BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn + Nắm định lí hàm số liên tục  Kĩ + Chứng minh hàm số liên tục điểm, liên tục khoảng, liên tục đoạn + Nắm vững phương pháp giải dạng tốn tìm tham số để hàm số liên tục Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số liên tục điểm Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng K đoạn điểm x0 x0 �K Hàm số y  f  x  gọi liên tục f  x   f  x0  x0 xlim � x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn Hàm số liên tục khoảng  a; b  Định nghĩa Hàm số y  f  x  gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y  f  x  gọi liên tục đoạn  a; b  liên tục khoảng  a; b  lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  x �b x �a  Hàm số không liên tục khoảng  a; b  Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liên” khoảng Một số định lí Định lí a) Hàm đa thức liên tục � b) Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí Giả sử y  f  x  y  g  x  hai hàm số liên tục điểm x0 Khi a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  y  f  x  g  x  liên tục x0 ; b) Hàm số f  x g  x liên tục x0 g  x0  �0 Trang Định lí Nếu hàm số y  f  x  a; b  f  a  �f  b  liên tục đoạn với số thực M nằm f  a  f  b  , tồn điểm c � a; b  cho f  c   M Hệ Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   tồn điểm c � a; b  cho f  c   Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm nằm khoảng  a; b  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục điểm, tập Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa hàm số y  f  x  xác định Ví dụ Cho hàm số khoảng K x0 �K f  x   f  x0  Hàm số liên tục x0 xlim � x0 � x  27 � �2 f  x   �x  x  �27 �5 , x �3 , x  Xét tính liên tục hàm số điểm x  Hướng dẫn giải  f  x  Bước Tìm giới hạn hàm số xlim � x0 f  x0  Hàm số xác định � Ta có f  3  27  x  3  x  x   x  27 lim f  x   lim  lim x �3 x �3 x  x  x �3  x  3  x    lim x �3 x  3x  27  x2 f  x   f  3 nên hàm số liên tục Ta thấy lim x �3 Trang f  x  ta so sánh Bước Nếu tồn xlim � x0 x3 lim f  x  với f  x0  x � x0 Hàm số liên tục tập ta sử dụng định nghĩa định lí Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm f  x   k � lim f  x   lim f  x   k xlim � x0 x � x0 x � x0 � �f  x  , x �x0 Hàm số y  � liên tục �g  x  , x  x0 x  x0 � lim f  x   g  x0  x � x0 � �f  x  , x �x0 Hàm số f  x   � liên tục �g  x  , x  x0 x  x0 điểm lim f  x   lim g  x   f  x0  x � x0 x� x0 Ví dụ mẫu � x3 � Ví dụ Cho hàm số f  x   � x   �  x  1 � x  Xét tính liên tục hàm số điểm x  x �3 Hướng dẫn giải f  x   lim  x  1  Ta có xlim �3 x �3 lim  lim x �3 x �3 x3 2x    lim x �3 2x   3 f  x  �lim f  x  Do xlim �3 x �3 Vậy hàm số gián đoạn x  �3 x  , � Ví dụ Cho hàm số f  x   � x  � a , � x �2 Tìm a để hàm số liên tục điểm x  x  Trang Hướng dẫn giải Hàm số xác định � 4x  lim f x  lim  lim   Ta có f    a x �2 x �2 x �2 x2  4x  4x  Vậy để hàm số liên tục điểm x  lim f  x   f   � a  x �2 �x  x  � Ví dụ Cho hàm số f  x   � x  � m x  2mx  �  3 x  1 x �1 Tìm m để hàm số liên tục điểm x  1 Hướng dẫn giải Hàm số xác định �  x  1  x   Ta có: lim f  x   lim x  x   lim 2 x �1 x �1 x �1 x3  x2  x  lim f  x   lim  m x  2mx    m  2m   f  1 x �1 x �1 Hàm số liên tục x  1 lim f  x   lim f  x   f  1 � m2  2m   � m  � x � 1 x �1 �x  , x �1 � Ví dụ Cho hàm số f  x   �x  � 2, x  1 � Xét tính liên tục hàm số toàn tập xác định Hướng dẫn giải Hàm số xác định D  � Với x �1 f  x   x2   x  hàm số liên tục tập xác định x 1 Do hàm số liên tục  �;  1  1;  � x2   lim  x  1  2 x � 1 x  x �1 Với x  1 ta có lim f  x   lim x � 1 f  x Vì f  1  �xlim � 1 Vậy hàm số liên tục khoảng  �;  1  1;  � ; hàm số không liên tục điểm x  1 Trang �a  x   � Ví dụ Cho hàm số f  x   � x   �   a x � x  x �2 Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Hướng dẫn giải Hàm số xác định � Với x  ta có f  x   a2  x  2 x22 hàm số liên tục khoảng xác định Do hàm số f  x  liên tục  2;  � Với x  ta có f  x     a  x hàm số liên tục tập xác định Do hàm số f  x  liên tục  �;  f  x   lim   a  x    a   f   Với x  ta có xlim �2  x �2 lim f  x   lim x �2  x �2 a2  x  2 x2 2  lim a x �2   x    4a Hàm số liên tục � hàm số liên tục x  , nên a  1 � � lim f  x   lim f  x  � 4a    a  � x �2  x �2 � a � 2 Vậy a  1; a  giá trị cần tìm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hàm số có đồ thị hình bên gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? A B C D Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Chọn khẳng định Trang A Hàm số liên tục � B Hàm số liên tục  �;  C Hàm số liên tục  1;  � D Hàm số liên tục  1;  Câu 3: Hàm số f  x   x2  liên tục khoảng sau đây? x2  5x  A  �; 3 B  2; 2019  C  3;  D  3;  � x  x  1 � Câu 4: Cho hàm số f  x   � Khẳng định sau đúng? �x  x �1 A f  x  liên tục � B f  x  liên tục  �;  1 C f  x  liên tục  1;  � D f  x  liên tục x  1 �x  2a Câu 5: Giá trị a để hàm số f  x   � �x  x  A B � x  � Câu 6: Cho hàm số y  f  x   �2 x  a �2 �x  A A k ��2 B k �2 x �0 C liên tục x  D x �1 x  B 2 �  x  1 , � �2 Câu 7: Cho hàm số f  x   �x  3, � k2, � x  Giá trị a để hàm số liên tục x0  C D x 1 x  Tìm k để f  x  gián đoạn x  x 1 C k �2 D k ��1 Câu 8: Cho hàm số f  x   x  Tìm khẳng định khẳng định sau: (I) f  x  liên tục x  Trang (II) f  x  gián đoạn x  (III) f  x  liên tục đoạn  2; 2 A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Câu 9: Tìm khẳng định khẳng định sau (I) f  x   x  3x  liên tục � (II) f  x   x2  liên tục  1; 1 (III) f  x   x  liên tục  2;  � A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Câu 10: Tìm khẳng định khẳng định sau: (I) f  x   x 1 liên tục với x �1 x 1 (II) f  x   sin x liên tục � (III) f  x   x x liên tục x  A Chỉ (I) B Chỉ (I) (II) C Chỉ (I) (III) D Chỉ (II) (III) � x cos x �1 � Câu 11: Cho hàm số f  x   � Khẳng định sau nhât? �x  x  � A Hàm số liên tục x  x  1 B Hàm số liên tục x  , không liên tục x  1 C Hàm số không liên tục x  x  1 D Hàm số liên tục x  1 , không liên tục x  �x  x � � Câu 12: Cho hàm số f  x   �x  Tìm khẳng định khẳng định sau: � x  � (I) f  x  liên tục x  (II) f  x  gián đoạn x  (III) f  x  liên tục � A Chỉ (I) (II) B Chỉ (II) (III) C Chỉ (I) (III) D Cả (I), (II), (III) Câu 13: Hàm số sau không liên tục x  Trang �x  x �1 � A f  x   �x  � 3x  x  � �x  x �1 f x  B   �  x x  � �2 x  x  � C f  x   � x  � 2x  � �1  x  � D f  x   � x � x  x �1 � x �1 x  Câu 14: Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số � ax   , � f  x  � x � x  5b, � A a  5b x �0 liên tục x  x  B a  10b C a  b � 2x   � Câu 15: Cho hàm số f  x   � x 1 �2 �x  2mx  3m  D a  2b x �2 x  Tìm giá trị tham số thực m để hàm số liên tục � A m  B m  C m  D m  �x , x �1 � �2 x , �x �1 Khẳng định sau đúng? Câu 16: Cho hàm số f  x   � 1 x � �x sin x, x  � A f  x  liên tục � B f  x  liên tục �\  0 C f  x  liên tục �\  1 D f  x  liên tục �\  0; 1 � 2x   , � Câu 17: Giá trị a để hàm số f  x   � x  x  1 � a, � A B B x  C D 2x   3x   2 B , x �1 liên tục điểm x  x  D � 4x   , � Câu 19: Giá trị a để hàm số f  x   �ax   2a  1 x � 3, � A liên tục điểm x  C � �f  x   Câu 18: Giá trị a để hàm số f  x   � � a, � A x �0 C  x �0 liên tục điểm x  x  D Trang � 3x   , � � x 1 Câu 20: Cho hàm số f  x   � �a  x   , � � x3 A B x  liên tục điểm x  x �1 C D � x4 2 , x  � � x f x    Câu 21: Cho hàm số m tham số � � mx  x  , x �0 � Tìm m để hàm số liên tục x  A m  B m  �3 x  , � Câu 22: Cho hàm số f  x   � x  � ax  3, � A a  1 B a  B Tìm a để hàm số liên tục � x  �3   x , � x � � m, Câu 23: Cho hàm số f  x   � �3 �, �x A x �2 D m   C m  C a  D a   0 x9 Giá trị m để f  x  liên tục  0;  � x0 x �9 C D  � sin x, x � � � Câu 24: Cho hàm số f  x   � Tìm giá trị a, b để hàm số liên tục �  � ax  b, x  � � �a  A �  � b 1 � � �a  B �  � b2 � � x2  � Câu 25: Cho hàm số f  x   � x  x  � b � A B  � �a  C �  � b0 � x �3; x �2 � �a  D �  � b0 � Giá trị b để f  x  liên tục x  x  3; b �� C 3 D  3 Trang 10 �3 x   x  , � Câu 26: Cho hàm số f  x   � x 1 � ax, � x �1 Giá trị a để hàm số liên tục x0  x  A -3 B C 2 � x 2017  x  � Câu 27: Cho hàm số f  x   � 2019 x   x  2019 � k � D -2 x �1 Tim k để hàm số f  x  liên tục x  x  A k  2020 B k  2019 2020 sin x, � Câu 28: Cho hàm số f  x   �  cos x, � C k  D k  20018 2020 2019 cos x �0 Hàm số f có điểm gián đoạn cos x  khoảng  0; 2019  ? A 2018 B 1009 C 542 D 321 Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp giải * Để chứng minh phương trình f  x   có Ví dụ nghiệm D, ta chứng minh hàm số y  f  x  liên tục D chứa đoạn  a; b  Chứng minh phương trình x 2020  x5   có nghiệm cho Hướng dẫn giải 2020  x5  liên tục � Ta có hàm số f  x   x f  a f  b  f   f  1  3  Suy phương trình f  x   có nghiệm thuộc  0; 1 * Để chứng minh phương trình f  x   có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y  f  x  liên tục D tồn k đoạn  ; 1   i  1, 2, 3, , k  nằm D cho f   f  1   Ví dụ mẫu Trang 11 Ví dụ Chứng minh phương trình x sin x  x cos x   có nghiệm Hướng dẫn giải Ta có hàm số f  x   x sin x  x cos x  liên tục � f   f        Suy phương trình f  x   có nghiệm thuộc  0;   Ví dụ Chứng minh phương trình x  x   3  x có nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x � Ta có x  x   3  x � x3  x  3  x   � 3� Xét hàm số f  x   x  x  3  x  liên tục ��; �và � 2� �3 � 19 �3 � f    4  3  0, f � �  � f   f � � �2 � �2 � Do phương trình f  x   có nghiệm Giả sử phương trình f  x   có hai nghiệm x1 ; x2 Khi f  x1   f  x2   �  x13  x23    x1  x2      x1   x2  � � �  x1  x2  �x12  x1 x2  x22   � � �  x   x � 4 4 4 44 4 4 4 43� B 2 � x � 3x � x1  x2 (vì B  �x1  �    0) 2�  x1   x2 � Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x  x3  15 x  14 x   x  x  có năm nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với x  x  15 x  14 x    x  x  1 � x5  x  x  18 x  12 x    1 Xét hàm số f  x   9 x  x  18 x  12 x  liên tục � � � 19  �   Ta có: f  2   95  0, f  1   0, f � � � 32 f     0, f    47, f  10   7921  Trang 12 Do phương trình f  x   có năm nghiệm thuộc khoảng 1;   2;  1 , � � � �� � ,  ; 0� ,  0;  ,  2; 10  �� �� � Mặt khác f  x  đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm Vậy phương trình cho có năm nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong khẳng định sau (I) f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm (II) f  x  không liên tục  a; b  f  a  f  b  �0 phương trình f  x   vô nghiệm (III) f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   tồn số c � a; b  cho f  c  (IV) f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   tồn số c � a; b  cho f  c  Số khẳng định A B C D Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định  a; b  Khẳng định sau đúng? A Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b  f  a  f  b   phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  a; b  B Nếu f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b  C Nếu hàm số f  x  liên tục, tăng  a; b  f  a  f  b   phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  a; b  D Nếu phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b  hàm số f  x  phải liên tục  a; b  Câu 3: Cho phương trình x  x  x   Khẳng định sau đúng? A Phương trình cho khơng có nghiệm khoảng  1; 1 B Phương trình cho có nghiệm khoảng  2; 1 C Phương trình cho có nghiệm khoảng  0;  D Phương trình cho khơng có nghiệm khoảng  2;  Câu 4: Tìm giá trị tham số m cho phương trình x  x   m   x  m   có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 A m  5 B m  5 C m �5 D m  6 Trang 13 Câu 5: Cho số thực a, b, c thỏa mãn 4a  c   2b a  b  c  1 Khi số nghiệm thực phân biệt phương trình x  ax  bx  c  A B C D Câu 6: Cho phương trình x  ax  bx  c  (1) a, b, c tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình (1) vơ nghiệm với a, b, c B Phương trình (1) có nghiệm với a, b, c C Phương trình (1) có hai nghiệm với a, b, c D Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt với a, b, c Câu 7: Tìm giá trị tham số m để phương trình  m  x    x   2019 x 2020  x   x   có nghiệm A m � 2; 3 B m ��\  2; 3 C m �� D m �� Trang 14 ĐÁP ÁN Dạng Hàm số liên tục điểm, tập 1-B 2-D 3-B 4-C 11-A 12-C 13-C 14-B 21-B 22-D 23-C 24-D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5-A 15-C 25-D 6-B 16-A 26-C 7-A 17-A 27-A 8-B 18-C 28-D 9-A 19-C 10-D 20-D Câu 1: Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn điểm x  Câu 2: Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục  1;  Câu 3: �x �2 Điều kiện xác định hàm số x  x  �0 � � �x �3 Do hàm số cho gián đoạn điểm có hồnh độ -2 -3 Câu 4: Hàm số xác định � f  x   lim  x  1  0, lim f  x   lim  x    1 Ta có: f  1  0; xlim  � 1 x � 1 x � 1 x � f  x  �lim f  x  Suy f  1  xlim �1 x � 1 Vậy hàm số cho liên tục nửa khoảng  1;  � khoảng  �;  1 Câu 5: Hàm số xác định � f  x   lim  x  x  1  Ta có: f    1, xlim �0 x �0 Hàm số cho liên tục điểm x  lim f  x   lim  x  2a   � a  x �0 x �0 Câu 6: Hàm số xác định � f  x   lim  x    Ta có: f  1  0, xlim �1 x �1 �2 x  a � Hàm số cho liên tục điểm x0  lim f  x   lim � � � a  x �1 x �1 �x  � Câu 7: Hàm số xác định � f  x   lim  x  1  4, lim f  x   lim  x  3  Ta có: xlim �1 x �1 x �1 x �1 k2 Vậy hàm số cho gián đoạn x  f  1 �۹۹� k Câu 8: Trang 15 x �2 � Điều kiện xác định: x  �0 � � x �2 � Ta có: f    lim f  x   lim x   Do hàm số cho liên tục x  x �2 x �2 f  2   lim f  x   lim x   Do hàm số cho liên tục x  2 x �2 x �2 Câu 9: (I) f  x   x  3x  hàm số có tập xác định � Do hàm số f  x  liên tục � (II) f  x   x2  có tập xác định D   �;  1 � 1;  � Do f  x  gián đoạn khoảng  1; 1 (III) Hàm số f  x   x  có tập xác định D   2;  � f  x   lim x   Do hàm số liên tục  2;  � Ta có: f    xlim �2 x �2 Câu 10: x 1 có tập xác định D   1;  � Do (I) sai x 1 (I) f  x   (II) f  x   sin x có tập xác định D  � Do f  x  liên tục � (III) f  x   x x có tập xác định D  �\  0 Do f  x  liên tục x  Câu 11:  x x  1 � � x � cos x �1 � � x f  x  � � f  x  � cos  �x �1 Khi ta có: �x  x  � � � �x  x  � �  � 0, lim f  x   lim   x   Suy f  1  lim f  x  +) f  1  cos � x �1 x �1 � � x �1 Do hàm số liên tục x  1 � � +) f  1  cos � � 0, lim f  x   lim  x  1  Suy f  1  xlim Do hàm số liên tục x  �1 x �1 �2 � x �1 Câu 12: Tập xác định: D  � Ta có: f    �x  x  � �x  � � � lim x   3  3, lim f  x   lim � � xlim x� x� x  � 3� � x� x � � � �     Do hàm số liên tục x  Vậy hàm số liên tục � Trang 16 Câu 13: �2 x  x  � Xét f  x   � x  � 2x 1 � x �1 có tập xác định D  � x  � 1�  x  1 �x  � 2x  x  Ta có: � � lim �x  � f  1  1, lim f  x   lim  lim � � x �1 x �1 x �1 x �1 x 1 x 1 � 2� f  x  Do hàm số gián đoạn điểm x  Suy f  1 �lim x �1 Câu 14: Ta có f    5b ax    lim x �0 x lim f  x   lim x �0 x �0 ax   lim  ax   x �0 a ax   a  Hàm số liên tục x  f    lim f  x  � 5b  x �0 a � a  10b Câu 15: Ta có: f    3, lim f  x   lim x �2 x �2   x   , lim f  x   lim x �2 x �2 x 1 x  2mx  3m  2 Hàm số f  x  liên tục � hàm số f  x  liên tục x  � lim x �2 x 1 3� 3� m5 6m x  2mx  3m  2 Câu 16: Ta có lim x  lim x �1 x �1 Ta ó\có lim x �0 x3  � lim f  x   lim f  x   f  1 nên hàm số liên tục x  x �1 x �1 1 x x3  lim x sin x  � lim f  x   lim f  x   f  1 nên hàm số liên tục x  x �0 x �0  x x �0 Câu 17: 2x  1  lim Ta có lim x �0 x �0 x  x  1  x  1   2x   1 Suy a  f    hàm số liên tục điểm x  Câu 18: Ta có lim x �1 Vậy f  1  2x   3x    lim x �1   3x    2x  6   2x     hàm số liên tục x  Trang 17 Câu 19: 4x    lim  Ta có lim x �0 ax  2a  x x �0    ax  2a  1 x   2a   Hàm số liên tục x   3� a  2a  Câu 20: Ta có xlim �1 a  x2  2 x3  a 3x   , lim  lim x �1 x�1 x2   x  1 Để hàm số liên tục x   3x     a 3  �a Câu 21: x4 2  lim x �0 x Ta có lim x �0 1 1� �  ; lim � mx  x  � x  4� x   x �0 � Để hàm số liên tục x  2m  1  �m0 4 Câu 22: Ta có lim x �2 4x   lim  ; f    2a  x �2 x2 16 x  x  Để hàm số liên tục � 2a   �a 3 Câu 23: Ta có lim x �9 3 9 x  ; lim  f    nên hàm số liên tục x  x x �9 x Ta có lim x �0 3 9 x 1  lim  f    m x �0  x 9 x Vậy để hàm số liên tục  0;  � m  Câu 24: a a sin x  1; lim sin x  1; lim ax  b   b; lim ax  b   b  Ta có lim     2 x� x� x� x� 2 2 �a b 1 � � a �2 � ��  Để hàm số liên tục � � a � � b0   b  1 � � Câu 25: Trang 18 x2  3 Để hàm số liên tục x  b    �b 3 3 x x6 Ta có lim x �3 Câu 26: Ta có lim x �1 x   3x  x7 2  3x   lim  lim x � x � x 1 x 1 x 1  lim x �1   x  7  23 x    lim x�1 3  3x  1  12  f  1  a Để hàm số liên tục x  a   Câu 27: Ta có lim x �1  lim x 2016 x 2017  x  2019 x   x  2019  x 2015   x  1 x �1 2019 x   x  2019 2019 x   x  2019 2018 x �1    lim x 2017    lim x �1  lim x �1 x 1 2019 x   x  2019 2019 x   x  2019 2018 2017 2020 2020   2020 1009 1009 Để hàm số liên tục x  k  2020 Câu 28: � sin x, � � Xét hàm số f  x  đoạn  0; 2  , f  x   � �  cos x, � � 3 � � � � x �� 0; ��� ; 2 � � � �2 � � 3 � x �� ; � �2 � f  x    f   ; lim f  x    f  2  Ta có xlim �0 x �2 �  �� 3 � �3 � 0; �� ; ; Hàm số rõ ràng liên tục khoảng � �và � ; 2 � � � ��2 � �2 Ta xét x   � � lim  f  x   lim    cos x   1; lim  f  x   lim  sin x  1; f � � � � � � � � � � �2 � x �� � x �� � x �� � x �� � �2 � �2 � �2 � �2 � Trang 19 � � f  x   lim  f ( x  f � �nên hàm số f  x  liên tục điểm x    Như lim � � � � �2 � x �� � x �� � �2 � Ta xét x  �2 � 3 lim  f  x   lim  sin x  1; lim  f  x   lim �3 � x �� � �2 � Vì �3 � x �� � �2 � �3 � x �� � �2 � lim  f  x  � lim  f  x  �3 � x �� � �2 � �3 � x �� � �2 �  �3 � x �� � �2 �   cos x   nên hàm số f  x  gián đoạn điểm x  Do đó, đoạn  0; 2  hàm số gián đoạn điểm x  3 3 Do tính chất tuần hoàn hàm số y  cos x y  sin x suy hàm số gián đoạn điểm x 3  k 2 , k �� Ta có x � 0; 2018  �  3 1009  k 2  2018 �   k   �320, 42  Vì k �� nên k � 0, 1, 2, , 320 Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn khoảng  0; 2018  Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm 1-B 2-C 3-C 4-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5-C 6-B 7-D Câu 2: Vì f  a  f  b   nên f  a  f  b  dương âm Mà f  x  liên tục, tăng  a; b  nên đồ thị hàm f  x  nằm nằm trục hoành  a; b  Vậy phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  a; b  Câu 3: Đặt f  x   x  x  x  , hàm số f  x  liên tục  0;  Ta có f    1; f  1  1 � f   f  1  nên phương trình cho có nghiệm khoảng  0;  Câu 4: Đặt f  x   x  3x   2m   x  m  Ta thấy hàm số liên tục � Điều kiện cần: af  1  � m   � m  5 Điều kiện đủ: với m  5 ta có Trang 20 f  x   � nên tồn a  1 cho f  a   +) xlim �� Mặt khác f  1  m   Suy f  a  f  1  Do tồn x1 � a;  1 cho f  x1   +) f    m   0, f  1  Suy f   f  1  Do tồn x2 � 1;  cho f  x2   f  x   � nên tồn b  cho f  b   +) xlim �� Mặt khác f    Suy f   f  b   Do tồn x3 � 0; b  cho f  x3   Vậy m  5 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 5: Xét phương trình: x  ax  bx  c   1 Đặt: f  x   x  ax  bx  c 4a  c   2b � 8  4a  2b  c  � Từ giả thiết � a  b  c  1 � 1a  b  c  � f  1  � Do f  2  f  1  nên phương trình (1) có nghiệm  2; 1 Ta nhận thấy: lim f  x   � mà f  2   nên phương trình (1) có nghiệm  � �;   x � � f  x   � mà f  1  nên phương trình (1) có nghiệm  � 1;  � Tương tự: xlim �� Như phương trình cho có nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc có tối đa nghiệm Câu 6: Xét hàm số f  x   x  ax  bx  c liên tục � lim f  x   �; lim f  x   � nên tồn số  � �  � � cho f    f     x � � x � � Vậy phương trình (1) có nghiệm với a, b, c Ta lại có với a  b  0; c  phương trình có nghiệm thực Câu 7: n 1  a2 n x n   a1 x  a0  ln có nghiệm, với Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n 1 x giá trị , i  2n  1, Chứng minh: Trang 21 n 1  a2 n x n   a1 x  a0 hàm đa thức, xác định � nên liên tục + Xét hàm số f  x   a2 n 1 x � f  x   lim � a2 n 1 x n 1  a2 n x n   a1 x  a0 � Ta có: xlim � � nên tồn x1 �� cho f  x1   �� x ��� lim f  x   lim � a2 n 1 x n 1  a2 n x n   a1 x  a0 � � � nên tồn x2 �� cho f  x2   x ��� x �� Do tồn x0 � x1 ; x2  cho f  x0   Vậy phương trình đa thức bậc lẻ ln có nghiệm, với giá trị , i  2n  1, Áp dụng: Đặt f  x    m  x    x   2019 x 2020  x   x  Hàm số f  x  liên tục � m2 � + Xét m  5m  � � Khi phương trình trở thành x   � x  m3 � m �2 � + Xét m  5m  �0 � � m �3 � Hàm f  x  có bậc cao 2019  2020  4039 đa thức bậc lẻ nên f  x   có nghiệm với m �� Trang 22 ... Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Chọn khẳng định Trang A Hàm số liên tục � B Hàm số liên tục  �;  C Hàm số liên tục  1;  � D Hàm số liên tục  1;  Câu 3: Hàm số f  x   x2  liên. ..  � A Hàm số liên tục x  x  1 B Hàm số liên tục x  , không liên tục x  1 C Hàm số không liên tục x  x  1 D Hàm số liên tục x  1 , không liên tục x  �x  x � � Câu 12: Cho hàm số f... � x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn Hàm số liên tục khoảng  a; b  Định nghĩa Hàm số y  f  x  gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y  f  x  gọi liên tục đoạn  a; b  liên tục