Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu bỏ qua ma sát thì tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ (trọng lực và phản lực pháp tuyến của giá) bằng không: do đó tổng động lượng của hệ được bảo toàn... Trong mỗi hệ tọa độ ta dù[r]
(1)Chương
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
Động lực học nghiên cứu chuyển động vật mối liên hệ chúng với tương tác vật Cơ sở động lực học vĩ mô định luật Newton nguyên lí Galile
2.1 Các định luật Newton
2.1.1 Định luật Newton thứ
Định luật: Khi một chất điểm cô lập (không chịu tác động từ bên ngoài) đang đứng yên, tiếp tục đứng yên, chuyển động chuyển động là thẳng
- Chất điểm đứng yên: vG = - Chất điểm chuyển động thẳng đều: vG=const
cả hai trạng thái vận tốc chất điểm không thay đổi Tổng quát: vG=const (2-1)
Vậy: Một chất điểm lập bảo tồn trạng thái chuyển động Tính chất bảo tồn trạng thái chuyển động gọi quán tính
2.1.2 Định luật Newton thứ hai
Định luật: Chuyển động chất điểm chịu tác dụng lực có tổng hợp chuyển động có gia tốc Gia tốc chuyển động chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tỉ lệ nghịch với khối lượng chất điểm
0 FG ≠
FG
m F K a
G G
= (2-2)
K hệ số tỉ lệ Trong hệ đơn vị SI: K = 1, đó: biểu thức định luật Newton thứ hai có dạng:
m F a
G G=
(2-2’) 2.1.3 Phương trình học chất điểm
Phương trình Newton: F a
mG=G (2-3)
gọi phương trình học chất điểm từ (2-3) ta suy (2-1) (2-2’):
-Khi FG ≠0 m
F a
G G
=
(2)2.1.4 Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu chất điểm lập chuyển động thẳng
2.1.5 Lực tác dụng lên chuyển động cong
Xét chất điểm M chuyển động đường cong (C) (hình 2-1)
(C)
a n
a →
t
FG
M at
→
FG
n
FG Hình 2-1 Ta có: aG=aGt+aKn
suy F ma Ft Fn mat man
G G G G G G
+ = + = =
t t ma
FG = G lực tiếp tuyến (làm cho độ lớn véc tơ vận tốc thay đổi)
n n ma
FG = G lực pháp tuyến (còn gọi lực hướng tâm, làm cho véc tơ vận tốc đổi hướng)
Vậy: Để chất điểm chuyển động cong, điều kiện cần phải tác dụng lên lực hướng tâm có độ lớn bằng:
R v m ma F
2 n
n = = (2-4)
2.1.6 Định luật Newton thứ ba
Định luật: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B lực FGthì chất điểm B tác dụng lên chất điểm A lực FG', hai lực FGvà FG' tồn đồng thời, phương ngược chiều độ lớn
Nói cách khác: + FG FG' = (2-5)
Chú ý: + = tác dụng chúng không khử điểm đặt hai lực khác
FG FG'
(3)Tổng nội lực hệ chất điểm cô lập (hệ kín) 2.2 Các định lý động lượng
Từ phương trình Newton, ta suy số phát biểu tương đương, định lý động lượng
2.2.1 Thiết lập định lý động lượng
Theo định luật Newton thứ hai, chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng lực (hay nhiều lực có tổng hợp FG FG) chuyển động với gia tốc aG cho bởi:
F a mG=G
hay F
dt v d
m G
G
= m khơng đổi nên:
F dt
) v d(mG =G v
m
KG = G gọi véc tơ động lượng chất điểm Vậy biểu thức viết lại: F
dt K dG G
= (2-6)
Định lý 1: Đạo hàm động lượng chất điểm thời gian có giá trị lực (hay tổng lực) tác dụng lên chất điểm
Từ (2-6) ta có: dKG =FGdt (2-7) suy = − =∫2
1 t
t K Fdt
K K
ΔG G G G (2-8)
∫2
1
t
t
dt
FG : xung lượng lực khoảng thời gian Δt
Định lý 2: Độ biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian nào có giá trị xung lượng lực (hay hợp lực) tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian
Nếu FG = const (2-8) thành: Δt F K
ΔG =G (2-9)
hay F
Δt K
ΔG =G
(2-10)
Vậy: Độ biến thiên động lượng chất điểm đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm
(4)2.2.2 Ý nghĩa động lượng xung lượng
- Ý nghĩa động lượng: Động lượng đặc trưng cho chuyển động mặt động lực học, đại lượng đặc trưng cho khả truyền chuyển động
- Ý nghĩa xung lượng: Xung lượng lực khoảng thời gian Δt đặc trưng cho tác dụng lực khoảng thời gian
2.3 Định luật bảo tồn động lượng 2.3.1 Thiết lập
Đối với hệ chất điểm chuyển động ta có định lý động lượng: F
) v m v m v (m dt
d
n n
2 1
G G G
G + + + =
tổng hợp lực tác dụng lên hệ FG
Nếu hệ cô lập ( =0) thì: FG
0 ) v m v m v (m dt
d
n n
2
1 + + + =
G G
G
nghĩa là: m1vG1+m2vG2+ +mnvGn=const (2-11) Định luật: Tổng động lượng hệ cô lập đại lượng bảo toàn 2.3.2 Bảo toàn động lượng theo phương
Trường hợp chất điểm khơng lập (FG≠ 0) hình chiếu lên phương ln khơng thì:
FG m1v1x + m2v2x +…+ mnvnx = const (2-12)
Hình chiếu tổng động lượng hệ lên phương x đại lượng bảo toàn 2.3.3 Ứng dụng
Giải thích tượng súng giật lùi
Giả sử có súng khối lượng M đặt giá nằm ngang, nịng có viên đạn khối lượng m Nếu bỏ qua ma sát tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ (trọng lực phản lực pháp tuyến giá) không: tổng động lượng hệ bảo tồn
- Trước bắn:
1
KG =0
- Khi bắn đạn bay phía trước với vận tốc vG, súng giật lùi phía sau với vận tốc VG Động lượng hệ sau bắn là:
K2 mv MV
G G G
+
=
Theo định luật bảo toàn động lượng: K1 K2
G G
(5)v M m V
V M v
mG+ G = ⇒ G=− G
Dấu “-” chứng tỏ súng chuyển động ngược chiều với đạn
2.4 Chuyển động tương đối, nguyên lý tương đối, lực qn tính 2.4.1 Khơng gian thời gian theo học cổ điển
Xét hệ toạ độ: Oxyz đứng yên O'x'y'z' chuyển động so với hệ O (hình 2-2)
O'
y'
z'
x' B
A
x O
y
z
.M
Hình 2-2
r
G
r'
G
Ta giả thiết chuyển động hệ O' cho O'x' luôn trượt dọc theo trục Ox; O'y' song song chiều với Oy; O'z' song song chiều với Oz Trong hệ tọa độ ta dùng đồng hồ để đo thời gian
Xét điểm M bất kỳ, hệ tọa độ O, tọa độ không gian thời gian M là: x, y, z, t ; hệ tọa độ O', tọa độ không gian thời gian M là: x', y', z', t' Theo quan điểm NiuTơn:
a Thời gian đồng hồ hệ O O' nhau:
t = t' (a) có nghĩa thời gian có tính tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu b. Vị trí M khơng gian: theo hình 2-2 ta có:
' OO x'
x = + ; y = y' ; z = z' (b)
Như vậy: vị trí khơng gian có tính chất tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu Do chuyển động có tính tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu
c Khoảng cách điểm không gian đại lượng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu
Xét thước AB đặt dọc theo trục O'x' (hình 2-2) gắn liền với hệ O' Chiều dài thước đo hệ O' là: l0 = x'B - x'A
Chiều dài thước đo hệ O là: l = xB - xA
(6)' OO ' x xA = A +
' OO ' x xB = B +
Do đó: xB - xA = x'B - x'B A , nghĩa l = l0
Nói cách khác: khồng khơng gian có tính tuyệt đối, khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu
Xét trường hợp riêng: chuyển động hệ O' thẳng với vận tốc V so với hệ O Nếu thời điểm t = 0, O trùng với O' thì:
Vt OO'= Theo (a) (b) ta suy ra:
x = x' + Vt' , y = y' , z = z' , t = t' (2-13) ngược lại:
x' = x - Vt , y' = y , z' = z , t' = t (2-14)
(2-13) (2-14) gọi phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển tọa độ không, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O ngược lại
2.4.2 Tổng hợp vận tốc gia tốc
Ta tìm cơng thức liên hệ vận tốc gia tốc chuyển động chất điểm M hệ tọa độ Oxyz O'x'y'z' khác Giả thiết hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến hệ Oxyz cho ta luôn có:
O'x'↑↑ Ox ; O'y'↑↑ Oy ;O'z'↑↑ Oz Đặt OM = r ; O'M =r', theo hình 2-2 ta có:
M O' O' O OM = +
hay: Gr = Gr'+OO' (c) Đạo hàm vế (c) thời gian t:
dt ) OO' d( dt
' r d dt
r
dG = G +
(d) Từ (d) ta thấy:
v dt
r dG G
= véc tơ vận tốc M hệ O; '
v dt
' r dG = G
véc tơ vận tốc M hệ O'; V
dt ) OO' d( = G
véc tơ vận tốc tịnh tiến hệ O'đối với hệ O; (d) thành:
V ' v
(7)Vậy: Véc tơ vận tốc chất điểm hệ quy chiếu O tổng hợp véc tơ vận tốc chất điểm hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu O véc tơ vận tốc tịnh tiến hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu O
Lấy đạo hàm (2-15) theo t ta được:
dt V d dt
' v d dt
v
dG = G + G
hay: aG = aG'+AG (2-16) đó:
a dt
v dG G
= véc tơ gia tốc M hệ O; '
a dt
' v dG G
= véc tơ gia tốc M hệ O'; A
dt V dG = G
véc tơ gia tốc tịnh tiến hệ O' hệ O;
Vậy: Véc tơ gia tốc chất điểm hệ quy chiếu O tổng hợp véc tơ gia tốc chất điểm hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu O véc tơ gia tốc tịnh tiến hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu O
2.4.3 Nguyên lý tương đối Galile
Giả thiết hệ O hệ quy chiếu quán tính, phương trình chuyển động chất điểm M hệ O cho định luật Newton là:
F a
mG=G (*)
aG gia tốc chuyển động M hệ quy chiếu O,FG tổng hợp lực tác dụng lên M
'
aG gia tốc chuyển động M hệ quy chiếu O', theo (2-16) ta có: A
' a aG = G + G
AG gia tốc tịnh tiến hệ O' hệ O
Nếu hệ O' chuyển động thẳng hệ O AG =0 aG=aG' Ta viết: F
' a mG = G
suy hệ O' hệ quy chiếu quán tính
Vậy: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu quán tính
Hay là: Các định luật Newton nghiệm hệ quy chiếu quán tính
Có nghĩa là: Các phương trình động lực học hệ quy chiếu qn tính có dạng
Nguyên lý tương đối Galilê phép biến đổi Galilê:
(8)Vậy: Các phương trình học bất biến phép biến đổi Galile
2.4.4 Lực quán tính
Giả thiết hệ O' chuyển động tịnh tiến có gia tốcAG hệ quy chiếu quán tính O Ta có:
A ' a
a G G
G
+ =
Nhân vế với khối lượng m chất điểm M: A
m ' a m a
mG = G+ G
Vì hệ O hệ qn tính nên định luật Newton nghiệm đúng: A
m ' a m F F a
mG = G ⇒G= G+ G hay: maG'=FG +(−mAG) (**)
ta thấy (**) khơng giống (*), có nghĩa là: khảo sát chuyển động chất điểm hệ O' tịnh tiến có gia tốc hệ qn tính O, ngồi lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực: FGqt =−mAG (2-17)
A m
FGqt =− G gọi lực quán tính Hệ quy chiếu O' hệ quy chiếu khơng qn tính Phương trình động lực học chất điểm hệ O' viết là:
qt
F F ' a
mG = G+G (2-18)
Lực quán tính lực ảo quan sát hệ quy chiếu khơng qn tính Lực qn tính ln ln phương ngược chiều với gia tốc chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính
2.5 Mô men động lượng
2.5.1 Mô men véc tơ điểm
Cho véc tơ vG=MA điểm O khơng gian (hình 2-3)
O MG
M
A r
G d
Hình 2-3
Theo định nghĩa: Mô men vG O véc tơ ký hiệu M/O(vG) xác định bởi:
[ ]OM.v [ ]r.v
) v ( M/O
G G G G
(9)) v ( M/O G có:
- Gốc trùng với O
- Phương vng góc với mặt phẳng (O,vG) - Chiều theo chiều quay thuận chiều quay từ OM đến MA
- Độ lớn lần diện tích tam giác OMA d.MA
v M/0G = Tính chất:
a M/O(vG) = vG= hay d = b M/O(vG1+vG2)=M/0(vG1)+M/0(vG2)
M/O(λvG)= λM/O(vG)
c Khi 0vG1+vG2= M/0(vG1)+M/0(vG2) =0 2.5.2 Định lý mô men động lượng
Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động quỹ đạo (C) tác dụng lực FK (hình 2-4)
O
M M
vG
(C)
r
G F
G LG
Hình 2-4
Ta có:
F dt
) v d(m dt
K
dG = G =G
d(mv)
r r F dt
⎡ ⎤ = ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
G G
G G
trong đó:
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ (r.K)
dt d ) v m r ( dt
d dt
) v d(m
r G G G G
(10)Vậy: d (r K) r F dt
⎡ ⎤ ⎡= ⎤
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
G G
G G
r K L
⎡ ⎤ =
⎣ ⎦
G
G G
G
: mô men động lượng chất điểm O
0
r F M/ (F)
⎡ ⎤ =
⎣ ⎦
G G
: mô men lực FG O )
F ( M/ dt
L d
0
G G
= (2-19)
Định lý: Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng O chất điểm chuyển động mô men O lực tác dụng lên chất điểm
Hệ quả: Nếu FGđi qua điểm O cốđịnh M/0(FG)=0 đó: const
L dt
L
dG = ⇒ G=
có nghĩa M ln ln chuyển động mặt phẳng cố định 2.5.3 Trường hợp chuyển động trịn
Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động quỹ đạo trịn (O,R) (hình 2-5)
O
M
vG RG
LG
Hình 2-5
Khi mơ men động lượng chất điểm có độ lớn:
L G = OM.mv = Rmv = (mR2).ω
Đặt mR2= I (2-20)
I gọi mô men quán tính chất điểm O
L G = I.ω (2-21)
Dưới dạng véc tơ: LG=IωG (2-22) Mặt khác: FG=FGn +FGt
và M/0(FGn)=0 nên (2-20) có dạng:
M/ (F )
dt )
ω
d(I dt
L d
t
G G
G
=
(11)Ví dụ 1: Một vật đặt mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α=300 Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k=0,2 Tìm gia tốc vật mặt phẳng nghiêng Lấy g=10m/s2
Giải Tác dụng lên vật có lực:
- Trọng lực PG
- Phản lực pháp tuyến NG - Lực ma sát FGms
Các lực có phương chiều hình 2-6
PG
ms
fG
NG
+ α Hình 2-6
Gọi a gia tốc vật, phương trình chuyển động vật viết:
ms
P + N + F = maG G G G (*) Chiếu (*) lên chiều dương chọn, ta được:
Psinα – fms = ma
Với fms = kN = kPcosα
Suy a = g(sinα- kcosα)
a 10(0,5 0, 2. 3) 3, 27( / )2
2 m s
= − =
Ví dụ 2: Một ơtơ khối lượng chuyển động đường Hệ số ma sát bánh ôtô mặt đường k =0,1 Tính lực kéo động ơtơ trường hợp:
a Ơtơ chuyển động
b Ơtơ chuyển động nhanh dần với gia tốc 2m/s2 Cũng câu hỏi cho trường hợp:
c Lên dốc có độ dốc 4% d Xuống dốc
Lấy g=9,8m/s2 suốt trình chuyển động hệ số ma sát bánh ơtơ mặt đường k =0,1
Giải Tác dụng lên ơtơ có lực:
(12)- Trọng lực PG
- Phản lực pháp tuyến NG - Lực ma sát Fms
G
Các lực có phương chiều hình 2-7
Gọi a gia tốc ơtơ, phương trình chuyển động ôtô viết:
ms
F+P + N + F = maG G G G G (a) Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được:
F – fms = ma (b)
Với fms = kN = kP
a Muốn ôtô chuyển động (a=0) từ (a) suy F = fms = kP
Vậy F = 0,1.1000.9,8 = 980(N) NG
PG
FG
ms
fG
+
Hình 2-7
b Muốn ơtơ chuyển động nhanh dần với gia tốc a =2m/s2 từ (a) suy F = fms+ma = ma+ kP
Vậy F = 1000.2+ 0,1.1000.9,8 = 2980(N) c Trường hợp ơtơ lên dốc có độ dốc 4% (ôtô chuyển động đều)
Tác dụng lên ôtô có lực trên, có phương chiều hình 2-8 (a) phương trình chuyển động ơtơ
PG
ms
fG NG +
α Hình 2-8
FG
Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: F- Psinα – fms =
Với fms = kN = kPcosα
Suy F = mg(sinα + kcosα)
(13)d Trường hợp ơtơ xuống dốc có độ dốc 4% (ôtô chuyển động đều) Tác dụng lên ôtô có lực trên, có phương chiều hình 2-9
PG ms f G NG + α Hình 2-9 FG
(a) phương trình chuyển động ôtô Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được:
F+ Psinα – fms =
Với fms = kN = kPcosα
Suy F = mg(kcosα - sinα) Thay giá trị vào ta được: F = 588N
Ví dụ 3: Một sợi dây vắt qua ròng rọc khối lượng không đáng kể Hai đầu buộc hai vật có khối lượng m1 m2 (m1> m2) Coi ma sát
là không đáng kể Xác định:
+ Hình 2-10 PG PG TG TG a Gia tốc hai vật
b Sức căng dây Giải Tác dụng lên m1 m2 có lực:
- Trọng lực PG - Lực căng dây TG
Các lực có phương chiều hình 2-10
a Gọi a gia tốc hệ, phương trình chuyển động hệ viết:
a ) m (m T P T
P1 2
G G G G G + = + +
+ (a)
trong đó: T1 T2
G G
− =
Chiếu (a) lên chiều dương chọn, ta được: )a m (m P
P1− 2 = 1 + 2 Suy ra: g
) m (m ) m (m a 2 + − =
b Ta viết phương trình chuyển động cho vật m1:
a m T P1 1
G G
G
=
(14)Chiếu (b) lên chiều dương chọn, ta được: a
m T P1− 1 = 1 Suy g
) m (m
m 2m T
2
2
1 = +
BÀI TẬP
2.1 Một xe có khối lượng 20 tấn, chuyển động tác dụng lực hãm có độ lớn 6000N, vận tốc ban đầu xe 15m/s Hỏi:
a Gia tốc xe
b Sau xe dừng lại
c Đoạn đường xe chạy kể từ lúc hãm xe dừng hẳn
Đáp số: a/ a = 0,3m/s2
b/ t = 50s c/ s = 375m
2.2 Một vật trượt xuống mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α=450 Khi trượt quãng đường s=36,4cm, vật thu vận tốc v=2m/s Xác định hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng
Đáp số: k = 0,22
2.3 Một xe có khối lượng chuyển động đoạn đường nằm ngang, hệ số ma sát bánh xe mặt đường 0,1 Tính lực kéo động trường hợp:
a Xe chuyển động
b Xe chuyển động nhanh dần với gia tốc 2m/s2
Đáp số: a/ Fk =1000N
b/ Fk =3000N
A
B
Hình 2-6 2.4 Một vật A đặt mặt phẳng nằm
ngang Vật A nối với vật B sợi dây vắt
qua rịng rọc cố định (Hình 2-6) Khối lượng vật A 200g, vật B 300g Khối lượng ròng rọc dây coi khơng đáng kể
a Tính lực căng dây cho hệ số ma sát vật A mặt phẳng nằm ngang k=0,25
b Nếu thay đổi vị trí vật A vật B lực căng dây bao nhiêu?
Đáp số: a/ T =1,5N
b/ T =1,5N
2.5 Một vật có khối lượng m=500g buộc vào đầu sợi dây dài l=100cm Một người cầm đầu dây mà quay vật mặt phẳng thẳng đứng với tần số n=3 vòng/s Lấy g=10m/s2
(15)b Người quay dây nhanh dần lên dây đứt Hỏi dây bị đứt vị trí tần số vòng dây bị đứt bao nhiêu? Biết dây bị đứt lực căng 205N
Đáp số: a/ T1 =172N; T2 =182N b/ n =3,18vòng/s
2.6 Một vật có khối lượng m=200g treo đầu sợi dây dài l=40cm, vật quay mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi cho sợi dây vạch mặt nón Giả sử dây tạo với phương thẳng đứng góc α=450 Tìm vận tốc vật lực căng dây
Đáp số: ω =5,95rad/s; T =2,84N
2.7 Một người dùng dây kéo vật có trọng lượng P=50N trượt mặt sàn nằm ngang Dây nghiêng góc α=300 so với phương ngang Hệ số ma sát trượt vật mặt sàn k=0,3 Xác định độ lớn lực kéo