩn dao động chuẩn M
1
k 3k
2 , 2 .
M M
Bài Một sợi dây mảnh, đàn hồi có chiều dài (n + 1)a (n số nguyên dương) Sợi dây căng theo phương ngang, cố định hai đầu cho sức căng taị điểm dây thời điểm T không đổi Người ta gắn vào dây
Hình 25 D
A
B
C
b a
x
z
(35)a hình 26 Giả thiết cầu làm dịch chuyển đoạn nhỏ khỏi vị trí cân theo phương vng góc với sợi dây dây cân Bỏ qua tác dụng trọng lực lực cản mơi trường
1 Lập phương trình vi phân mơ tả chuyển động cầu thứ j (0 < j < n) Hãy tìm tần số dao động chuẩn cầu biên độ dao động chuẩn theo thông số cho
Đáp số gợi ý
1 Hình 27 độ lệch khỏi vị trí cân theo phương vng góc với sợi dây cân cầu
thứ j với hai cầu lân cận (thứ j - thứ j + 1) Khi phương trình chuyển động cầu thứ j
j j j j
T
y y 2y y , j 1, 2, 3, , n.
ma
2 Tần số góc dao động chuẩn n cầu liên kết sợi dây
s
2T s
1 cos ,s 1, 2, 3, , n.
ma n+1
Ứng với ωs cầu thứ j có biên độ dao động thỏa mãn phương trình
j
js
A C sin ,
n 1
với C số xác định từ điều kiện ban đầu
Bài Từ tương tự - điện, vẽ sơ đồ mạch điện đơn giản nhất, gồm tụ điện cuộn cảm, tương tự với hệ học nêu Bài Chứng tỏ mạch điện có n tần số đặc trưng tìm mối liên hệ tần số với thông số mạch điện
Đáp số gợi ý
+ Ta thiết kế mạch điện hình 28
+ Tần số góc dao động chuẩn n mạch LC liên kết
2 s
2 s
1 cos ,s 1, 2, 3, , n.
LC n+1
+ Ứng với ωs điện tích tụ thứ j có biên độ dao động thỏa mãn phương
trình
j
js
A Q sin ,
n 1
với Q số xác định từ điều kiện ban đầu m
m
m
m
j
y
j
y
j
y
j j
y y j j
y y
a a
1
2
Vị trí cân bằng dây Hình 27
j
q
Hình 28 C
L C
L C
L
j
V Vj Vj 1
j
q qj 1
j
(36)Bài Một vật có khối lượng m1, nằm
trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát nối với giá đỡ lị xo có độ cứng k Một vật khác có khối lượng
m2 treo vào m1 sợi dây
mảnh khơng co dãn có chiều dài l (Hình 29)
1 Lập phương trình vi phân mơ tả chuyển động vật dao động nhỏ
2 Tìm tần số dao động
chuẩn m1 = m2 = m
3 Các dao động chuẩn m1 = m2 = m
g k
m
l
Đáp số gợi ý
1 Chọn trục Ox dọc theo trục lị xo có gốc tọa độ vị trí lị xo khơng biến dạng Gọi
x1 x2 tọa độ khối tâm vật m1 m2, θ góc hợp phương dây treo
đường thẳng đứng qua điểm treo Do dao động nhỏ nên coi
2
x x
T m g, sin
g
,
khi phương trình vi phân mơ tả dao động hệ có dạng
2
1 1
2
2 2
m g
m x kx x x ,
m g
m x x x
l
l
2 Tần số góc dao động chuẩn
2
1
g k g k
,
2m 4m
2
l l
và
2
2
g k g k
.
2m 4m
2
l l
3 Với điều kiện g k
m
l ta thu
2g ,
l
k 2m
Tần số ω1 ứng
với dao động quanh khối tâm G đứng yên hệ Tần số ω2 ứng với l0
Bài Một lắc đơn treo vào lắc khác; Có nghĩa dây lắc bên treo vào vật nặng lắc bên Một hệ gọi lắc kép toán học Độ dài dây treo vật nặng lắc đơn tương
ứng l1, l2, m1, m2 (Hình 30) Chỉ xét lắc kép toán học dao
động với biên độ góc nhỏ mặt phẳng hình vẽ
1 Lập phương trình vi phân mơ tả dao động lắc kép tốn học
2 Tìm tần số góc chuẩn nghiệm dao động tổng quát
3 Chỉ với trường hợp đặc biệt hai lắc hoàn toàn
giống nhau, tần số
g 2 2
l Dưới điều kiện
k m1
m2
l
Hình 29
x
1
m
2
m
1
l
2
l
1
(37)của hệ để hệ chuyển động vật Đáp số gợi ý
1 Chọn θ1 θ2 làm tọa độ suy rộng hệ Trong gần dao động nhỏ
con lắc kép ta có hàm Lagrange hệ sau
2 2 2
1 1 2 2 2 1 2
1 1 1 1
L m m m m m m m .
2 2 2 2
l l l l gl gl
Khi ta thu phương trình vi phân mơ tả dao động lắc kép
2 1 2 2
1 2
m m m m m g 0,
g 0.
l l
l l
2 Tần số góc dao động chuẩn
1
2
1 2 2 1
1
g
m m m m m m ,
2 m
l + l l + l l - l
l l
và
1
2
2 2 2 1
1
g
m m m m m m .
2 m
l + l l + l l - l
l l
Nghiệm tổng quát
2
2 1 2
1 1
1 1
2
2 1 2
2
1 1
m m
1
Acos t
2 2 m m
m m
1
Bcos t ,
2 2 m m
l + l l - l l - l
l l
l + l l - l l - l
l l
và
2 A cos 1t Bcos 2t .
3 Để hệ chuyển động vật rắn cần có điều kiện θ1 = θ2, từ suy
1 2m m1 1m2 0.
l l
Phương trình cần có l1 = l2 = 0, m1 = Mỗi trường hợp làm
cho hệ hai lắc rút trở thành lắc đơn Do hệ hai lắc đơn chuyển động vật rắn
Bài 10 Một hạt có khối lượng m, chuyển động trường lực mà
của có biểu thức: U 1m 20x2 y2 z2
2
, với m khối lượng hạt, ω0 tần
số góc dao động riêng hạt Nếu hạt tính điện với điện tích e chịu tác dụng đồng thời điện trường có cường độ E hướng theo trục x từ trường có cảm ứng từ B hướng theo trục z
1 Thành lập phương trình vi phân mơ tả chuyển động hạt Hãy tìm tần số góc dao động chuẩn
3 Hãy thảo luận kết thu câu giới hạn trường yếu trường mạnh
Đáp số gợi ý
1 Hàm Lagrange hạt mang điện e điện trường từ trường ngồi có dạng
2 2 2 2 2
0
1 1 1
L m x y z m x y z eEx + eB xy x y
2 2 2
(38)2 2
eB eE
x x y 0,
m m
eB
y y x 0,
m
z z 0.
2 Tần số góc chuẩn 0,
2
2
1 eB eB
4 ,
2 m m
và
2
3
1 eB eB
4 .
2 m m
Trong tần số dao động chuẩn hai kiểu dao động cuối gây nên từ trường, điện trường gây nên dịch chuyển
2
eE
m dọc theo
hướng
3 Đối với trường yếu, eB 0
m , ta có
2
eB , 2m
2 0 eB. 2m
Đối với trường mạnh, eB 0
m , ta có
2 2
0
2 2
2m m
1 eB eB eB
1 ,
2 m m e B m eB
và
2 2
0
3 2
2m m
1 eB eB
1 .
2 m m e B eB
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Phạm Quý Tư, Một số vấn đề dao động, Nhà xuất Giáo dục, 2008 Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết, Nhà xuất ĐHQGHN, 1997
3 Tô Giang, Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí trung học phổ thơng - Cơ học 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009
4 Vũ Thanh Khiết - Vũ Đình Túy, Các đề thi học sinh giỏi Vật lí (2001 - 2010), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011
5 Yung-Kuo Lim, Bài tập lời giải học (bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất Giáo dục, 2009