Đang tải... (xem toàn văn)
Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) ...[r]
(1)ĐỀ 1
( Thời gian làm 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số cộng có số hạng đầu 16 , công sai tổng 72 Hỏi cấp số cộng
có số hạng
Câu II ( 3,0 điểm )
a Tìm giới hạn dãy số (un) với un n 7 3n 2 b Tìm giới hạn sau :
2 x
x 3x lim
2x 2x
c. Xét tính liên tục hàm số
2
o 2x x
f (x)
n
nÕu x > t¹i x
2x + Õu x Câu III ( 3,0 điểm )
a Tìm đạo hàm hàm số
sin x y
x
b Cho hàm số f (x)x3 3x29x 2009 Hãy giải bất phương trình f '(x) 0 c Cho hàm số y x Chứng minh : y.y '' (y ') 1
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD)
a Chứng minh : mp(SAB)mp(SBC) b Chứng minh : BDmp(SAC)
c Biết SA=
a
3 Tính góc SC mp(ABCD)
.Hết HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi n số lượng số hạng , u1 số hạng , d công sai cấp số cộng Áp dụng công thức : n
n
S [2u (n 1)d]
, ta có :
2 n
n
72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72
n 12
( lo¹i ) ( nhËn )
Vậy cấp số cộng có 12 số hạng
Câu II ( 3,0 điểm )
a ( 1đ ) Ta có : n
7
lim u lim n[ ]
n n
(2)b (1đ)
2
x x x
x 3x (x 1)(x 2) x 2
lim lim lim
2x(x 1) 2x 2
2x 2x
c (1đ) Tập xác định D = Ta có : f( 1) = 3+2( 1) =
2
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim (2x 3) 2( 1)
Vì x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim f (x)
nên không tồn xlim f (x) 1 Vậy hàm số cho không liên tục xo 1
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có : 2
(sin x) '.(x 1) sin x.(x 1) ' cos x.(x 1) sin x (x 1) cos x sin x y '
(x 1) (x 1) (x 1)
b (1đ) Ta có : f '(x)3x2 6x 9
Do : f '(x) 0 3x2 6x 0 x2 2x 0 x 3 x 1
c) (1đ) Ta có : y x y2 1 x2 2y.y ' 2x y.y ' x y '.y ' y.y '' 1 Hay (y ')2y.y '' 1 y.y '' (y ') 1 (®pcm)
Câu IV ( 3,0 điểm )
a (1đ) Vì SA(ABCD) SABC (1) , BC(ABCD) Mặt khác : BCAB (2) , ABCD hình vng
Từ (1) , (2) suy BC (SAB) (SBC) (SAB) , Vì BC(SBC) b (1đ) Ta có : ACBD (3) , ABCD hình vng
Vì SA(ABCD) SABD (4) , BD(ABCD) Từ (3),(4) suy : BD(SAC)
c (1đ) Do SA(ABCD) A hc (ABCD)S AC hc (ABCD)SC Suy góc SC mp(ABCD) SCA
Tam giác SAC vuông A , ta có :
a
SA 3
tan SCA SCA 30
AC a
(3)ĐỀ 2
( Thời gian làm 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu số hạng cuối 1280 Tính cơng bội q tổng S9 số hạng
Câu II ( 3,0 điểm )
d Tìm giới hạn dãy số (un) với n
1 (2n 1) u
n
e Tìm giới hạn sau : x
3
lim ( )
1 x x
f. Xét tính liên tục hàm số
o 3x
f (x) x 2
n
nÕu x t¹i x
Õu x
Câu III ( 3,0 điểm )
c Tìm đạo hàm hàm số y x x
d Cho hàm số f (x) x 2sin x cos x Hãy tính : f ''(1) , f ''( ) e Cho hàm số
x f (x)
x
Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Gọi I E trung điểm BC CD
c Chứng minh : Mp(ABC)mp(ADI) d Chứng minh : CDmp(ABE)
c Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC)
.Hết HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Ta có n = số lượng số hạng , u1=5 số hạng , u9=1280 số hạng , q công bội cấp số nhân
Áp dụng công thức u9 u q1 81280 5.q q8 256 q828 q2: , ta có : + q =
9
9 q
S u 2555
q
+ q =
9
9 q ( 2)
S u 855
q ( 2)
(4)cộng có u11, un 2n 1 , :
2
n n(n 2n 1)
S (2n 1) n
2
Suy :
2
n 2 2
2 (2n 1) n
lim u lim lim lim
1
n n 1
n
d (1đ)
x x x x x
3 3 x 3( x 1) 3( x 1) 3
lim ( ) lim ( ) lim lim lim
1 x x x
1 x (1 x )(1 x ) x
c (1đ) Ta có : f(1) =
Vì x x
3x 3.1
lim f (x) lim f (1) x 2
Vậy hàm số cho liên tục xo 1 Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có :
x.( 1) 12 3x y ' x x.( x ) ' x
2 x x
b (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cos x , f ''(x) = 2 cosx sinx Do : f ''(1) sin1 cos1 0,983 ; f ''( ) = 2 cos sin = 3 c) (1đ) Gọi xo hồnh độ tiếp điểm Vì
6 f ' (x)
(x 3)
Theo giả thiết , ta có :
2
o 2 o o
o
6
f ' (x ) 1 (x 3) x
(x 3)
Áp dụng công thức : y y o f ' (x )(x x )o o
o o
x y
tiếp tuyến ( ) : y x 61 xo 3 6 yo 1 tiếp tuyến (2) : y x 6 Câu IV ( 3,0 điểm )
d (1đ) Vì AB (BCD) AB DI (1) , DI(BCD)
Mặt khác : DIBC (2) , DI đường cao tam giác BCD Từ (1) , (2) suy DI (ABC) (ADI) (ABC) , DI(ADI)
e (1đ) Ta có : BECD (3) , BE đường cao tam giác BCD
Vì AB (BCD), B (BCD) B hc (ABC)A BE hc (ABC)AE (4) Từ (3),(4) suy : CDAE (5) , định lí đường vng góc Từ (3),(5) suy : CD(ABE)
f (1đ) Do DI (ABC), I (ABC) d(D,(ABC)) DI =
(5)ĐỀ 3
( Thời gian làm 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm )
Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng Biết u 19 u 35
Câu II ( 3,0 điểm )
g Tìm giới hạn dãy số (un) với n
2n sin n u
n
h Tìm giới hạn sau : x 2
x x lim
x 4x
i. Cho hàm số
3 x f (x)
n
nÕu x <
2x Õu x Chứng minh hàm số f(x) liên tục Câu III ( 3,0 điểm )
f Tìm đạo hàm hàm số y x cos3x
g Cho hàm số y sin 2x cos 2x Hãy giải bất phương trình y '' 0
c Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) :
1 y x
3
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường vng góc với mặt phẳng (ABC) B , ta lấy điểm M cho MB = 2a Gọi I trung điểm BC
e Chứng minh : AImp(MBC)
f Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) c Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA)
.Hết HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi u1 số hạng , d công sai cấp số cộng Áp dụng công thức : un u1(n 1)d , ta có :
1
5
9 1
u 4d 19 u u 19
u 35 u 8d 35 d 4
Vậy cấp số cộng có u13, d 4
(6)Vì
sin n 1 sin n
| | lim n
n n , n nª lim n nên lim un 2
f (1đ) x 2 x 2
x x x x
lim lim
x 4x (x 2)
Vì
2
x 2lim ( x x) 4 x 2lim [ (x 2) ] 0 (x 2)
, vµ
c (1đ) Tập xác định D =
+ Nếu x 1 f (x) x hàm đa thức nên liên tục ( ; 1) (1)
+ Nếu x 1 f (x) 2x 2 hàm đa thức nên liên tục ( 1; ) (2)
+ Tại x1
Ta có : f( 1) = 2(1)2 =
3 x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim x
2
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim (2x 3) 2( 1)
Vì x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim f (x)
nên xlim f (x) 1 f ( 1)
Vậy hàm số cho không liên tục xo 1 (3) Từ (1),(2),(3) suy hàm số liên tục
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có :
(cos 3x) ' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x y ' cos3x x cos3x x
2 cos3x cos 3x cos 3x
b (1đ) Ta có : y ' 2cos 2x 2sin 2x y ''4sin 2x 4cos 2x
Do : y '' 4sin 2x 4cos 2x sin(2x 4) 2x k x k ; k2
c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm () Vì () // (d) :
1 y x
3
nên () có hệ số góc k =
1 3
Gọi M(x ; y )o o tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Ta có :
1 y '
2x
nên o o o o o
1
k y '(x ) 2x x (y 3)
3 2x
Suy phương trình tiếp tuyến :
1
y (x 4) y x
3 3
Câu IV ( 3,0 điểm )
g (1đ) Ta có : MB (ABC) (gØa thiÕt) MB AI AI (ABC) (1) Mặt khác : AIBC (2) , ABC tam giác có đường cao AI Từ (1) , (2) suy AI (MBC)
b (1đ) Ta có : MB (ABC), M (ABC) B hc (ABC)M BI hc (ABC)MI (3) Suy góc IM mp(ABC) M I B
Vì tam giác MBI vng góc nên
MB
tan MIB MIB arctan
IB
(7)g (1đ) Do AI(MBC), suy : (MIA) (MBC) Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến MI Từ B kẻ BHMI suy
BH (M IA), H (M IA) d(B;(MIA)) BH .
Tam giác MBI vng B có đường cao BH , ta có :
a
BI , MB 2a
nên :
2 2 2
2
1 1 17
BH BI MB a 4a 4a
2a 17 4a
BH BH
17 17
ĐỀ 4
( Thời gian làm 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm )
Cho cấp số nhân (un) có
4
u u 120 u u 60
.Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân
Câu II ( 3,0 điểm )
j Chứng minh dãy số (un) với
2 n n 21 u
2n
dãy số giảm bị chặn k Tìm giới hạn sau :
2 x
x lim
x
c Cho hàm số
2
ax
f (x)
n
nÕu x
2x Õu x .Tìm giá trị a để hàm số f(x) liên tục .
Câu III ( 3,0 điểm )
h Tìm đạo hàm hàm số y tan x3 i Tính gần giá trị sin 29
c Chứng minh phương trình cos x2 x = có nghiệm
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác cạnh a , AA’ vng góc với mặt phẳng (ABC) AA’ =
a
2 Gọi O O’ trung điểm AB A’B’ g Chứng minh : ABmp(COO’)
b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ Hết
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
(8)
Lấy (1) chia (2) , ta : q2 Thay q2 vào (2) : u q (1 4) 601 u13 Vậy cấp số nhân có u13, q2
Câu II ( 3,0 điểm )
a ( 1đ ) Ta có : n
1 u
2 2n
Suy :
+ n n 2 2
1 1 1
u u ( ) ( ) 0, n
2 2(n 1) 2n 2(n 1) 2n
Suy (un) dãy số giảm
+ Vì n
1
u
2 , n 1 nên ( un) dãy số bị chặn
b (1đ )
2 2
2 2
x x x x
x x x x 2
lim lim lim lim
x (x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3
c (1đ) Tập xác định D =
+ Nếu x 2 f (x) ax hàm số liên tục ( ; 2) với a + Nếu x 2 f (x) 2x 1 hàm đa thức nên liên tục (2;)
Do : hàm số f(x) liên tục hàm số f(x) liên tục điểm x =
2
x x x x
3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 4a a
4
Vậy với a
4
hàm số cho liên tục
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có :
3
2 2
3
3 tan x
1 1 1
y tan x y ' (tan x)' 3tan x .3tan x
2 tan x
cos x cos x 2cos x
2 tan x tan x
b (1,0đ) Áp dụng công thức : f '(xo x) f (x ) f '(x ) x o o Phân tích : 29 30 (180)
Chọn : xo , x = 180
Đặt f(x) = sinx , ta có :
1
f '(x) cos x , f( ) sin , f '( ) cos
6 6
Suy :
1
sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) 0,9954
6 180 180 6 180 2 180
Vậy : sin 29 0,9954
c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = cos x2 x liên tục x 0 Ta có : f(0) = , f(2
) =
< nên cho có nghiệm
Câu IV ( 3,0 điểm )
h (1đ) Ta có : ABC nân ABCO
(9)i (2đ) + Xác định :
Ta có (CB’O’) chứa CB’ song song với AB
Do : Khoảng cách AB CB’ khoảng cách AB (CB’C’) Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]
Ta có :
AB (COO') ( câu 1)
O'B' (COO') (CO'B') (COO')
O'B' (COO')
Do kẻ OHO’C OH (CO’B’) , H (COO') + Tính khoảng cách :
Tam giác COO’ vuông O có đường cao OH nên
2 2 2
2
1 1 10
OH OC OO ' 3a a 3a a 30 3a
OH OH
10 10
Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30