Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)TRờng Đại học s phạm Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012_2013 Hà nội Môn thi : Toán Vòng
Trờng THPT Chuyên Ngày thi 06/06/2012
Thi gian làm 120 phút ( không kể thời gian giao ) chớnh thc
Bài (2.0 điểm) : Cho biÓu thøc
2
2 2
a b a b a b
P
a b a b a b a b a b
víi a > b > 0
1/ Rót gän biĨu thøc P
2/ BiÕt a – b = Tìm giá trị nhỏ P
Bi (2.0 điểm ) : Trên quãng đờng AB dài 210km, thời điểm xe máy khởi hành từ A B ôtô khởi hành từ B A Sau gặp xe máy tiếp nửa đến B ôtô tiếp 15 phút đến A Biết xe máy ơtơ khơng thay đổi vận tốc suốt chặng đờng Tính vận tốc xe máy ôtô
Bài 3(2.0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) : y = mx – m –
a/ Chứng minh m thay đổi (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hnh độ x1 ; x2
b/ Tìm m để : x1 x2 20
Bài (3.0điểm) : Cho tam giác ABC đờng trịn ( ) có tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB, AC tơng ứng K, L Tiếp tuyến (d) đờng tròn ( ) E thuộc cung nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng M, N Đờng thẳng KL cắt OM P cắt ON Q
a/ Chøng minh :
900 1
2
MON BAC
b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm c/ Chng minh KQ.PL = EM.EN
Bài (1.0 điểm ) : Cho số thực dơng x, y thoả m·n ®iỊu kiƯn :
x y x y xy
Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P = x + y HÕt
-Híng dÉn häc sinh lµm bµi Bµi (2.0 ®iĨm)
1/ Rót gän biĨu thøc P
2
2 2
a b a b a b
P
a b a b a b a b a b
(2)
2 2
a b a b a b
P
a b a b a b a b a b a b
2 2
a b a b a b a b a b a b a b
P
a b a b a b a b a b a b
2 2
2 2
2
a b a b a b a b
P
b
b a b a b
2/ Biết a – b = Tìm giá trị nhỏ P Từ a – b = => a = b + Khi
2
2 2
2
b b
P b P b
b
(1).Coi (1) phơng trình bậc hai b, Ta cã
2
(2 P) P 4P
Để có b,
2 2
0 4
2 2
P
P P
P
Do P > => P 2 2 => P(min) = 2 2
Khi
2 2 2
(2 )
4
P
b
=> a =
2 2
Bài (2.0 điểm ) :
Gäi vËn tèc cđa xe m¸y x(km/h) vận tốc ôtô y(km/h) Điều kiƯn : y > x > (*)
§ỉi 2h 15 =
1 ( )
44 h
Chỗ gặp cách A
9 ( )
4y km cách B 4x Vì quãng đờng AB 210km,
nên ta có phơng trình :
9
4 210 y x (1)
Thời gian xe máy từ A đến B
210
x (h)
Thời gian ôtô từ B đến A
210
y (h)
Thời gian ôtô từ B đến A nhanh thời gian xe máy từ A đến B
9
4
(h) Vậy ta có phơng trình :
210 210
(3)Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :
9
4 210
210 210
y x
x y
Giải hệ ta đợc :
30 40
x y
(t/m) vµ
x y
(lo¹i)
Vậy vận tốc xe máy 30(km/h) vận tốc ôtô 40(km/h)
Bi 3(2.0 im ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) : y = mx – m –
a/ Chứng minh m thay đổi (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2
b/ Tìm m để : x1 x2 20
a/ Hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phơng trình : -x2 = mx – m – <=> x2 + mx – (m + 2) = 0
Cã
2
2 4 2 4 8 2 4 0
m m m m m
víi mäi m => Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
=> ng thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hành độ x1 ; x2
b/ Theo viÐt ta cã :
1
1 2
x x m
x x m
§Ĩ x1 x2 20 <=>
2
2
1 20 20 20
x x x x x x x x
, thay vµo ta cã : (-m)2 – 4(-m – 2) = 20 => m2 + 4m – 12 = cã ’ = 16 > 0
Vậy phơng trình có hai nghiƯm : m1 = vµ m2 = -6 VËy với m = m = -6 thoả mÃn điều kiện toán
Bi (3.0im) : Cho tam giác ABC đờng trịn ( ) có tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB, AC tơng ứng K, L Tiếp tuyến (d) đờng tròn ( ) E thuộc cung nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng M, N Đờng thẳng KL cắt OM P cắt ON Q
a/ Chøng minh :
900 1
2
MON BAC
b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN
(4)3
1
3
1 Q
P
O
M N
E
C B
L K
A
a/ Chøng minh :
900 1
2
MON BAC
Do tÝnh chÊt hai tiếp tuyến cắt nên ta có O1O O 2; O 4 (1)
Tø gi¸c ALOK cã : AKO ALO 900900 1800 Suy
1 4
1
180 180 90
2
BAC KOL BAC O O O O BAC O O O O
(2) Tõ (1) vµ (2) =>
2
90 2BAC O O Hay
1
90 90
2BAC MON MON 2BAC (§PCM)
b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm
1
L E K => tø gi¸c OKEB néi tiÕp
Mặt khác OKNE nội tiếp đờng tròn đờng kính ON
năm điểm O, K, N, E, P nằnm đờng trịn đờng kính ON NPO900 (Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
NP OM (1)
(5)Từ (1), (2) , (3) => ba đờng cao MQ, NP OE tam giác OMN đồng quy c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN
Tõ c©u b => KQ = QE PL = PE (a)
Từ câu b : Tø gi¸c ONEP néi tiÕp => QNE EPM (b) Tø gi¸c OMEQ néi tiÕp => NQE PEM (c)
Tõ (b) vµ (c) => NQE PEM (g.g) =>
NE EQ
EM EN EQ EP
EP EM (d)
Tõ (a) (d) => KQ.PL = EM.EN (ĐPCM) Bài (1.0 ®iĨm ) :
Vì x, y > mà x y x y xy => x > y, Cả hai vế dơng bình phơng hai vế ta
cã :
2
x y xy x y
=>
2
4
x y xy x y xy
Đặt xy = X , thay P = x + y ta
cã
P2 = X(P2 – 4X) <=> 4X2 – P2X + P2 = , coi phơng trình bậc hai X => = P4 – 8P2 = P2(P2 – 8) §Ĩ cã nghiƯm X, th×
=> P2 ( P > ) => P (min) = 2
Khi
2
1
1 2
8
2 2
2
P xy
X x x
Hoac
x y y y
P
Do x > y =>
2
x y
VËy P(min) = 2
2
x y
HÕt