Đang tải... (xem toàn văn)
Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chu vi bằng 28A. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng.[r]
(1)(2)Câu 0.1. Cho khối cầu có bán kínhR= Thể tích khối cầu cho
A. 32π B. 32π
3 C. 16π D.
16π
Lời giải.
Thể tích khối cầu cho làV = 3πR
3 = 3π2
3 = 32π
Chọn đáp án B
Câu 0.2. Cho khối chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Thể tích khối chóp cho
A. 4a
3 B. 2a
3. C. a3. D. 2a
3
3
Lời giải.
Khối chóp cho có chiều cao làh = SA = 2a diện tích đáy làB =a2
Thể tích khối chóp cho làV = 3Bh=
1 3a
2.2a= 2a
3
A B
C D
S
Chọn đáp án D
Câu 0.3. Cho khối hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 cóAB = 1, AD = 2,AA0 = Thể tích khối hộp cho
A. B. C. D.
3
Lời giải.
Cho khối hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 vớiAB = 1,AD = 2,AA0 = 3có thể tích V =AB.AD.AA0 = 1.2.3 = 6(dvtt)
Chọn đáp án A
Câu 0.4. Đạo hàm hàm sốy= log3(1−2x)là A. y0 = −2
(1−2x) ln B. y
0 = −2 ln
1−2x C. y
0 =
(1−2x) ln D. y
0 =
(1−2x) ln
Lời giải.
Ta có:[logau(x)]0 = u
0(x)
u(x) lna vớiu(x)là hàm số hợp củaxcó đạo hàm và0< a6= Khix∈
−∞;
, hàm sốy= log3(1−2x)có đạo hàm lày0 = −2 (1−2x) ln
Chọn đáp án A
Câu 0.5. Cho
Z
1
f(x) dx= 2và
Z
2
2f(x) dx= TínhI =
Z
1
f(x) dx
A. I = B. I =
2 C. I = D. I =
(3)3
Z
2
2f(x) dx= 1⇒
3
Z
2
f(x) dx=
Suy raI =
Z
1
f(x) dx=
Z
1
f(x) dx−
3
Z
2
f(x) dx= 2−
2 =
Chọn đáp án B
Câu 0.6. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) :x−2y+ 3z+ = 0và đường thẳngdvng góc với mặt phẳng(P) Vectơ vectơ phương củad?
A. u#»2 = (1;−2; 2) B. u#»4 = (1; 2; 3) C. u#»3 = (0;−2; 3) D. u#»2 = (1;−2; 3)
Lời giải.
Vìd⊥(P)nên⇒ud#»cùng phươngn# »(P) hayn# »(P) = (1;−2; 3)là vectơ phương củad
Chọn đáp án D
Câu 0.7. Cho hàmy=f(x)liên tục trênRvà có bảng xét dấu đạo hàm hình bên x
y0
−∞ +∞
− + − + +
Hàm số cho có điểm cực đại?
A. B. C. D.
Lời giải.
x y0
y
−∞ +∞
− + − + +
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: hàm sốy =f(x)có điểm cực trị, gồm điểm cực đại điểm cực tiểu
Chọn đáp án D
Câu 0.8. Một đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Có cách chọn bạn gồm nam nữ để thể tiết mục song ca?
A. C1
5.C13 B. C28 C. C28 D. C15+ C13
Lời giải.
Chọn bạn nam bạn nam có số cách:C1 (cách) Chọn bạn nữ bạn nữ có số cách:C1
3 (cách)
Theo quy tắc nhân, để chọn cặp nam, nữ biểu diễn văn nghệ có số cách là:C15.C13 (cách)
Chọn đáp án A
Câu 0.9. Cho số phứcz1 = 1−i, z2 =−2 + 3i Tìm phần ảo số phứcz=z1−z2
A. B. C. D. −4
Lời giải.
Ta có:z =z1 −z2 = 3−4i
Vậy phần ảo số phứcz =z1−z2 bằng−4
(4)Câu 0.10. Cho số phứcz tùy ý Mệnh đề sau sai? A. z2 =|z|2
B. z.z =|z|2 C. |z|=|−z| D. |z|=|z|
Lời giải.
z2 =|z|2chỉ khiz số thực
Chọn đáp án A
Câu 0.11. Đồ thị hàm số sau đầy khơng có tiệm cận ngang?
A. y =
2x2+x B. y=e
x. C. y= 2x2+x. D. y= 2x+ x+
Lời giải.
Chọn đáp án C lim
x→±∞y = +∞nên đồ thị hàm sốy= 2x
2+xkhơng có tiệm cận ngang.
Chọn đáp án C
Câu 0.12. Tập nghiệm bất phương trìnhlog2(1−2x)≥log23là A. (−∞;−1] B.
−1;1
C.
1 2;
D. (−∞;−1)
Lời giải.
Ta cólog2(1−2x)≥log23⇔1−2x≥3⇔x≤ −1
Chọn đáp án A
Câu 0.13. Hình bên đồ thị hàm số đây?
x y
O
−1
−1
A. y=x4−2x2−1 B. y =−x4−2x2−1
C. y=−x4+ 2x2−1 D. y =x3−x2+x−1
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm trùng phương⇒Loại D Nhánh cuối đồ thị xuống nêna <0⇒Loại A
Đồ thị hàm số có điểm cực trị⇒Loại B
Chọn đáp án C
(5)x y
O
Q M
P N
−2
−1
1
−2
−1
−1
A. M B. N C. P D. Q
Lời giải.
Ta có:z0 =−z =−(1 + 2i) =−1−2i Vậy điểm biểu diễn số phứcz0là điểmN
Chọn đáp án B
Câu 0.15. Hàm số sau đồng biến A. y = 2x. B. y= log
2x C. y=
1
x
D. y=e−x.
Lời giải.
Hàm sốy= 2xlà hàm số mũ, có số lớn hơn1nên đồng biến trên.
Chọn đáp án A
Câu 0.16. Cho hàm sốy=f(x)liên tục có bảng biến thiên hình vẽ x
y0
y
−∞ +∞
− + − +
∞ ∞
1
3
1
3
Số nghiệm phương trìnhf(x) = 3là
A. B. C. D.
Lời giải.
Số nghiệm phương trìnhf(x) = 3bằng số giao điểm đồ thị hàm sốy =f(x)với đường thẳng y= Từ bảng biến thiên suy phương trình có hai nghiệmx=a <0vàx= 3(nghiệm bội)
Chọn đáp án D
Câu 0.17. Cho khối trụ có chiều caoh= 8và bán kính đáyr = Thể tích khối trụ cho
A. 72π B. 24π C. 48π D. 96π
Lời giải.
Thể tích khối trụ cho làV =πr2h=π32.8 = 72π (đvtt)
Chọn đáp án A
Câu 0.18. Cho hình nón có đường sinhl = 6và bán kính đáyr= Diện tích xung quanh hình nón cho
(6)Lời giải.
Diện tích xung quanh hình nón cho làSxq =πrl=π.2.6 = 12π(đvdt)
Chọn đáp án D
Câu 0.19. Cho phương trình4x−3.2x+1+ = Khi đặtt= 2x, ta phương trình sau đây? A. t2−6t+ = B. 2t2−3t+ = C. t2−3t+ = D. t2 −3t+ =
Lời giải.
4x−3.2x+1+ = 0⇔22x−6.2x+ = 0.
Khi đặtt = 2x, ta phương trìnht2−6t+ =
Chọn đáp án A
Câu 0.20. Trong khơng gian tọa độOxyz, hình chiếu vng góc điểmA(1; −2; 5)trên trụcOycó tọa độ
A. (0; −2; 5) B. (1; 0; 5) C. (0; −2; 0) D. (1; −2; 0)
Lời giải.
Hình chiếu vng góc điểmA(1; −2; 5)trên trụcOycó tọa độ là(0; −2; 0)
Chọn đáp án C
Câu 0.21. Họ nguyên hàm hàm sốf(x) = ex−2xlà A. ex− x
2
2 +C B. e
x−2 +C. C. ex−x2+C. D. ex−2x2+C.
Lời giải.
Ta có
Z
f(x)dx=
Z
(ex−2x)dx=ex−x2+C
Chọn đáp án C
Câu 0.22. Cho hàm sốy=f(x)có bảng biến hình vẽ bên x
y0
y
−∞ +∞
− + − +
∞ ∞
−1
−1
2
1
3
Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây?
A. (2; 4) B. (1; 2) C. (1; 3) D. (−1; 2)
Lời giải.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng(0; 2)và(4; +∞)
Chọn đáp án B
Câu 0.23. Cho cấp số cộng(un)vớiu1 = 2và cơng said = Hỏi có số hạng cấp số cộng nhỏ hơn11?
A. B. C. D.
Lời giải.
Ta có:u1 = 2;u2 = + = 5; u3 = + = 8;u4 = + = 11 Vậy có số hạng cấp số cộng nhỏ hơn11
Chọn đáp án D
Câu 0.24. Trong không gianOxyz, cho hai vectơu#»1(1; 1; −4),u#»2(0; 1; 1) Góc hai vectơ cho
(7)Lời giải.
Sử dụng cơng thức tích vơ hướng hai vectơ, ta có cos (u#»1; u#»2) =
#» u1.u#»2
|u1#»|.|u2#»| = −3
√
18.√2 =−
2 ⇒ ( #»
u1; u#»2) = 120◦
Chọn đáp án D
Câu 0.25. Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+z2+ 2x−6y+ 4z−11 = 0bán kính (S)bằng
A. √3 B. √67 C. √45 D.
Lời giải.
Từ phương trình mặt cầu(S)suy
−2a=
−2b =−6
−2c= d=−11
⇒
a=−1 b= c=−2 d=−11
⇒R=
q
(−1)2+ 32+ (−2)2+ 11 = 5.
Chọn đáp án D
Câu 0.26. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, choM(1; −1; 5), N(3; 1; 1) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳngM N có phương trình
A. 2x+y−4z+ 10 = B. x+y+ 2z−8 = C. x+y−2z+ = D. x−y+ 2z−8 =
Lời giải.
GọiI trung điểmM N suy raI(2; 0; 3)
Mặt phẳng trung trực đoạnM N quaI nhậnM N# »= (2; 2; −4)làm VTPT có phương trình: (x−2) + (y−0)−4 (z−3) = 0⇔x+y−2z+ =
Chọn đáp án C
Câu 0.27. Cho số thựca,bthỏa mãn 2a−1
b−2 = log23 Giá trị 3b 4a A.
9 B.
9
2 C.
2
3 D.
3
Lời giải.
Ta có 2a−1
b−2 = log23⇔2a−1 = (b−2) log23⇔2a−1 = log23
b−2 ⇔3b−2 = 22a−1 ⇔ b
9 = 4a
2 ⇔ 3b 4a =
2
Vậy giá trị b
4a =
Chọn đáp án B
(8)A
B
C S
Góc đường thẳngSC mặt phẳng(SAB)bằng
A. 60◦ B. 90◦ C. 45◦ D. 30◦
Lời giải.
GọiElà trung điểm củaAB, tam giácABCđều nênCE ⊥AB Theo giả thiếtSA⊥(ABC)⇒(SAB)⊥(ABC)
Mà(SAB)∩(ABC) = AB;CE ⊥AB⇒CE ⊥(SAB) Suy hình chiếu SC mặt phẳng (SAB) làSE ⇒
(SC,(SAB)) = (SC, SE) = CSE.[
Trong tam giác vuôngSAC :SC =√SA2+AC2 =a√3. Trong tam giác đềuABC :CE = a
√
3
Trong tam giác vuôngSEC : sinCSE[ = CE
SC =
a√3 a√3 =
1 ⇒
[
CSE = 30◦
A
B
C S
E
Chọn đáp án D
Câu 0.29. Cho hàm sốy = f(x)có đạo hàmf0(x) = x(x+ 1) (x−2)2với Giá trị nhỏ hàm sốy=f(x)trên đoạn[−1; 3]là
A. f(2) B. f(0) C. f(3) D. f(−1)
Lời giải.
Ta có :f0(x) = 0⇔
(9)x y0
y
−∞ −1 +∞
− + +
f(−1)
f(0) f(0)
f(3)
Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm số làf(0)
Chọn đáp án B
Câu 0.30. Cho hình trụ có chiều cao Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục thiết diện thu hình chữ nhật có chu vi 28 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A. 48π B. 96π C. 24π D. 36π
Lời giải.
Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhậtABCD cól =BC = OO0 =
Chu vi hình chữ nhật ABCDbằng 28 nên (AB+BC) = 28 ⇔
2 (AB+ 6) = 28 ⇔ AB = Suy bán kính đáy R = Suy diện tích xung quanh hình trụ làSxq = 2πRl = 2.π.4.6 = 48π
A B
C D
O
O0 R
l
Chọn đáp án A
Câu 0.31. Hàm sốy= ln (x3−3x2+ 1)có điểm cực trị?
A. B. C. D.
Lời giải.
Điều kiệnx3−3x2+ 1 >0. Ta có:y0 = 3x
2−6x
x3−3x2+ 1 = 0⇒
x= x= (l) Vậy hàm số có điểm cực trị
Chọn đáp án D
Câu 0.32. Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+dcó đồ thị hình sau Mệnh đề sau sai?
x y
O
2
−2
A. ab < B. bc <0 C. ac < D. bd <0
(10)Ta cóy0 = 3ax2+ 2bx+c; y00 = 6ax+ 2b;a >0vàx= ⇒y =d >0
Dựa vào đồ thị hàm số ta có điểm uốn có hồnh độ dương hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên ta có:
x= −b 3a >0 c
3a <0
⇒
−b > c <0 ⇔
b <
c < Như vậybc <0là sai
Chọn đáp án B
Câu 0.33. Cho tích phânI =
Z
π
cos5xdx Nếu đặtt = sinx A. I =
Z
1−t22dt B. I =−
Z
t4dt C. I =
Z
t4dt D. I =−
Z
1−t22dt
Lời giải.
Đặtt= sinx⇒dt= cosxdx
Ta có cos5x= cos4xcosxdx= 1−sin2x2cosxdx= (1−t2)2dt Vớix= 0⇒t= 0, x= π
2 ⇒t = Do đóI =
Z
0
1−t22
dt
Chọn đáp án A
Câu 0.34. Cho số phứcz thỏa mãn|z| −z= + 3i Tính tích phần thực phần ảo củaz
A. 12 B. −7 C. −12 D.
Lời giải.
Gọiz =a+bi(a, b∈R) Ta có
|z| −z = + 3i⇔√a2+b2−a−bi= + 3i
⇔
√
a2+b2−a= 1
−b= ⇔
b=−3
√
a2+ =a+ 1 ⇔
b =−3 a ≥ −1 = 2a+
⇔
b =−3 a = Do tích phần thực phần ảo làa.b=−12
Chọn đáp án C
Câu 0.35. Cho số thựcmvà phương trình bậc haiz2+mz+ = Khi phương trình khơng có nghiệm thực, gọiz1, z2 nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn củaT =|z1−z2|
A. B. C. D.
Lời giải.
Vì phương trình khơng có nghiệm thực nên∆ = m2−4<0
⇔ −2< m <2
Khi phương trình có hai nghiệm phức làz1 =
−m−i√4−m2 , z2 =
−m+i√4−m2
2
Suy raT =|z1−z2|=
−i
√
4−m2
=
√
4−m2.
Ta có√4−m2 ≤√4 = 2, dấu xảy khim= Vậy giá trị lớn củaT là 2.
Chọn đáp án A
(11)x y
O
2
A. 37
12 B.
9
4 C.
5
12 D.
8
Lời giải.
Giả sửf(x) = ax3+bx2+cx+d(a6= 0) Vì đồ thị qua điểmO(0; 0), A(1; 0), B(3; 0), C(2; 2) nên ta có hệ phương trình:
d =
a+b+c+d= 27a+ 9b+ 3c+d= 8a+ 4b+ 2c+d=
⇔
a=−1 b= c=−3 d=
Vậy hàm số cho lày=f(x) =−x3+ 4x2−3x, diện tích phần tơ đậm
S =
Z
0
−f(x)dx+
Z
1
f(x)dx = 37 12
Chọn đáp án A
Câu 0.37. Trong không gian0xyz, cho đường thẳngd :
x= y= +t z = 2t
và mặt phẳng (P) : 2x+y+
z−1 = 0.Gọi∆là đường thẳng qua điểmA(1; 2; 5), cắt đường thẳngd song song với mặt phẳng (P).Phương trình đường thẳng∆là
A. x−1 =
y−2 =
z−5
1 B.
x−1
1 =
y−2
−2 = z−5
3 C. x−1
1 = y−2
1 = z−5
−3 D.
x+ 1 =
y+ =
z+
Lời giải.
Gọi B giao điểm hai đường thẳngdvà∆
Do B thuộcdnênB(2; +t; 2t)⇒AB# »= (1;t; 2t−5) Mặt phẳng(P)có véc tơ pháp tuyến làn# »P = (2; 1; 1) Do đường thẳng∆song song với mặt phẳng(P)
nênn# »P.AB# »= 0⇔1.2 + 1.t+ 1.(2t−5) = 0⇔3t−3 = ⇒t=
Đường thẳng∆đi qua điểmA(1; 2; 5)và nhận véc tơAB# »= (1; 1;−3)làm véc tơ phương nên phương trình đường thẳng∆là x−1
1 =
y−2 =
z−5
−3
Chọn đáp án C
Câu 0.38. Phương trìnhln(x2−1).ln(x+ 2).ln(x+ 3) = 0có nghiệm?
A. B. C. D.
Lời giải.
Điều kiện:
x2−1>0 x+ >0 x+ >0
⇔
x >1
(12)ln(x2−1).ln(x+ 2).ln(x+ 3) = 0
⇔
ln(x2−1) = 0 ln(x+ 2) = ln(x+ 3) =
⇔
x2−1 = 1 x+ = x+ =
⇔
x=±√2(tm) x=−1(l) x=−2(l) Do phương trình có nghiệm
Chọn đáp án C
Câu 0.39. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC tam giác cân tạiA,AB =a,BAC[ = 120◦, AA0 = 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụABC.A0B0C0
A. 16πa
3 B. 8πa
2. C. 4πa2. D. 16πa2.
Lời giải.
Gọi O, O0 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácABC vàA0B0C0thì tâmI mặt cầu ngoại tiếp lăng trụABC.A0B0C0 trung điểm củaOO0
GọiM trung điểm củaBCthìAM đường trung trực cạnhBC mặt phẳng(ABC)nênO thuộcAM Ngoài raAMcũng phân giác gócBAC[ nênBAM\ = 60◦
Xét tam giácABC:BC = 2BM = 2.AB.sin 60◦ =a√3;
AO= BC
2 sinBAC[
=a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụABC.A0B0C0làAI =
√
AO2+OI2 =a√2.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụABC.A0B0C0 bằng4π a√22 = 8πa2.
A
B
C
A0
B0
C0 M
I
O0 O
Chọn đáp án B
Câu 0.40. Do ảnh hưởng dịch Covid 19 nên doanh thu tháng đầu năm công tyA không đạt kế hoạch Cụ thể, doanh thu tháng đầu năm đạt 20 tỉ đồng, tháng đạt tỉ đồng Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt kế hoạch năm, công ty đưa tiêu: kể từ tháng 7, tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10% Hỏi theo tiêu đề doanh thu năm cơng tyAđạt tỉ đồng (làm tròn đến chữ số thập phân)?
A 56,9. B 70,9. C 66,3. D 80,3.
Lời giải.
Theo tiêu đề doanh thu tháng cuối năm số hạng liên tiếp cấp số nhân(un)gồm số hạng, vớiu1 doanh thu tháng 7,u1 = 6.1,1, cơng bộiq= 1,1
Do tổng doanh thu tháng cuối năm bằngu1 1−q6
1−q '50,9(tỉ đồng) Khi doanh thu năm cơng tyAđạt là20 + 50,9 = 70,9(tỉ đồng)
Chọn đáp án B
Câu 0.41. Có số nguyên dươngm cho hàm sốy = x3 +x2+ (1−m)x+ 2đồng biến trên(1; +∞)?
A Vô số. B. C. D.
Lời giải.
TXĐD=R
y0 = 3x2+ 2x+ (1−m).
(13)x g0(x)
g(x)
1 +∞
+
6
+∞
+∞
Xét hàm sốg(x) = 3x2+ 2x+ 1, x∈(1; +∞)cóg0(x) = 6x+ 2 >0,∀x∈(1; +∞)
Suy ram≤6
Chọn đáp án B
Câu 0.42. Đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh mơn Tốn trườngXcó 10 học sinh Số thẻ dự thi 10 học sinh đánh số từ đến 10 Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 10 em đội tuyển Tính xác suất để khơng có học sinh em ó hiệu số thẻ dự thi
A.
3 B.
2
5 C.
1
3 D.
3
Lời giải.
Ta cón(Ω) =C103 = 120
Gọi A biến cố “Chọn học sinh khơng có học sinh có hiệu số thẻ dự thi 5.” Chọn học sinh tùy ý :10 cách
Chọn học sinh thứ có số thẻ khơng số dư với số thẻ học sinh thứ phép chia cho 5: cách
Chọn học sinh thứ có số thẻ khơng số dư với số thẻ học sinh thứ thứ phép chia cho 5: cách
Vì khơng thứ tự học sinh chọn nênn(A) = 10.8.6 3! = 80 Xác suất biến cố A làp(A) =
3
Chọn đáp án A
Câu 0.43. Cho hình chóp đềuS.ABCDcóAB= 2a, SA=a√3(minh họa hình bên) GọiM trung điểm củaAD Khoảng cách giữaSD vàBM
A.
√
39a
31 B.
3√3a
4 C.
√
6a
3 D.
2a
Lời giải.
GọiN trung điểm củaBC, Olà tâm hình vng ABCD Ta có BM k N D ⇒ BM k
(SN D)⇒d(BM;SD) =d(BM; (SN D)) = d(B; (SN D)) = 2d(O; (SN D))
DựngOH ⊥N D(H ∈N D)màSO ⊥ N D⇒
N D ⊥ (SOH) ⇒ (SN D) ⊥ (SOH) mà (SOH)∩(SN D) =SH
Dựng OK ⊥ SH(K ∈SH) Suy OK ⊥
(SN D)tạiK Suy rad(O; (SN D)) = OK Dựng M I ⊥ N D(I ∈N D) OH đường trung bình của∆M N I
Suy OH =
2M I =
2S∆M N D
N D =
1
M N.M D
N D =
1
2a.a a√5 =
a
√
5
A
B C
D M
N O
K S
(14)Xét tam giác vngSOH ta có OK2 =
1 OH2 +
1 OS2 =
6
a2 ⇒OK = a
√
6 ⇒d(O; (SN D)) = a
√
6 Vậyd(BM;SD) = a
√
6
Chọn đáp án C
Câu 0.44. Cho hàm sốy =f(x)có đạo hàm, nhận giá trị dương trên(0; +∞)và thỏa mãn2f0(x2) = 9xpf(x2)với mọix∈(0; +∞) Biếtf
2
=
3 Tính giá trịf
A.
4 B.
1
3 C.
1
12 D.
1 16
Lời giải.
Ta có2f0(x2) = 9xp
f(x2)⇔ 2x.f
0(x2)
p
f(x2) = 9x (1) Lấy nguyên hàm hai vế của(1)ta có
Z
2x.f0(x2)
p
f(x2) dx=
Z
9x2dx⇒
Z
d[f(x2)]
p
f(x2) = 3x
+C ⇒2pf(x2) = 3x3+C
⇒2pf(x) = 3√x3+C ⇒2
s f = s 3 +C ⇒2 r =
s
2
3
+C ⇒C =
Do đó, ta có2pf(x) = 3√x3 ⇒2
s f = s 3 ⇒f = 12
Chọn đáp án C
Câu 0.45. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm hàm y=f0(x)có đồ thị hình vẽ Trên đoạn [−3 ; 4]hàm sốg(x) = f
x
2 +
−ln (x2+ 8x+ 16)có điểm cực trị?
x y
O
1
A. B. C. D.
Lời giải.
Ta cóg(x) = fx +
−ln (x+ 4)2 =fx +
−2 ln (x+ 4)vớix∈[−3 ; 4]
g0(x) = 2f
0x
2 +
−
x+ 4;g
0(x) = 0⇔
2f
0x
2 +
−
x+ = ⇔f
0x
2 +
= x+ 4(∗) Đặtt= x
2 + 1⇒x= 2t−2, Khi phương trình(∗)có dạngf
0(t) =
t+ (1)vớit∈
−1
2;
(15)
x y
O
1
Số điểm cực trị hàm sốg(x) = fx +
−ln (x2+ 8x+ 16)là số nghiệm đơn (hay bội lẻ)
phương trình(1)trên
−1
2;
Từ đồ thị hàm số ta suy hàm số có điểm cực trị
Chọn đáp án B
Câu 0.46. Có giá trị nguyên củamsao cho bất phương trình nghiệm với log3(x2+ 2mx+ 2m2−1)≤1 + log
2(x2+ 2x+ 3).log3(x2+ 3)
A. B. C. D.
Lời giải.
Cách Điều kiện cần:
⇔∆0 =m2−(2m2−1)<0⇔m2 >1 (1)
Bài toán yêu cầu nghiệm với mọixnên toán vớix= Vớix= 0, bất phương trình trở thành:log3(2m2−1)≤1 + log
23
⇔log3(2m2−1)≤log
26⇔2m2−1≤3log26
⇔m2 ≤ +
log26
2 ≈9,0567 (2)
Từ(1)và(2), kết hợp ta đượcm∈ {−3 ;−2 ; ; 3} Thử lại cóm=±2thỏa mãn u cầu tốn Cách
Điều kiện cần:
⇔∆0 =m2−(2m2−1)<0⇔m2 >1.(1)
Bài toán yêu cầu nghiệm với mọixnên tốn vớix=−1 Vớix=−1,bất phương trình trở thành:log3(2m2−2m)≤1 + log
22.log34
⇔log3(2m2−2m)≤log 312
⇒2m2−2m ≤12⇔ −2≤m≤3, (2).
Từ(1)và(2),kết hợp với ta đượcm ∈ {−2; 2; 3} Thử lại
+Vớim= 2bất phương trìnhlog3(x2+ 4x+ 7) ≤1 + log
2(x2+ 2x+ 3).log3(x2+ 3), (∗) log3
x2+ 4x+
≤log2(x2+ 2x+ 3).log3(x2+ 3) Do x
2+ 4x+ 7
3 ≤x
2+ 3 ⇔(x+ 1)2
≥0luôn nênlog3
x2+ 4x+ 7
≤log3(x2+ 3) Mặt kháclog2(x2+ 2x+ 3) = log2 (x+ 1)2+ 2≥1nên(∗)đúng với
+Tương tự vớim=−2bất phương trình với +Vớim= 3bất phương trìnhlog3
x2+ 6x+ 17
≤log2(x2+ 2x+ 3).log3(x2+ 3) Vớix=−1
2ta thấy bất phương trìnhlog3
19
≤log2
9
.log3
13
(16)
Vậy có giá trị thỏa mãn làm=±2
Chọn đáp án A
Câu 0.47. Cho khối chópS.ABCD có đáyABCD hình thang vng tạiAvà B, AB = BC = a, AD= 2a, SAvng góc với mặt phẳng đáy vàSA= 2a.GọiOlà giao điểm củaACvớiBDvàM, N, P trung điểm củaSB, SC, OD.Mặt phẳng(M N P)chia khối chóp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện chứa đỉnh B
A. 17a
18 B.
19a3
54 C.
11a3
27 D.
19a3 18 Lời giải. x y y A B C D S O E F I M N Q P
GọiI trung điểmAD, cóIA=a, dễ thấyABCI hình vng cạnh a
P ∈(ABCD)∩(M N P)
BC ⊂(ABCD), M N ⊂(M N P) BC kM N
⇒
(ABCD)∩(M N P) =P x
P xkBC kM N
Trong(ABCD), cóP x∩CD =E, P x∩AB =Q
(M N P)cắt hình chóp theo thiết diện hình thangM N EQ VìBC kAD,BC =
2ADnên có OB OD = BC AD = Mặt khác,P trung điểmOD, suy raOB =OP =P D Xét tam giácABD, cóQP //ADvà BQ
BA = QP AD = BP BD = 3(1) Từ (1) suy raQP =
3AD= 4a
3 ,QA= 3AB =
a Xét tam giácBCD, cóP E kBCvà P E
BC = ED DC = P D DB = 3(2) Từ (2) suy raP E =
3BC = a
3; Ta cóQE =QP +P E= 4a + a = 5a KẻEF kQA, F ∈AD, cóEF ⊥AD, EF =QA, AF =QE
Xét hệ trụcOxyznhư hình vẽ, điểmOtrùng điểmA Ta có:B(a; 0; 0),S(0; 0; 2a),A(0; 0; 0),C(a;a; 0),Qa
3; 0;
,Ma 2; 0;a
,Na 2;
a 2;a
E a 3; 5a ;
, # »
BM =−a
2; 0;a
,BN# »=−a
2; a 2;a
,BQ# »=
−2a
3 ; 0;
,BE# »=
−2a
3 ; 5a
3 ;
(17)
GọiV thể tích khối đa diện cần tìm
Ta có:V =VB.M N Q+VB.N QE+VB.N CE =
h# »
BM ,BN# »i.BQ# »
+
h# »
BN ,BQ# »i.BE# »
+
h# »
BC,BN# »i.BE# »
= a 18 + 5a3 27 + a3 = 19a3 54
Chọn đáp án B
Câu 0.48. GọiSlà tập hợp tất giá trị nguyên củamsao cho hàm sốy=|−x4+mx3+ 2m2x2+m−1| đồng biến trên(1; +∞) Tổng tất phần tử củaSlà
A. B. C. −1 D. −2
Lời giải.
Gọig(x) =−x4+mx3+ 2m2x2+m−1.
g0(x) = −4x3+3mx2+4m2x=x.(−4x2+ 3mx+ 4m2) =−4x. x− 3−
√
73
8 m
!
x− + √
73
8 m
!
Gọia= 3−
√
73
8 m, b =
3 +√73
8 m,b−a= 2√73
8 m Nếum >0thìb > a, nếum <0thìb < a
Ta có lim x→+∞g
0(x) =−∞nên không xảy trường hợp hàm sốg(x)đồng biến khoảng(1; +∞).
+ − + −
a 0 b
Để thỏa mãn yêu cầu đề phải cóg(x)nghịch biến trên(1; +∞)vàg(1)≤0 g(1)≤0⇔2m2+ 2m−2≤0⇔ −1−
√
5
2 ≤m ≤
−1 +√5 (1) g(x)nghịch biến trên(1; +∞)⇔g0(x)≤0,∀x∈(1; +∞)(2)
+) Nếum= 0:g0(x) = −4x3 Điều kiện (1) (2) thỏa mãn, giá trịm= 0thỏa mãn yêu cầu đề
+) Nếu0< m≤ −1 + √
5
2 (3): Dấug
0(x)trên trục số sau:
+ − + −
b a
Để thỏa mãn điều kiện (2) thìb = +
√
73
8 m≤1⇔m≤
−3 +√73 (4) Kết hợp (3) (4) có:0< m≤ −1 +
√
5 +) Nếu −1−
√
5
2 ≤m <0(5): Dấug
0(x)trên trục số sau:
Để thỏa mãn điều kiện (2) thìa= 3−
√
73
8 m≤1⇔m≥
−3−√73 (6) Kết hợp (5) (6) có: −3−
√
73
8 ≤m <0
Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề −3−
√
73
8 ≤m ≤
−1 +√5
2 , suy giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề làm=−1, m = 0, đóS =−1
Chọn đáp án C
(18)x y
2
2
Có giá trị ngun củamđể phương trìnhf(|x3−3x|) = mcó 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn[−2; 2]?
A 4. B 3. C 1. D 2.
Lời giải.
x y
2
Đặtt=x3−3x, ta có đồ thị củay=|x3−3x|như sau Dựa vào đồ thị ta thấy|t| ∈[0; 2]
Từ đồ thị ta thấy:
+) Với|x3−3x|= 0, cho ta nghiệmx. +) Với|x3−3x|= 2, cho ta nghiệmx. +) Với|x3−3x| ∈(0; 2), cho ta nghiệmx
Khi phương trìnhf(|x3−3x|) =mtrở thànhf(|t|) = m,|t| ∈[0; 2].
Suy phương trình có nghiệm khim∈[0; 2] Vìmngun nên ta xét trường hợp sau:
+) Vớim =−2, phương trìnhf(|t|) = mcó nghiêm|t| ∈(0; 2)nên phương trìnhf(|x3 −3x|) = mcó nghiệmx(loại)
+) Vớim =−1, phương trìnhf(|t|) =m có nghiêm|t| ∈ (0; 2)nên phương trìnhf(|x3−3x|) = m có 12 nghiệmx(nhận)
+) Vớim = 0, phương trình có nghiêm|t| ∈(0; 2)và nghiệm|t|= 0nên phương trìnhf(|x3−3x|) = m có 15 nghiệmx(loại)
+) Vớim = 1, phương trình có nghiêm|t| ∈ (0; 2)nên phương trìnhf(|x3−3x|) = mcó 15 nghiệm x(loại)
+) Vớim = 2, phương trình có nghiêm|t| ∈(0; 2)và nghiệm|t|= 2nên phương trìnhf(|x3−3x|) = m có 16 nghiệmx(loại)
Chọn đáp án C
(19)A. (3; 4) B. (4; 5) C. (5; 6) D. (2; 3)
Lời giải.
P = log2a+ log2b+ log2(a−b)−2 log2(a2+b2) = log2 ab(a−b)
(a2+b2)2 = log2
ab (a2+b2)2 (a
2+b2−2ab)
= log2
"
ab a2 +b2 −2
ab a2+b2
2#
= log2
"
−2
ab a2+b2 −
1
2
+
#
≤log21 Dấu xảy ab
a2 +b2 =
4 ⇔(a+b)
= (a−b)2 ⇔log3(a+b) =
2 + log3(a−b) Màlog2(a−b) = log3(a+b)⇔log2(a−b) =
2 + log3(a−b)⇔a−b ≈2,558 ∈(2; 3)
(20)ĐÁP ÁN 0.1 B
0.2 D 0.3 A 0.4 A 0.5 B
0.6 D 0.7 D 0.8 A 0.9 D 0.10 A
0.11 C 0.12 A 0.13 C 0.14 B 0.15 A
0.16 D 0.17 A 0.18 D 0.19 A 0.20 C
0.21 C 0.22 B 0.23 D 0.24 D 0.25 D
0.26 C 0.27 B 0.28 D 0.29 B 0.30 A
0.31 D 0.32 B 0.33 A 0.34 C 0.35 A
0.36 A 0.37 C 0.38 C 0.39 B 0.40 B
0.41 B 0.42 A 0.43 C 0.44 C 0.45 B