Đang tải... (xem toàn văn)
Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm P tïy ý.[r]
(1)UBND huyện lục yên đề thi chọn học sinh giỏi cấp thcs phòng Giáo dục đào tạo Huyện Lục Yên – Nm hc 2007-2008
môn: toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm): Giải phơng trình:
a) √2x2
+5x+1=√x+1 b) √3x2
+6x+7+√5x2+10x+21=5−2x − x2
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt vµ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau: A=√x −2004+√2005− x
b) Tìm giá trị lớn của: B=3x
26x +17 x22x+5
Bài 3 (1,5 điểm): Cho M N thứ tự trung điểm cạnh AD BC
hỡnh ch nht ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P tùy ý Giao điểm PM AC Q
Chøng minh r»ng: gãc QNM = gãc MNP
Bài 4 (1,5 điểm): Cho hình vng ABCD, đờng thẳng qua A ct cỏc cnh BC
và CD lần lợt E F
Chứng minh rằng:
AE2+ AF2=
1 AB2
Bµi 5 (2 ®iĨm):
a) Chøng minh r»ng víi mäi n số lẻ n3
3n2n+3 chia hết cho 48 b) Cho d·y sè:
¿
102;108; ;1002}
A=¿
1) TÝnh sè phÇn tư cđa A
(2)UBND huyện lục yên kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thcs phòng Giáo dục đào tạo Huyện Lục Yên – Năm học 2007-2008
Híng dÉn chấm Môn: toán
Bài 1 (3 điểm): a) 2x2
+5x+1=√x+1
⇔{ x+1≥0
2x2+5x+1=x+1 (0,5 ®iĨm)
⇔{ x ≥ −1 2x2
+4x=0 (0,25 ®iÓm)
x ≥−1
¿
Thoa man
¿
x=−2(Loai)
¿ ¿
x=0¿
x(x+2)=0⇔¿
(0,5 điểm)
Vậy phơng trình có nghiệm x = (0,25 điểm) b) √3x2
+6x+7+√5x2+10x+21=5−2x − x2 x+1¿2+4
¿
x+1¿2+16
¿
x+1¿2
5¿
3¿
(0,5 điểm)
Vì x+120
3 ;
x+120
5 nên: (0,25 điểm)
x+1¿2+4
¿
3¿
√¿
x+1¿2+16
¿
5¿
√¿
(0,25 ®iĨm)
Do vế trái phơng trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải rõ ràng khơng lớn (0,25 điểm) Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy ra: x = -1 (0,25 điểm)
Bµi 2 (2 điểm):
a) A=x 2004+2005 x Điều kiện: 2004≤ x ≤2005
A ≥0,⇒A2
=1+2√(x −2004)(2005− x) (0,25 điểm) Do đó: A ≥1 , dấu “=” xảy khi:
x=2004 x=2005
(x −2004)(2005− x)=0⇔¿
(0,25 ®iĨm) VËy Min A =
(3)2√(x −2004)(2005− x)≤ x −2004+2005− x=1 (0,25 ®iĨm)
Do đó: A2≤2⇒A ≤
√2 Dấu = xảy khi:
x −2004=2005− x
⇔2x=4009⇔x=4009
2 (0,25 ®iĨm)
VËy Max A = √2 b) B=3x
2
−6x+17 x2−2x
+5 x −1¿2+4
¿ ¿
B=3+
x2−2x+5=3+
¿
(0,5 ®iĨm)
Max B=31
2 x = (0,5
®iĨm)
Bài 3 (1,5 điểm): I giao AC vµ MN
Theo đề MA = MD; NB = NC ⇒ MN trục đối xứng hình chữ nhật ABCD
Kẻ HI MN (H QN) ⇒ HI trục đối xứng (0,25 điểm)
⇒ HI // BC, theo TalÐt ta cã: QH
QN= QI
QC (1) (0,25 ®iĨm)
MN // BC, theo TalÐt ta cã: QI
QC= QM
QP (2) (0,25 điểm)
Từ (1) (2) ⇒ QH QN=
QM
QP ⇒HM // NP (Theo TalÐt)
⇒ Gãc M1 = gãc N2 (so le trong) (3) (0,25 ®iĨm)
Mặt khác, I giao hai trục đối xứng ⇒ IN = IM
Mà IH MN HMN cân góc M1 = gãc N1 (4) (0,25
®iĨm)
Tõ (3) vµ (4) ⇒ gãc N1 = gãc N2 hay gãc QNM = gãc MNP (®pcm) (0,25
®iĨm)
Bài 4 (1,5 điểm):
Dựng AM AF (M DC)
Ta cã: gãc A1 + gãc A2 = 1v; gãc A3 + gãc A2 = 1v (0,25 ®iÓm)
⇒ gãc A3 = gãc A1; cã AB = AD (gt) (1) (0,25
®iĨm)
⇒ Tam giác vuông ABE = tam giác vuông ADM
⇒ AM = AE (2) (0,25
®iĨm)
Trong tam giác vng AMF có AD đờng cao
(4)⇒ AD2=
1 AM2+
1
AF2 (3) (0,5 ®iĨm)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ AB2=
1 AE2+
1
AF2 (®pcm) (0,25
®iĨm)
3
F E
M D C
(5)Bài 5 (2 điểm): a) n33n2n
+3=n2(n −3)−(n −3)=(n −3)(n −1)(n+1) (0,25 ®iĨm) Víi n số lẻ (n3)(n 1)(n+1) tích ba số chẵn liên tiếp có dạng:
2k(2k+2)(2k+4)=8k(k+1)(k+2) (với kN ) (0,25 điểm)
k(k+1)(k+2) tích ba số nguyên liên tiếp
k(k+1)(k+2)2 k(k+1)(k+2)3 (0,25 điểm)
Mà (2, 3) = k(k+1)(k+2)6
8k(k+1)(k+2)48 (đpcm) (0,25 ®iĨm)
b)
1) Ta có dãy cách thì: số cuối - số đầu
Số phần tử = +1 (0,25 điểm) khoảng cách dÃy
Số phần tử A 1002102
6 +1=151 phần tử (0,25
®iĨm)
2) Mặt khác, dãy cách thì:
Un = U1 + (n - 1).d (víi d khoảng cách dÃy) (0,25 điểm)
⇒ U151 = 102 + (151 - 1).6 = 1002 (0,25 ®iĨm)