101 bai tap hinh On thi Vao 10 rat hay

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D.. Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn.[r]

I

E D

M O O'

A C

B

Bài 1:

Cho ABC có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

1. Chứng minh:BEDC nội tiếp

2. Chứng minh:DEAACB

3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA phân giác gócMAN

Chứng tỏ: AM2=AE AB.

Bài 2:

Cho(O) đường kính AC đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I

Tứ giác ADBE hình gì? C/m DMBI nội tiếp

C/m B;I;E thẳng hàng MI=MD C/m MC DB=MI DC

C/m MI tiếp tuyến (O’)

x

y

N

M

D E

O

A

B

C

K

S D

O A

M

Cho ABC có A =1v Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường trịn

tâm O đường kính CM cắt BC E;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E Cmr:MD phân giác AED

3 C/m CA phân giác góc BCS

Bài 4:

Cho ABC có A = 1v Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > MC Dựng đường

trịn tâm O đường kính MC; đường tròn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác góc AED C/m: ASM =ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy

Hình S D

E

O

B C

H×nh 5 I

N P

M F E

A' D

O A

B C

Bài 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB A’A=AD A’C C/m:DE  AC

4 Gọi M trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF

Bài 6:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC P trung điểm AB;Q trung điểm FE

C/m MFEC nội tiếp C/m BM EF=BA EM C/M AMP FMQ

C/m PQM = 90o

H×nh 6 Q P

E F

O B

A

H×nh 8 I

F

E O A

B C

cho AB=AD Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD Có nhận xét I F

Bài 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m: BDCO nội tiếp C/m: DC2 = DE DF

3 C/m: DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

Bài 9:

H×nh 7

G

F

E

D O

B C

H×nh b H×nh a

I

P Q

H

M P

I

Q

H

N

O O

A B

M

A B

N

H×nh 10 F N

C B

O A I

E

Cho (O),dây cung AB Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây

cung MN vng góc với AB H Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn

2 C/m:NQ NA=NH NM

3 C/m MN phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ AN+MP BN có giác trị lớn

Bài 10: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1 Chứng minh tam giác ABC vuông A

2 O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn

3 Chứng tỏ : BC2= Rr

x y

H×nh 1

E

K I

H M A

O

B

I N

E

F B

D

O A

C

M

đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1.C/m OMHI nội tiếp 2.Tính góc OMI

3.Từ O vẽ đường vng góc với BI K C/m OK=KH 4.Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB

Bài 12: Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E

1 C/m: MA phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ: AC2 = AE AM

H×nh 13 P

I H

D

C B

K

O A

E

y

K

I H

N M

D O

A B

C

Bài 13: Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE C/m AB2=AI AH

4 BH cắt (O) P C/m AE//CP

Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M;N

1 CMR: MCDN nội tiếp

2 Chứng tỏ: AC AM = AD AN

3.Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN CMR: AOIH hình bình hành

4.Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào?

H×nh 15

M P Q H

F G

E

O B

C A

D

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE;DF;DG vng góc với cạnh AB;BC;AC Gọi H hình chiêu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm AB với HD với (O) P Q; ED cắt (O) M C/m: HA DP=PA DE

3 C/m: QM = AB C/m: DE DG =

DF DH 5.C/m: E;F;G thẳng hàng

Bài 16:

Cho tam giác ABC có A =1v; AB < AC Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ

IKBC (K nằm AC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O

2 C/m: BMC2 ACB

3 Chứng tỏ: BC2= AC KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN C/m: NMIC nội tiếp

Hình 16 N

M

K

I

B C

H×nh 17

F E

I H

K

M O

A B

C

2a

a

x y

H×nh 18

J O

K N M I

H

A B

D C

Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác góc ACB cắt (O) tai M Gọi H;K hình chiêu M lên AC CB

1.C/m: MOBK nội tiếp

2.Tứ giác CKMH hình vng 3.C/m: H;O;K thẳng hàng

4.Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường tròn I chạy đường nào?

Bài 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a Kẻ tia phân giác góc ACD, từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1 Chứng minh: AHDC nội tiếp đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a

2 HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N Chứng tỏ HB = HC Và AB AC = BH BI

3 Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

H×nh 19

N

D

I H C

O

A B

M

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D

Cmr: CDBM hình thang cân

4 BM cắt OH N Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN MC=IN MA

Bài 20:

Cho  ABC nội tiếp (O;R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN

1 Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J C/m BI qua trung điểm AJ

H×nh 20 J

K

I F

E D

N O

A

B C

H×nh 21

E

D

N I M

O

B C

A

H×nh 22

F

E M

N

Q

P B

A

D C

I

Bài 21:

Cho ABC (A =1v) nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M trung điểm cạnh

AC Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D C/m ABNM nội tiếp CN AB=AC MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB E C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

Bài 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt AB;BC;CD;DA P;Q;N;M

1 C/m INCQ hình vng Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F C/m MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm

H×nh 23

Q

H I M

E

O F

N

B

D C

A

H×nh 24

I

D N

J M

K

H B

A

C Cho hình vng ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC E BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ BEN vuông cân

3 C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC IE F vuông

5 C/m: BM đường trung trực QH (H giao điểm BE AB) MQBN thang cân

Bài 24:

Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK;HM vuông góc với AB;AC Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK nội tiếp C/m JA JH=JK JM

3 Từ C kẻ tia Cx với AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI;HN vng góc với DB DC Cmr : HKM   HCN

H×nh 25

O I

E

D

H M

B C

A

H×nh 26 M

F

E

I

K

H A

B

C

Bài 25:

Cho ABC (A =1v),đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường

thẳng AB D cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn C/m: AMDE

4 C/m AHOM hình bình hành

Bài 26:

Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI = AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ABC

H×nh 27

I D

K

O A

B C

M

H×nh 28

N M

F E

I

O A

B

C

D

Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy điểm K cho MK = MC tia BA lấy điểm D cho AD=AC

1.C/m: BAC  2 BKC

2.C/m BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn

3.Gọi giao điểm DC với (O) I C/m: B;O;I thẳng hàng

4.C/m DI = BI

Bài 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D) ID IC cắt AB M;N

1.C/m D;M;N;C nằm đường tròn 2.C/m NA NB=NI NC

3.DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E C/m:EF//AB

H×nh 29

J

G

K I

F C

B

D A

E

H×nh 30

G O

I

D N

M

Q H

A

B

C

Bài 29:

Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF, AI kéo dài cắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G

1.C/m AECF nội tiếp 2.C/m: AF2=KF CF

3.C/m:EGFK hình thoi

4.Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi

5.Gọi giao điểm EF với AD J C/m:GJ  JK

Bài 30:

Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O

2 So sánh BAH vàOAC

3 CH cắt OD E C/m AB AE=AH AC

H×nh 31

H D

M N

J K

I B A

O C

H×nh 32 P

Q E M

F

O B

D C

A

N

Cho (O) sđAB = 90o C điểm tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao

AI;BK;CJ ABC cắt H BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gaëp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường tròn

2 C/m: BI KC=HI KB

3 C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành C/m:OC // DH

Bài 32:

Cho hình vng ABCD Gọi N điểm CD cho CN < ND;Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN (O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm ME NF Q MN cắt (O) P C/m B;Q;P thẳng hàng Chứng tỏ ME//PC BP=BC

H×nh 33 K Q

E

D A

O B

C

x

H×nh 34

I J D

M N E B

O A

C

F

Bài 33:

Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB; AB CD cắt E BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE C/m: AQEC nội tiếp

3 C/m: KA KC=KB KD C/m: QE//AD

Bài 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD

1.C/m:D nằm đường thẳng BF 2.C/m ADCF nội tiếp

3.C/m: CF CN=CE CM 4.C/m:MN//AC

H×nh 35 J I P

D C

O

A B

M

N M

O' O

H A

B

C

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB

1. C/m:ACBD hình vng

2. AM cắt CD ;CB P I Gọi J giao điểm DM AB C/m IB IC=IA IM

3. Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM

4. Tính tích tích AID theo R

Bài 36:

Cho ABC (A =1v) Kẻ AHBC Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam

giác AHB AHC Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC M;N

1. C/m:  OHO’ tam giác vuông 2. C/m:HB HO’=HA HO

3. C/m: HOO’ HBA

4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp

H×nh 37 N

D

M

E K

I O

A B

C

H×nh 38 F

D

E K

H

B

A

C P

Bài 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường tròn K Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1. C/m:AIMD nội tiếp

2. C?m CM CA=CI CD

3. C/m ND=NC

4. Cb cắt AD E C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM

5. Giả sử C trung điểm IK Tính CD theo R

Bài 38:

Cho ABC Gọi P điểm nằm tam giác choPBA PAC Gọi H K

lần lượt chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC 1.C/m AHPK nội tiếp

2.C/m HB KP=HP KC

H×nh 39

J I

O

G

E F

C A

B

D

H×nh 40 I

F D

E

C B

A

O

O'

Cho hình bình hành ABCD (A > 90o) Từ C kẻ CE;CF;CG vng góc với

AD;DB;AB

1. C/m DEFC nội tiếp

2. C/m:CF2 = EF GF

3. Gọi O giao điểm AC DB Kẻ OICD Cmr: OI qua trung điểm AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp

Bài 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các đường thẳng AO cắt (O); (O') C E;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) D F

1.C/m:C;B;F thẳng hàng

2.C/m CDEF nội tiếp

3.Chứng tỏ DA FE=DC EA

y x

H×nh 41 K

I

H C

B

O

E F A

H×nh 42 I K

E F

N

D M

A

B

C

Bài 41:

Cho (O;R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung điểm EF

1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn

2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K C/m: OI OA=OH OK=R2

3. Khi A di động xy I di động đường nào?

4. C/m KE KF hai tiếp tyueán (O)

Bài 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D Qua A kẻ AE AF vng góc với BN CM Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1.C/m AFDE nội tiếp 2.C/m: AB NC = AN BC 3.C/m: FE//BC

H×nh 43 I N

E M D

O' O

B

A

C

J K

E Q

M N

I

D C

B

O A

P

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1.Chứng tỏ D nằm BC

2.Gọi M điểm cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE AC=AE MC

3.C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng

4.Gọi I trung điểm MN C/m góc OIO’=90o

5.Tính tích tích tam giác AMC

Bài 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều, kể từ điểm A cung AB=60o, cung

BC = 90o cung CD = 120o

1. C/m ABCD hình thang cân

2. Chứng tỏ ACDB

3. Tính cạnh đường chéo ABCD

H×nh 45 N

O

M F

E

D

C B

A

H×nh 46 I

E D

F

O

B C

A

Bài 45:

Cho  ABC có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giác BC Từ D dựng tia Dx vng góc với DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EFBC Gọi O trung điểm EB

1 C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

2 Kéo dài FE phía F,cắt (D) M EC cắt (O) N C/m EBMC thang cân Tính tích tích

3 c/m EC phân giác góc DAC C/m FD đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

6 Tính tích tích phần mặt trăng tạio cung nhỏ EB hai đường tròn

Bài 46:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1. C/m BD phân giác góc ABC OD//AB

2. C/m ADEF nội tiếp

3. Gọi I giao điểm BD AC Chứng tỏ CI=CE IA IC = ID IB

H×nh 47 M I

F E

O A

D B

C

J

I

Q

R O

A B

P

Cho nửa đường trịn (O); Đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B C cho cung AB < AC; AC cắt BD E Kẻ EFAD F

1 C/m: ABEF nội tiếp

2 Chứng tỏ: DE DB=DF DA

3 C/m:E tâm đường tròn nội tiếp CBF

4 Gọi I giao điểm BD với CF C/m BI2 = BF BC - IF IC

Bài 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường trịn Tia PR cắt (O) C

1 C/m ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI QJ=CJ QP

x y

H×nh 49 E

F

N

C

D

O

A B

M

H×nh 50 K

H B

D C

A

E

Bài 49:

Cho nửa (O) đường kính AB=2R Trên nửa đường tròn lấy điểm M cho cung AM<MB Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tia tiếp tuyến Ax By D C

1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp

2. Chứng tỏ AD BC = R2

3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh: AMFN hình thang cân

4. Xác định vị trí M nửa đường trịn để DE = EF

Bài 50:

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

1 Chứng minh:BHCD nội tiếp Tính góc CHK

3 C/m KC KD=KH KB

4 Khi E di động BC H di động đường nào?

Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE AD

3 C/m góc AOC ACB  và BDC cân CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

Bài 52:

Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’

1 Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ABC voøng quanh trục AH Tính tích tích xung quanh hình tạio

H K

C'

C A'

A

O

B

I

E

D

C B

O A

Bài 53:

Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vng góc với MQ M cắt (O) P

1 C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2 Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP

3 Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr:

a/ MH MQ= MP2

b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP

Bài 54:

Cho (O;R) cát tuyến d khơng qua tâm O Từ điểm M d ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C Gọi H chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống d Đường thẳng vuơng gĩc với BC O cắt AM D

1. C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn

2. C/m AC//MO MD=OD

3. Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME MF

4. Xác định vị trí điểm M d để MAB tam giác Tính tích tích phần tạio hai tia tiếp tuyến với đường trịn trưđường hợp

d

H C

E O F

B

A D

Bài 55:

S

J H

M P

Q I

D C

O

tròn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1. C/m: AMN   BMC 2. C/m: ANM = BMC

3. DN cắt AM E CN cắt MB F C/m FEAx

4. Chứng tỏ M củng trung điểm DC

Bài 56:

x

y

E

F D

C M

O

A B

N

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF

1. C/m AECD nội tiếp

2. C/m: CD2 = CE CF

3. Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE

4. C/m: IK//AB

x K

I D

F

E

M O

B A

C

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P > R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K

thẳng hàng

Q J

K

N

I P

O

A B

M

Bài 58:

Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1. C/m ABI vuông cân

2. Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m

AC AI=AD AJ

3. C/m JDCI nội tiếp

Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung điểm DH

N

H J K I

C

O

A B

D

thẳng AN cắt đường tròn M

1 Chứng minh: NMBO nội tiếp

2 CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3 C/m hệ thức: AM DN=AC DM

4 Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác

E

M

D C

O

A B

N

Bài 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiêu A B lên đường thẳng d

1. C/m: CD=CE

2. Cmr: AD+BE=AB

3. Vẽ đường cao CH ABC Chứng minh AH=AD BH=BE

4. Chứng tỏ:CH2=AD BE

Chứng minh:DH//CB

d

H

E D

O

A B

C

H×nh 61 K

F

G E O

B

A

C D

Cho ABC có: A=1v D điểm nằm cạnh AB Đường trịn đường kính BD cắt BC E đường thẳng CD;AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G

1. C/m CAFB nội tiếp

2. C/m AB ED = AC EB

3. Chứng tỏ AC//FG

4. Chứng minh AC;DE;BF đồng quy

Bài 62:

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O) M điểm di động d Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OHd H dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K

1. C/m: MHIK nội tiếp

2. C/m OJ OH=OK OM=R2

3. CMR M di động d vị trí I ln cố định

d

K I

H M O

Q P

lấy HD = HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E 1. C/m AHEC nội tiếp

2. Chứng tỏ CB phân giác góc ACE AHE cân 3. C/m HE2 = HD HC

4. Gọi I trung điểm AC HI cắt AE J Chứng minh: DC HJ=2IJ BH

5. EC kéo dài cắt AH K Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi

J

I

K

E D H

B C

A

Bài 64:

Cho tam giác ABC vuông cân A Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE Bx E Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FDBC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

D E

A

O C

B

x y

H×nh 65 E

D

Q

P

O A

B M

C

x

H×nh 66

K H

F

E I

O A

B M

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM cm: ACMP nội tiếp

Chứng tỏ AB//DE

C/m: M; P; Q thẳng hàng

Bài 66:

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM IB

2 C/m: BAF cân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

C

y x

H×nh 67 K

P N

D O

A B

M

H×nh 68 O

F E

K

I H

B

A

C

lấy điểm M(Khaùc A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

Bài 68:

Cho ABC có A = 1v AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa

điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường tròn cắt AB AC E F Giao điểm FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật BEFC nội tiếp

3 AE.AB = AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn

2 1

4 3 2 1

H×nh 69 I

H

E

D

O

B C

A

I

K

E D

H

C B

A

Bài 69:Cho ABC có A=1v AHBC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE = BD + CE

3 Chứng minh: DB CE = R2 (R bán kính đường trịn tâm O)

4 C/m: BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE

Bài 70: Cho ABC (A =1v); đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH

Gọi HD đường kính đường trịn (A;AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh BEC cân

1 Gọi I hình chiêu A BE C/m: AI = AH C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

3 C/m: BE = BH + DE

4 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K Và AH = 2R Tính tích tích hình tạo đường tròn tâm A tâm K

Bài 71:

kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường trịn đường kính CD điểm thứ hai N Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thẳng hàng CP CB = CN CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường trịn đường kính AM

Bài 72:

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E theo thứ tự điểm cung AB;AC Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K

1 C/m:AHK cân

2 Gọi I giao điểm BE với CD C/m:AIDE C/m CEKI nội tiếp

4 C/m:IK//AB

5 ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC Bài 73:

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường vng góc CD với AA’,đường cắt BA’ E

1 C/m: DA ' C DA ' E

2 C/m: A'DC=A'DE

3 Chứng tỏ: AC = AE Khi AA' quay xung quanh A E chạy đường nào? C/m: BAC  2 CEB

Bài 74:

Cho ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB O trung điểm AB;M điểm cung AC H giao điểm OM với AC

1 C/m: OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D Cmr: MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K Đường thẳng KH cắt AB P Cmr: KPAB C/m: AP AB = AC AH

Bài 75:

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA = IO Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1 Cmr: ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2 Từ S điểm tuỳ ý cung PQ vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K Tính sđ góc HOK

3 Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp

4 Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK

Bài 76:

Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC BD cắt E Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt F

1 C/m: ABCD thang cân Chứng tỏ FD FA = FB FC C/m: Góc AED = AOD C/m AOCF nội tiếp

Bài 77:

Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn Kẻ OAxy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB EN = AF EC So sánh góc AOD COM Chứng tỏ A trung điểm DE

Bài 78:

Cho (O;R) A điểm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

Chứng tỏ EC // với OA

đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm đường tròn

Bài 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vng góc với OM,đường cắt PA,PB C D

Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn Chứng minh: COD = AOB

Chứng minh: Tam giác COD cân

Vẽ đường kính BK đường tròn,hạ AH BK Gọi I giao điểm AH với PK Chứng minh AI = IH

Bài 80:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Chứng minh : AD AB = AE AC

Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI

Bài 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC)

Chứng minh BDCO nội tiếp Chứng minh: DC2 = DE DF

Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn Chứng tỏ I trung điểm EF

Cho đường trịn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M AM cắt CD E

Chứng minh AM phân giác góc CMD

Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn Chứng tỏ AC2 = AE AM

Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I Chứng minh NI//CD

Bài 83:

Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m: AEHF nội tiếp

2 Chứng tỏ: HG HA = HD HC

3 Chứng minh EFDG FHC = AFE

4 Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngaén

Bài 84:

Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I

1 Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m: KM JA = KA JB

Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ: CD2 = CE CF FD tiếp tuyến đường tròn (O)

3 AC cắt DE I;CB cắt DF J Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1 Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ: IC2 = IA IB

3 Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh: IE IF = IM IN

b/ E; F; M; N nằm đường tròn

Bài 87:

ChoABC có góc nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC (O) cắt AB;AC D E BE CD cắt H

1 Chứng minh: ADHE nội tiếp C/m: AE AC = AB AD

3 AH kéo dài cắt BC F Cmr: H tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I trung điểm AH Cmr IE tiếp tuyến (O)

Bài 88:

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF Cmr: AEKF nội tiếp Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD

4 Chứng tỏ FA EC = FD EA

Bài 89:

Cho ABC có A = 1v Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1 Chứng minh: OAO’ thẳng hàng CM: AMKN nội tiếp

Bài 90:

Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F

1 Cm: BDEF nội tiếp

2 Chứng tỏ: DA DF = DC DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI AM = AC AH

Bài 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khaùc A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường trịn ADEM hình gì?

4 Chứng tỏ: MD MB = ME MC

Bài 92:

Cho hình vng ABCD Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N Từ B dựng đường vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD KN = BE KA

3 Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vng

Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vng góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạio với góc 45 Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm: E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm: AB PE = EB PF

3 Cm: SAEF = 2SAPQ

4 Gọi M trung điểm AE Cmr: MC = MD

Bài 95:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt I Gọi E F trung điểm DH BC Từ E dụng đường thẳng song song với AD Đường cắt AH J

1 C/m: OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD Đường cắt AH J Chứng tỏ: HJ KC = HE KB

4 Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn

Bài 96:

Cho ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gaëp theo thứ tự I J Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nội tiếp

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr: AEAJ C/m: AI AJ = AB AC

Bài 97:

Từ đỉnh A hình vng ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2 = AP MD

Bài 98:

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o Phân giác góc A cắt cạnh CD đường

thẳng BC I K Hạ KH KM vng góc với CD AM Chứng minh KHDM nội tiếp

2 Chứng minh: AB = CK + AM

Bài 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF Đường thẳng CE CF gaëp lại đường tròn điểm thứ hai M N Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh: CN CF = 4BE BF Chứng minh MN//AC

Bài 100:

Trên (O) lấy điểm A;B;C Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I MN cắt AB E

1 Chứng minh BNI cân PKEN nội tiếp

3 Chứng minh AN BD = AB BN

4 Chứng minh I trực tâm MPN IE//BC Bài 101. Cho hai đường tròn (O)

(O’) cắt hai điểm A B Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) C cắt (O’) D cho A nằm C D Tiếp tuyến (O) C tiếp tuyến (O’) D cắt E

a/ Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

b/ Chứng minh