Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ: XỬ LÝ VẤN ĐỀ HỌ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Thông thường khi giải một phương trình lượng giác ta thường gặp 2 tình huống sau:.. + Nghiệm của phương trình là một họ kết h[r]
(1)CHỦ ĐỀ: XỬ LÝ VẤN ĐỀ HỌ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Thơng thường giải phương trình lượng giác ta thường gặp tình sau:
+ Nghiệm phương trình họ kết hợp + Đối chiếu họ nghiệm với điều kiện ban đầu
Chúng viết chủ đề nhằm giúp em xử lý vấn đề trên. I) NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Có phương pháp để xử lý sau: Phương pháp 1:Dùng đường tròn lượng giác
*Bước 1: Biểu diễn cung nghiệm họ phương trình Lưu ý: Với họ nghiệm x k n
có 2n cung nghiệm *Bước 2: Lấy cung nghiệm chung viết họ nghiệm tương ứng với cung nghiệm
VD1: Họ nghiệm
4 ( ; ' ) '
2 x k
k k Z
x k
* Họ nghiệm x k
có cung nghiệm
* Họ nghiệm x k'
có cung nghiệm hình vẽ
Dựa vào hình vẽ, kết luận nghiệm chung là: x l ,(l Z)
VD2: Họ nghiệm là:
3 ( ; ' )
'
3
x k
k k Z
x k
Tương tự, dựa vào hình vẽ, nghiệm chung là:
2
;( )
3
x k k Z
Phương pháp 2 Dùng phương trình nghiệm nguyên: ax by c *Nhắc lại: ;( )
c by
ax by c a b ax c by x
a
c by
x Z Z
a
(2)VD1:
40 10 24
x k
x m
Ta có: 40 k10 24 m 3k 5m
5
3 2
3
m m
k m k m
Do
1
1 2(3 1)
m
k Z Z m t k t t
Thế lại: x 40 (5t 1)10 40 10 t t
x 24 (3 1)t 6 24 t t
Vậy nghiệm chung là:x t
; t Z VD2:
6 (2 1) 6 3 10
6 20
(2 1) 20 x k
k n n k
x n
(*)
Ta thấy VT(*): Lẽ; VP(*): Chẵn Do hệ vơ nghiệm VD3:
2
8
8
5
5
2
5 1
4
4
* 4
x k
k n k n
x n
n n
k n k n
k n t k t t t
(3)x=(2k+1)π
¿
x=−π 6+2n
π
3
⇔(2k+1)π 2=−
π
6+2n
π
3⇔6k+4=4n
¿ ¿n=6k+4
4 = 3k+2
2 =k+1+
k
2 {
¿ ¿ ¿
¿
Vậy nghiệm chung là: x=(4t+1)π 2=
π
2+t2π ,(t∈Z)
VD5:
¿
x=π 6+kπ
x=π 6+n
π
2
⇒π
6+kπ=
π
6+n
π
2⇔n=2k
¿{
¿
Vậy nghiệm chung là: x=π
6+nπ ,(n∈Z)
VD6:
Gỉa sử điều kiện ban đầu:
¿
x ≠π
2+kπ(1)
x ≠ π
10+m
π
5(2)
¿{
¿
nghiệm là: x= π 12+l
π
6 (*)
So sánh với ĐK(1): 12π +lπ 6=
π
2+kπ⇔1+2l=6+12k (VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy (*) thỏa (1)
So sánh với ĐK(2): 12π +lπ 6=
π
10+m
π
15 ⇔5+10l=6+12l (VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy (*) thỏa (2)
Vậy nghiệm là: x= π 12+l
π
6
(4)¿
x=π 6+k
2π
3
x=π 4+l2π
⇒π
6+k 2π
3 =
π
4+l2π⇔2+4k=3+2l
¿{
¿
(VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy hệ vô
nghiệm
VD8:
x=kπ
¿
x=m8π
⇒kπ=m8π
3 ⇔3k=8m⇔k= 8m
3 =3m −
m
3
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
Vậy nghiệm: x=8tπ
KỸ THUẬT CỘNG NGHIỆM
* Nội dung phương pháp:
Cho hai tập nghiệm E1;E2 Yêu cầu xác định: E=E1∪E2 . TH1: + Nếu E1⊂E2⇒E1∪E2=E2⇒E=E2
+ Nếu E2⊂E1⇒E1∪E2=E1⇒E=E1 TH2: + Nếu E1∩ E2=∅⇒E=E1∪E2 + Nếu E1∩ E2=E '⇒E=E1∪(E2/E ')
VD1:
E1={x=k π 5}
¿
E2={x=nπ 2}
¿ ¿ ¿ ¿
Chọn k=5m, n=2m thì: x1=x2=mπ Như vậy, E1;E2 có phần chung E '={x∈E2/x=mπ}
Ta có: E2/E '={x=nπ
2/n ≠2m}={x=(2l+1)
π
2}
Vậy nghiệm chung: x=k π
5 ; x=(2l+1)
π
2
(5)
¿
sinx=1 2sin
2 3x
1 4sin
26x =0
¿{
¿
Ta có: sin 6x=0⇔x=k π Chọn k∈Z cho:
¿
0;k=2m
2;k=2m+1
¿sinkπ
6 = 2sin
2 (3kπ
6 )= 2sin
2 (kπ
2 )={
¿
+ k=2m⇒sinmπ
6 =0⇔k=6n
+
k=2m+1⇒sin(2m+1)π 6=
1 2⇔
k=1+12n
¿
k=5+12n
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy x=kπ