MỤC LỤC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BẰNG VÉC TƠ QUAY TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 2 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN DẠNG BÀI TOÁN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 14 DẠNG BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ “BIẾN TƯỚNG” TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA 20 Bài tốn ngược tổng hợp dao động điều hoà 20 “Biến tướng” tổng hợp dao động điều hoà 27 Hai chất điểm dao động điều hòa đường thẳng song song hai mặt phẳng song song có vị trí cân gốc tọa độ 30 Hiện tượng trùng phùng gặp 37 4.1 Hiện tượng trùng phùng với hai lắc có chu kì khác nhiều 37 4.2 Hiện tượng trùng phùng với hai lắc có chu kì xấp xỉ 38 4.3 Hiện tượng gặp hai lắc 39 BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 46 Chủ đề TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Biểu diễn dao động điều hòa véc tơ quay Mỗi dao đơng điều hịa biểu diễn véc tơ quay Véc tơ có góc góc tọa độ trục Ox, có độ dài biên độ dao động A, hợp với hục Ox góc ban đầu cp quay quanh O với vận tốc góc ω Tổng hợp dao động điều hòa Phương pháp giản đồ Fre−nen: Lần lượt vẽ hai véc tơ quay biếu diễn hai phương trình dao động thành phần Sau vẽ véc tơ tổng hợp hai véc tơ Véc tơ tổng véc tơ quay biểu diễn phương trình dao động tổng hợp + Nếu vật tham gia đồng thời hai dao x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) x = A cos ( ωt + ϕ2 ) dao động tổng hợp là: x = x1 + x = A cos ( ωt + ϕ ) với A ϕ xác định bởi: A = A12 + A 22 + 2A1A cos ( ϕ2 − ϕ1 ) tan ϕ = A1 sin ϕ1 + A sin ϕ2 A1 cos ϕ1 + A cos ϕ2 Biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ pha ban đầu dao động thành phần + Khi hai dao động thành phần pha ( ϕ2 − ϕ1 = 2kπ ) dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2 + Khi hai dao động thành phần ngược pha ( ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π ) dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = A1 − A + Trường hợp tổng quát: A1 + A ≥ A ≥ A1 − A B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN Bài tốn thuận tổng hợp dao động điều hịa Bài tốn ngược tổng hợp dao động điều hịa DẠNG BÀI TỐN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Nội dung tốn: Cho biết phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp Phương pháp giải: Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phương, tần số dao động điều hoà phương, tần số Cách Phương pháp áp dụng trực tiếp cơng thức tính A tan ϕ A = A + A + 2A A cos ( ϕ − ϕ ) 2   x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) ⇒ x = A cos ( ωt + ϕ )   A1 sin ϕ1 + A sin ϕ2  x = A cos ( ωt + ϕ2 )  tan ϕ = A1 cos ϕ1 + A cos ϕ2  π  * Nếu dạng hàm cos, dạng hàm sin đổi: sin ( ωt + α ) = cos  ωt + α − ÷ 2  * Nếu hai dao động pha: ϕ2 − ϕ1 = k2π ⇒ A max = A1 + A * Nếu hai dao động thành phần ngược pha: ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π ⇒ A = A1 − A * Nếu hai dao động thành phần vuông pha: ϕ2 − i1 = ( 2k + 1) π ⇒ A = A12 + A 22 Cách Phương pháp cộng hàm lượng giác x = x1 + x + x = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) + A cos ( ωt + ϕ2 ) + x = cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A cos ϕ2 + ) − sin ωt ( A1 sin ϕ1 + A sin ϕ ) E555555555555555555 F E55555555555555F A cos ϕ A sin ϕ ⇒ x = A cos ( ωt + ϕ ) Cách Phương pháp cộng số phức x = x1 + x + x = A1∠ϕ1 + A ∠ϕ2 + Kinh nghiệm: 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hòa trở lên nên dùng cách cách 2) Phương pháp cộng số phức áp dụng trường hợp số liệu tường minh biên độ chủng có dạng nhân với số  A1 = 2A  Ví dụ:  A = 3a ⇒ Chọn a =   A3 = 5a 3) Trường hợp chưa biết đại lượng nên dùng phương pháp vectơ quay cộng hàm lượng giác Trường hợp hai dao động thành phần biên độ nên dùng phương pháp lượng Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hòa phương tần số: x = 4cos(ωt + 30) cm, x2 = 8cos(ωt + 90) cm (với ω đo rad/s t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ A 6,93 cm B 10,58 cm C 4,36 cm D 11,87 cm Hướng dẫn Bài toán đơn giản nên ta dùng cách : A = A12 + A 22 + 2A1A cos ( ϕ2 − ϕ1 ) A = + 82 + 2.4.8cos ( 90 − 30 ) ≈ 4,36 ( cm ) ⇒ Chọn C Nếu hiểu nhầm 30 rad 90 rad 30° 90° dẫn đến kết sai Ví dụ 2: Cho hai dao động điều hòa phương, tần số, biên độ có pha ban đầu π/3 π/6 (phương trình dạng cos) Pha ban đầu dao động tổng hợp hai dao động A −π/2 B π/4 C π/6 D π/12 Hướng dẫn π π a sin + a sin A1 sin ϕ1 + A sin ϕ2 ⇒ϕ= π⇒ tan ϕ = = Chọn B π A1 cos ϕ1 + A cos ϕ2 a cos + a cos π Ví dụ 3: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phương, tần số có phương trình: x1 = cos ( ωt + π / ) cm; x = cos ( ωt + π ) cm Phương trình dao động tổng hợp A x = 2cos(ωt − π/3) cm C x = 2cos(ωt + 5π/6) cm B x = 2cos(ωt + 2π/3) cm D x = 2cos(ωt – π/6) cm Hướng dẫn π 2π 2π   x = 3∠ + 1∠π = 2∠ ⇒ x = cos  ωt + ÷( cm ) ⇒ Chọn B 3   Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm sau: shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) Shift (−) π + Shift ( −) π (Màn hình máy tính hiển thị π 3∠ + 1∠π ) Shift = Màn hình kết quả: 2∠ π Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ = 2π nên ta chọn B Chú ý: Để thực phép tính vê số phức, bấm: MODE hình xuất CMPLX Muốn biểu diễn số phức dạng A∠ϕ bấm | SHIFT = Muốn biểu diễn số phức dạng: a + bi, bấm SHIFT Để nhập ký tự ∠ bấm: SHIFT (−) Khi nhập số liệu phải thống đơn vị đo góc độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo độ (D), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo Rad (R), bấm : SHIFT MODE hình hiển thị chữ R Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phương, tần số có phương trình: x1 = 2sin(πt – 5π/6) cm, x2 = cos(πt + π/6) cm Phương trình dao động tổng hợp A x = cos(πt + 1,63) cm B x = cos(πt – 5π/6) cm C x = cos(πt − π/6) cm D x = cos(πt − 1,51) cm Hướng dẫn  5π  4π     x1 = sin  ωt − ÷ = cos  πt − ÷cm      Đổi hàm sin cos:  π    x = cos πt + ( cm )  ÷  6     π −4π  2 2  A = A1 + A + 2A1A cos ( ϕ2 − ϕ1 ) = + + 2.2.1cos  − ÷ = ( cm )  6   −4 π π Cách 1:  2sin + 1.sin A1 sin ϕ1 + A sin ϕ2  = −8 − ⇒ ϕ = −1,51( rad )  tan ϕ = A cos ϕ + A cos ϕ = −4 π π 1 2 cos + 1.cos   ⇒ Chọn D: Cách 2: 5π  π   x = x1 + x = 2sin  πt − ÷+ cos  πt + ÷ 6    5π 5π π π x = sin πt cos − cos πt sin + cos πt cos − sin πt sin 6 6 x = cos πt −2 + 1+ − sin πt = cos ( πt − 1,51) ( cm ) ⇒ Chọn D 2 F E5555F E5555 cos ( −1,51) sin ( −1,51) Cách 3:  x = x1 + x = 2∠ − 4π π + 1∠ = 5∠1, 63 ⇒ x = cos ( πt + 1, 63) ( cm ) ⇒ Chọn A Bình luận: Đáp án A! Vậy cách cách sai đâu ? Ta dễ thấy véc tơ tổng ur ur uuu r A = A1 + A nằm góc phần tư thứ III khơng thể lấy ϕ = −1,51rad  ϕ = −1, 51( rad ) Sai lầm chỗ, phương trình có hai nghiệm: tan ϕ = −8 − ⇒   ϕ = π − 1,51 ≈ 1, 63 ( rad ) Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad véc tơ tổng “bị kẹp” hai véc tơ thành phần Qua ta thấy máy tính khơng “dính bẫy” thơng thường giống người! Đây lợi cách Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà phương tần số, biên độ a a pha ban đầu tương ứng ϕ1 = 2π / 3, ϕ2 = π / Pha ban đầu dao động tổng hợp là: A π/2 B π/3 C −π/2 D 2π/3 Hướng dẫn Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = thực sau : 2π π π  + 3∠ = 2∠ π ⇒ x = cos  ωt + ÷( cm ) ⇒ Chọn B 3  Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm sau: Shift MOD (Để chọn đơn vị góc radian) x = x1 + x = 1∠ MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) Shift ( −) 2π π + Shift ( −) (Màn hình máy tính hiển thị 1∠ 2π π + 3∠ Shift = Màn hình kết quả: 2∠ π π nên ta chọn B Dùng máy tính Casio fx 570MS bấm sau: Shift MODE = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) Nghĩ biên độ A = 2a, pha ban đầu ϕ = MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) SHIFT (−) 120 + SHIFT ( −) 30 Bấm SHIFT + = A = Bấm SHIFT = ϕ = 60 Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ = 60° nên ta chọn B Chú ý : Nếu hai dao động thành phần có biên độ ta nên dùng phương pháp lượng ϕ1 − ϕ2 ϕ + ϕ2   cos  ωt + 2 ÷   Ví dụ 6: Phương trình dao động tổng hợp dao động thành phần phương tần số: x = 4cos(100t) (cm); x2 = 4cos(100t + π/2) (cm) A x = 4cos(100t + π/4) (cm) B x = cos(100t + π/8) (cm) giác: x = a cos ( ωt + ϕ1 ) + a cos ( ωt + ϕ2 ) = 2a cos C x = cos(100t + π/4) (cm) D x = 4cos(100t + 3π/4) (cm) Hướng dẫn π π π   x = x1 + x = 2.4 cos cos 100t + ÷ = cos 100t + ÷( cm ) ⇒ Chọn B 4 4   Ví dụ 7: Biên độ dao động tổng hợp ba dao động x1 = cos 4π t ( cm ) , x = cos ( 4πt + 0, 75π) (cm) x = 3cos ( 4πt + 0, 25π ) ( cm ) A 7cm B 2cm C cm D 2cm Hướng dẫn Cách 1: Phương pháp cộng hàm lượng giác x = x1 + x + x = cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A cos ϕ2 + ) − sin ωt ( A1 sin ϕ1 + A sin ϕ2 + ) x 3π π 3π π   x = cos 4πt  cos + cos + 3cos ÷− sin πt  sin + 4sin + 3sin ÷ 4 4    π  x = 3,5 cos t − 3,5 sin t = cos  πt + ÷( cm ) ⇒ A = ( cm ) ⇒ Chọn A 4  Cách 2: Phương pháp cộng số phức: x = x1 + x + = A1∠ϕ1 + A ∠ϕ2 + 3π π + 3∠ = 7∠ π ⇒ Chọn A 4 Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm sau: Shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) x = 2∠0 + 4∠ MIDE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) 3π π + Shift ( −) 4 3π π (Màn hình máy tính hiển thị: 2∠0 + 4∠ + 3∠ 4 Shift = Shift ( −) + Shift ( −) Màn hình kết quả: 7∠ π π nên ta chọn A 3π π (Pha ban đâu cân nhập + 4∠ + 3∠ kểt nhưtrên) 4 Dùng máy tính Casio fx 570− MS, bấm sau: SHIFT MODE = (Để cài đặt ban đầu, đom vị đo góc độ) Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ = MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) + SHIFT ( −) 135 + SHIFT ( −) 45 Bấm SHIFT + = A = Bầm SHIFT = ϕ = 450 Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ = 45° nên ta chọn A Ví dụ 8: Một vật thực đồng thời dao động điều hịa pha tần số có phương trình x1 = 5cos(2πt + ϕ ) cm; x2 = 3cos(2πt − π) cm ; x3 = 4cos(2πt – 5π/6) cm, với < ϕ < π/2 tan ϕ = 4/3 Phương trình dao động tổng hợp A x = cos ( 2πt + 5π / ) cm C x = cos ( 2πt + 5π / ) cm B x = 3 cos ( 2πt − 2π / 3) cm D x = 3cos(2πt – 5π/6) cm Hướng dẫn 5π 5π 5∠ arctan + 3∠ − π + 4∠ − = 4∠ ⇒ Chọn C 6 −5π Shift ( −) Shift tan + Shift ( −) − π + Shift ( −) Shift = Màn hình kết quả: 4∠ π Ví dụ 9: Vật thực đơng thời hai dao động phương có phương trình x = 8cos(20t – π/3) cm x2 = 3cos(20t + π/3) cm (với t đo giây) Tính gia tốc cực đại, tốc độ cực đại vận tốc vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn Biên độ dao động tổng hợp: 2π = ( cm ) A = A12 + A 22 + 2A1A cos ( ϕ2 − ϕ1 ) = 64 + + 2.8.3.cos a max = ω2 A = 202 A = 202.7 = 2800 ( cm / s ) Gia tốc cực đại tốc độ cực đại:   v max = ωA = 20.7 = 140 ( cm / s ) Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân bằng: |x| = − = (cm) Vận tốc tính theo cơng thức: v = ±ω A − x = ±20 − 52 = ±40 ( cm / s ) (cm/s) Ví dụ 10: Một vật có khối lượng 0,5 kg thực đồng thời ba dao động điều hoà thương, tần số có phương trình: x1 = cos ( 10t + π / 3) cm, x = cos ( 10t + π / ) cm , x = 8cos ( 10t − π / ) cm (với t đo s) Tính dao động độ lớn gia tốc vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn shift = } Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: 3∠ π + 4∠ π + 8∠ − π = 6∠ − π 6 Biên độ dao động tổng hợp cm nên dao động : 1 W = mω2 A = 0,5.102.0,062 = 0,09 (J) 2 Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân bằng: |x| = − = 4(cm) ( 2 Độ lớn gia tốc vật tính theo cơng thức: a = ω x = 10 = 400 cm / s ) Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời dao động diêu hồ phương tần số vng pha với Nếu tham gia dao động thứ dao động W Nếu tham gia dao động thứ hai dao động W2 Nếu tham gia đồng thời dao động thi dao động A 0,5(W1 + W2) B (W1 + W2) C ( W12 + W22 ) 0,5 D 0,5 ( W12 + W22 ) 0,5 Hướng dẫn Cả hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp: A = A12 + A 22 1 mω2 A = mω2 A12 + mω2 A 22 = W1 + W2 ⇒ Chọn B 2 Ví dụ 12: Một vật nhỏ có chuyển động tổng hợp hai dao động điều hịa phương Hai dao động có phương trình x1 = A1 cos ωt; x = A cos ( ωt + π / ) Gọi W vật Cơ dao động: W = Khối lượng vật W A ω A12 + A 22 B W ω2 ( A12 + A 22 − A1A ) C W ω (A +A 2 2 ) D 2W ω ( A + A 22 + A1A ) 2 Hướng dẫn Biên độ dao động tổng hợp: A = A12 + A 22 + 2A1A cos π = A12 + A 22 + A1A1 2W 2 ⇒ Chọn D Cơ dao động: W = mω A ⇒ m = 2 ω ( A1 + A 22 + A1A ) Ví dụ 13: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phương tần số có phương trình x1 = 2cos(2πt + π/2) (cm) x2 = 2sin(2πt − π/2) (cm) Tính quãng đường từ thời điểm t = 4,25 s đến t = 4,375 s A 10 cm B cm C cm D cm Hướng dẫn Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 2cos(2πt + π/2) + 2sin(2πt − π/2) π 3π 3π   Shift 23 2∠ + 2∠ − π  → 2∠ ⇒ x = 2 cos  2πt + ÷( cm ) 4   3π ⇒ Φ = 2πt + 3π π Φ1 = 2π.4, 25 + = 4.2π + π + 4 π ∆Φ = 2π ( 4,375 − 4, 25 ) = ⇒ S = ( cm ) Chú ý: 1) Lực kéo cực đại: Fmax = kA = mω2 A 2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max = k ∆l + A mg   ∆l = k Trong ∆l độ biến sạng lị xo vị trí cân bằng:   ∆l = mg sin α  k Ví dụ 14: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phương ngang, theo phương trình: x = 5cosπt (cm) x = 5sinπt (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây, lấy π2 = 10) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 50 N B 0,5 N C 25 N D 0,25 N Hướng dẫn  x1 = 5cos πt  π   2  x = 5sin πt = 5cos  πt − ÷ ⇒ A = A1 + A + 2A1A cos ( ϕ2 − ϕ1 ) = 0, 05 ( cm )     k = mω2 = 10 ( N / m )  ( ) ⇒ Fmax = k ( ∆l + A ) = 10 + 0, 005 = 0,5 ( N ) ⇒ Chọn B Ví dụ 15: Con lắc lị xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, theo phương trình : x1 = cos10t (cm) x = sin10t (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s 2) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 10N B 20 N C 25 N D 0,25 N Hướng dẫn  x1 = cos10t   π   x = sin10t = cos 10t − ÷ 2   mg k = mω2 = 100 ( N / m ) ⇒ ∆l = = 0,1( m ) k A = A + A + 2A A cos ( ϕ − ϕ ) = 10 ( cm ) = 0,1 ( m ) 2 ⇒ Fmax = k ( ∆l + A ) = 100 ( 0,1 + 0,1) = 20 ( N ) ⇒ Chọn B A Chú ý: Giả sử thời điểm x = tăng (giảm) để tính giá trị x x2 có thể: n Dùng phương pháp vectơ quay; Giải phương trình lượng giác Ví dụ 16: Hai dao động điều hịa phương tần số có phương trình x = 6cos(10t + π/6) (cm) x2 = 6cos(10t + 5π/6) (cm) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp cm tăng li độ dao động thứ hai bao nhiêu? A 10cm B 9cm C 6cm D – 3cm Hướng dẫn Phương trình dao động tổng hợp: π 5π π π  x = x1 + x = 6∠ + 6∠ = 6∠ = cos 10t + ÷( cm ) 36 2  π 5π Vì x = cm tăng nên pha dao động bằng(ở nửa vòng tròn 10t + ⇒ 10t = − π π π     ⇒ x = cos 10t + ÷ = cos  − + ÷ = ( cm )     ⇒ Chọn C Chú ý: 1) Hai thời điểm pha cách khoảng thời gian kT t − t1 = kt ⇒ ∆ϕ = k2π ⇒ x t1 = x t 2) Hai thời điểm ngược pha cách khoảng (2k +1) ⇒ ∆ϕ = ( 2k + 1) π ⇒ x t1 = − x t 3) Hai thời điểm vuông pha cách khoảng ( 2k + 1) T T T π ⇒ ∆ϕ = ( 2k + 1) ⇒ A = x 2t1 + x 2t Ví dụ 17: Một vật thực đồng thời dao động điều hịa pha tần số có phương trình x1 = A1cos(2πt + 2π/3) (cm), x2 = A2cos(2πt) (cm), x3 = A3cos(2πt – 2π/3) (cm) Tại thời điểm t1 giá trị li độ x1(t1) = −10 cm, x2 (t1) = 40 cm, x3 (t1)= −20 cm Thời điểm t2 = t1 + T/4 t − t1 = ( 2k + 1)  π  5πt π   2πt − ÷ = −  − ÷+ k.2π     Phương trình có hai họ nghiệm:  (trong k l  π  5πt π  − ÷+ l 2π  2,5πt − ÷ = +  2  2   t = 0, + k.0, ( s ) ( k = 0,1, ) số nguyên cho t > 0) ⇒   t = l 1, ( l = 1, ) Lần 1: t1 = 0,3 + 0.0, = 0,3 ( s ) k = Lần 2: t = 0,3 + 1.0, = 0,9 ( s ) k = Lần 3: t = 1, 2.1 = 1, ( s ) l = Lần 4: t = 0,3 + 2.0, = 1, 5(s) k = Lần 5: t = 0, + 3.0, = 2,1 ( s ) k = Lần 6: t = 1, 2.2 = 2, ( s ) l = …………… Lần 3n: t 3n = 1, 2n ( s ) l = n + Lần 3n + 1: t 3n +1 = t 3n + 0, ( s ) + Lần 3n + : t 3n + = t 3n + 0,9 ( s ) Suy ra: Lần 2013 = 3.671: t 3.671 = 1, 2.671 = 805, ( s ) Lần 2014 = 3.671 + 1: t 2014 = t 2013 + 0,3 = 805,5 ( s ) Lần 2015 = 3.671 + : t 2015 = t 2013 + 0,9 = 806,1( s ) 5πt   x1 = A sin Cách 2: Viết phương trình dạng sin:  Giải phương trình x1 = x2 hay  x = A sin 2,5 π t  5πt  2,5πt = π − + k2π  5πt sin 2, 5πt = sin ta hai họ nghiệm:   2,5πt = 5πt + l 2π   t = 0,3 + k.0, ( s ) ( k = 0,1, ) Từ suy ra:   t = l 1, ( s ) ( l = 1, ) Cách 3: Dùng vòng tròn lượng giác biểu diễn dao động điều hòa dạng hàm cos:   5πt π   x1 = cos  − ÷       x = A cos 2,5πt − π   ÷  2   Hai chất điểm gặp tổng số pha hiệu số pha số nguyên lần 2π:  π   5πt π   2,5πt − ÷+  − ÷ = k.2π  t = 0,3 + k.0, ( s ) ( k = 0,1, )      Từ suy ra:   π   5πt π   t = l 1, ( s ) ( l = 1, ) − ÷ = l 2π  2,5πt − ÷−  2  2  Kinh nghiệm: ( ω2 t + ϕ ) + ( ω1 t + ϕ1 ) = k.2π Nếu ω2 > ω1 giải hai phương trình:  ( ω2 t + ϕ ) − ( ω1 t + ϕ1 ) = l 2π ( ω1 t + ϕ2 ) + ( ω2 t + ϕ1 ) = k.2π Nếu ω1 > ω2 giải hai phương trình  ( ω1 t + ϕ2 ) − ( ω2 t + ϕ1 ) = l 2π Ví dụ 2: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A có tần số f = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều âm Thời điểm lần chất điểm gặp A t = 2/27 s B t = 1/3 s C t = l/9s D t = 1/27 s Hướng dẫn ω1 = 2f1 = 6π ( rad / s ) ; ω2 = 2f = 12π ( rad / s )  π   x1 = A cos  πt + ÷    Phương trình dao động chất điểm:  π   x = A cos 12πt +   ÷  3    π  π 1  12πt + ÷+  6πt + ÷ = k.2π  t = 27 + k ( s ) ( t > ⇒ k = 1, 2,3 )     ⇒ Giải phương trình:   π  π  t = l ( s ) ( t > ) ⇒ l = 1, 2,3 12 π t + − π t + = l π  ÷  ÷  3  3  1 + = ( s ) k = 27 27 Chú ý: Nếu ϕ1 = ϕ2 = −α (với < α < π/2 )thì lần ứng với: Lần 1: t = − ( ω2 t − α ) + ( ω1 t − α ) = ⇒t= 2α ω2 + ω1 * Xuất phát chiều dương x = : α = π A π :α = A π :α = * Xuất phát chiều dương x = ± * Xuất phát chiều dương x = ± A π :α = Ví dụ 3: Hai lắc đơn có chiều dài 81 cm 49 cm treo trần phòng Khi cás vật nhỏ hai lắc vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chung vận tốc hướng cho hai lắc dao động điều hòa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Gọi Δt khoảng thời gian ngắn kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song Giá trị Δt gần giá trị nhất: * Xuất phát chiểu dương tai x = ± A 2,36s ω1 = B 8,12s g 10π = ( rad / s ) ; ω2 = l1 C 0,45s Hướng dẫn D 0,39.s g 10π = ( rad / s ) l2 2α π π ⇒t= = ≈ 0,39 ( s ) ⇒ Chọn D ω2 + ω1 10π + 10π Cách 2: Hai sợi dây song song x1 = x2 hay: π A sin ω2 t = A sin ω1t ⇒ ω2 t = π − ω1t ⇒ t = ≈ 0,39 ( s ) ω2 + ω1 Cách 1: Vì α = Chú ý: Nếu ( ω2 + ω1 ) bội số ( ω2 − ω1 ) ω2 ω1 xảy hai họ nghiệm nhập thành họ nghiệm Ví dụ 4: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A có tần số f = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 chất điểm theo chiều âm chất điểm theo chiều dương Tìm thời điểm hai chất điểm gặp Tìm tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26 Hướng dẫn  π   x1 = A cos  6πt + ÷    Phương trình dao động chất điểm:   x = A cos 12πt − π   ÷  3   π π   Giải phương trình: x1 = x hay cos 12πt − ÷ = cos  6πt + ÷ 3 3    π  π 12πt − ÷−  6πt + ÷ = k.2π ⇒ t = + k ( s ) ( t > ⇒ k = 0,1, )      π π 12πt −  +  6πt +  = l 2π ⇒ t = l ( s ) ( t > ⇒ l = 1, 2,3 ) ÷  ÷  3  3  Họ nghiệm thứ nằm họ nghiệm thứ nên viết nhập lại thành họ nghiệm: t= n ( s) : ( s ) n = + Lần 2: t = ( s ) n = 26 + Lần 26: t 25 = ( s ) n = 29 Tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26: π  −6πA sin  6πt + ÷ 26 v1 x1'  t = ( s ) v1  = ' = → = − π v2 x v2  −6πA sin 12πt − ÷ 3  + Lần 1: t1 = Chú ý: Nếu hai dao động điều hoa củng phương biên độ, vị trí cân tần số x1 = A cos ( ωt + ϕ1 ) , x = A cos ( ωt + ϕ2 ) phương trình x1 = x2 có họ nghiệm: ( ωt + ϕ1 ) + ( ωt + ϕ2 ) = k.2π v1 −ωAsin ( ωt + ϕ1 ) = Lúc đó: v −ωA sin ( ωt + ϕ2 ) = −ωA sin ( ωt + ϕ1 ) −ωA sin  k.2π − ( ωt + ϕ1 )  = −1 Trong chu kỳ chúng gặp lần n chu kỳ gặp 2n lần Ví dụ 5: Hai chất điểm thực dao động điều hịa trục Ox có phương trình x1 = Acos(πt + π/2) x = Acos(πt + π/6) Tìm thời điểm lần 2017 hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc cua vật vật A t = 0,3 s v1/v2 = B t = 6050/3 s v1/v2 = −1 C t = 6038/3 s v1/v2 = −1 D t = 2/3 s v1/v2 = −2 Hướng dẫn Tỉ số vận tốc vật vật 2: π  π  x1 = x ⇒  πt + ÷+  πt + ÷ = k.2π ⇒ t = − + k ( k = 1, 2,3 ) 2  6  6050 Lần thứ 2017 ứng với k = 2017 nên t 2013 = − + 2017 = ( s) 3 v1 = −1 ⇒ Chọn B Tỉ số vận vận tốc vật vật 2: v2 Ví dụ 6: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, với biên độ tần số (Hz) (Hz) Vị trí cân chúng xem trùng gốc tọa độ Khi gặp tỉ số tốc độ chất điểm thứ với tốc độ chất điểm thứ hai A : B : C : D : Hướng dẫn 2 v1 ω1 A − x1 ω f = = = = ⇒ Chọn C 2 v ω2 ( A − x ) ω2 f 2 Câu Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox có phương trình x1 = Acos4πt x2 = 0,5Acos4πt Tìm thời điểm hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc vật vật đó: A t = 0,125 s v1/v2 =2 B t = 0,2 s v1/v2 = −1 C t = 0,4 s v1/v2 = −1 D t = 0,5 s v1/v2 = −2 Hướng dẫn π x1 = x ⇒ A cos 4πt = 0,5A cos πt ⇒ cos πt = ⇒ πt = ⇒ t = ( s ) v −ωA sin 4πt ⇒ = = ⇒ Chọn A v −ω0,5A sin 4πt Ví dụ 8: (QG − 2015) Đồ thị li độ theo thời gian chất điểm (đường 1) chất điểm (đường 2) hình vẽ, tốc độ cực đại chất điểm 4π (cm/s) Không kế thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có li độ lần thứ A 4,0 s B 3,25 s C 3,75 s D 3,5 s Hướng dẫn Biên độ: Al = A2 = cm Tốc độ cực đại chất điểm 2: v max = ω2 A = ⇒ T2 = ( s ) ⇒ T1 = 2π 2π A ⇒ 4π = T2 T2 T2 = 1,5 ( s )   Cách 1:  x1 = 6sin 2ω2 t Phương trình dao động chất điểm:   x = 6sin ω2 t  2ω t = ω2 t + k2π x1 = x  → 6sin 2ω2 t = 6sin ω2 t ⇒   2ω2 t = π − ω2 t + l 2π 2π   t = k ω = 3k ( s ) ( k = 1, ) : Ho1 ⇒  π 2π + l = 0,5 + l ( s ) ( l = 0; ) : Ho t = 3ω2  3ω2 l = ⇒ t1 = 0,5 + = 0,5 ( s ) (thuộc họ 1) l = ⇒ t = 0,5 + = 1,5 ( s ) (thuộc họ 1) l = ⇒ t = 0,5 + = 2,5 ( s ) (thuộc họ 1) k = ⇒ t = 3.1 = ( s ) (thuộc họ 2) l = ⇒ t = 0,5 + = 3,5 ( s ) (thuộc họ 1) Cách 2: Thời điểm gặp lần thứ nằm hai thời điểm t a = 9T1/4 = 3,375 s tb = 5T2/4 = 3,75 s => Loại trừ phương án => Chọn D Chú ý: Giả sử thời điểm t0, hai lắc có chu kì gặp li độ x 1, sau nửa chu li độ chúng đổi dấu, tức gặp li độ −x1 Do đó: T * Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai lắc gặp T * Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai lắc gặp ∆t = ( n − 1) Ví dụ 9: Hai lắc lị xo giống có khối lượng vật nặng 10 (g), độ cứng lò xo 100π N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ lớn gấp đôi lắc thứ hai Biết hai vật gặp chúng chuyển động ngược chiều Khoảng thời gian ba lần hai vật nặng gặp liên tiếp A 0,03 (s) B 0,02 (s) C 0,04 (s) D 0,01 (s) Hướng dẫn T m = 2π = 0,02 ( s ) ⇒ Chọn B k Ví dụ 10: Cho hai chất điểm dao động điều hòa phương, chu kì T = s Khi chất điểm thứ có vận tốc cực đại chất điểm thứ qua vị trí có li độ nửa giá trị cực đại theo chiều dương Tìm khoảng thời gian chu kì để x 1x2 < (với x1 x2 li độ vật vật 2) A 1/3 s B 2/3 C 0,5 s D 0,6 s Hướng dẫn  x1 = A1 cos ω t Bài toán tổng quát:   x = A cos ( ωt + ∆ϕ ) Dấu x1x2 x1x2 biểu diễn hình vẽ Khoảng thời gian lần liên tiếp: ( − 1) Phần gạch chéo phần không âm không gạch chéo phần dương Khoảng thời gian ∆ϕ chu kỳ để x1x2 TB) nên có lần hai lắc chuyển động chiều trùng với vị trí cân chúng (gọi lần trùng phùng) Quan sát cho thấy hai lần trùng phùng liên tiếp cách 590 (s) Chu kỳ dao động lắc đơn A A 2,0606 (s) B 2,1609 (s) C 2,0068 (s) D 2,0079 (s) Bài 76: Cho Hai lắc lò xo A B dao động điều hoà hai đường thẳng song song với Ban đầu kéo vật nặng hai lắc phía đoạn buông nhẹ lúc Con lắc B dao động chậm lắc A chút sau phút 14 giây người ta quan sát thây Hai vật nặng lại hùng vị trí ban đầu Nếu chu kì dao động lắc A 0,628 (s) chu kì B A 0,630 (s) B 0,627 (s) C 0,626 (s) D 0,629 (s) Bài 77: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo Hai đường thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A1 = cm, lắc A2 = cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc cực tiểu động lắc thứ A 1/4 giá trị cực đại B 3/4 giá trị cực đại C 2/3 giá trị cực đại D 1/2 giá trị cực đại Bài 78: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo Hai đường thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A = cm, lắc A2 = cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc bang phần tư giá tri cực đại động lắc thứ A cực tiểu 1/4 giá trị cực đại B cực tiểu 3/4 giá trị cực đại C cực đại 2/3 giá trị cực đại D cực đại 1/4 giá trị cực đại Bài 79: Hai chất điểm M N có khối lượng, dao động điều hịa tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đêu đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Biên độ M N cm cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phương Ox cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động N A cực đại nửa giá trị cực đại B cực đại 0,75 giá trị cực đại C giá trị cực đại D 0,75 giá trị cực đại Bài 80: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ cm chất điểm thứ hai 14,928 cm Vị trí cân chúng xem trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ 3,864 cm, chúng chuyển động ngược chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây: A 2π/3 B π/3 C π D π/2 Bài 81: Hai lắc đơn (với tần số góc dao động điều hòa 10π/9 rad/s 10π/8 rad/s) treo trần phòng Khi vật nhỏ hai lắc vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng vận tốc hướng cho hai lắc dao động điều hịa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Tìm khoảng thời gian kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song lần thứ 2014 A 1611,5 s B 14486,4 s C 14486,8 s D 14501,2 s 1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A 11.D 21.C 12.A 22.B 13.A 23.D 14.B 24.B 15.A 25.C 16.B 26.C 17.A 27.A 18.A 28.A 19.B 29.A 20.D 30.D 31.C 41.D 32.C 42.B 33.D 43.A 34.B 44.A 35.B 45.A 36.C 46.B 37.A 47.B 38.C 48.B 39.D 49.A 40.D 50.D 51.C 61.C 52.D 62.B 53.B 63.B 54.D 64.D 55.D 65.D 56.A 66.D 57.B 67.A 58.A 68.A 59.B 69.D 60.C 70.B 71.B 81.A 72.B 73.B 74.B 75.C 76.D 77.A 78.B 79.C 80.D ... E 555 555 555 555 555 555 F E 555 555 555 555 55F A cos ϕ A sin ϕ ⇒ x = A cos ( ωt + ϕ ) Cách Phương pháp cộng số phức x = x1 + x + x = A1∠ϕ1 + A ∠ϕ2 + Kinh nghiệm: 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa... 0,5WM  A1  = = ÷ = ⇒ Chọn C WdN 0,5WN  A  16 Cách : Khoảng cách hai chất điểm thời điểm bất kì: cos ( ωt + ϕ1 ) ) − ( 8cos ( ωt + ϕ2 ) ) = 10 cos ( ωt + ? ?12 ) (E 555 555 555 5 F F E 555 555 555 5F... Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hoà phương, tần số Biên độ dao động thứ cm biên độ dao động tổng hợp cm Dao động tổng hợp trễ pha π/3 so với dao động thứ hai Biên độ dao động thứ hai ⇒ 12