CHƯƠNG BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm giới hạn hàm số + Nắm tính chất phép toán giới hạn hàm số  Kĩ + Biết cách tìm giới hạn hàm số điểm + Vận dụng quy tắc tìm giới hạn hàm số + Thực hành khử số hạng vơ định I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa giới hạn hàm số điểm Giới hạn hữu hạn điểm Định nghĩa Các giới hạn đặc biệt Cho khoảng ( a; b ) điểm x0 Hàm số y = f ( x ) C = C , với C số +) xlim → x0 xác định ( a; b ) ( a; b ) \ { x0 } Ta nói +) f ( x ) hàm số quen thuộc (đa thức, phân hàm số f ( x ) có giới hạn số thực L x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định ( a; b ) x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số { xn } chứa x lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 tập hợp ( a; b ) \ { x0 } mà lim xn = x0 ta có lim f ( xn ) = L f ( x ) = L hay f ( x ) → L Khi ta viết xlim → x0 x → x0 Giới hạn vơ cực Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn dương vô cực x dần tới x0 với dãy số ( xn ) cho xn → x0 f ( x ) = +∞ f ( xn ) → +∞ Kí hiệu xlim → x0 Tương tự ta có định nghĩa giới hạn âm vô cực lim f ( x ) = −∞ x → x0 Giới hạn hàm số vô cực Các giới hạn đặc biệt Trang Định nghĩa Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; +∞ ) Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn số thực L x → +∞ với dãy số ( xn ) : ( xn ) > a C = với C số x →±∞ x  lim C = C ; lim x →±∞  lim x k = +∞ x →+∞ với k nguyên dương; lim x k = −∞ với k số nguyên dương lẻ, x →−∞ lim x k = +∞ với k nguyên dương chẵn xn → +∞ f ( xn ) → L x →−∞ f ( x) = L Kí hiệu: xlim →+∞ f ( x) = L Các giới hạn xlim →+∞ Các giới hạn lim f ( x ) = ±∞; lim f ( x ) = ±∞ x →−∞ x →+∞ lim f ( x ) = L định nghĩa tương tự x →−∞ Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lí f ( x ) = L, lim g ( x ) = M Khi Giả sử xlim → x0 x → x0  f ( x ) ± g ( x )  = L ± M a) xlim → x0   f ( x ) g ( x )  = L.M b) xlim → x0  c) xlim →x f ( x) L = ( M ≠ 0) g ( x) M f ( x) = L d) xlim → x0 f ( x ) = L lim e) Nếu f ( x ) ≥ 0, xlim → x0 x→x f) xlim →x f ( x) = L f ( x) = L cf ( x ) = cL g) Nếu c số xlim → x0 Quy tắc f ( x ) = ±∞; lim g ( x ) = L ≠ Ta có: Cho xlim → x0 x → x0 lim f ( x ) Dấu L +∞ −∞ −∞ ± + − x → x0 lim  f ( x ) g ( x )  x → x0 ±∞ −∞ +∞ Quy tắc Trang f ( x ) = L; lim g ( x ) = 0; L ≠ Ta có: Cho xlim → x0 x → x0 Dấu L + − − f ( x) x → x0 g ( x ) ±∞ −∞ +∞ Dấu g ( x ) lim ± + − Giới hạn bên Giới hạn hữu hạn Định nghĩa Giả sử hàm số f ( x) xác định khoảng ( x0 ; b ) , ( x0 ∈ ¡ ) Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn bên phải số thực L x cần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( x0 ; b ) ( xn ) thuộc khoảng mà lim xn = x0 ta có lim f ( xn ) = L f ( x ) = L f ( x ) → L Khi ta viết xlim → x0+ x → x0+ Định nghĩa Giả sử hàm số f ( x) xác định khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ∈ ¡ ) Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy ( xn ) thuộc khoảng ( a; x0 ) Chú ý: f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L a) xlim → x0 x → x0 x → x0 b) Các định lí giới hạn hàm số − + thay x → x0 x → x0 x → x0 mà lim xn = x0 ta có lim f ( xn ) = L f ( x ) = L f ( x ) → L Khi ta viết xlim → x0− x → x0− Giới hạn vô cực f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞ , a) Các định nghĩa xlim → x0− x → x0 lim f ( x ) = +∞ lim+ f ( x ) = −∞ phát biểu x → x0 x → x0+ tương tự Định nghĩa định nghĩa b) Các ý thay L +∞ −∞ Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số cách thay trực tiếp Phương pháp giải Nếu f ( x ) hàm số sơ cấp xác định x0 Ví dụ: Giới hạn lim ( x − x + ) có giá trị bao x →−1 lim f ( x ) = f ( x0 ) nhiêu? x → x0 Hướng dẫn giải Do hàm số f ( x ) = x − x + xác định điểm x0 = −1 , nên giới hạn f ( −1) ⇒ lim ( x − x + ) = x →−1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giới hạn lim x →2 x − 3x − có giá trị bao nhiêu? 3x − Hướng dẫn giải Cách 1: lim x →2 x − 3x − =− 3x − Cách 2: Nhập máy tính sau x − 3x − , bấm CACL, nhập giá trị 3x − x = ta nhận đáp án tan x + Ví dụ 2: Tìm giới hạn hàm số B = limπ sin x + x→ Hướng dẫn giải π tan + tan x + +6 = = Ta có B = limπ π sin x + x→ sin + 6 f ( x ) = Tìm giới hạn A = lim Ví dụ 3: Cho lim x →2 x→2 f ( x) +1 f ( x) +1 Hướng dẫn giải Ta có A = lim x→2 f ( x ) + 2.3 + = = f ( x ) + 32 + 10 x3 − x Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim x →2 ( x − 1) ( x3 − ) Hướng dẫn giải Trang Ta có lim x →2 x3 − x = ( x − 1) ( x3 − ) 23 − 4.2 =0 ( 2.2 − 1) ( 23 − ) Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để B ≤ với B = lim ( x − x + 2m − 5m + ) x →1 Hướng dẫn giải ( x3 − x + 2m − 5m + 5) = 2m − 5m + Ta có B = lim x →1 Do B ≤ ⇔ 2m − 5m + ≤ ⇔ ≤m≤2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giá trị xlim →−1 A −∞ x +1 ( x − x + 1) B Câu 2: Giá trị lim x →1 A ( 2x − 3x + ) B − A −2 x3 + x + D +∞ C D C D B Câu 3: Giá trị giới hạn xlim →−1 C x5 + 1 x cos x + Câu 4: Chọn kết kết sau lim x→0 A Không tồn Câu 5: Cho A = lim x→2 A 14 B D +∞ 3x + m Để A = , giá trị m bao nhiêu? x+2 B Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = A C C D 10 x2 + f ( x ) Giá trị xlim →−2 2x4 + x2 − B không xác định C 33 D +∞ C 2− D không xác định sin x + Câu 7: Kết limπ cot x − x →− A −∞ B −2 Trang Câu 8: Chọn kết kết sau lim x →1 A −1 B x3 − x x −1 +1+ x D +∞ C f ( x ) = lim 13 − f ( x )  bao nhiêu? Câu 9: Nếu xlim →−2 x →−2 A −17 B −1 D −7 C  x + x + − x3 + x +  a a lim ÷ = ( phân số tối giản; a, b số nguyên dương) Câu 10: Cho x→1  ÷ b b x −   Tính tổng L = a + b A B 36 C D 37 1  x −  3x +  f ( x ) Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f  ÷=  x ≠ −2; x ≠ ÷ Giá trị xlim →+∞ 2  x +  2x −1  A B Câu 12: Cho lim x →1 A I = − C D f ( x) +1 ( x2 + x ) f ( x ) + = −1 , tính I = lim x →1 x +1 x+4 B I = D I = −5 C I = Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng vô định 0 Đây dạng tốn vơ quan trọng tìm giới hạn hàm số Việc tìm giới hạn dạng vơ định P ( x) Q ( x0 ) = P ( x0 ) = Q ( x) tốn tìm giới hạn hàm số dạng hữu tỉ L = xlim →x Phương pháp giải Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử x2 + 2x + x →−1 2x + Ví dụ: Tính giới hạn lim mẫu đưa dạng Hướng dẫn giải Chú ý: Ta thấy thay x0 = −1 tốn có dạng  Nếu tam thức bậc hai ax + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) n n n −1 n−2 n−2 n −1  a − b = ( a − b ) ( a + a b + + ab + b ) Trường hợp P ( x) x → x0 Q ( x ) L = lim , ta nhóm nhân tử chung ( x + 1) tử mẫu để triệt tiêu sau đưa dạng tốn để tìm kết ( x + 1) x2 + 2x + = lim Cách 1: lim x →−1 x →−1 ( x + 1) 2x + với P ( x0 ) = Q ( x0 ) = P ( x ) , Trang Q ( x ) biểu thức chứa bậc x +1 =0 x →−1 = lim Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử x2 + x + CACL 2x + Cách 2: Bấm máy tính sau: mẫu đưa dạng x = −1 + 10−9 nhận đáp án Cách 3: Dùng chức lim máy Vinacal Chú ý: Ta MTCT để tìm giới hạn Sử dụng MTCT với chức phím CALC Dùng chức lim máy Vinacal 570ES Plus 570ES Plus: lim x2 + 2x + x + x →−1+10−9 Trường hợp P ( x) L = lim với P ( x0 ) = Q ( x0 ) = P ( x ) x → x0 Q ( x ) Ví dụ: Tìm giới hạn L = lim x →7 L = lim Giả sử: P ( x ) = u ( x ) − v ( x ) với m n Ta phân tích P ( x ) = ( m ) ( ) u ( x) − a + a − n v ( x) Chú ý: Ta hồn tồn dùng cách đặt ẩn phụ với toán bậc cao không đến kết ta phải phân tích sau: u ( x) − m v ( x) = ( n ) ( u ( x) − m( x) − m v ( x) − m( x) ) 4x −1 − x + 2x + −  4x −1 − x + −3  = lim  −4  = lim ( A − B ) x →7 x + −  x →7  2x + − Ta có A= Trong nhiều trường hợp việc phân tích n x →7 u ( x0 ) = n v ( x0 ) = a 4x −1 − x + 2x + − Hướng dẫn giải biểu thức chứa không đồng bậc m = B= m ( x ) → c = ( ( 4x −1 − 2x + − 4 ( 2x + + ( x − 1) )( ( 2x + 2) +4 + 3 4x −1 + ) ) = 64 27 x + −3 2x + − 2x + + 2 ( )( ( 2x + 2) x+2 +3 L = lim ( A − B ) = x →7 +4 ) ) =8 64 −8 − = 27 27 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn A = lim x →1 x3 − 3x + x2 − 4x + Hướng dẫn giải ( x − 1) ( x − x − ) x3 − 3x + x2 − x − = lim = lim = Ta có A = lim x →1 x − x + x →1 x →1 x−3 ( x − 1) ( x − 3) Trang x4 − 5x + x3 − Ví dụ 2: Tìm giới hạn B = lim x→2 Hướng dẫn giải x − 1) ( x − ) ( x − x + Ta có B = lim = lim x→2 x→2 x3 − x − 23 (x = lim x →2 − 1) ( x − ) ( x + ) ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) (x = lim x →0 − 1) ( x + ) x2 + x + x→2 + 5x ) Ví dụ 3: Tìm giới hạn C = lim ( = − ( 1− 6x ) x Hướng dẫn giải + 5x ) Ta có C = lim ( − ( 1− 6x ) x ( + 5x ) = lim −1 x →0 x x→0 ( 1− 6x ) − lim −1 x x →0 2 x ( + x ) + ( + x ) + 1 12 x ( x − 1) ( − x ) + 1     = lim − lim x→0 x → x x 2 = lim ( + x ) + ( + x ) + 1 − lim12 ( x − 1) ( − x ) + 1 = 39  x →0   x→0  Ví dụ 4: Tìm giới hạn D = lim x→0 ( + x ) ( + x ) ( + 3x ) − x Hướng dẫn giải Ta có D = lim x→0 ( + x ) ( + x ) ( + 3x ) − = lim x3 + 11x + x = x x→0 Ví dụ 5: Tìm giới hạn A = lim x →1 x xn −1 ( m, n ∈ ¥ * ) xm −1 Hướng dẫn giải Ta có ( x − 1) ( x n−1 + x n −2 + + x + 1) A = lim x →1 x − x m −1 + x m − + + x + ( )( ) = lim x →1 x n −1 + x n− + + x + n = x m −1 + x m− + + x + m Sau tìm số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu Nguyên tắc dạng tập nhân lượng liên hợp để đưa đa thức Ngồi cách chuyển đa thức thực đặt ẩn phụ tùy cụ thể: Ví dụ 6: Tìm giới hạn I = lim x →0 ( ) 3x + − x Trang A C −6 B D Hướng dẫn giải Ta có I = lim x→0 ( ) = lim 3x + − x x →0 6x ( = 3x + + = lim ) 3x + + x →0 x − 3x Ví dụ 7: Tìm giới hạn K = lim x →0 4x +1 −1 Hướng dẫn giải Ta có K = lim ( x − 3) ( ) =−3 4x + + x →0 Ví dụ 8: Giới hạn lim x →5 3x + − có giá trị bao nhiêu? 3− x + Hướng dẫn giải ( ) ) ( 3x + 1) − 16  + x + 3x + − = lim − x + x→5 9 − ( x + )  x + + Ta có lim x →5 ( = lim ( −3 + x + 3x + + x →5 Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim x →−2 ) = −18 = − x +1 +1 x+2 Hướng dẫn giải Ta có lim x →−2 x +1 +1 = lim x →5 x+2 ( x + 2) = lim x →5 ( x+2 ( x + 1) ) − x +1 +1 1 = ( x + 1) − x + + Bằng phương pháp tương tự ta làm số tốn mở rộng sau Ví dụ 10: Tìm giới hạn M = lim x→0 1+ 4x − 1+ 6x x2 Hướng dẫn giải Ta có M = lim x→0 = lim x→0 x + − ( x + 1) + x − ( x + 1) − lim x→0 x2 x2 −4 − lim x + + x + x →0 −8 x − 12 ( 1+ 6x) + ( x + 1) + x + ( x + 1) = −2 + = Trang Ví dụ 11: Cho biết lim1 x→ + ax − bx − = c , với c số nguyên a, b ∈ ¡ x3 − 3x + Phương trình ax − 2bx + c − = có nhiều nghiệm ¡ ? Hướng dẫn giải Ta có x − 3x + = ( x − 1) ( x + 1) Suy phương trình ⇒ + ax − ( bx + ) = phải có nghiệm kép x = ⇒ ( a − b ) x − 4bx − = có nghiệm kép x = 2     a − b2 ≠ a − b =     ⇒ ∆ = 16b + ( a − b ) = ⇒ a − b = − b ⇒ a = b = −3   2  1 ( a − b )  ÷ − 4.b 12 − = − b2  ÷ − 4.b − =   2 Thử lại Vậy a = b = −3 −3 ( x − 1) Khi lim1 x→ 2 − 3x − ( 3x − ) − 3x + 3x − = lim x3 − 3x + x→ ( x − 1) ( x + 1) = lim1 x→ −3 ( ) − x − x + ( x + 1) = −2 Suy c = −2 Vậy ta có phương trình −3 x + x − = có nghiệm x = ±1 Sau làm số tốn mang tính tổng qt Ví dụ 12: Tìm giới hạn B = lim n x →0 + ax − n ∈ ¥ * , a ≠ 0) ( x Hướng dẫn giải Cách 1: Nhân liên hợp Ta có B = lim x →0 B = lim x →0 n ( n )( + ax − x ( n n ( + ax ) ( + ax ) n −1 n −1 + n ( + ax ) + n ( + ax ) n−2 n −1 + n ( + ax ) n −2 ) + + n + ax + ) + + n + ax + a ( + ax ) n −2 + + n + ax + = a n Cách 2: Đặt ẩn phụ Trang 10 Suy lim x →3 Vậy x − − 27 x − 54 6x − − x 27 x − 54 − x −1 1 = lim − lim = + = 2 x → x → ( x − 3) ( x + 3x − 18 ) ( x − 3) ( x + ) ( x − 3) ( x + ) 54 27 54 a = ⇒ 3a + b = 57 b 54 Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng vô định 1-C 11 - C 2-C 12 - B 3-B 13 - B 4-C 14 - C ∞ ∞ 5-C 15 - C -A 16 - D 7-D 17 - C 8-C 18 - A 9-B 19 - C 10 – B 20 - C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Theo tính chất C sai b = hay g ( x ) = Câu Ta có B = xlim →−∞ x + x + 64 x + x − 6 x4 + = lim − 4+ x →−∞ 1 − 64 + − x x x =4 − 1+ x Câu + 14 x14 + x = = lim Ta có xlim →+∞ x14 − x →+∞ 1 − 14 x Câu 2x − 9x + x2 = = lim Ta có C = xlim →−∞ x + x + x →−∞ − + x2 2+ 9+ Câu Ta có lim f ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ x 2017 2+ + 2020 x 2019 = x 2017 Câu 1  x  + 3÷ + 3x x  = lim = lim  Ta có xlim →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x + x5 2+ x 1   + 3÷ x  = 5 2+ x5 Câu Trang 39   1 2 x + + +  ÷ x x6 x2 x + + x4 + x6   = lim = lim Ta có D = xlim →−∞ x →−∞  1 1  x→−∞  + x + x + x −1 x2  + + + − ÷  x x x   x  2  1  + + +1÷ x x x  =1 1 1  + +1 + − ÷ x4 x x x  Câu f ( x ) = lim ( x + 1) Ta có xlim →−∞ x →−∞   1− − ÷  x − 2x −1 1  x x ÷ = −2 = lim  + ÷ − x + 3x + x →−∞  x  1+ + ÷  x2 x4 ÷   Câu x − x +3 Ta có xlim →−∞ 2 x x2 + = lim x →∞ x2 − 2x2 3 + 1− + x x = lim x x =1 x →∞ 5 4+ 2 4+ x x Câu 10     x + + + x + + + 4÷  ÷  2 x x x x  x x x x x4 + 8x x + +  = lim  Ta có lim = lim  = +∞ x →+∞ x + x + x + x →+∞ x →+∞ 2  2 3 x 1 + + + ÷ 1 + + + ÷ x  x   x x  x x   1+ + ÷ 1 + x x  x x x = +∞ Vì lim  = > xlim →+∞ x →+∞  2 1 + + + ÷ x   x x Câu 11 Ta có E = lim x →+∞ x − x + − 2x = lim x →+∞ x +1 1− 1 + −2 x x2 = −1 1+ x Câu 12     1 x  − + + 1÷ x  − + + 1÷ x x   = lim   = +∞ Ta có F = xlim →−∞ x →−∞   1 4+ +2 x + + 2÷ x x   +1 −1 x2 x = −∞ =3 < xlim →−∞ 4+2 4+ +2 x − 4+ Vì xlim →−∞ Câu 13 Trang 40 Ta có lim x →+∞   x − +  ÷ − +2 x x x3 − + x x x4   = lim = lim =2 x − x + x − x x →+∞ x − + − x →+∞ − + − x x2 x4 x x2 x4 Câu 14  1  1 x  − 1+ + + 1− + ÷ − + + + − + 2 x x x x  x x x x =1  Ta có M = lim = lim x →−∞ x →−∞  1 1+ x 1 + ÷ x  x Câu 15 Ta có 3  x2  + ÷ x   N = lim   2 2  x2   + ÷ + + + + ÷   x  x x ÷   x →+∞ 2+ = lim x →+∞ x2 2 2  8 + ÷ + 23 + + + x  x x  = Câu 16   16 + x + + +  ÷ 4 Ta có x x x2  16 x + x + + x +  H = lim = lim − x →−∞ x →−∞ 3x + 3x + = lim − 16 + x →−∞ + + 4+ x x x =−4 3+ x Câu 17 Ta có A = lim x →−∞  1  x 3+ + + + ÷ x x x  3x + − x + x + = lim −  x →−∞ x4 + x4 4+ x 3 = lim − 3+ x →−∞ 1 + 2+ + 3 x x x =− 3+ 2 4+ x3 Câu 18  1  1 x2  + − + ÷ 1+ − + ÷  x x x x x + − 2x + x x x ÷ = +∞  = lim x  = lim  Ta có B = xlim 3 →+∞ x →+∞ x →−∞    ÷ 1 2x − +1 2− + x 2− + ÷  ÷ x x  x x    Câu 19 Trang 41 2020 2020 1  2 1  2   x  + ÷ 1 + ÷  + ÷ 1 + ÷ x  x x  x  = lim  =4 Ta có A = xlim 2019 2019 →+∞ x →+∞      2023  x  − ÷ − 1÷  − ÷ − 1÷ x  x  x  x  2023 Câu 20   4 −x  − + + ÷ 4− + +2 x x x x   = lim = Ta có B = xlim →−∞   x→−∞ 1 1 1+ + +1 − x  + + + 1÷ x x x x   Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số vô định ∞ − ∞ 0.∞ 1-B 11 - A 2-A 12 - D 3-D 13 - B 4-B 14 - D 5-C 15 - A 6-B 16 - B 7-A 8-D 9-A 10 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có A = xlim →+∞ Vậy A = lim x →+∞ ) ( ⇔ A=− x − 3x + + x x →+∞ ) ( −3 x + x − 3x + − x ⇔ A = lim −3 x − 3x + − x = Câu ) ( −x +1 x + x − x + ⇔ B = lim Ta có B = xlim →−∞ x →−∞ ) ( Vậy B = lim x + x − x + = x →−∞ x2 − x + − x ⇔B= Câu n n n −1 n−2 n−2 n −1 Sử dụng công thức a − b = ( a − b ) ( a + a b + + ab + b ) Ta có C = xlim →+∞ ⇔C= ( n x + a1 ) ( x + a2 ) ( x + an ) − x n ( ( x + a1 ) ( x + a2 ) ( x + an ) − x ) ⇔ C = xlim n −1 →+∞ n x+a + + x n −1 ( ) ( x + a2 ) ( x + an ) a1 + a2 + + an n Câu x Ta có D = xlim →+∞ ) ( x x + − 3x = lim x →+∞ 9x2 + + = Câu x2 Ta có E = xlim →−∞ ( ) 2x2 x3 + − = lim x →−∞ (x + ) + x x3 + + x 2 = Trang 42 Câu ) (   x − − x = lim x 1 − 3 − ÷ Ta có E = xlim ÷ = −∞ →−∞ x →−∞ x   Câu Ta có G = xlim →−∞ ) x − x + x − x ⇔ G = lim x →−∞ −3 x ⇔ G = lim x →−∞ ( (x − 3x ) ( 16 x + x + − x + 2 + x x − 3x + x 3 ) ( x − x − x + lim x + x − x x − x2 − 2x x →−∞ 2x + lim ( x →−∞ ) ⇔ G = −1 + = Câu Ta có H = xlim →+∞ ⇔ H = lim x →+∞ ) ( 16 x + x + − x + lim x − x + x →+∞ ) 3x + = lim x →+∞ ( ) ( 16 x + 3x + 1) + x ( 16 x + x + 1) + x 4 24 16 x + x + + x + lim x →+∞ −2 x + x2 + ⇔H =0 Câu Ta có I = xlim →+∞ x6 + x + − x4 + 2x −1 ( x + 3) = lim 1+ x →+∞ 1 + − 1+ − x x x x =−3 3  2+ ÷ x  Suy a + b = Câu 10 Ta có J = xlim →+∞ ) ( x + x + − x + x − + x = lim x +1 = lim x2 + x + + x x →+∞ + lim x →+∞ x →+∞ ( ) ( x + x + − x + lim x − x + x − x →+∞ − x2 + x + x x + x − + ( x + x − 1) = ) − =− Suy a + b = Câu 11 x Ta có K = xlim →+∞ ( ) x + x − x + x = lim x −x = lim x + x + ( x + 1) x →+∞ + lim x →+∞ x →+∞ ( ) ( x + x − x − + lim x x + − x + x x →+∞ 3x + x ( x + 1) + ( x + 1) x + 3x + ( x + x ) ) 1 = − +1 = 2 Suy a + b = Câu 12 Ta có L = xlim →−∞ ( ) x + ax + 12 + x = lim x →−∞ ax + 12 a =− 4 x + ax + 12 − x Trang 43 Suy − a = ⇔ a = −20 Câu 13 Ta có xlim →−∞ ) x − ax + x + bx + = lim −ax = lim x − ax − x x →−∞ Ta có ( x →−∞ ( ) x − ax + x + lim x →−∞ ( bx + + lim x →−∞ ( 8x + bx + ) + x x3 + bx + + x 2 x + bx + − x = ) a b + 12 a b a b 16 = + ≥ ⇔ ab ≤ 12 12 Câu 14 Ta có xlim →−∞ ( ) x − x + + x = lim x →−∞ −3 x + x − 3x + − x 2 = Suy a + b = Câu 15  ax + − 1 − − bx  ax + − − bx lim = lim  +  x→0 x→0 x x x     = lim  x→0 x  (   +  ( ax + 1) + ax + + x + − bx   ax ) ( bx )   a b = a+b = lim  + x →0  3 + − bx   ( ax + 1) + ax + +  Theo ta có a b + = ⇔ 2a + 3b = 12 Từ giả thiết a + 3b = suy a = 3; b = , A sai Câu 16 Ta có lim x →+∞ ( ax + bx − cx x →+∞ x →+∞ x + bx ax + bx + cx a − c =  = −2  b = −2 ax + bx + cx   a +c ( a−c ) x lim Để giới hạn ) ( a − c) = lim + bx  a − c = a =   Theo đầu ta có hệ  a + c = 18 ⇔ c = (nếu c = −3  b b = −12   = −2  a + c a + c = ) Suy P = a + b + 5c = − 12 + 15 = 12 Trang 44 Dạng 5: Tìm giới hạn bên giới hạn vô 1-C 11 - A 2-C 12 - A 3-D 13 - A 4-A 14 - D 5-B 15 - C -A 16 - C 7-A 17 - A 8-B 18 - D 9-D 19 - B 10 - D 20 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cách 1:  2 Ta có lim−  − ÷ = lim− − lim− = +∞ x →0  x x → x → x  x x Cách 2: (Sử dụng MTCT)  2 Nhập hàm số f ( x ) =  − ÷ x  x Vì x → 0− nên nhập CALC x = − 1011 Câu Cách 1: Ta có lim+ x →1 x3 − x = lim x − + − x x→1+ x x −1 x = lim+ = x − + − x x →1 − x − Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x ) = x3 − x x −1 +1 − x Vì x → 1+ nên nhập CALC x = + 1011 Câu Cách 1: Ta có lim+ x →1 x2 − x + = +∞ x2 −1 Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x ) = x2 − x + x2 −1 Vì x → 1+ nên nhập CALC x = + 1011 Câu Trang 45 Cách 1: x−3 x −3 = lim+ = x → x−3 x −3 Ta có lim+ x →3 Mặt khác lim− x →3 Do lim+ x →3 x−3 3− x = lim− = −1 x → x−3 x−3 x −3 x−3 Nên không tồn giới hạn ≠ lim− x − x →3 x − Cách 2: (Sử dụng MTCT) x −3 x −3 Nhập hàm số f ( x ) = Vì x → 3+ nên nhập CALC x = + 1011 Vì x → 3− nên nhập CALC x = − 1011 Hai giá trị không gần nên không tồn giới hạn Câu Cách 1: Ta có xlim →+∞ ( ) x − x + − x = lim x →+∞ −3 x − x + x2 − x + + 2x = lim x →+∞ 1 + x x2 = −∞ 1 − + + x x3 x x −3 − Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x ) = ( ) x2 − x + − 2x Vì x → +∞ nên nhập CALC x = 1010 Câu Cách 1: 1 + 3− 4 x x x = +∞ x + x − x + = lim = lim Ta có B = xlim →−∞ x →−∞ x →−∞ 1 2x − 4x − x + − − + x3 x x x8 ) ( −4 x + x + x − −4 + Cách 2: (Sử dụng MTCT) ( ) Nhập hàm số f ( x ) = x + x − x + Vì x → −∞ nên nhập CALC x = −1010 Trang 46 Câu Cách 1:   −2   − − 1÷ = lim+ = −∞ Ta có lim+  ÷ = xlim  + x →1  x − → x → x −1  x −1  x + x +  3( x − 1) Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x ) = 1 − x −1 x −1 Vì x → 1+ nên nhập CALC x = + 1010 Câu Cách 1: x Ta có B = xlim →−∞ ( ) x + − x = lim x2 = lim = −∞ x + + x x →−∞ − + + x4 x6 x2 x ( x + 1) x →−∞ 3+ Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x ) = x ( ) 4x2 + − x Vì x → −∞ nên nhập CALC x = −1010 Câu  x − 3, x <  f ( x ) = lim − ( x − 1) = −7 x = Ta có x →lim Với f ( x ) = 5, x → ( −2 ) ( −2 ) −  x − 1, x >  Câu 10  x2 + , x <  x2 + Với hàm số f ( x ) =  − x Khi lim− f ( x ) = lim− = +∞ x →1 x →1 − x  x − 2, x ≥  Câu 11  − x , − ≤ x ≤  Với hàm số f ( x ) =  x − Khi lim+ f ( x ) = lim+ − x = x →−2 x →−2 , x >   x−2 Câu 12 ( )  lim f ( x ) = lim x − + =  + x → 2+ Ta có  x →2 f ( x ) = lim− ( ax − 1) = 2a −  xlim → 2− x→2 Trang 47 f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) Vậy để tồn lim x →2 x →2 x→2 ⇔ = 2a − ⇔a=2 Câu 13 ) (  lim f ( x ) = lim − x + = −2  x →1+ x →1+  Ta có  lim− f ( x ) = lim− ( m − 3) = m − x →1  x →1  f ( 1) = 2m − 13  f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) ⇔ −2 = m − = 2m − 13 Để tồn lim x →1 x →1 x →1 Vậy không tồn m Câu 14  x2 + 1 =  lim+ f ( x ) = lim+ x →3 x −x+6 Ta có  x →3  lim f ( x ) = lim b + = b +  x →3− x →3− ( ) f ( x ) lim f ( x ) = lim f ( x ) ⇔ = b + ⇔ b = − Vậy để tồn lim x →3 x →3+ x →3− 3 Câu 15  lim f ( x ) = lim ( mx − x + m ) = m + m + x →−1+  x →−1+ Ta có   x3 +  x − x + 1) =  lim− f ( x ) = lim−  ( ÷ = xlim − x →−1 x →−1 →−   x +1  f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) Vậy để tồn xlim →−1 x →−1 x →−1 ⇔ m + m + = ⇔ m = 1; m = −2 Câu 16 ( )  ( − x) x +1 +  lim f ( x ) = lim − x = lim = −4 x →3+ x−3 Ta có  x →3+ x + − x→3+  lim f x = lim m = m  x →3− ( ) x →3− f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ m = −4 Vậy để tồn lim x →3 x →3 x →3 Câu 17  3x + − f x = lim = lim+ ( )  xlim + + x →2 x→2 x−2  →2 ( x − 2) Ta có   1   lim− f ( x ) = lim−  ax + ÷ = 2a + x→2  4  x→2 ( 3( x − 2) ( 3x + ) + 3x + + ) = Trang 48 f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) Vậy để tồn lim x →2 x →2 x→2 ⇔ 2a + 1 = ⇔a=0 4 Câu 18  lim+ f ( x ) = lim+ ( − a ) x = − 2a  x→ x→ Ta có  2  lim− f ( x ) = lim− a x = 2a x→  x→ f ( x ) lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) Để tồn xlim → x→ x→ ⇔ − 2a = 2a a = ⇔  a = −2 Vậy tổng giá trị S −1 Câu 19  lim+ f ( x ) = lim− f ( x )  2a + b =  x→2 x →2 ⇔ Vì hàm số có giới hạn x = x = nên ta có  a + b = 10 f x = lim f x ( ) ( )   xlim → 6+ x → 6− Câu 20 Để hàm số có giới hạn x = −2 x =  x2 − lim ax + b − = lim ⇔ −2a + b − = −4 ( 1) ( )  x →−2+ x →−2− x + Từ (1) (2) ta có   lim x + − − x = lim ax + b − ⇔ b − = 13 ( ) ( )  x →0+ x → 0− x 12 61   −2a + b = −3 a =   24 ⇔  13 b − = 12 b = 25  12 Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác 1-D 11 - B 2-A 12 - C 3-B 13 - C 4-C 14 - D 5-C 15 - A 6-C 7-C 8-D 9-B 10 - B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu tan ( x − 1) = x →1 x −1 Ta có B = lim Câu 2 tan x 5sin x = 10 x →0 2x 5x Ta có C = lim Câu Trang 49 x x  2sin x.sin sin ÷  sin x ( cos x − 1) sin x = − lim =−1 = − lim Ta có D = lim  ÷ 3 x→0 x →0 x cos x x cos x x→0 x  x ÷   Câu 7x x 7x sin sin sin cos x − cos x 2 = lim = = lim Ta có A = lim x → cos x − cos x x →0 11x x x →0 11x 11 sin sin sin 2 Câu Ta có − + 2sin x −2sin x = lim =− x →0 x → sin x sin x + + 2sin x + ( + 2sin x ) B = lim ( ) Câu sin 2 x sin x x2 = lim Ta có C = lim ; x →0 cos x − cos x x → cos x − 1 − cos x + x2 x2 x 2sin − cos x − cos x  lim = lim = lim = ; x→0 x→0 x →0 x x + cos x + cos 2 x x + cos x + cos 2 x ) (  lim x →0 ( ) ( − cos x ) − cos x = lim = ; x→0 x x + cos x + cos x ( )( ) sin 2 x = x→0 x2  lim Vậy C= = −96 1 − + Câu sin x sin x 16 = lim x4 = Ta có D = lim x → sin x x → sin x 81 x Câu π  − sin  cos x ÷ 2  sin ( tan x ) Ta có mà lim =1 tan x E = lim x→0 tan x x →0 sin ( tan x ) tan x Trang 50 x  π sin ÷  2sin  ÷ π π     Lại có − sin  cos x ÷ − cos  ( − cos x )   ÷ 2  = lim 2  = lim   lim x→0 x →0 x →0 tan x tan x tan x x  π sin ÷  sin  ÷  ÷ sin x π   x x = = lim x x →0 tan x  x π sin  ÷ 2 Do E = Câu Ta có ≤ cos 2 x = nên lim x cos = ≤ ⇔ ≤ x cos ≤ x mà lim x→0 x→0 nx nx nx Câu 10 3x − 5sin x + cos x x − 10sin x + cos x + = lim x →+∞ x →+∞ x +2 x2 + Ta có lim = lim x →+∞ ( 10 Vì −10sin x + cos x ≤ 6x +1 −10sin x + cos x −10sin x + cos x + lim = lim 2 x →+∞ x →+∞ 2x + 2x + 2x2 + + 12 ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 101 nên ≤ −10sin x + cos x 101 ≤ 2x + 2x + −10sin x + cos x 101 lim =0 suy = x →+∞ x →+∞ x + x2 + Lại có lim Câu 11 π  sin  − x ÷ cos x 2  = −1 Ta có L = lim = limπ π π π x→ x→ x− x− 2 Câu 12 H = lim m x→0 = lim x→0 = lim x→0   ( m cos ax − m cos bx cos ax − + − m cos bx = lim x →0 sin x sin x m cos ax ) m −1 + ( cos ax − m cos ax 2sin   ( m cos bx ) m −1 + ( m ) bx cos bx ) m−2 m−2 + + 1 sin x  + + 1 sin x  − lim x→0 − lim x →0   ( m cos bx ) m −1 + ( cos bx − m cos bx 2sin   ( m cos ax ) m −1 + ( m ) ax cos ax ) m−2 + + 1 sin x  m−2 + + 1 sin x  Trang 51 bx b 22 b x = lim cos bx ) − n cos ax M = lim = lim Ta có x→0 x→0  x2  ( x→0 =   ( m cos bx ) m −1 + ( m ax a 22 a x sin 2 m−2 sin x + + 1  x − lim   x →0 ( m cos ax ) m −1 + ( sin m cos ax ) m−2 sin x + + 1  x b2 − a 2m Câu 13 = lim x→0   ( n cos ax ) n cos ax ) a2 ax sin 2 n −1 + ( n cos ax ) n−2 − cos ax n −1 + ( n cos ax a2 x2  + +  ) n−2 = + + 1 x  a2 2n Câu 14 3 x + − ( x + 1) + ( x + 1) − x + 3x + − x + x x2 Ta có M = lim = lim x→0 x→ − cos x 2sin x x2 x2 3x + − x − x +1− 2x +1 x x2 = lim + lim x→0 x →0 2sin x 2sin x x2 x2 = lim x→0 = x2 (( ) − x3 − 3x 2 3x + + ( x + 1) 3 x + + ( x + 1) 2sin x x2 x2 ) + lim x ( x + + x →0 2x +1 ) 2sin x x2 −1 1 + = − ⇒ a = 1; b = ⇒ a + b = 4 Câu 15 1+ x − − x 1+ x − + − − x 1+ x − 2− 8− x = lim = lim + lim x→0 x →0 x →0 x →0 sin x sin x sin x sin x Ta có lim x 2x + 23 − x + − x + + x = lim + lim x→0 sin x x→0 sin x 3x 3x 3x 3x ( ) 2 + 23 − x + 8− x + + x = lim + lim x →0 x →0 sin x sin x 3 3x 3x ( ) 1 13 a = + = = ⇒ a + b = 49 36 36 b Trang 52 Trang 53 ... − 12 B x2 + − x2 − 12 C − Câu 2: Kết giới hạn lim x→0 D 12 D 1− x −1 x B +∞ A 12 C − x − 27 x x →3 x − x − Câu 3: Kết giới hạn lim A B Câu 4: Tính giới hạn lim x →1 A C x − 3x + , ta kết x2 −1... A 2a − b = B 2a + b = C a − 2b = D a + 2b =  x +1 − − x x ≥  x  − < x < Tìm a, b để hàm số có giới hạn Câu 20 : Cho hàm số f ( x ) = ax + b −  x2 −  x ≤ ? ?2  x + x = ? ?2 x = A a = 61 25 ... , b= 24 12 B a = 37 , b= 24 12 C a = 61 , b= 24 12 D a = 85 25 , b= 24 12 Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác Phương pháp giải Trang 29 sin x =1; x→0 x tan x − sin 3x x →0 x Sử dụng giới hạn