Tài liệu tham khảo môn học cấu trúc liệu  -1- LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình viết cho sinh viên trường Cao đẳng Đại học Để học tốt giáo trình sinh viên cần có kiến thức tin học sở biết ngơn ngữ lập trình bậc cao Pascal, Delphi, C hay C++ Giáo trình viết nhằm mục tiêu sau đây: • Giới thiệu cho học sinh khái niệm kiểu liệu trừu tượng • Cung cấp cho học sinh kiến thức kiểu liệu trừu tượng, cấu trúc liệu thông dụng, nâng cao thao tác cấu trúc • Cung cấp số thuật tốn rèn luyện số kĩ phân tích thuật tốn cho học sinh • Rèn luyện cho học sinh cách áp dụng cấu trúc liệu học tư thuật tốn để thiết kế cài đặt số chương trình ngơn ngữ bậc cao Để học tốt chương sau, sinh viên cần đọc kĩ chương chương Chương giới thiệu khái niệm thuật giải Chương giới thiệu khái niệm kiểu liệu trừu tượng Đây khái niệm học sinh Một kiểu liệu trừu tượng tập hợp đối tượng xác định hoàn toàn phép tốn biểu diễn đối tượng Người sử dụng phép tìm hiểu đối tượng thực thao tác đối tượng kiểu liệu thơng qua phép tốn mà không cần quan tâm đến việc đối tượng cài ngơn ngữ lập trình Chúng tơi có đưa vài ví dụ đơn giản kiểu liệu trừu tượng, cách đặc tả xây dựng chúng để định hướng cho việc đặc tả xây dựng kiểu liệu trừu tượng chương sau Trong trình bày kiểu liệu trừu tượng chương sau, cố gắng khuyến khích sinh viên trước hết phải hiểu cách khái quát kiểu trước quan tâm đến việc cài đặt chi tiết bên Điều khơng có nghĩa chúng tơi khơng coi trọng việc cài đặt Việc tách riêng đặc tả bên bên cho phép ta nhìn rõ trước hết vào chất kiểu liệu trừu tượng tập thao tác đối -2- tượng kiểu liệu Và hiểu rõ chất thao tác kiểu liệu trừu tượng chuyển tới việc cài đặt thao tác ngơn ngữ bậc cao Cơng cụ cho phép ta bóc tách cách khái niệm hình thức bên ngồi chi tiết bên kiểu liệu trừu tượng Từ chương đến chương dành cho việc nghiên cứu số kiểu liệu trừu tượng tuyến tính phi tuyến Đó kiểu liệu trừu tượng ngăn xếp, hàng đợi, cây, bảng tìm kiếm, tập hợp đồ thị Với kiểu liệu trừu tượng đưa ra, chúng đặc tả thao tác hướng dẫn cài đặt số thao tác Những thao tác đưa thao tác Tuy nhiên, tuỳ theo điều kiện hoàn cảnh, học sinh bổ sung thêm số thao tác khác Trong việc xây dựng kiểu liệu trừu tượng, nhấn mạnh việc quan tâm đặc tả thao tác cần thiết (xây dựng mơ đun ngồi), sau đến việc cài đặt thao tác (xây dựng mô đun trong) Ngồi ra, chúng tơi quan tâm đến việc hướng dẫn sử dụng kiểu liệu trừu tượng thơng qua ví dụ mơ đun ứng dụng Sinh viên hẳn giới thiệu vài thuật toán xếp đơn giản mảng từ phần Tin học đại cương Tuy nhiên, toán xếp tìm kiếm tốn sinh viên Cao đẳng Đại học nên chúng tơi dành riêng chương để nói số giải thuật xếp đơn giản số giải thuật xếp nâng cao, cần đến chút kiến thức kiểu liệu trừu tượng vừa học chương trước Một số phép so sánh giải thuật xếp đề cập chương Để giúp học sinh có thêm số kiến thức thuật giải, chương 8, chúng tơi trình bày số phương pháp thiết kế thuật giải đệ qui, quay lui, chia dể trị, tham lam, qui hoạch động Đây phương pháp thông dụng khoa học máy tính Bạn đọc tìm thấy nhiều ví dụ minh hoạ cho phương pháp Các ví dụ cài đặt cụ thể ngôn ngữ lập trình Pascal Cuối chương có hệ thống tập để học sinh làm tự kiểm tra kiến thức Cuối phần phụ lục, chúng tơi có đưa số tập lớn, để học sinh áp dụng kiến thức học tập giải vấn đề phức tạp so với tập sau chương Với tập lớn này, để nâng cao hiệu quả, yêu cầu học sinh cần -3- đặc tả rõ toán, phân tích thiết kế thuật giải, sau cài đặt ngôn ngữ cụ thể Tiếp theo học sinh cần phải kiểm thử phần mềm vừa cài đặt có nhận xét độ phức tạp thuật tốn thiết kế, hướng cần mở rộng cho tập Chỉ học sinh làm tốt tập lớn nói họ thành cơng việc học tập mơn học Chủ biên hiệu đính tồn nội dung thảo: Chương 1: Mở đầu chương 2: Chương 3: Chương 4, Chương 6: Chương 7: Chương 8: -4- CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU Chương trình bày số khái niệm toán theo quan điểm Tin học, thuật giải, cấu trúc liệu, mối quan hệ cấu trúc liệu thuật giải Những khái niệm độ phức tạp thuật giải phân tích thuật giải giới thiệu chương 1.1 Khái niệm cấu trúc liệu thuật giải 1.1.1 Khái niệm tốn Trong phạm vi Tin học, ta quan niệm tốn việc ta muốn máy tính thực Như việc viết dịng chữ hình, giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình bậc hai ẩn số, quản lý cán quan ví dụ tốn Khi dùng máy tính giải tốn, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: đưa vào máy thông tin (thơng tin vào) cần lấy thơng tin (thơng tin ra), Thơng tin vào cịn gọi Input, thơng tin cịn gọi Output Như để phát biểu toán, ta cần đặc tả Input Output tốn Ví dụ Bài tốn tìm ước chung lớn Input Hai số nguyên dương M N Output Ước chung lớn M N Ví dụ Bài tốn tìm nghiệm đa thức biến: Input: số nguyên dương n; số thực a0, a1, , an; Output: Trả lời câu hỏi có số thực x khác giá trị chúng (nếu có) cho a0 + a1x + + anxn = Ví dụ Bài tốn phân tích số: -5- Input: Số nguyên dương N≥2; Output: Các số nguyên tố p1, , pk; số nguyên dương α1, ,αk; cho n = p1α1 pkαk; Ví dụ Bài tốn kiểm tra tính ngun tố: Input: Số ngun dương n; Output: Trả lời câu hỏi n số nguyên tố hay khơng? Ví dụ Bài tốn quản lý hồ sơ cán bộ: Input: Hồ sơ gốc cán quan; Output: Những biểu bảng thống kê, phân loại cán bộ, quy trình lưu trữ, quản lý hồ sơ cán Ví dụ Bài toán thứ 10 Hilbert: Input: P đa thức (nhiều ẩn) với hệ số nguyên; Output: Trả lời câu hỏi P có nghiệm ngun hay khơng? Qua ví dụ trên, ta thấy toán cấu tạo hai thành phần bản: - Thông tin vào (input): Cho ta biết thơng tin có (các giả thiết); - Thông tin (output): Các thông tin cần tìm từ input (kết luận); 1.1.2 Khái niệm thuật giải Như giáo trình này, việc cho tốn có nghĩa cho input mơ tả output cần tìm Vấn đề đặt giải toán? Trước hết cần lưu ý tốn học có xu hướng nghiên cứu định tính tốn Theo xu hướng này, xem xét toán, người ta cần chứng tỏ tồn output cho input có thể, xét xem có "lời giải" nghiên cứu dáng điệu chúng Trong nghiên cứu vậy, nhiều ta khơng cần tìm lời giải cách tường minh cách dùng cơng cụ tốn học khác cách thích hợp ta chứng minh chặt chẽ điều khẳng định liên quan đến lời -6- giải Mục tiêu xu hướng nghiên cứu điều kiện tồn có thể, lời giải Sự tồn lời giải theo nghĩa không cho ta cách thức thực tế để tìm lời giải Trong khn khổ Tin học, việc giải tốn có nghĩa trao cho máy tính cách giải Để giao tốn cho máy tính, ta cần hướng dẫn cho máy thao tác mà nguyên tắc máy thực Một cách giải toán gọi thuật giải (cịn gọi thuật tốn hay giải thuật) Nói cách đầy đủ hơn, Thuật giải A để giải toán P dãy hữu hạn thao tác đơn giản xếp theo trình tự xác định cho sau thực dãy thao tác đó, từ Input tốn, ta nhận Output cần tìm Chính quan niệm việc giải toán cốt lõi để ta chuyển giao cơng việc cho máy tính Như vậy, khác với quan niệm việc giải toán theo toán học truyền thống, việc giải tốn theo quan niệm Tin học q trình thực dãy hữu hạn thao tác đơn giản để từ Input dẫn Output cách tường minh Trong định nghĩa nêu trên, thao tác đơn giản hiểu thao tác mà máy tính thực Ví dụ phép tốn số học, phép so sánh hai giá trị số thao tác đơn giản 1.1.3 Mô tả thuật giải Ngay từ học môn Tin học sở học sinh làm quen với khái niệm thuật giải học cách mô tả hay diễn đạt thuật giải đơn giản Thuật giải cho toán nhỏ hay thuật giải cho toán lớn thiết kế mức thô hay mô tả sơ đồ khối Cách dùng sơ đồ khối để minh họa thuật giải có lợi trực quan, dễ hiểu Tuy nhiên, với toán lớn, phức tạp, việc dùng sơ đồ khối để mô tả thuật giải có hạn chế định Hạn chế là khn khổ giấy hay hình ta dùng để vẽ sơ đồ hay tầm bao quát, theo dõi mắt ta sơ đồ -7- Hạn chế nảy sinh tốn ta phức tạp, có nhiều vịng lặp lồng nhau, việc trình bày sơ đồ có nhiều hạn chế Ta hay dùng phương pháp liệt kê bước giải để mô tả thuật giải Phương pháp dễ hiểu toán nhỏ Tuy nhiên, toán lớn, việc liệt kê trở nên khó khăn gây khó khó theo dõi, vòng lặp Hơn việc liệt kê bước giải ta hay phải dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả thao tác nên việc diễn đạt nhiều khó xác Phương pháp thứ ba hay dùng để mô tả thuật giải dùng giả mã hay ngơn ngữ trình Việc dùng ngơn ngữ trình khắc phục nhiều nhược điểm hai phương pháp trên, đặc biệt tốn lớn, phức tạp Cũng có ý kiến ta nên chọn ngơn ngữ lập trình thơng dụng làm công cụ để diễn đạt thuật giải Tuy nhiên, biết thuật giải cần phải độc lập với ngơn ngữ lập trình Khi thuật giải viết tốt cài đặt ngơn ngữ lập trình nào, tùy theo tính thích hợp toán ý muốn người lập trình Hơn nữa, thiết kế thuật giải công việc quan trọng người lập trình Nếu ta chọn ngơn ngữ lập trình để mơ tả thuật giải lúc ta phải ý tuân thủ tiểu tiết cú pháp ngơn ngữ Điều gây ảnh hưởng lớn đến tập trung vào công việc thiết kế mơ tả thuật giải Sau ví dụ mơ tả thuật giải tìm ước chung lớn hai số nguyên m n Begin Cách 1: Dùng sơ đồ khối t ←m m ← n mod m n←t True m>0 False Write n -8- End Hình 1.1: Sơ đồ khối diễn tả thuật giải tìm ước chung lớn hai số nguyên không âm -Cách thứ hai: Dùng phương pháp liệt kê bước giải, ta viết sau: Bước Khi m > thực t←m m ← n mod m n ←t Bước Kiểm tra xem m > 0, quay lại bước Bước In kết n kết thúc Cách thứ ba: Dùng ngơn ngữ trình Function Ucln(m,n) var t Begin While m > t ←m m ← n mod m n ←t Return n Trong thực tế, tùy theo giai đoạn thiết kế thuật giải, tùy theo mức độ, đối tượng trình bày mà người lập trình thường hay chọn phương pháp thích hợp ba phương tiện nêu -9- Như vậy, việc diễn tả thuật giải giải tốn có nghĩa trình bày trình tự thao tác cần thực Tuy nhiên, cách diễn tả thuật giải người với người Ngay thuật giải diễn tả vậy, người dùng để giải tốn với liệu vào Tuy nhiên, theo cách diễn tả này, máy tính chưa thể thực thao tác thuật giải dù thao tác đơn giản Thuật giải cần diễn tả thành chương trình gồm dịng lệnh Mỗi lệnh việc mà ta địi hỏi máy tính thực Ngơn ngữ dùng để viết chương trình gọi ngơn ngữ lập trình Phần đọc thêm Khái niệm thuật giải trình bày đủ để ta hình dung để chuyển giao cho máy tính việc giải tốn ta cần diễn tả cách giải cách nhận biết thuật giải tốn Trong q trình nghiên cứu cách giải toán theo nghĩa nêu trên,trong toán học diễn trình phát triển đầy kịch tính Cho tới đầu kỷ 20, với lịng tin tiên nghiệm vào việc toán phát biểu đắn có thuật giải giải, nhiều nhà tốn học đầy tài tâm huyết tiến công vào toán tồn lời thách đố trí tuệ người Vấn đề then chốt lý thuyết tính tốn phát sinh Để chứng minh tốn có thuật giải giải nó, ta cần đề thuật giải theo quan niệm trực giác khái niệm kiểm định tính đắn toán cho Tuy nhiên, cần chứng minh việc khơng có thuật giải giải tốn đó, quan niệm trực quan thuật giải khơng thể sở bảo đảm cho chứng minh toán học chặt chẽ Do đó, muốn chứng minh điều khẳng định "khơng có thuật giải giải tốn dó", ta cần có định nghĩa tốn học cho khái niệm thuật giải Vào khoảng năm 1930-1936, nhà toán học K.Gõdel, S Kleene, A.Church, A.Turing đề số định nghĩa khác cho khái niệm thuật giải Trong số định nghĩa toán học khác (nhưng tương đương) thuật giải, khái niệm Máy Turing (1936) Hàm đệ quy (1931-1936) sử dụng rộng rãi có nhiều thuận tiện cho nghiên cứu lý thuyết lẫn thực hành Ta xem máy Turing mơ hình tốn học máy tính - 10 - 24 25 26 27 28 29 28 29 30 31 32 Như vậy, sau dãn dãy RU-1 ta nhận dãy 48 bit gồm bít với số hiệu 10 11 12 13 12 13 14 15 16 17 16 17 18 19 20 21 20 21 22 23 24 25 24 25 26 27 28 29 28 29 30 31 32 dãy RU-1 Ta ký hiệu dãy dãn ZU Bước Tính dãy 48 bít Y = ZU⊕KU Bước Nén dãy 48 bit Y thành dãy 32 bít Y’ cách dùng hộp (Box) S1, , S8 Các bảng gồm dòng đánh số từ đến 16 cột đánh số từ đến 15, phần tử bảng có giá trị phạm vi 16 S1 14 15 15 12 13 14 8 2 14 13 15 11 13 11 10 15 10 12 11 12 12 11 14 10 10 0 13 12 11 12 13 10 13 12 0 5 11 14 10 15 11 13 15 12 14 14 12 11 12 11 11 10 15 14 12 15 5 12 14 11 11 12 12 10 14 15 14 S2 15 13 13 14 8 10 14 11 15 10 11 15 13 4 14 S3 10 13 13 10 13 14 9 15 15 10 S4 13 10 13 15 14 11 6 12 10 15 11 13 10 13 - 370 - S5 14 11 12 11 12 12 11 7 10 10 13 14 11 13 13 15 15 15 12 15 10 13 10 14 14 11 13 14 13 4 14 10 14 11 13 11 11 13 14 10 12 15 12 15 14 10 15 12 10 12 15 12 10 14 11 13 15 14 12 11 S6 12 10 15 14 10 15 15 12 9 12 12 15 10 S7 13 11 11 11 11 13 14 13 15 12 10 13 10 14 S8 13 2 15 11 13 14 10 15 12 10 11 14 13 Để nén dãy 48 bít thành 32 bít, ta chia dãy 48 bít thành dãy liên tiếp đánh số từ đến 8, dãy bít, dãy thứ I, ≤ I ≤ 8, SI nén thành dãy bít, ghép dãy bít lại ta nhận dãy 32 bit Cách nén sau: giả sử có dãy bít dãy thứ I, b1b2b3b4b5b6 Hai bít b1b6 xem dạng nhị phân số U, ≤ U ≤ 3, cịn bốn bít b2 b3b4 b5, xem dạng nhị phân số V, ≤ V ≤ 15, lấy phân tử dòng U, cột V SI biểu diễn dạng nhị phân với bít, dạng nén dãy bit b1b2b3b4b5b6 Ví dụ, đoạn thứ 100101, phần tử dòng (dạng thập phân 11) cột (dạng thập phân 0010) 13 có dạng nhị phân 1101; dãy 100101 nén thành dãy 1101 - 371 - Bước f(RU-1,KU) nhận từ Y’ hoán vị cho bảng sau: 16 20 21 29 12 28 17 15 23 26 18 31 10 24 14 32 27 19 13 30 22 11 25 Để giải mã với khoá mã K, ta lặp lại q trình mã hố khác dãy KU dùng theo thứ tự ngược lại: giai đoạn từ đến 16, dùng khoá K16, K15, , K1 Hệ DES với số sửa đổi nhỏ dùng nhiều giao dịch mạng Ưu điểm hệ tốc độ mã hố giải mã nhanh Có nhiều dự tính tiến cơng hệ mã khó khăn gặp phải khơng gian khố lớn: 256 phần tử Denning giả định có người chế tạo máy tính song song với 106 chip, chip đảm nhiệm việc duyệt số khoá khoá duyệt micro giây cần ngày duyệt hết giá thành thiết bị cỡ 20 triệu đô la Mỹ Tuy nhiên, với tiến kỹ thuật tính tốn, người ta tiến hành nhiều biện pháp tăng cường cho độ an tồn hệ DES áp dụng mã hố DES số lần nghiên cứu hệ DES với độ dài khố 112 bít 8.6.2.2 Các hệ mã mật khố cơng khai Như ta nói mục trước, hệ mã cổ điển, người sử dụng phải giữ bí mật ánh xạ mã hố lẫn ánh xạ giải mã Nếu hệ thông đồng thời bảo đảm liên lạc cho N người hệ thống phải cung cấp N(N-1)/2 khố Với N lớn, gánh nặng cho hệ thống Vào năm 1976, Diffie Helmann đưa ý tưởng hệ mã mật khố cơng khai (Public Key Cryptosystem - viết tắt PKC) - 372 - Khi dùng PKC, người sở hữu khố K cơng khai ánh xạ lập mã EK giữ bí mật ánh xạ giải mã DK Muốn vậy, hệ PKC phải đáp ứng yêu cầu sau: Việc tính ánh xạ mã hoá phải toán dễ Đối với người sở hữu khố hợp pháp, việc tính D K phải nhanh chóng thuận tiện Đối với người khơng sở hữu khố hợp pháp, việc tìm DK từ EK tốn khó, chí anh/chị ta biết EK EK(M), việc khơi phục M tốn khó Giả sử anh/chị A cơng khai ánh xạ lập mã EA, B muốn gửi thông báo M cho A, người việc gửi EA(M) Khi nhận EA(M), A áp ánh xạ giải mã DA vào nhận M Tuy nhiên phương thức cịn sơ hở, anh/chị C mạo danh B gửi cho A thông báo với nội dung bất lợi cho A B Khi A B xảy tranh cãi: A khẳng định B có gửi thơng báo, cịn B phủ nhận điều Nếu hệ mã mật thiết kế cho ánh xạ E D giao hốn (khơng phụ thuộc thứ tự áp dụng), ta khắc phục sơ hở sau: giả sử A B dùng PKC, A muốn gửi thông báo M cho B, A gửi DA(M) Vì B biết EA, B áp EA vào DA(M) nhận M Theo cách này, A khơng thể từ chối thơng báo M có A chủ sở hữu hợp pháp D Tuy nhiên, B từ chối việc nhận M Giao thức bước sau bảo đảm việc không gây nên tranh cãi: Bước A gửi EA(M) cho B Bước B gửi DB EA(M) cho A Bước A gửi DADBEA(M) cho B Bước B tính EBDADBEA(M) để nhận M Hiện người ta thiết kế nhiều hệ mã mật khố cơng khai khuynh hướng phổ biến kết hợp việc bảo mật với việc sửa sai, tức thiết kế hệ mã mật có - 373 - khả sửa sai Sau ta giới thiệu hệ mã mật khố cơng khai tiêu biểu Đó hệ RSA RSA ba chữ đầu người thiết kế hệ mã: Rivest, Shamir Adleman Hệ đời năm 1978 Để xây dựng khoá mã, ta tiến hành bước sau: Chọn hai số nguyên tố khác (nói chung lớn đến hàng trăm chữ số) P Q Tính N = P.Q ϕ(N) = (P - 1).(Q - 1), N gọi mô đun hệ mã Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương D>1 cho D nguyên tố với ϕ(N) tính số nguyên dương E cho E.D ≡ (Mod ϕ(N)), E gọi số mũ mã hố cịn D gọi số mũ giải mã Để tiến hành mã hoá, rõ cần tiền xử lý thành số nguyên dương phạm vi N-1 Nếu M rõ mã C tính theo cơng thức C = ME Mod N Để giải mã, cách tính CD Mod N ta nhận M Người sở hữu hệ mã cơng khai N, E giữu bí mật D P Q Bằng kết lý thuyết số dùng thuật giải FastExp (xem Mục 4.5.2), ta chứng tỏ tính đắn việc giải mã hệ mã đáp ứng yêu cầu PKC Sự an toàn hệ RSA dựa độ khó tốn phân tích số N thành tích hai số P Q Cho tới tốn phân tích số ngun dương thành tích thừa số ngun tố cịn nhiều vấn đề chưa giải Một nhược điểm dễ thấy hệ RSA không cẩn thận, sau mã hố, rõ bị bộc lộ Một hệ mã gọi bộc lộ rõ có rõ M mà sau mã hố, ta nhận M Ví dụ chọn P = 97, Q = 109, E =865 với M, ≤ M ≤ N-1, ta có - 374 - M865 Mod N = M Tuy nhiên, mặt toán học, chon P, Q D, người ta tìm số lượng giá trị M mà sau mã hoá, ta nhận M Khi đó, giá trị chọn làm rõ phải khác với giá trị M làm bộc lộ rõ So với hệ DES, hệ RSA có tốc độ mã hố chậm BÀI TẬP Hãy phát biểu theo quan niệm Tin học tốn trình bày thuật giải cho 17 toán Đánh giá độ phức tạp thuật giải: Bài Giải biện luận phương trình bậc tổng quát: aX + b = Bài Giải biện luận phương trình bậc hai tổng quát: aX2 + bX + c = Bài Giải biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn số tổng quát Bài Giải biện luận phương trình trùng phương tổng quát: aX4 + bX2 + c = Bài Giải biện luận hệ hai phương trình bậc hai a1X2 + b1X + c1 = a2X2 + b2X + c2 = Bài Cho hình chữ nhật ABCD với hai cạnh nguyên dương AB = M BC = N Hình chữ nhật chia thành vng đơn vị Hãy tìm số vng có điểm chung với đường chéo AC Bài Cho hình chữ nhật ABCD với hai cạnh nguyên dương AB=M BC= N Hình chữ nhật chia thành vng đơn vị Hãy tìm số vng có điểm chung với đường chéo AC Bài Xét dãy vô hạn chữ số A nhận cách viết liên tiếp số nguyên dương liên tiếp tăng dần 1, 2, 3, 4, 1234567891011121314151617181920212223 Cho số nguyên dương N Hãy tìm chữ số thứ N dãy A Ví dụ với N =13, chữ số thứ N dãy - 375 - Bài Cho số nguyên dương N Lập dãy B chữ số nhận cách viết số nguyên dương liên tiếp tăng dần 1, 2, 3, 4, N Hãy tìm chữ số thứ N tính từ chữ số cuối dãy B Bài 10 Xét tập A số nguyên dương xác định sau: 1∈A Nếu K∈A 2K+1 3K+1 ∈A A gồm gồm số thoả mãn hai điều kiên Cho số nguyên dương N không lớn 60000 Hãy tìm số số thuộc A khơng lớn N Bài 11 Hai người A B chơi trị chơi sau: A bí mật chọn số ngun dương N nói rõ N khơng lớn số M nguyên dương B đoán xem A chọn số B quyền hỏi A số câu hỏi A trả lời hay sai câu trả lời A xác Hãy chọn cho B số câu hỏi để sau hỏi xong, B đoán số N Bài 12 Để tổng kết điểm cuối học kỳ tiến hành phân loại kết học tập học sinh lớp học, giáo viên chủ nhiệm có sổ điểm lớp Cần tính điểm trung bình mơn học tính điểm trung bình tồn học kỳ cho học sinh Với môn học, điểm kiểm tra miệng, kiểm tra 15 phút tính hệ số 1, điểm kiểm tra tiết tính hệ số 2, điểm kiểm tra học kỳ tính hệ số Khi tính điểm trung bình tồn học kỳ, điểm trung bình mơn Văn, Tốn tính hệ số 3, Lý, Hoá, Ngoại ngữ - hệ số 2, mơn cịn lại - hệ số Có năm mức phân loại học tập: kém, trung bình, khá, giỏi xuất sắc tương ứng với điểm trung bình toàn học kỳ thuộc miền: