Ung dung dinh ly Lagrange

[r]

ứng dụng định lý Lagrăng 1. Cho m > 0

m c 1 m b 2 m a    

 Chøng minh r»ng ax

2 + bx + c = cã nghiÖm thuéc (0 ; 1)

HD: XÐt hµm sè

m x c 1 m x b 2 m x a x f m 1 m 2

m . .

) (       

2. Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = lu«n cã nghiƯm a,b,c,d  R.

HD: XÐt hµm sè Cos3x dSinx

3 c x 5 Sin 5 b x 7 Cos 7 a x

F( )   

áp dụng ĐL Lagrăng

3. Giải PT: 2000x + 2002x = 2.2001

HD: XÐt hµm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagrăng (2000; 2001) cho

f() =

4. Cho a - b + c = Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = cã Ýt nhÊt 4 nghiÖm thuéc 0; .

HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) (a;b) Chứng minh F(x) = có hai nghiệm f(x) = có nghiệm thuộc (a; b).”

CM: Gäi ,  lµ hai nghiƯm cña PT F(x) = Ta cã F() =F() =

Theo ĐL Lagrăng x0 (; ) cho f(x0) = F’(x0) = 0

F F       ) ( ) (

Giải: Xét hàm số:F(x)a.Sinx b.Sin3x c.Sin5x

C/M: F(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; .Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0;  Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; 

5. Cho a,b,c  tho¶ m·n 0 3 c 5 b 7 a  

 Chứng minh đồ thị hàm số y = a.x4 + bx2 + c ln cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc (0 ; 1). 6. CMR: a,b,c tuỳ ý PT sau ln có nghiệm (0; 2) a.Cos3x + b.Cos2x +

c.Cosx + Sinx =

7. CMR: a,b,c,d không đồng thời khơng PT sau ln có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.

8. Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2) Chøng minh r»ng PT: f (x) = lu«n cã nghiƯm.’’ 9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx

10.Cho ®a thøc P(x) cã n nghiƯm ph©n biƯt x1;x2; xn CMR

a, 0

x P x P x P x P x P x P n n 2 2 1

1    

) ( ) ( '' ) ( ) ( '' ) ( ) ( ''

b, 0

x P 1 x P 1 x P 1 n 2 1     ) ( ' ) ( ' ) ( '

11.Cho hµm sè f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3) CMR phơng trình f (x) = có nghiệm phân biệt.

12.Cho hàm sè f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e Chøng minh PT f (x) = cã nghiƯm ph©n biƯt.’’

13.Cho m>0; n> vµ f(x) = + xm(x - 1)m CMR PT f (x) = cã nghiÖm x ’  (0; 1) 14.Cho 2b + 3c = CMR phơng trình: aCos2x + b.Cosx + c = lu«n cã nghiƯm

thc (0; 2 

).

15.Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0) BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiƯm CMR: a.f(x)2 + b.f(x) + c = v« nghiƯm.

16.Cho < b < a CMR

17.Cho f(x) xác định R f (x) ’’  x  R Chứng minh a,b  R(a < b) f(a) f(b) f(ab)

2 2

18.Chøng minh r»ng: ln(1 + x) < x; x > 0 19.CMR: a b tga tgb a b

cos b cos a

 

  

2 2 0 < b < a < 

2.

20.Cho a < b < c CMR:

a   a b c a2b2c2 ab bc ca    a b c a2b2c2 ab bc ca  c

3 3

HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x1; x2 cho a< x1 < b < x2 <c =>?

21.Cho n Z; CMR: x n x ; x ( ; )

ne

  1  

1 01

2

HD: §Ỉt f(x) = lnx

22.CMR

a) |sin a - sin b|  |a - b| a,b  R b) sin x < x  x > 0

c) ex > x +  x > 0 d) tg x > x  x ( 0; /2)

e) x x

( ) ( )

x x



  

 1

1 1

1 1

1

f) (x )Cos xCos ; x

x x

 

    



1 1 2

1

23.Cho f(x) liên tục a ; b f (x) = ’ x (a; b) CMR: f(x)  0.

24.Cho f(x) khả vi a ; b f (x) = có nghiệm x’ 0 a; b CMR: f(x)= 0 khơng thể có q hai nghiệm phân biệt.

25.Cho x> vµ a> CMR: xa - 1> a(x - 1)

26.Cho < a< b; n> 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n bn-1(b - a)

27.Cho x, y, z  tho¶ m·n x + y + z > T×m GTLN, GTNN cđa P x y z (x y z)

  

 

3 3 3

3

16

HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sö x + y + z =

GTLN: x y (xy)  (  z)  f(z)(  z)  .z  3

3 3 11 3 1 3 64 3

4 4

GTNN: x3y3z3(x y z)315.z316 28.C

29.C 30.C 31.C 32.C 33.C

Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

1. CMR: x x sin x x x x ; x

! ! !

      

3 3 5

0

3 3 5

HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x)

2. CMR: Sinx x; x ( ; )



2

HD: §Ỉt f(x) = Sinx x

3. CMR: 2Sinx 2tgx 2x1; x ( ; )0

2

HD: Đặt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x

4. CMR: x Cosx x x ; x

! ! !

      

2 2 4

1 1 0

2 2 4

5. CMR: ; x ( ; )

Sin x x



    



2 2 2

1 1 4

1 0

2

6. CMR: x

e  1 x; x 0 7. CMR:

n

x x x

e x ; x ;n Z

! n!



       

2

1 0

2

8. CMR:  

2

1 1

2

x x

x e x ; x ;

      

9. CMR:  

2 4

1 1

1

x

e x

x x ; x ;

x (x )



      

 

10.CMR: ln(1x)x; x 0

11.CMR: 1

1

(x )

ln x ; x

x



  



12.CMR: 1 1 0

ln( x ) ln x; x

x

     

13.CMR:

2

1

2

x

ln( x) x ; x 

14.CMR: p q p q 1

x   (pq)(x  x ); x ;p q , p q 15.CMR: log (xx 1)log(x1)(x2); x 1

16 Cho a, b > CMR: 1ln(a b )  1ln(ab );    0;

 

17.CMR: 1

1

y x

ln ln ; x ; y ;x y

y x y x

 

       

 

     18.CMR:

2

x y x y

ln x ln y

 



  x> y> 0 19.CMR: ln x x 1; x

x



  

20.CMR: 2 22

2

n n

tg xcot g x n Cos x; x ( ; );n N

21.CMR:

3 1

2 2

2 2

2 x

.Sinx tgx

; x ( ; )

 

   

22.CMR: SinASinBSinCtgAtgBtgC  2 ; VABC

23.CMR: 2

24.CMR: tg550 1 4,

25.CMR: 4 50 90 3 60 100

.tg tg  tg tg

26.CMR: 1 200 3Sin  20

27.CMR: 1

2

1

n n ; ( ; );n Z

Sinx Sinx

 

   

 

28.Cho

3 2

1

1

1

0

3

x x

Sinx !

x x CMR :

x Sinx

x !



   

 29.CMR:

3

0

Sinx

Cosx; x ( ; ) x



 

  

 

 

30.CMR: e x e x

(ex)  (e x)  ; e x

31.CMR:

b x b

a x a

; a, b,x ;a b

b x b

 

   

   

    

   

32.CMR: 1 1 2

ln n ln(n ).ln(n );  n N

33.CMR:

4

y.Sinx

Cos(x y) ; x, y ;x y

x.Siny



     

34.CMR:

2

a b a b

ab ; a, b ;a b

ln a ln b

 

    



35.CMR: 20062007 20072006



36.CMR: n 1n 3

n  (n ) ;  n Z

37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; x(0; /2)

38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); 0 < a < b < /2

39.CMR: 1 2 2 2 3 3

A B C

Cos Cos Cos

; ABC

A B C

  

   V

40.CMR: Nếu x   > x    1.x Từ c/m

3 3

3 3

a b c a b c

b  c  a  b c a