Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)UBND HUYệN YÊN LạC PHòNG gd & ®t
đề thi giao lu hsg năm học 2011-2012 Mơn : Tốn 7
Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 3,0 điểm)
a/ TÝnh A= (1
22−1) (
32−1) … ( 20122 −1)
b/ Cho sè a1, a2, a3, a4 tháa m·n a22 = a1a3 ; a32 = a2a4
Chøng minh r»ng: a13+a23+a33
a23+a
33+a
43
= a1
a4 Câu 2: ( 1,25 điểm)
Tính tổng hệ số hạng tử đa thức nhận đợc sau khai triển viết đa thức P(x) dới dạng thu gọn, biết P(x) = (10x2 – 7x – 4)2012
C©u 3: ( 1,5 điểm)
Tìm số nguyên x, y tháa m·n: 1! + 2! +3! +…+ x! = y2 Câu 4: ( 1,25 điểm)
Tìm số không âm x, y, z thỏa mÃn: x + 3z = 8; x + 2y = vµ x + y + z lín nhÊt
C©u 5: ( 3,0 ®iĨm)
Cho Δ ABC đều, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D, E thứ tự hình chiếu M
trªn AB, AB a/ TÝnh gãc DME
b/Kẻ BH vuông góc với AC H, Kẻ MQ vuông góc với BH Q Chứng minh BD = MQ
c/Gäi I, N, K theo thø tự hình chiếu D, H, E BC Chøng minh r»ng: BI = NK
d/ Chứng minh rằng: Khi điểm M di chuyển cạnh BC IK có độ dài khơng đổi
HÕt
Giám thị coi thi không giải thích thêm.
(2)Đáp án Câu 1: ( 3,0 ®iĨm)
a/ Ta cã A= (1−2
2
22 ) (
1−32
32 ) … (
1−20122
20122 ) = (
−1 22 ) (
−2 4 32 ) …
(2012−2011 20132 )
= .2011 .2012 ⋅
3 2013 .2012 =
1 2012⋅
2013
2 =
2013 4024
b/ Theo bµi a1, a2, a3, a4 tháa m·n a22 = a1a3 ; a32 = a2a4
Ta cã : a1
a2
=a2
a3
¿a3 a4
=> a13
a23
=a23
a33
¿a33
a43
= a1
a2 ⋅a2
a3 a3 a4
=a1
a4
(1) ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã:
a13 a23
=a23
a33
¿a33
a43
= a13+a23+a33
a23+a
33+a
43
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: a13+a23+a33
a23+a
33+a
43
= a1
a4 C©u 2: ( 1,25 ®iÓm)
Tổng hệ số hạng tử đa thức nhận đợc sau khai triển viết đa thức P(x) dới dạng thu gọn giá trị đa thức P(x) x=1
Ta cã: P(1) = (10.12 – 7.1 – 4)2012 =(-1)2012 =1
Vậy tổng hệ số hạng tử đa thức nhận đợc sau khai triển viết đa thức P(x) dới dạng thu gọn
Câu 3: ( 1,5 điểm)
+Với x=1, ta cã 1! = y2 => = y2 => y= ±1
+Với x=2,ta có 1! +2!= y2 => = y2 =>khơng tìm đợ giá trị y thỏa mãn đề
bµi
+Víi x=3,ta cã 1! +2!+3!= y2 => = y2 =>y= ±3
+Với x 4,ta có 1! + 2! +3! +…+ x! =33+5!+6!+…+x! có chữ số tận (Vì 5!, 6!,…,x! có chữ số tận 0) nên khơng phải số ph -ơng, cịn y2 lại số phơng =>khơng tìm đợ giá trị y thỏa mãn đề bài.
Vậy cặp số nguyên x, y thỏa mãn đề (x,y) =(1; 1);(1; -1);(3; 3);(3; -3)
C©u 4: ( 1,25 ®iĨm)
Ta cã : x + 3z = 8; x + 2y = Suy ra: 2x+2y+3z=17
=>2(x+y+z)=17-z 17 =>(x+y+z) 17/2
Đẳng thức xảy z=0 x=8; y=1/2 =>Giá trị lớn (x+y+z) 17/2
VËy c¸c sè x, y, z cần tìm (x,y,z)=(8; 1/2; 0)
(3)a/ Δ ABC tam giác nên
∠ A= ∠ B= ∠ C=600
∠ CME = 900 - ∠ C =300 ( Δ CME vuông E)
BMD = 900 - B =300 ( BMD vuông D)
Do : ∠ DME = 1800- ( ∠ CME + ∠ BMD )
=1800- 600 = 1200
b/ Vì BH AC, ME AC nên BH//ME
BH//ME nªn ∠ MBQ= ∠ CME
=> ∠ MBQ= ∠ BMD (=300)
Δ BMD vµ Δ MBQ cã ∠ MBQ= ∠ BMD (=300); c¹nh hun BM
cạnh chung
=> BMD = MBQ(ch-gn) =>BD =MQ
c/ BDI vuông I cã ∠ BDI=900 - ∠ B =300 => BI =
2 BD (1)
Δ CEK vuông K có CEK=900 - C =300 => CK =
2 EC
CHN vuông H có CHN=900 - ∠ C =300 => CN =
2 HC
=> CN- CK =
2 (HC – EC)=
1
2 HE =>NK =
1
2 HE (2)
Δ CME vu«ng t¹i E cã ∠ CME =300 => CE =
2 MC
BMD vuông D cã ∠ BMD =300 => BD =
2 BM
=>BD+CE =
2 (BM+MC)=
1
2 BC =
1
2 AC
Mặt khác HE+CE=HC=
2 AC (BH l ng cao đồng thời đờng trung tuyến) =>BD+CE= HE+CE => BD= HE (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra: BI = NK d/ Ta cã : IK= BC- (BI +KC), BI = NK
=>IK= BC- (NK +KC)=BC – NC = BC-
2 HC
=BC-1
2
1
2 AC =
3 AC khơng đổi (vì AC cố định)
Vậy điểm M di chuyển cạnh BC IK có độ dài khơng đổi
A
D
C K
I M N
B
E H Q