Giới thiệu về đồ thị:

Sự đẳng cấu của đồ thị Đồ thị liên thông.. Chương 6..[r]

(1)

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:

(2)

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 2) 1 Sự đẳng cấu đồ thị.

2 Đồ thị liên thơng.

3 Chu trình Đường Euler.

4 Chu trình đường Hamilton. 5 Bài tốn tơ màu đồ thị.

(3)

Tốn rời rạc: 2011-2012

Sự đẳng cấu đồ thị Đồ thị liên thơng

(4)

Sự đẳng cấu đồ thị

Isomorphism: đẳng cấu, đồng hình. Có thể vẽ đồ thị theo cách?

Example:

 Trong hóa học: hợp chất khác có cơng thức phân tử, khác cấu trúc.

 Thiết kế vi mạch: vẽ lại mạch để tối ưu hóa đường nối.

(5)

Sự đẳng cấu đồ thị

Chương 6: Đồ thị Hai đồ thị được gọi đẳng cấu (isomorphic) nếu có một song ánh giữa tập đỉnh của hai đồ

thị đảm bảo quan hệ liền kề.

Cho đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2).

G1 và G2 là đẳng cấu tồn song ánh f sao cho:  Hai đỉnh a và b là liên thông G1.

(6)

Example

(7)

Chứng minh đẳng cấu

Việc xác định đồ thị đẳng cấu: Rất khó khăn.

Có n! phép tương đương một-một giữa tập

đỉnh đồ thị có n đỉnh.

Thơng thường:

chứng minh đồ thị không đẳng cấu.

 Chỉ chúng khơng có tính chất chung.

(8)

Chứng minh khơng đẳng cấu

Các tính chất chung (sự bất biến) đơn đồ

thị đẳng cấu:

Cùng số đỉnh.

Cùng số cạnh.

Bậc đỉnh tương ứng đơn đồ

thị đẳng cấu phải giống nhau.

(9)

Example

Xác định đồ thị sau có đẳng cấu khơng?

(10)

Chứng minh đồ thị đẳng cấu

Sử dụng ma trận kề:

 Hai ma trận liền kề phải giống nhau.

 Gán nhãn lại theo hàm f.

(11)

Đồ thị liên thơng

Câu hỏi:

Có thể gửi thơng điệp máy tính thơng qua đường truyền trung gian?

Có thể xe bus từ Barcelona sang Manchester?

(12)

Khái niệm: Đường đi

Chương 6: Đồ thị 12 PATH:

Cho G = (V, E) là đồ thị vơ hướng hoặc có hướng.

Đường đi độ dài n (nguyên dương) từ u tới v là

(13)

Đường đi

 Đường đồ thị đơn:

 Có thể k{ hiệu dãy đỉnh x0, x1,…, xn.

 Đường đơn (simple path): không chứa cạnh quá lần.

 Đường chu trình (circuit):

 Bắt đầu u, kết thúc u (quay trở lại).

 Chu trình đơn: khơng chứa cạnh q lần.

 Khi không quan tâm cạnh bội:

có thể k{ hiệu dãy đỉnh x0, x1,…, xn.

(14)

(15)

(16)

Đồ thị liên thơng

Chương 6: Đồ thị 16 Connected Graph:

Một đồ thị vô hướng là liên thông nếu tồn tại đường giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị.

(17)

Example

(18)

Đồ thị (có hướng) liên thơng

Tính liên thơng mạnh (strong connectivity):

Nếu tồn đường cặp đỉnh u, v (2 chiều).

Tính liên thơng yếu (weak connectivity):

Nếu tồn đường đỉnh bất kz đồ thị vô hướng sở (underlying undirected graph).

(19)

Example

(20)

Đường đẳng cấu

Có thể xác định đồ thị đẳng cấu bằng: Đường đi.

Chu trình.

Sử dụng bất biến (invariant):

 Chu trình đơn có độ dài đặc biệt k nào (k > 2).

(21)

Example

H có chu trình đơn độ dài (v1, v2, v3, v1).

G có chu trình đơn độ dài 3?

Chương 6: Đồ thị 21

(22)

Đồ thị phân đơi?

(23)

Đồ thị đẳng cấu?

(24)

Đường Euler

Đường Hamilton

(25)

Bài toán Kӧnigsberg

Chương 6: Đồ thị 25 Challenge: có thể đi qua cầu quay về

chỗ cũ, mỗi cầu chỉ đi qua lần? Question: Có một chu trình đơn trên đa đồ thị

(26)

(27)

Lời giải:

Leonard Euler.

Công bố: 1736.

Có thể coi ứng dụng đầu tiên LTĐT.

(28)

Chu trình Đường Euler

Chương 6: Đồ thị 28 Euler circuit: chu trình đơn qua tất cả

các cạnh của đồ thị G đúng một lần.

Euler path: đường đơn qua tất cả

(29)

Example

(30)

Điều kiện cần đủ

Định l{ 1:

Một đa đồ thị liên thơng có chu trình Euler và nếu mỗi đỉnh có bậc chẵn.

Định l{ 2:

Một đa đồ thị liên thơng có đường Euler

nhưng khơng có chu trình Euler nếu nó có hai đỉnh bậc lẻ.

(31)

Quay lại tốn Kӧnigsberg

Chương 6: Đồ thị 31 Challenge: có thể đi qua cầu quay về

(32)

Xây dựng chu trình Euler

Input: G: đa đồ thị liên thông với tất đỉnh bậc chẵn.

Output: C: chu trình Euler.

Khởi tạo:

C là chu trình G.

Đồ thị H = G bỏ cạnh thuộc C và đỉnh lập.

while (H cịn cạnh) do

C’ = chu trình H mà đỉnh cuối thuộc C. H = H bỏ cạnh thuộc C’ và đỉnh cô lập.

C = C ghép với C’ ở đỉnh thích hợp.

end

(33)

Thanh đao Mohammed

Có thể vẽ hình nét bút? Không nhấc bút lên.

Mỗi cạnh vẽ lần.

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Chu trình Đường Hamilton

Euler: chu trình đường qua cạnh

một lần.

Câu hỏi: tạo chu trình và đường qua đỉnh đúng lần?

(39)

Chương 6: Đồ thị 39 Hamilton circuit: chu trình đơn qua tất cả các đỉnh của đồ thị G đúng một lần.

Hamilton path: đường đơn qua tất cả

(40)

Example

(41)

Example

(42)

Chương 6: Đồ thị 42 Khơng có điều kiện cần đủ để xác định sự tồn tại của đường hay chu trình

(43)

Khơng có chu trình Hamilton nếu:

∃v∈V: deg(v) = 1

Định l{ DIRAC: Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có

một chu trình Hamilton nếu

deg(v) ≥ n/2, ∀v ∈ V

Định l{ ORE: Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có

một chu trình Hamilton nếu

deg(u) + deg(v) ≥ n,∀u,v ∈ V và (u, v)  E

(44)

Example – Gray Code

Được nêu Frank Gray (1940s).

Phát biểu: gán nhãn cung đường tròn sao cho cung cạnh khác 1 bit.

(45)

Example – Gray Code

Giải quyết:

 Mơ hình tốn thành đồ thị n-cube Qn.  Tìm chu trình Hamilton Qn.

 Q3.

(46)

Bài tốn tơ màu đồ thị

(47)

Khái niệm: Đồ thị phẳng

Chương 6: Đồ thị 47 Planar graph

Đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng sao cho

khơng có cạnh bất kỳ nào cắt nhau

(không phải tại điểm đầu mút).

Phép vẽ gọi là biểu diễn phẳng

(48)

Đồ thị phẳng

(49)

Tơ màu đồ

Vấn đề:

Tô màu quốc gia đồ cho nước láng giềng bất kz ln có màu khác nhau?

Giải pháp:

 Mỗi nước tô màu  Cần nhiều màu.

 Dùng màu  Ít bao nhiêu?

Biểu diễn đồ thành đồ thị  Áp dụng LTĐT.

(50)

Tơ màu đồ thị

Mơ hình đồ thành đồ thị:

 Các quốc gia  các đỉnh.

 Hai quốc gia kề  cạnh nối đỉnh tương ứng.

 Lưu {: Hai quốc gia “chạm” điểm không được coi kề nhau.

 Đồ thị có đồ thị phẳng.

(51)

Chương 6: Đồ thị 51 Graph coloring

Tô màu đỉnh của đồ thị phẳng cho đỉnh bất kỳ kề nhau có màu khác nhau.

 Số màu (sắc số: chromatic number) của một đồ thị là số màu ít nhất cần để tô màu đồ thị

(52)

Chương 6: Đồ thị 52 Định lý bốn màu

“Số màu của một đồ thị phẳng nhỏ

hơn hoặc bằng 4”

(53)

Example

(54)

Example

(55)

Tô màu đồ thị

Lưu {:

 Định l{ bốn màu với đồ thị phẳng.

 Đối với đồ thị không phẳng: cần nhiều màu.

(56)

Example

(57)

Example

(58)

Tơ màu đồ thị - Ứng dụng

Các toán xếp lịch:

 Lịch thi.

 Thời khóa biểu.

 Lịch cơng tác.

Các tốn phân công công việc.

Lập mục ghi (CPU).