Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
================================================================== ÔN TẬP-CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức bản
sin2 + cos2 =1 tan =
cos sin
k
2 cot =
sin cos
k
tan.cot = 1
1 + tan2 =
2
cos
1 + cot2 =
2
sin
I. Giá trị hàm lượng giác góc (cung) đặc biệt:
T r u c c o s T r u c s in T r u c ta n
T r u c c o ta n
- 3 2
- 2 2 - 1
2 1 2 2 2
3 2
- 1 2 - 2
2 - 3
2
2 2
3 2 1 2
- 3 - 1 - 3
3 - 1
-3 3
- 3 3
3 3
3
3 3 1
3/2
/2
5/6 3/4
2/3 /3
/4
/6
A ( ; )
(2)
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
==================================================================
BÀI TẬP:
Bài : Cho biết sin+cos=m; tính:
a) sin.cos
b) sin3+cos3
Bài : Cho biết sin.cos=m; tính:
a) sin+cos
b) sin4+cos4
Bài 3:Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
2
1
a) sin x+tan x= -cos x b) tan x-sin x=tan x.sin x cos x
Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
a) C=2(sin6x+cos6x)-3(sin4x+cos4x) b) D=1+cotx
1-cotx t anx-1
Bài 5:Tính GTLG cung a biết:
3
a) sina=- (- <a<0) b) tana=- ( <a< )
5 2
Bài 6: Tính giá trị biểu thức t anx
1-tanx
A , biết cosx=-4
5 sinx<0
Bài 7: Xác định cung a thỏa mãn điều kiện:
a)sina=1 b)sina=-1 c)sina=0 d)cosa=1 e)cosa=-1 f)cosa=0 g)tana=1 f)sina+cosa=0
Bài 8: Tính giá trị biểu thức
3
3
cos x+cosx.sin x-sinx
A= tanx=2
sin x-cos x
Bài 9: Cho 3sin4 98
81
x cos x Tính A 2sin4x 3cos x4
(3)
Cung liên kết
1 Hai cung đối (,-)
cos(-) = cos
sin(-) = -sin
tan(-) = -tan
cot(-) = -cot
2 Hai cung bù (,-)
sin(-) = sin
cos(-) = -cos
tan(-) =-tan
cot(-) = -cot
3 Hai cung phụ nhau:(,
-)
sin(
2
-) = cos
cos(
2
-) = sin
tan(
2
-) = cot
cot(
2
-) = tan
4 Hai cung (, +)
sin(+) = -sin
cos(+) = -cos
tan(+) = tan
cot(+)= cot
5 Hai cung
(,
2
+)
sin(
2
+) = cos
cos(
2
+) = -sin
tan(
2
+) = -cot
cot(
2
(4)BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giá trị rút gọn hàm lượng giác
Bài 1: Tính giá trị
a) Cos1200 ; tan1350 ; sin(-7800) b)
7 11
sin , tan , cot
6
Bài 2: Chứng minh
0 0
2
0 0
sin515 cos -475 +cot222 cot408 1 = cos 25
2 cot415 cot -505 +tan197 tan73
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau
0
0 0
2sin2550 cos -188
A= +
tan368 2cos638 +cos98
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
0 0
0
0
cot44 +tan226 cos 406
B= -cot72 cot18
cos316
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau
3π π 3π
C=cosπ-x +sin x- -tan +x cot -x
2 2
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau
1) sin 11π +sin 21π +sin -9π +sin -29π =-2cos 2π
10 10 10 10
2)
0
0 0
cos -20 sin70
(5)Công thức biến đổi:
1).Công thức cộng:
sin(a+b) = sina.cosb + sin.bcosa cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(ab) =
b tan a tan
b tan a tan
cot(a+b) =
b cot a cot
1 b cot a cot
cot(a-b) =
b cot a cot
1 b cot a cot
Bài tập:
Dạng 1: Tính giá trị rút gọn hàm lượng giác
Bài 1 Tính giá trị hàm số lượng giác
1) 150
,
12
2) x 2850
, 103 12
x
Bài 2 Tính A=tan x-π
4
biết
9 cos
41
x với π<x<3π
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1 Chứng minh
1) 2
2
sin a+b sin a-b tan a-tan b=
cos a.cos b 2)
2
2
tan 2a-tan a
=tana.tan3a 1-tan 2a.tan a 3) sin π+a -sin π-a = 2sina
4
Bài 2 Rút gọn biểu thức sau
π π π π
A=sin x- cos -x +sin -x cos
x-3 4
(6)Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc x
2 π π
A=cos x+cos x+ +cos -x
3
2 2π 2π
B=sin x+sin x+ +sin -x
3
Bài 4: Cho tam giác ABC CMR
1) sinAsin B cosCsin C cosB
2) sin s sin sin
2 2 2
A B C B C
co cos
2/ Công thức nhân đôi: sin 2a = 2sinacosa cos 2a = cos2a – sin2a = 2cos2a - 1
= – 2sin2a
tan2a = a tan a tan 2 cot2a = a cot a cot2
3/ Công thức nhân 3: sin 3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa
3
3tana-tan aπ π
tan 3a =tg -a tana.tan +a
1-3tan a 3
cot 3a =
1 a cot a cot a cot 2
4/ Công thức hạ bậc: sin2a =
2 a cos 1
cos2a =
2 a cos 1 tan2a =
a cos a cos
cot2a =
a cos a cos
sin3a =
4
(3sina - sin3a) cos3a =
4
(3cosa + cos3a) sin4a =
8
(cos4a - 4cos2a + 3) cos4a =
8
(cos4a + 4cos2a + 3) sin5a =
16
(sin5a – 3sin3a + 10sina) cos5a =
16
(cos5a + 5cos3a + 10cosa)
(7)Bài 1 Tính sin2a biết 1) sin
5
a va a 2) s
3
co a va a
Bài 2 Tính giá trị hàm số lượng giác góc
a) a 112 30 '0
; b) α=7π
24
Bài 3 CMR
1) 3 sin3 sin 3.sin 4
cos x x x cos x x
AD: Tính B=cos22 30'.sin 172 30'-sin22 30'.cos 172 30'0 0 2) tanx.tan π-x tan π+x =tan3x
3
AD: tính A=tan π tan7π.tan13π
18 18 18
Bài 4: Chứng minh rằng:
1) 4 2
2
cos x cos x cos x
2) .sin sin 3 sin 4
x
cos x x x cosx
Bài 5: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x
2
A=sin8x+2cos 45 +4x
3
cos x-cos3x sin x+sin3x
B= +
cosx sinx
4 6
C=3 sin x+cos x -2 sin x+cos x
6 2
D=sin x.cos x+sin x.cos x+ cos 2x
5/ Công thức chia đôi: Đặt t = tan a
(a+k2)
sina=
t
t
cosa =
2
t
t
tana =
2
t
t
(8)cosa + cosb = 2cos
b a
cos
b a
cosa – cosb = -2sin
2 b a
sin
2 b a sina + sina = 2sin
2 b a
cos
2 b a sina – sinb = 2cos
2 b a
sin
2 b a
tana tanb = b cos a cos
b a sin
cota cotb = sinsinaasinbb
Đặc biệt: sina + cosa = sin
4
a = 2cos
a
4 sina – cosa = 2sin
4
a = - 2cos
4 a
7/ Công thức biến đổi tích thành tổng: cosa.cosb =
2
[cos(a + b) + cos(a – b)] sina.sina =
2
[cos(a + b) -cos(a – b)] sina.cosa =
2
[sin(a + b) -sin(a – b)] tana.tanab =
b cot a cot
b tan a tan
BÀI TẬP:
(9)1) A cos a cos a2 23
2) Bsin 3xsin 2x
3) C=1-cotx
4)
D=cos 60 +x +cos 60 -x +cos3x
Bài 2 Biến đổi thành tích
1) A sin 700 sin 200 sin 500
2) B cos460 cos220 2cos780
3) C 1 cosx cos x cos x
(10)Bài 3 Biến đổi thành tổng 1) 2sinx.sin2x.sin3x
2) 8cos sin sin 3x x x
3) sin sin
6
x x cos x
4) 4cos a b cos b c cos c a
Bài 4 Biến đổi thành tích
1) A cos a cos a2 23
2) sin11
12 12
B cos
3) C sin 20 sin 40 sin 800 0
4) D sin 20 sin 50 sin 700 0
Bài 5 Tính gía trị bểu thức
1) sin sin5
4
x x
A Biết x 600
2)
sin sin
cos a cos a B
a a
Biết
0
20
a
3) C=tan20 tan40 tan60 tan800 0
Bài 6 Chứng minh rằng: 1-sin2xπ=tan2 -x
1+sin2x
Bài 7
1) Cho a b c CMR sin sin sin 4cos cos cos
2 2
a b c
a b c
2) Cho a b c d CMR :
sin sin sin sin 4sin sin sin
2 2
a b b c c a
a b c d
Bài 8: Cho tam giác ABC CMR
1) sin 2Asin 2Bsin 2C4sin sin sinA B C
2) s cos cos 4sin sin sin
2 2
A B C
co A B C
3) sin sin sin
2 2
A B C
A B C cos cos cos
4) cos2 A cos2B cos2C 1 s s sco A co B co C