Tuyển tập các chuyên đề về phương trình, hệ phương trình

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:  Nâng lũy thừa hai vế..  Đặt ẩn phụ.[r]

(1)

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: Nâng lũy thừa hai vế

Đặt ẩn phụ

Lưu ý rằng: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định

 Dạng      

   2 g x f x g x

f x g x             

 Dạng          

   

f x hay g x f x g x

f x g x

  

   

 

 Dạng af x  b x  c t 2 f x , t  at bt c    

    

   

 Dạng f x  g x  h x 

● Đặt uf x , v  g x  với u, v0

● Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v

 Dạng f x  g x  f x g x   h x  Đặt t f x  g x , t  0

 Dạng 3A 3B  3C  

Ta có          

3

3A 3B 3C A B 3 AB3 A 3B C

          

Thay 3A 3B  3C vào    , ta được:    A B ABC3 C

 Dạng f x  g x  h x  k x  với        

       

f x h x g x k x f x h x g x k x

   



 



● Biến đổi dạng: f x  h x  k x  g x  ● Bình phương, giải phương trình hệ

 Dạng Nhân thêm lượng liên hiệp

● Dự đoán nghiệm dùng nhân lượng liên hiệp để xuất nhân tử chung ● Các công thức thường dùng:

Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích

A  B A  B A B

3 A 3B 3A2 3AB 3B AB

3A 3B 3A2 3AB 3B AB

(2)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Giải phương trình sau

a/ 2x  3 x b/ 5x10  8 x c/ x 2x 5 d/ x2  x 12  8 x e/ x2 2x 4 2x f/ 3x29x  1 x g/ 3x2 9x 1 x2 h/ x23x10 x i/ x3 x2  4 x29 j/  x2 4x 3 2x5 Bài 2. Giải phương trình sau

a/ x26x 9 x26x6 b/ x3 8 x26  x2 11x c/ x4 x  1 x2 5x 2 d/ x5 2 x3 x2 3x

e/ x2  x2 1131 f/ x22x 8 4 x x 20 Bài 3. Giải phương trình sau

a/ x 1 x 1 b/ 3x 7 x 1

c/ x2  9 x2  7 d/ 3x25x 8 3x2 5x 1 e/ 31 x 31 x 2 f/ x2   x x28x 4 g/ 35x 7 35x13 1 h/ 39 x 1 37 x 1 Bài 4. Giải phương trình sau

a/ x 3 6  x x3 6 x b/ 2x 3    x 3x 2x x 16     c/ x 1 3 x x 3  x1 d/ 7 x 2 x 7x 2 x3 e/ x 1 4 x x1 4 x5 f/ 3x 2  x 4x 3x    2 5x

g/ x x2 x x

     h/ x  9  x x2 9x9 Bài 5. Giải phương trình sau

a/ x2 x 1  x2 x 1  2

(3)

c/ 2x 4 2x 5 2x 4 2x 5 14 d/ x 5 x 1 x 2 x 1

e/ 2x2 2x 1 2 2x 3 2x 1 2x 8 2x 1 Bài 6. Giải phương trình

a/ x 1 3x 2 3x 3 b/ 32x 1 x 1 33x2 c/ x 5 3x 6 32x11 d/ x 1 33x 1 3x1 Bài 7. Giải phương trình

a/ x 3 3x 1 x  2x1

b/ x23x 2 x 3 6x 2 x2 2x3 c/

3

2

x

x x x x

x 

      



d/ 2x2 1 x23x 2 2x22x 3 x2 x Bài 8. Giải phương trình

a/ x2 12 5 3x x2 5

b/ 3x2 5x 1 x2 2 x  x 1 x23x4 c/ x 2 4 x 2x25x1

d/

2

2 x 2x x

x x

 





e/ x 2 x 1 32x2 32x2 1 f/ x2   x x2 x22x2 g/ x24 12 x

h/   

2

x  x4 1 1x Bài 9. Giải phương trình sau

a/ x2 3 x2 2 x  1 x2 2 b/ 4x1 x3  1 2x3 2x1 c/ x2 1 2x x22x d/ x1 x22x 3 x2 1 e/ x  1 3x2 1 x 1x2 f/ 2x 4 2 x 9x2 16 g/ x2 1 2x x2 2x h/ x2 4xx2 x22x4 Bài 10.Định tham số m để phương trình 2x26xm  x có hai nghiệm phân biệt

(4)

(5)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 13.Giải phương trình sau (đưa dạng bản)

a/ x  1 x b/ x  2 x c/ 2x 2x 1 d/ 3 x 3x5 e/ x 4x 3 f/ x2 x x g/ x2   1 x h/ 5x2  x i/ x 2 x24x3 j/ x 1x2 1 k/ x 4x2 2 l/ 16x17 8x23 m/  x2 4x 2x2 n/ x23x 2 2x1 o/  x2 4x 3 2x5 p/ 3x25x  1 4x

q/ x22x 1 x2 2x1 r/ 7x2 x x 5 32xx2 s/ x 2 x 1 x 1 t/ x23x 2 x3

Bài 14.Giải phương trình sau (dùng đẳng thức)

a/ x x 1    x x 1   1 b/ x x 1     x x 0   c/ 2x 2x 5    2x 2x 0     d/ 2x 2 2x 4     2x 6 2x 3  

e/ x x x x x

2 

      f/ 21x637 104 3x9 0 Bài 15.Giải phương trình sau (bình phương hai vế)

a/ 2x 3 2x 2 b/ x 4 2x 6 c/ 3x 7 x 1 d/ 11 x x 1 2 e/ x2  9 x2  7 f/ x  x 5

(6)

o/ 3x 4 2x 1 x3 p/ x 2x 1 x 2x 1  Bài 16.Giải phương trình sau (đưa tích)

 Ngồi cách đưa tích thơng thường, ta cịn sử dụng số đẳng thức sau

    

1 u v uv u v

2 au bv ab vu u b v a

              a/

2 x

3x x

3x2    b/

2

x  x 1 x x x

c/ x210x213 x 3 x 7 d/ x2  x 2 x  2 x1 e/ x2  3x x 3  x 2  x2 2x f/ x x 1 x x 22 x2 g/ x2  8x 15 x2  2x 15 x2 9x 18 h/ 2x2 8x 6 x2 1 2x2 i/ 3x 1 3x  2 3x2 3x2 j/ 3x 1 3x2  3x 3x2 x Chia x

k/ x 3 2x x 1 2x x2 4x3 l/ x 4x x

x

  

 chia x3

Bài 17.Giải phương trình sau

a/ x343 x 3 b/ 32 x x2 32 x x2  34 c/ 31 x 31 x 24  x 35 x 1 d/ 418 x x 1

e/ 2x x  1 f/ x2 x  1

g/ 5x x  3 h/ x    1 x i/ 6x 3 2x  1 j/ 25x 5 5x  3 Bài 18.Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ)

a/ x2  x2 1131 b/ 3x x

x 3x



 

 c/ x 7 x 1 d/ 32  x x1

e/ x 3 x 1 f/ x5 2 x3 x2 3x

g/ 1 x x2 2x 1 x2 2x1 h/ x4 x 13 x2 5x 6 i/ 3x2 5x 8 3x2 5x 1 j/ x23x 3 x23x 6 k/ 3x2  6x 16 x22x2 x2 2x l/ x x2 x x

3

     m/ 2x 1

x1 22x  n/

3 x 1

3x x x



(7)

o/ x x 1 x 3 x x



     

 p/     

x

x x 2 x

x 

    

 q/ x 4x2  2 3x 4x2 r/ x 17x2 x 17x2 9 s/ x 1  x x x 3        2x t/ x 4 x 4 2x 12 x  216 u/ 2x 3  x 3x 2x   2  5x 16 v/ 3x 2  x 4x 3x    2 5x Bài 19.Giải phương trình (nhân lượng liên hiệp)

a/ 4x 3x x

5 

    b/

2

4

x x x x x x x 

c/ 1

x

1 1x 1 x  d/

1

x x

x    e/

2

x x

2 x   

 f/ 2

4

x x x x x x x 

g/     

2

4 x1  2x10 1 32x h/    2

2x  x9 2 92x i/

2 40

x x 16

x 16   

 j/

3x

3x 1 3x10    k/ 2x 2 x 3x

3 

    l/  1 x 1 1 x 12x Bài 20.Giải phương trình sau (bình phương hai vế)

a/ x x 1 x 4 x 9

b/ 2x2 1 x23x 2 2x22x 3 x2 x c/ x2  2 x2  7 x2   x x2  x

d/ 3x2 7x 3 x2 2 3x25x 1 x23x4 Bài 21.Giải phương trình sau (khơng mẫu mực)

a/ 4x 1 4x2  1 b/ x 2 4 x x26x11

c/ x x x

2

     d/ 32  x x1

e/ x 1 3x 2 3x 3 f/ x x    x 3  2 2 x 1   g/ x2 x 1 x1 x  x2 x h/ x2 2x  2x 1 3x24x1 i/ 1 1 x2 1 x 3 1 x 3  2 x2

  j/    

4

x  1 x x x  1 x x Bài 22.Tìm nghiệm nguyên phương trình: x23x13 x 2 360

(8)

Bài 24.Định tham số m để phương trình sau có nghiệm a/ 7 x 2 x 7x x 2m b/ 1 x 8 x 1x 8 xm c/ x 1 3 x x1 3 xm d/ 5 x x  1 x2 6x 5 m e/ 32x2 37x2 37x 2 xm

BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Bài 25.Cao đẳng Hải Quan năm 1996

Giải phương trình: 32x 1 3x 1 3x2 Bài 26.Cao đẳng Hải Quan Tp Hồ Chí Minh năm 1999

Cho phương trình: x4 x  4 x x 4 m   1/ Giải phương trình   m

2/ Tìm tham số m để phương trình   có nghiệm

ĐS: / x 4 m/ 6 Áp dụng phương pháp hàm số Bài 27.Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW1 năm 2000

Giải phương trình: 1 x 1 6x Bài 28.Cao đẳng Kiểm Sát phía Bắc năm 2000

Giải phương trình:

3

7 x x

6 x

7 x x

  

 

  

Bài 29.Cao đẳng Giao Thông năm 2000

Giải phương trình: 8 x 489 x Bài 30.Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội khối A năm 2001

Giải phương trình: x 2 x 2 x2  4 2x2 Bài 31.Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001

Giải phương trình: x2  x 7 Bài 32.Cao đẳng Sư Phạm Thể Dục TWII năm 2002

(9)

1/ Giải phương trình   m 2/ Định m để phương trình   có nghiệm Bài 33.Cao đẳng Xây dựng số năm 2002

Giải phương trình: x  3 x Bài 34.Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002

Giải phương trình: x 2 5 x x2 5 x Bài 35.Cao đẳng Sư Phạm Bến Tre khối A năm 2002

Giải phương trình: 5x 1 3x 2 x 1 Bài 36.Cao đẳng Giao Thơng năm 2003

Giải phương trình: 32x 1 32x 2 32x 3 Bài 37.Cao đẳng Tài Chính Kế Tốn IV năm 2003

Giải phương trình: x  x 1 x2

Bài 38.Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2004

Giải phương trình: x x x 2 x x 

     

Bài 39.Cao đẳng Sư Phạm Mẫu Giáo TW1 năm 2004 Giải phương trình: x2 4x 3 2x5 Bài 40.Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005

Giải phương trình: x2 4x 5 x24x 8 4xx21 Bài 41.Cao đẳng Sư Phạm Quảng Nam năm 2005

Giải phương trình: x2 x2  3 x2 2x3 Bài 42.Cao đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm 2005

Giải phương trình: x3 x25x 4 2x6

Bài 43.Cao đẳng Xây Dựng số – Cao đẳng Cộng đồng Vĩnh Long khối A, B năm 2005 Giải phương trình: 3x  1 x1

Bài 44.Đại học khối D năm 2005

Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 Bài 45.Dự bị khối D Đại học năm 2002

(10)

Bài 46.Dự bị Đại học khối B năm 2005

Giải phương trình: 3x 3 5x  2x4 Bài 47.Dự bị Đại học khối D năm 2004

Cho phương trình: x2 m2 x2 m3

 

 

      

  Chứng minh với m0 phương trình cho có nghiệm

Bài 48.Cao đẳng Truyền Hình Tp Hồ Chí Minh năm 2007 Giải phương trình: 7x2 x x 5 2x x2 ĐS: x 1

Bài 49.Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 2001

Xác định tham số m để phương trình: x26xm x5 1 x0 có nghiệm Bài 50.Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997 – 1998

Giải phương trình: 16x17 8x23 ĐS: x

Bài 51.Học Viện Ngân Hàng năm 1999 – 2000 Giải phương trình: x2 4x  2 2x ĐS: x 2

Bài 52.Đại học Dược Hà Nội năm 1999 – 2000

Giải phương trình: x3 10 x2 x2 x 12 ĐS: x 3

Bài 53.Đại học Y Dược Tp HCM hệ trung cấp năm 1999 – 2000

Giải phương trình: x   1 x x 32 2 x 1 ĐS: x 5 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki

Bài 54.Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1999 – 2000

Giải phương trình: 3x 2 x 1 4x 9 3x25x2 ĐS: x 2 (Có thể giải theo phương pháp hàm số)

Bài 55.Đại học Ngoại Thương Hà Nội năm 1999 – 2000 Giải phương trình: 3 x x2  2 x x2 1

(11)

Bài 56.Đại học Nông Nghiệp I năm 1999 – 2000

Giải phương trình: x2 2x 5 x 1 ĐS: x1 VT2 nên dấu " = " xảy x 1 Bài 57.Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001

Giải phương trình: 2  x22x x6 Bài 58.Đại học Xây Dựng năm 2001

Giải phương trình: x2 6x 6 2x1 Bài 59.Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001

Giải phương trình: x 4x2  2 3x 4x2 Bài 60.Học Viện Bưu Chính Viễn Thơng năm 2001

Giải phương trình: 4x 3x x     

Bài 61.Đại học Ngân Hàng khối D – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D năm 2001 Giải phương trình: 4x 1 4x2  1

Bài 62.Học Viện Ngân Hàng khối A – Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 2001 Giải phương trình: x2 3x 1 x3 x2 1

Bài 63.Đại học Ngoại Ngữ năm 2001

Giải phương trình: x 1 4 x x1 4 x5 Bài 64.Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin học Tp Hồ Chí Minh năm 2001

Giải phương trình: x3 1 x 5 x2 2x7 Bài 65.Đại học Bách Khoa Hà Nội khối A, D năm 2001

Giải phương trình: 2x2 8x 6 x2  1 2x2 Bài 66.Đại học Thủy Sản Hà Nội năm 2001

Giải phương trình: x 2 x x 2 x x          Bài 67.Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối D năm 1998 – 1999

Giải phương trình: x  9 2x4 ĐS: x 

(12)

ĐS:

2

1

2 m x 4m m

2

m m VN

       



     

Bài 69.Đại học Huế khối A, V năm 1998 – 1999 Giải phương trình: x2 1 x1

ĐS: x x

2      Bài 70.Đại học Huế khối D năm 1998 – 1999

Giải phương trình: 4x2  x ĐS: x  2 x 0

Bài 71.Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 – 1999

Cho phương trình 1 x 8 x 1x 1 8 m   1/ Giải phương trình   m

2/ Tìm tham số m để phương trình   có nghiệm ĐS: / x x / m

2

       Bài 72.Đại học Thương Mại năm 1998 – 1999

Giải phương trình: x2 3x 3 x23x 6 ĐS: x1  x2

Bài 73.Đại học Ngoại Thương năm 1998 – 1999

Với giá trị m phương trình: 31 x 31 x m ĐS: 0m2

Bài 74.Đại học Dân lập Tôn Đức Thắng năm 1998 – 1999

Giải phương trình: x2   x x2   x 3x2 3x19 ĐS: x  2 x 1 Đặt tx2 x

Bài 75.Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1998 – 1999

Giải biện luận phương trình: x a x a a (với a tham số) Bài 76.Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối A đợt năm 1997 – 1998

(13)

ĐS: m



  Dùng phương pháp hàm số

Bài 77.Đại học Ngoại Thương Tp Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998 Giải phương trình: x2 15 3x 2 x2 8

ĐS: x1 Phương pháp hàm số

Bài 78.Đại học Y Dược Tp Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998

Cho phương trình: x  9  x x2 9xm   1/ Giải phương trình   m

2/ Xác định tham số m để phương trình   có nghiệm

ĐS: / x x x 65 / m 10

2



       

Bài 79.Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1997 – 1998

Cho phương trình: x  1 x 2m x 1 x2 x 14  xm3   1/ Giải phương trình   m  1

2/ Tìm giá trị tham số m để phương trình   có nghiệm ĐS: / x / m m

2

    

Bài 80.Đại học Tổng Hợp Tp Hồ Chí Minh năm 1991 – 1992

Cho phương trình: x x 1 x 3 x m   x



     

 1/ Giải phương trình m  3

2/ Với giá trị m phương trình   có nghiệm ?

ĐS: t x 3 x 1, / x x 33 / m x



        



Bài 81.Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 1991 – 1992 Giải phương trình: x343 x 3

ĐS: x 61  x 30 Bài 82.Đại học khối B năm 2004

(14)

 2  2 m 1x  1x 2 2 1x  1x  1x ĐS: 2 1 m1 (giải phương pháp hàm số)

Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 ĐS: x 

Bài 84.Đại học khối B năm 2006

Tìm tham số m để phương trình: x2 mx 2 2x1 có hai nghiệm thực phân biệt ĐS: m

2 

Giải phương trình: 2x 1 x2 3x 1 ĐS: x1; x 2

Bài 86.Dự bị Đại học khối B năm 2006

Giải phương trình: 3x 2 x 1 4x 9 3x25x2 ĐS: x 2

Bài 87.Dự bị Đại học khối D năm 2006

Giải phương trình: x2 7 x x   1 x2 8x 7 ĐS: x 5, x 4 Đưa PT tích  x 1 2 x 1 7x Bài 88.Đại học khối A năm 2007

Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực: x 1 m x 1 x4 1 ĐS: m

3

   Đặt t x 1, t x



  

 PT 

2

3t 2t m

   Dùng PP hàm số

Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

 

2

x 2x 8 m x2

ĐS: PT

  

x

x x 6x 32 m

    

     

 Dùng phương pháp hàm số

(15)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x413xm  x ĐS: m m 12

2

    Dùng phương pháp hàm số Bài 91.Dự bị Đại học khối D năm 2007

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 3 x 4 x6 x  4 m ĐS: 2m 4 Đặt t x 4

Bài 92.Đại học khối A năm 2008

Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

42x  2x 2 64  x 2 6x  m

ĐS: 62 64 m3 26 Dùng phương pháp hàm số Bài 93.Đại học khối A năm 2009

Giải phương trình: 3x3  2 65x 8 ĐS: x 2

Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x214x 8 ĐS: x 5

Bài 95.Toán Học Tuổi Trẻ – Tháng năm 2005

Giải phương trình:  

2 x  2004 x 1  1 x ĐS: x 0 Đặt y 1 x

Bài 96.Toán Học Tuổi Trẻ – Tháng năm 2007

Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 Bài 97.Tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình 21/12/2004

Giải phương trình: 2x26x 1 4x5

Bài 98.Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Đại học Sư Phạm Hà Nội I năm 1997 – 1998 Giải phương trình: x 1 x 1  x 1 x 1x2

HD: Đưa phương trình hệ có phương trình tích số:

2 2

(16)