Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối tứ diện KA BC '.[r]
(1)TRƯỜNG THPT VINH LỘC ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ ƠN TẬP THI ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TOÁN; Khối: A, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
4
1 3
,
2 2
y x mx
có đồ thị Cm,m tham số. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m1
2 Tìm m để đồ thị Cmcủa hàm số 1 có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm tạo thành tam giác vuông
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2 cos 1
tan cot 2 .
sin 4 x
x x
x
2 Giải phương trình:
1 x 1 1 x1 2 x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
3
cos
sin cos
x
I dx
x x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy A B C' ' ' tam giác vuông B' Gọi K hình chiếu vng góc điểm A' lên đường thẳng AC' Biết góc đường thẳng A K' với mặt phẳng
C AB' '
bằng 300 A B' 'a A C, ' 'a 5. Tính thể tích khối tứ diệnKA BC' Câu V (1,0 điểm) Cho x y z, , số thực khác Chứng minh bất đẳng thức sau:
2 2
2 2
2 2
3
x y z
x yz y x z z y x
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ O ,xy cho tam giác ABCcó đỉnh 1;1 , A
trực tâm H1;3 , tâm đường tròn ngoại tiếpI3; 3 Xác định tọa độ đỉnh B, C, biết xB xC.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng
1 : 2
2
x t
d y t
z t
và hai điểm A1;2; , B7; 2;3
Tìm điểm I thuộc đường thẳng d cho IA IB nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tính mơđun số phức z, biết:
2 7
2 1 .
7 i
z i i
i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC với hai điểm A2; , B1; 2 và trọng tâm G nằm
đường thẳng d x y: 2 0. Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC 3
. 2
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm A10; 2; , đường thẳng d có phương trình:
1
x t
y t
z t
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với đường thẳng d cho khoảng cách đường thẳng
(2)Viết số phức sau dạng lượng giác:
2011
2012
2
sin sin
3
i z
i
-Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: ………; Số báo danh: ………; Lớp: ………… ĐÁP ÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I.1 Học sinh tự giải
I.2
3
' 2 2 2
y x mx x x m
, (Cm) có ba điểm cực trị m < 0.25
2 3 3 3
( ; ), ( ; ), (0; )
2 2 2
m m
A m B m C
nên
4 2 ,
4 m
AB m AC BC m 0.25
Tam giác ABCvuông
4
2 2
3 0
4 2 2
2 2 4
m
m m
AB AC BC m m m
m
0.25
Mà m < nên giá trị m cần tìm là: m 3 0.25
II.1
Điều kiện: x m4,m .
0.25
2 cos 1 s inx os2
(1)
cos sin 2 2sin os2 x
c x
x x xc x
1 cos 1
sin 2 sin os2 x
x xc x
os2 cos
c x x
2cos2xcosx
0.25
cos 0 1 cos
2 x x
2
2 , 3
x k
x k k
0.25
Vậy: x 3 k2 ,k
0.25
II.2
Điều kiện: 1 x 1. 0.25
2 1 1
1 1 2'
x n
x x x x
x x
0.25
2
2'
4
1 24
25 25 24
x x
x
x
x x
0.25
Vậy:
24
0, .
25 x x
0.25
III.1
2
3
0
cos 1 cos s inx
2
sin cos sin cos sin cos
x x
I dx dx
x x x x x x
(3)K G
B
C
A' B'
C' A
H I
=
2
0
1 1
tan
4 x 4 sinx cosx
0.5
=
1 1
1 1 1 .
4 2 0.25
IV
GócA’KH = 300 A’K = 2A’H
0.25
2 2 2
1 1 1 1 1
AA ' ' ' 5
15
' , AA ' 15, ' ' 2 5
2
5
' 5,
2
A H a A K a
a
A K a AC A C a
a
OA a OK
2
' '
5 3
2 ' .
4 A CK OA K
a S S A K OK
0.25
Dựng đường cao BI tam giác ABC BI (CA’K) nên BI đường cao khối chóp
B.A’CK
2 5 a BI
0.25 Vậy thể tích khối tứ diện KA BC' là:
3
' ' '
1 15
. .
3 6
KA BC B A CK A CK
a
V V S BI
0.25
V
Ta có:
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 , , 0
2
1 1 .
2 2
2
y z y z y z
x y z
x x
x y z
x y z
x y z
0.25
Do đó:
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
3 2
2 2 2 2 2 2
VT x y z
x y z y x z z x y
0.25
2 2
2 2 2 2 2
2 1 1 1 18
3 5 5 5
5 2 2 2 2 2 2 5
3 . 5
VT x y z
x y z y x z z x y
VT
0.25
3
0. 5
VT x y z
Vậy
2 2
2 2
2 2
3
x y z
x yz y x z z yx (đpcm).
0.25
VI.a.1 Gọi D đối xứng với A qua I D(5;-7) D nằm đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác
ABC:
2
3 3 20
x y
0.25 Gọi J trung điểm HD J trung điểm BC nên BC: x – y – =
Tọa độ hai điểm B, C nghiệm hệ phương trình:
32 32 20 4 0
x y
x y
(4)5 1
1 5
x y x y
0.25
Mà xB xC nên hai đỉnh cần tìm B(-1;-5) C(5;1). 0.25
VI.a.2
( ;2 ; 2 ) I t t t d
2
17 13 17 68 81
IA IB t t t 0.25
Xét hàm số f t( ) 17t213 17t2 68t81
2
2 '( ) 17
17 13 17 68 81
t t
f t
t t t
0.25
0 2
'( ) 0 17 68 81 2 17 13 1
52 52 0 t
f t t t t t t t
t
. 0.25
Điểm I cần tìm I(2;0;4) 0.25
VII.a
Ta có:
2 i 3 4i
4
1i 2i 4 0.25
2 (7 ) 3 4 4
50 i
z i 0.25
24 7 49 93 1 4
25 25 25 25
z i i i 0.25
Vậy
2
1 442
49 93 .
25 5
z 0.25
VI.b.1
AB: x – y – =
Giả sử G m ; 2 md C m3 3;9 3 m 0.25
3 1 3 3
. . ; ;
2 2 2 2
ABC
S AB d C AB d C AB 0.25
2 6 15 3
3.
2 2
m m
m
0.25
Vậy điểm C cần tìm là: C(3;3) C(6;0) 0.25
VI.b.2
Gọi H hình chiếu vng góc A d Khi d d P ;( ) d H P ;( ) 0.25 Giả sử điểm I hình chiếu vng góc H lên (P) AH AI
HI lớn A trùng với I 0.25
H(3;1;4) 0.25
Mặt phẳng (P) cần tìm qua A nhận vectơ AH 7; 1;5
làm VTPT Vậy (P): 7x + y – 5z – 77 =
0.25
VII.b
2011 2011
2011 2011
2 2 2 os isin
2 3
i i c
0.25
2011 2011 2011
= 2 os i sin
3
c
0.25
2012 2012
5 1006 1006
sin sin os isin = os isin
3 i c 6 c 3
0.25
(5)2 22011 os 2011 isin 2011
3
1006 1006
os isin
3
c z
c
3016 1005 1005
2 os isin
3
c
3016
2 osc isin