Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng toán về phương trình từ cơ bản đến các đề thi đại học
Cách Giải Các Phương Trình Cơ Bản Để đáp ứng nhu cầu tự học tập rèn luyện em học sinh, giúp em tiếp cận gần với kì thi lớn Thầy biên tập cách hệ thống chuyên đề “Giải Phương Trình” – chuyên đề quan trọng có mặt khắp chun đề khác tốn học Các em hồn tồn tự học cách dễ dàng, kể học sinh THCS muốn nâng cao trình độ tư toán học Kiến thức hệ thống từ dễ đến khó Hãy chuẩn bị Nghị Lực - Sức Lực chút Trí lực cho hành trình khám phá tri thức tài liệu ! Good luck ! P/s Kiến tha lâu đầy tổ, người khắc khổ thành cơng! Thầy Minh Phúc I Phương trình bậc Phương trình bậc phương trình có dạng ax + b = a ≠ Phương trình ln có nghiệm x = − b a Ví dụ1: Giải phương trình a) x + = b) x − = c) − x = Các em cần xác định số a b cách xác trước giải Ở câu a) ta có a = 3;b = ta có lời giải sau 3x + = ⇔ x = − Ở câu b) ta có a = 3;b = −4 ta có lời giải sau 3x − = ⇔ x = Ở câu c) ta có a = −2;b = ( Lưu ý a số viết trước biến số x ) ta có lời giải sau − 2x = ⇔ x = II Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax + bx + c = ; ( a ≠ ) Để giải phương trình em xác định rõ hệ số a;b;c sau xem rơi vào trường hợp ta giải theo trường hợp • TH1: Nếu ta có a + b + c = ax + bx + c = có hai nghiệm c a Copyright By MinhPhuc THPT Lak • TH2: Nếu ta có a − b + c = ax + bx + c = có hai nghiệm −1 − c a • TH3: Nếu khơng rơi vào hai trường hợp ta tính biệt thức Delta ∆ = b − 4ac Khi có trường hợp xảy Nếu ∆ < pt ax + bx + c = vô nghiệm Nếu ∆ = pt ax + bx + c = có nghiệm x = − b 2a Nếu ∆ > pt ax + bx + c = có hai nghiệm tính cơng thức sau x1 = −b − ∆ 2a & x2 = −b + ∆ 2a Ví Dụ 2: Giải phương trình sau a) x + x − = b) x + 3x + = c) x + x + = d) x + x + = e) x + x − = f) 99 x + x − 100 = Trước tiên em cần xác định hệ số a;b;c phương trình Trong a) ta có a = 2;b = 3;c = −5 , ta dễ thấy a + b + c = nên pt có hai nghiệm c a Do ta có giải sau x =1 x + 3x − = ⇔ x = 2 Trong b) ta có a = 1;b = 3;c = , ta dễ thấy a + b + c = nên pt có hai nghiệm −1 − c a Do ta có giải sau x = −1 x + 3x + = ⇔ x = −2 Trong c) ta có a = 1;b = 1;c = , ta tính biệt thức ∆ = b − 4ac = 12 − 4.1.1 = −3 ⇒ ∆ < Do phương trình x + x + = vơ nghiệm Trong d) ta có a = 1;b = 2;c = , ta tính biệt thức ∆ = b − 4ac = 22 − 4.1.1 = Do pt có nghiệm x = − b Ta có lời giải sau 2a x2 + 2x + = ⇔ x = Copyright By MinhPhuc THPT Lak 2 Trong e) ta có a = 1;b = 1;c = −1 , ta tính biệt thức ∆ = b − 4ac = − 4.1.( −1) = ⇒ ∆ > Do phương trình x + x − = có nghiệm x1 = −b − ∆ 2a & x2 = −b + ∆ 2a Ta có lời giải sau −1 − x = x2 + x − = ⇔ −1 + x = III Phương trình bậc 3 Là phương trình có dạng sau ax + bx + cx + d = ; ( a ≠ ) Để giải phương trình em cần nhẩm nghiệm phương trình ( Để làm điều em dùng máy tính !) sau ta sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích thành nhân tử Ta giả sử nhẩm nghiệm x0 Ta viết lại hệ số a;b;c;d theo thứ tự sau b c d Hệ số viết lại Tính Tính Tính a m n p=0 a x0 Chú ý ta ln có Ta ax + mx + n p = Sau tính tốn hệ số m;n ta viết lại phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak ax + bx + cx + d = ⇔ ( x − x0 ) ( ax + mx + n ) = Đến ta hồn tồn giải tiếp cách giải phương trình bậc hai học ! Ví dụ 3: Giải phương trình sau x3 − x + x − = Ta nhẩm nghiệm phương trình x = Ta viết sơ đồ Hoocne sau với a = 1;b = −2;c = 5;d = −4 −4 Hệ số viết lại −2 Tính Tính Tính −1 1.1 + ( −2 ) = −1 1.( −1) + = 4 + ( − ) = Ta x − x + Do ta có lời giải sau x3 − x + 5x − = ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = x −1 = ⇔ x − x + = ( vô n ) ⇔ x =1 Ví dụ 4: Giải phương trình sau x3 + x − x − = Ta nhẩm nghiệm phương trình x = −1 Ta viết sơ đồ Hoocne sau với a = 1;b = 2;c = −1;d = −2 Copyright By MinhPhuc THPT Lak −1 −2 Hệ số viết lại −1 Tính Tính Tính 1 −2 ( −1) + = ( −1) + ( −1) = −2 ( −1) ( −2 ) + ( −2 ) = Ta x + x − Do ta có lời giải sau x3 + x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x + x − ) = x +1 = ⇔ x + x − = x = −1 ⇔ x =1 x = −2 Ví dụ 5: Giải phương trình sau a) x3 − 3x − x + = Hd: Ta biến đổi thành ( x − ) ( x − x − 3) = b) x3 − x − x + Hd: Ta biến đổi thành ( x − 1) ( x − x − 5) = c) x3 + x − 3x − = Hd: Ta biến đổi thành ( x + 1) ( x + x − ) = Chú ý: Để giải triệt để tất phương trình bậc em phải sử dụng cơng thức Cardano ! IV Phương trình bậc Ta giải pt bậc sơ đồ Hoocne nhẩm nghiệm Phương trình trùng phương Là phương trình có dạng ax + bx + c = ; a ≠ Copyright By MinhPhuc THPT Lak Để giải phương trình ta đặt t = x với điều kiện t > pt trở thành phương trình sau at + bt + c = , ta giải pt bậc hai theo t sau giải x Ví dụ 6: Giải phương trình sau x − x + = Đặt t = x ; t > ta phương trình sau x2 = x = ±1 t = t − 3t + = ⇔ ⇔ ⇔ t = x = ± x = 2 Phương trình đối xứng Là phương trình có dạng ax + bx3 + cx + bx + a = x Để giải phương trình ta chia hai vế cho x đặt t = x + , ta phương trình bậc hai theo t Ta giải phương trình theo t sau giải x Ví dụ 7: Giải phương trình sau x + x3 − x + x + = Giải: Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x ta x + x3 − x + x + = ⇔ x2 + x − + + = x x 1 ⇔ x + ÷+ x + ÷− = x x 1 1 ⇔ x + ÷ − + x + ÷− = x x 1 1 ⇔ x + ÷ + x + ÷− = x x x Đặt t = x + ; | t | ≥ ta có phương trình sau t = t + 2t − = ⇔ t = −4 x = −2 + x t = −4 ⇔ x + = −4 ⇔ x + x + = 0; ( x ≠ ) ⇔ x = −2 − x t = ⇔ x + = ⇔ x − x + = 0; ( x ≠ ) ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm Chú ý đặt t = x + ta ln có điều kiện | t |≥ x Ví dụ 8: Giải phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak a) x + 3x3 − x + 3x + = Hd: Phương trình có nghiệm 1; −5 + 21 −5 − 21 ; 2 b) x + x3 − 10 x + 3x + = Hd: Phương trình có nghiệm 1; −7 + 33 −7 − 33 ; 4 Phương trình tựa đối xứng Là phương trình có dạng ax + bx3 + cx − bx + a = x Để giải phương trình ta chia hai vế cho x đặt t = x − , ta phương trình bậc hai theo t Ta giải phương trình theo t sau giải x Ví dụ 9: Giải phương trình sau x + x3 − x − x + = Giải: Ta thấy x = không nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x ta x + x3 − x − x + = ⇔ x2 + x − − + = x x 1 ⇔ x + ÷+ x − ÷− = x x 1 1 ⇔ x − ÷ + + x − ÷− = x x 1 1 ⇔ x − ÷ + x − ÷− = x x Đặt t = x − ta có phương trình sau x t = −1 + t + 2t − = ⇔ t = −1 − −1 + + 10 − x = 2 t = −1 + ⇔ x − = −1 + ⇔ x + − x − = 0; ( x ≠ ) ⇔ x x = −1 + − 10 − ( ) −1 − + 10 + x = 2 t = −1 − ⇔ x − = −1 − ⇔ x + + x − = 0; ( x ≠ ) ⇔ x x = −1 − − 10 + ( ) Vậy phương trình cho có nghiệm Chú ý đặt t = x − ta khơng có điều kiện cho t x Copyright By MinhPhuc THPT Lak Ví dụ 10: Giải phương trình sau a) x − x − x + x + = Đ/s: −1 + −1 − + 13 − 13 ; ; ; 2 2 b) x − x − x + x + = Đ/s: + − −1 + 37 −1 − 37 ; ; ; 2 6 Phương trình bậc hai tam thức Là phương trình có dạng ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) + e = ; a +b = c+d 2 Ta biến đổi tương đương thành ( x + ( a+b ) x+ab ) ( x + ( c + d ) x + cd ) + e = 2 Sau đặt t = x + ( a + b ) x = x + ( c + d ) x Ta pt bậc hai theo t sau giải t giải x Ví dụ 11: Giải pt sau ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − = Các em ý ta có + = + Do ta biến đổi pt tương đương sau ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − = ⇔ ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 5) − = Đặt t = x + x ta pt sau ( t + ) ( t + 5) − = ⇔ t + 9t + 19 = −9 + 15 t = ⇔ −9 − 15 t = −5 + + 15 x = −9 + 15 −9 + 15 ⇔ x2 + 5x = ⇔ t= 2 x = −5 − + 15 t= −9 − 15 −9 − 15 pt vô nghiệm ⇔ x2 + 5x = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −5 + + 15 & x = −5 − + 15 2 Ví dụ 12: Giải phương trình sau a) x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) − = Đ/s: −3 − + −3 + + & 2 Copyright By MinhPhuc THPT Lak b) ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − = −3 − 10 + 37 −3 + 10 + 37 & 2 Đ/s: Phương trình ẩn trùng phương Là phương trình có dạng ( x + a ) + ( x + b ) = c 4 Để giải phương trình ta đặt t = x + a+b sau khai triển rút gọn pt trùng phương Ví dụ 13: Giải phương trình sau ( x + 3) + ( x − 1) = 33 4 Giải: Đặt t = x + ta có phương trình sau ( t + 2) + ( t − ) = 33 4 ⇔ 2t + 48t − = −24 + 17 t = ⇔ −24 − 17 t = ⇔ t2 = −24 + 17 2 ⇔t=± −24 + 17 2 ⇒x=± −24 + 17 −1 Ví dụ 12: Giải phương trình sau a) ( x + 1) + ( x − 3) = 40 Đ/s: − −12 + 37 & + −12 + 37 b) ( x + ) + ( x − 1) = 200 Đ/s: −2 − −27 + 187 & − + −27 + 187 c) ( x − 3) + ( x − 1) = 45 Đ/s: − −12 + 122 + −12 + 122 & 2 4 4 4 Chú ý: Để giải triệt để tất phương trình bậc em phải tham khảo cách giải Ferrari – học trò Cardano ! Trước vào giải số dạng phương trình khác em xem lại đẳng thức sau để tiện lợi trình giải tốn ! Copyright By MinhPhuc THPT Lak ( a + b ) = a + 2ab + b2 ( a − b ) = a − 2ab + b a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) ( a + b ) = a + 3a 2b + 3ab + b3 ( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab − b3 a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a − b + c ) = a + b + c − 2ab − 2bc + 2ca 10 ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 11 ( a + b + c ) = a + b5 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b + c + ab + bc + ca ) 12 V ( a + b) = a + b5 + 5ab ( a + b ) ( a + b + ab ) Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Phương trình có dạng A = B Để giải phương trình em bình phương hai vế thêm điều kiện B ≥ A2 = B A =B⇔ B ≥ Ví dụ 13: Giải phương trình sau x+2 =2 Các em để ý ta thấy B = > ta khơng cần đặt điều kiện cho B Ta có lời giải sau x = x + = ⇔ ( x + ) = 22 ⇔ x + x = ⇔ x = −4 Ví dụ 14: Giải phương trình sau x + 3x − = x + Lần ta cần phải có điều kiện cho B , giải nghiệm em phải thay vào điều kiện B ≥ thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại ! Ta có lời giải sau x + 3x − = x + ⇔ ( x + x − 1) = ( x + 1) ; x + ≥ 2 Copyright By MinhPhuc THPT Lak 10 ⇔ ( x + x − 1) − ( x + 1) = ⇔ (( x 2 + x − 1) − ( x + 1) )(( x ⇔ ( x2 + x − 2) ( x2 + 5x ) = ) + x − 1) + ( x + 1) = ( tm ) x =1 x = −2 x + x − = ⇔ ⇔ x = x + 5x = x = −5 ( ktm ) ( tm ) ( ktm ) Vậy phương trình cho có nghiệm & Chú ý dòng số sang dòng số ta sử dụng đẳng thức số em ! Ví dụ 15 Giải phương trình sau 2 a) x − x + = x − Đ/s: −2 − 2 & 2 b) x − x + = x − x + Đ/s: −1 ; 4− + 10 4+ & Phương trình dạng A = B Để giải phương trình em bình phương hai vế mà khơng cần thêm điều kiện ! A = B ⇔ A2 = B x + 3x − = x + Ví dụ 16: Giải phương trình sau Ta có lời giải sau x + 3x − = x + ⇔ ( x + x − 1) = ( x + 1) 2 ⇔ ( x + x − 1) − ( x + 1) = ⇔ (( x + x − 1) − ( x + 1) )(( x ⇔ ( x2 + x − 2) ( x2 + 5x ) = ) + x − 1) + ( x + 1) = x =1 x = −2 x2 + x − = ⇔ ⇔ x = x + 5x = x = −5 Vậy phương trình có nghiệm 0; 1; − 2; − Chú ý ta khơng cần phải loại nghiệm làm ví dụ 14 Copyright By MinhPhuc THPT Lak 11 Ví dụ 17: Giải phương trình sau 2 a) x − 3x + = x + 3x + −3 − & − + b) x − 3x + = x + Đ/s: 2+ & 2− c) x − x + = x + VI Đ/s: Đ/s: 1+ & 1− Phương trình chứa Phương trình dạng A=B Để giải phương trình ta cần bình phương hai vế đặt điều kiện B ≥ A = B ⇔ A = B2 ; B ≥ 2x +1 = x −1 Ví dụ 18: Giải phương trình sau Các em cần phải có điều kiện x − ≥ , ta có lời giải sau 2x +1 = x −1 ⇔ x + = ( x − 1) ; x − ≥ ⇔ 2x + = x2 − 2x + ; x −1 ≥ ⇔ x2 − 4x = x = ⇔ x = ( ktm ) ( tm ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 19: Giải phương trình sau x − 3x + = x − Các em cần phải có điều kiện x − ≥ , ta có lời giải sau x − 3x + = x − ⇔ x − x + = ( x − 1) ; x − ≥ ⇔ x − 3x + = x − x + ⇔ −x + = ⇔ x=3 ( tm ) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 20: Giải phương trình sau a) x2 − x + = x + Đ/s: − b) x − 3x + = x + Đ/s: −15 + 129 Copyright By MinhPhuc THPT Lak 12 c) x − x + = x + Phương trình dạng Đ/s: + 113 − 113 & 2 A= B Để giải phương trình em bình phương hai vế , làm thức phải có hai điều kiện A ≥ B ≥ Cụ thể ta có A = B ⇔ A = B; A ≥ Hoặc A = B ⇔ A = B; B ≥ Cách dễ ta dùng cách ! Ví dụ 21: Giải phương trình sau 3x + x − = x + Ta thấy x + đơn giản x + x − nên ta đặt điều kiện x + ≥ Ta có lời giải sau 3x + x − = x + ⇔ x + x − = x + 1; x +1 ≥ Vậy phương trình có hai nghiệm ⇔ x = Ví dụ 22: Giải phương trình sau a) Đ/s: x − 2x − = x + 2 3+3 3−3 & 2 ⇔ x2 = x = ⇔ x = − 3 ( tm ) ( tm ) b) x − x − = x + Đ/s: − 22 + 22 & 2 c) Đ/s: −1 − 19 −1 + 19 & 2 x − 3x − = − x Phương trình dạng A= B Để giải phương trình em bình phương hai vế mà không cần thêm điều kiện ! A = B ⇔ A = B2 Ví dụ 23: Giải phương trình sau x − 3x + = − x Ta có lời giải sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 13 x − 3x + = − x ⇔ x − 3x + = ( − x ) ⇔ x − 3x + = − x + x ⇔ x−3= ⇔ x=3 Vậy nghiệm phương trình cho ! Ví dụ 23: Giải phương trình sau a) x − x − = − x Đ/s: −1 + −1 − & 2 b) x − x − = − x Đ/s: 29 + 57 29 − 57 & 14 14 Đ/s: 19 + 137 19 − 137 & 14 14 c) x2 − x − = − 2x Phương trình chứa nhiều thức x+5 + 5− x = Ví dụ 24: Giải phương trình sau Để giải toán kiểu em cần phải nghĩ đến việc làm thức, ta bình phương đến hết thứ coi tốt đẹp ! Ta ý lúc hai vế ln khơng âm, từ tạo điều kiện cho ta bình phương hai vế Nói làm, bắt đầu ! x+5 + 5− x = ⇔ ( x+5 + 5− x ) = 42 ⇔ ( x + ) + x + 5 − x + ( − x ) = 16 ⇔ x+5 5− x = ⇔ x+5 5− x = Sau đến thứ dễ nhiều Nhưng em thường bị sai sót bước ! Thứ không viết gọn lại thành ( x + ) ( − x ) mà phải để nguyên x+5 5− x Thứ hai muốn bình phương hai vế phải có điều kiện cho biểu thức lớn ! Ta tiếp tục sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 14 ⇔ ( x+5 5− x ) = 32 ; ( x + ≥; − x ≥ ) ⇔ ( x + 5) ( − x ) = ⇔ 25 − x = ⇔ x = 16 x = ( tm ) ⇔ x = −4 ( tm ) Vậy phương trình cho có nghiệm & − Ví dụ 25: Giải phương trình sau a) 3x + + − x = Đ/s: 1& b) 3x + + + x = Đ/s: − 14 31 16 c) x+5 + 2+ x = Đ/s: − d) x + + + x = x +1 Đ/s: −8 − 13 e) x + + 3+ x = x −3 Đ/s: −2 − 31 h) x + 10 − + x = x − 23 Đ/s: Đ/s: − k) 3x + − + x = x + l) f) x + + + 2x = x + + 2x +1 Đ/s: −14 − 38 g) x + + + x = x + + x + Đ/s: 12 − 26 17 k*) VII 3x + − + x = Đ/s: ? x + x + = x2 + x Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Các phương trình vơ tỉ thường phức tạp, khác hồn toàn với dạng giới thiệu Do đó, cơng việc quan trọng cần làm tìm tập xác định, điều kiện phương trình ! Copyright By MinhPhuc THPT Lak 15 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2,3,4 Các phương trình cho thường có dạng phức tạp, để giảm độ phức tạp toán ta thường đặt ẩn phụ cách phù hợp Dưới số trường hợp đặt ẩn phụ thường gặp ! Ví dụ 26: Giải phương trình ( x + ) ( x + 1) − x + x + = Ta phân tích tốn Để ý khai triển tích ( x + ) ( x + 1) ta x + x + , có giống như biểu thức Ta biến đổi cho giống hồn toàn sau ( x + ) ( x + 1) − x2 + 5x + = ⇔ x2 + 5x + − x2 + 5x + − = Như em có biểu thức ngồi giống hồn tồn biểu thức Khi ta tiếp tục Đặt t = x + x + , t ≥ Ta phương trình t − 3t − = t = −1 ⇔ t = t = −1 (loại khơng thỏa mãn điều kiện x = x = −7 2 t ≥ t = ⇔ x + x + = ⇔ x + x + = 16 ⇔ x + x − 14 = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm & − Chú ý Thầy khơng cần ghi điều kiện ! Ví dụ 27: Giải phương trình sau x + − x = − x2 + 9x + Ta làm cho bớt vài dấu cách bình phương hai vế ! x + − x = −x2 + 9x + ⇔ x + x − x + ( − x ) = − x2 + 9x + ⇔ x2 − 9x + x − x = ⇔ x ( x − 9) + x − x = ( * ) Đến ta cần ghi điều kiện cho x phương trình cuối ! Điều kiện pt (*) ≤ x ≤ Đặt t = x ( − x ) , t ≥ Ta phương trình sau t = t + 2t = ⇔ t = −2 Copyright By MinhPhuc THPT Lak 16 t = −2 ( loại khơng thỏa mãn điều kiện t ≥ ) x = x = t = ⇔ x ( − x) = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 28: Giải phương trình sau a) ( x + ) ( − x ) = x + x Đ/s: & −4 b) x + x − = 12 Đ/s: ± 10 c) x Đ/s: & −2 Đ/s: 1+ 1− & 2 Đ/s: f) 3x − + x − = x − + x − x + Đ/s: g) x + + x + = x + 2 x + x + − 16 Đ/s: Đ/s: 16 + x + + x + x + = x + x + 19 d) − x + x − + x − x = e) h) ( x + 1) ( − x ) = + x − 2x2 x + x + − x2 + x = x + 2 Đặt ẩn phụ, coi x tham số Sau đăt ẩn phụ ta x, ta giải ẩn phụ theo x Ví dụ 29: Giải phương trình sau ( x − 1) x2 + = x2 + x + ( * ) TXĐ: D = ¡ Đặt t = x + ⇒ x = t − thay vào (*) ta phương trình sau ( x − 1) t = ( t − 1) + x + ( * ) ⇔ 2t − ( x − 1) t + x − = 2 Ta coi phương trình theo ẩn t tính ∆ = ( x − 1) − ( x − 1) = 16 x − 24 x + = ( x − ) Copyright By MinhPhuc THPT Lak 17 2t − ( x − 1) t + x − = ( x − 1) + ( x − 3) t = ⇔ ( x − 1) − ( x − 3) t = t = x − ⇔ t = x = t = x + ⇔ x + = x + ⇔ x + = ( x + 1) ; x ≥ − ⇔ x = − t= 2 ( tm ) ( ktm ) 1 ⇔ x + = ( ptvn ) 2 Vậy Phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 30: Giải phương trình sau a) x + 3x + = ( x + 3) x + Đ/s: ±2 b) x + 17 x + 10 = ( x + 1) x − x + Đ/s: −13 + 73 −25 + 145 & 30 c) x + 15 x + 11 = ( x + 1) x − 3x + Đ/s: −9 + 309 −15 + 141 & 10 d) x + 10 x + 23 = ( x + ) x + Đ/s: − 47 & − 14 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ 31: Giải phương trình sau x − + x + − 12 = Đối với dạng phương trình có nhiều loại thức em cần nghĩ dến việc đặt một ẩn phụ đưa thành hệ phương trình đơn giản ! Cụ thể ta đặt a = x − & b = x + , ta có hai ẩn a & b , ta cần có hai phương trình để giải hai ẩn Từ phương trình tốn ta có phương trình 2a + 5b − 12 = Ngồi phương trình ta có phương trình khác tạo mối liên hệ a b Đó b2 − a3 = Vậy ta có hệ phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 18 −5b + 12 2a + 5b − 12 = a = ⇔ b − a = b − a = ( 1) ( 2) Thay (1) vào (2) ta −5b + 12 b − ÷ =3 223 125 ⇔− b + b + 270b − 219 = ⇔b=2 b = ⇔ x +1 = ⇒ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Trên ta giải hệ phương trình phương pháp ! Ví dụ 32: Giải phương trình sau x + 17 − x + x 17 − x = Đặt y = 17 − x ; y ≥ Ta có hệ phương trình đối xứng loại I sau x + y + xy = ( 1) x + y = 17 Đối với phương trình đối xứng loại I này, để giải ta phải tiếp tục đặt ẩn phụ S = x+ y Đặt ; P = xy Khi ta có hệ đơn giản (chú ý x + y = ( x + y ) − xy = S − P ) S = P = − S S + P = P = ⇔ ⇔ S = −7 S − ( − S ) = 17 S − P = 17 P = 16 ( x; y ) = ( 1; ) S = x + y = ⇔ ⇔ P = xy = ( x; y ) = ( 4;1) S = −7 x + y = −7 ⇔ ( ) P = 16 xy = 16 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = & x = Ví dụ 33: Giải phương trình sau x3 − 3 + 3x = Copyright By MinhPhuc THPT Lak 19 Ta đặt y = + x ta có hệ phương trình đối xứng loại II sau x3 − y = (1) y − 3x = Để giải hệ phương trình ta trừ vế hai phương trình hệ ta x3 − y + 3x − y = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ⇔ x− y =0 ⇔x= y x = x = −1 Vậy ta có x = + x ⇔ x = 3x + ⇔ Thay x = & x = −1 vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = & x = −1 Để hiểu cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời em đón đọc phần tài liệu - loại Hệ Phương Trình cách giải ! Ví dụ 34: Giải phương trình sau x + − x =1 Đ/s: x +3 − x =1 Đ/s: c) 12 − x − 14 + x = Đ/s: −2 − 51 d) x + x + = Đ/s: −1 + 17 − 21 & 2 e) x3 + = x − Đ/s: ? f) 17 − x − x − = Đ/s: − a) b) g) ( − x) 55 − 97 & 55 − 97 + ( + x) − ( − x) ( + x) = h) x + x + − 2 x + x − = Copyright By MinhPhuc THPT Lak 20 Đặt ẩn phụ sử dụng đẳng thức Phương trình có dạng a + b + c = a+b+c Ví dụ 35: Giải phương trình sau x − + x − + x − = 3x − Để giải phương trình em đặt a = x − 1; b = x − ; c = x−5 Khi ta có phương trình sau a + b + c = a + b3 + c ⇔ ( a + b + c ) = a + b3 + c 3 Sau ý đẳng thức số 10 ta có ( a + b + c) ⇔ 3 3 3 a = −b = a + b + c ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ⇔ b = − c c = −a 3 3 x = x −1 = − x − x −1 = − ( x − 2) x − = − x − ⇔ x − = − ( x − 5) ⇔ x = x − = − x −1 x − = − x −1 ( ) ( ) x = 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ; x = ; x = Ví dụ 35: Giải phương trình sau a) x −1 + x − = 2x −1 b) x − + 3 x − + x + = x − c) x − + x − + x + = 3x + x − d x − x + + x − + x + x + = 3x + x e) x2 − x + + x − + x2 + x = x2 − f) x2 − x + + 2x2 − x − + − x2 + x = x2 − x − Sử dụng phương pháp liên hợp để phân tích thành nhân tử Các em ý lượng liên hợp sau a+b Có lượng liên hợp bậc a − b Có lượng liên hợp bậc hai a − ab + b Copyright By MinhPhuc THPT Lak 21 a −b Có lượng liên hợp bậc a + b Có lượng liên hợp bậc hai a + ab + b Mục đích việc nhân liên hợp biến thành đằng thức làm thức ! x + − 3x − = Ví dụ 36: Giải phương trình sau x+3 4 x + ≥ 3 x − ≥ Điều kiện phương trình Ta nhân hai vế phương trình với lượng liên hợp x + + x − x + − x − dễ thấy lượng liên hợp x + + x − > x + − 3x − = ⇔ ( x + + 3x − ⇔ ( )( ) ( 4x +1 − x+3 x+3 x + + 3x − ÷ ) ( ) x + − 3x − = 3x − ⇔ x+3= ( ) =( x+3 x + + 3x − ÷ ) x+3 x + + 3x − ÷ ) x+3 x + + 3x − − ÷= x = −3 ( ktm ) ⇔ x + + 3x − = ⇔ Giải phương trình ( ) x + + x − = cách bình phương hai vế ta nghiệm x = Chỉ có x = thỏa mãn điều kiện phương trình nên x = nghiệm ! Ví dụ 37: Giải phương trình sau a) 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + ( ) b) + x − = x + x + Copyright By MinhPhuc THPT Lak 22 Một Số Phương Trình Vơ Tỷ Luyện Thi Đại Học x − x + 14 x − x + = Đ/s: x − x3 + x + x + = Đ/s: 3± & 2± 1± & ± x − x + x + = Đ/s: 1± & x − x3 − 10 x − x + = Đ/s: x + + + x = 3x + Đ/s: x + + + x = 3x + Đ/s: x − 3x + + x − x + = x − x + Đ/s: x2 − 2x − − ( x − 4) x − = Đ/s: Đặt y = x − z = x − đưa phương trình đồng bậc ! 2x + − x + = x −1 10 x − x + + x + x + = x + x + + x + 10 x + Đ/s: Đặt y = x + z = x + Đ/s: ± 85 −1 + 17 (Nhân liên hợp ) (Nhân liên hợp ) đưa phương trình đồng bậc ! 12 x + x + = ( x + 1) x + Đ/s: 13 x − 19 x − = ( x − 1) x + Đ/s: 14 x − 10 x − = ( x − 1) x + Đ/s: 15 x − 12 x − 14 = ( x − 1) x + Đ/s: 16 −3 ± & 2± −10 + 19 − 33 2 55 (Nhóm nhân tử) & 6+ 15 17 + 13 6+2 & & 13 − 13 Đ/s: 11 x + x + = ( x + 1) x + 1± −2 + 22 9 − 113 49 + 313 & 8 13 3− & 4 − 13 + 15 & ( x − 1) ( x − ) + ( x − 3) ( x − ) = x − 54 x + 75 Đặt y = ( x − 1) ( x − 3) z = ( x − ) ( x − ) đưa phương trình đồng bậc ! Đ/s: 17 x3 + 25 x + 58 x + 34 = ( x + ) 10 + 13 46 − 241 & 15 2x + Đặt y = x + z = x + đưa phương trình đồng bậc ! 2,3 + 5,8 + 10 Đ/s: Copyright By MinhPhuc THPT Lak 23 18 x − x − + x = x − x − Đ/s: + 13 & − 97 Đặt y = x + z = x − x đưa phương trình đồng bậc ! 19 x + x − + 3x + x − = 3x + x − Với x > Đặt t = x − x Đ/s: −4 + + 142 − −4 + − 142 − & 11 11 20 x + = x3 + Đ/s: ± 37 Đặt y = x − z = x − x + đưa phương trình đồng bậc ! 21 x + 16 x + 12 = x + Đ/s: −7 + 17 −9 − 13 & 4 Đặt y = 2x + z = 2x + ta hệ phương trình đối xứng loại ! 22 x − x − + 3x + = Đ/s: 11 − 137 −1 + 65 & 8 Đặt t = 3x + coi x tham số ! Giải t theo x ! 23 x + x − + 3 x + = Đ/s: 24 x − 20 x + 13 + x + = Đ/s: 25 x − 12 x + 17 + 3 x + = Đ/s: 26 x3 + = 4 x − Đ/s: −9 + 17 − 89 & 8 + 33 13 − & 4 15 − 85 & −1 ± 13 & Đưa hệ đối xứng loại ! 27 x + 14 x + 11 = x + 10 Đ/s: −3 + 13 ( Phân tích thành đẳng thức !) 19 + 137 35 + 17 11 − 73 & 8 + 13 1− & 6 28 x − x − 10 = x + Đ/s: 29 x − 23 x + 15 = x + Đ/s: 30 x − x − = x + Đ/s: 31 x + x + 17 − x + 17 − x = 34 Đ/s: 32 x + x + = + x + x − x − x Đ/s: −1 ± 21 + −1 ± 37 − 21 & 2 Đặt t = x + x đưa phương trình đơn giản sau sử dụng đẳng thức ! Các chuyên đề biên soạn thời gian tới ! Copyright By MinhPhuc THPT Lak 24 ... có hai phương trình để giải hai ẩn Từ phương trình tốn ta có phương trình 2a + 5b − 12 = Ngồi phương trình ta có phương trình khác tạo mối liên hệ a b Đó b2 − a3 = Vậy ta có hệ phương trình sau... 33 ; 4 Phương trình tựa đối xứng Là phương trình có dạng ax + bx3 + cx − bx + a = x Để giải phương trình ta chia hai vế cho x đặt t = x − , ta phương trình bậc hai theo t Ta giải phương trình. .. Đ/s: 1+ & 1− Phương trình chứa Phương trình dạng A=B Để giải phương trình ta cần bình phương hai vế đặt điều kiện B ≥ A = B ⇔ A = B2 ; B ≥ 2x +1 = x −1 Ví dụ 18: Giải phương trình sau Các em cần