Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.. a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằn[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MƠN TỐN LỚP11 (Nâng cao)
Chương 3:DÃY SỐ.CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.
I.Kiến thức bản: 1)Cấp số cộng:
-Định nghĩa : (un) CSC un+1 = un + d , d số ;-Số hạng tổng quát un = u1 + (n-1)d -Tổng n số hạng đầu sn = ( )
2 n
n u u
= [2u1 ( 1) ]
n n d
2)Cấp số nhân:
-Định nghĩa: (un) CSN un+1 = un q ,q số ;-Số hạng tổng quát un = u1qn-1 -Tổng n số hạng đầu sn = 1( 1)
1 n
u q q
, q 1 II.Ví dụ minh họa:
1)Cho dãy số (un) với un = 9-5n a)Viết năm số hạng đầu dãy
b)Chứng minh dãy số (un) cấp số cộng.Chỉ rõ u1 d c)Tính tổng 100 số hạng đầu
Giải: a)4,-1,-6,-11,-16
b)Xét hiệu un+1-un = 9-5(n+1)-9+5n=-5, dãy (un) cấp số cộng với u1=4 d = -5 c) 100
100[2.4 (100 1)( 5)]
24350
S
2)Cho dãy số (un) với un = 22n+1.
a)Chứng minh dãy (un) cấp số nhân.Nêu nhận xét tính tăng ,giảm dãy số b)Lập công thức truy hồi dãy số
c)Hỏi số 2048 số hạng thứ dãy số Giải: a)Lập tỉ số
2( 1) 1
2
4
n n
n n
u u
, n n
u d
u
= 4>1 nên dãy số (un) tăng cấp số nhân. b)Cho n = 1, ta có u1 = Công thức truy hồi
1
4 ,
n n
u
u u n
c)Ta có un = 2048 = 211 = 22n+1, suy 2n+1 = 11 n = 5.Vậy 2048 số hạng thứ năm dãy. III.Bài tập:
1)Cho cấp số cộng (un) có u17-u20=9 u17 2+u20 2 =153.Hãy tìm số hạng đầu công sai CSC.
2)Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d>0,u31+u34 = 11 u312+ u342=101 tìm số hạng tổng quát cấp số cộng
3)Cho cấp số nhân (un) có u20=8u17 u3+u5=272 Tì số hạng đầ cơng bội CSN 4)Tổng cấp số nhân lùi vơ hạng
3, tổng ba số hạng 39
25 Tìm số hạng đầ cơng bội cấp số nhân
Chương 4: GIỚI HẠN. A.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
I Kiến thức bản:
-Các giới hạn đặc biệt: lim 1k
n = 0, limn
k = +,k nguyên dương; limqn = ,q <1; limqn = +, q>1;limc = c ,c số.
-Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1+u2+u3+ = 1
u q
II Ví dụ minh họa: Tính giới hạn sau:
a)
2
4
lim
2
n n
n
b)lim 5n2 12 n c)lim( n2 n n 1)
(2)Giải: a) 2 lim n n n = 2 1 lim n n n
= b) 2 lim n n n n
=
2
1 1
3 lim
1
n n n
n
=
c) 2
1 lim( n )
n n
d)lim 2 4
n
n n n
= lim 1 n n n =2
III Bài tập:
1)Tính giới hạn sau: a)
3 2
lim n n
n n
b)
3
3
lim
4
n n
n
c)
3
lim
2.4 n n
n n
d)
2
lim (n n 1 n 2)
2)Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số
a) 0,666 b)0,2121 c)0,32111
B.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC.
I Kiến thức bản: 1)Giới hạn hàm số:
-Quy tắc tìm giới hạn vô cực:quy tắc 1, quy tắc SGK (lớp 11 nâng cao) trang 160-161 -Các dạng vô định:
0,
,0. 2)Hàm số liên tục:
-Hàm số y = f(x) liên tục điểm xo lim ( ) ( )
o
o
xx f x f x xlim ( )xo f x xlim ( )xo f x f x( )o
-Hàm số y =f(x) liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng
-Nếu hàm số y =f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b)<0 phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (a;b)
II Ví dụ minh họa: 1)Tính giới hạn sau: a)lim2
7 x x x
b)
3
2
lim x x x x x
c)
1
lim
1 x x x
d)
2
lim ( ) x x x x Giải:
a)
(2 )( 3) lim x x x x
=
lim ( 3)
x x b)
3
2
lim x x x x x = 3 lim 1 x x x x x =-2
c)lim0 ( 1) ( 1) x x x x
=
lim
1 x x
d)
2
2 (4 ) lim
4
x
x x x
x x x
= lim x x x x x = 1 lim 4 x x
2)Tìm m để hàm số f(x) =
2 2 , 2 , x x khi x x
m khi x
liên tục R Giải:
*)Hàm số f(x) =
2 2 2
x x
liên tục R\{2} *) 2 lim x x x x
=3 ; f(2) = m Để hàm số f(x) liên tục x = m = *)Để hàm số liên tục R m =
(3)Xét hàm số f(x) = (1-m2)x5 - 3x – liên tục R
Vì f(0) = -1<0 f(-1) = m2 + 1>0 nên f(0)f(-1)<0 ,suy phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (a;b), (ĐPCM)
III Bài tập:
1.Tính giới hạn sau: a lim 11
2 x x
x b)
4 lim 2 x x
x c) 6
3 lim x x x
d) xlim24x x6 e)
1 17 lim 2 x
x f) x
x x x lim
2 Tính giới hạn sau: a
2
2 2 lim x x
x b) 1
7 lim x x
x c)
7 lim x x x
3 Tính a) lim 4 2 1
x x x
x b) lim 5
2
x x
x c) lim 2
x x
x d) x
x x
x 5 2
1 lim
4.Xét tính liên tục hàm số a)
2
x x ; x 2 f (x) x
5 x ; x
Tại…x=2 b)
2
2x 5x khi x 2 f (x) x
4 x
x=2 5.a)Cho
2 x khi x 0
f (x) x
4m x
Xét tính liên tục hàm số x =
b)Cho
)2 (3 2 2 2 2 2 3 )( x x mx x x x x
f Xác định m để hàm số liên tục R 6.CMR: Phương trình 5
x x
x có ba nghiệm (-2; 5) CMR: Phương trình x7 7x5 12x3 5x 1 0
có nghiệm
8 CMR: Phương trình x5 4x3 x 5 2 x3 3x 6
có nghiệm
9 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với m:
a)(1-m2)x5-3x-1= b)(1-m2)(x+1)3+x2-x-3 = c)m(2cosx- 2) = 2sin5x +1 10 Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m:
a m(x-1)2(x2- 4) + x4-3 = 0 b.x3- 3x = m
Chương 5:ĐẠO HÀM.
I.Kiến thức bản:
1)Bảng đạo hàm số hàm số thường gặp:
Hàm số sơ cấp Hàm số hợp
(c)/ = 0,( c số ) (x)/ = 1
(xn)/ = nxn-1 (n số tự nhiên ) /
2
1
(x 0)
x x
/ ( 0)
x x
x
(un)/ = nun-1.u/
/ / u u u
(4)(sinx)/ = cosx (cosx)/ = -sinx (tanx)/ =
2 os
c x
(cotx)/ = sin x
(sinu)/ = u/cosu (cosu)/ = -u/sinu (tanu)/ =
/ os
u
c u
(cotu)/ = / sin
u u
2)Các quy tắc tính đạo hàm:
(uv)/ = u/ v/ (uv)/ = u/v + uv/ (ku)/ = k(u)/,k số
/ / /
2
u u v uv
v v
3)Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =f(x) điểm Mo(xo;yo) thuộc đồ thị y = f /(xo)(x-xo) + yo
4)Vi phân hàm số : df(x) = f/(x)dx hay dy = y/dx 5)Đạo hàm cấp cao : f(n) = (n 1) /
f
II.Bài tập:
1 Tính đạo hàm hàm số sau
a)
x x x
y b) y 2 5x x2
c) 2 2 ( )
3
const a
x a
x
y
d)
x x y
1
e)
sinx+cosx
x
y f) t anx 1+tanx
x
y g) osx-1 os3
y c c x i)ysin ( os5x)5 c
2)Tính đạo hàm cấp hàm số sau
a)y =x4-3x3+x2-1 b)y = cos2x c)y =
x 3)Giải phương trình f/(x) = ,biết:
a)f(x) = 3cosx+sinx-2x-5 b)f(x) =1
2sin2x + sinx-3 4)Giải phương trình 1+5y+6y/ = 0, biết y =
1 x
5)Gọi (C) đồ thị hàm số f(x) = x3-5x2+2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) mỡi trường hợp sau: a)Biết (C) qua điểm có hồng độ -4 b)Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + c)Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =
7x + 2009 d)Biết tiếp tuyến qua điểm A (0;2)
6)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2
x x
,biết tiếp tuyến tạo với trục 0x góc 135 0. 7)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =
2 1
1
x x
x
,biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =
3x
ĐỀ ÔN TẬP ĐỀ 1.
Câu 1: Tính giới hạn sau a)
2 2 lim
1
n n
n
b)
2
lim( n 5n 1 n) c)lim2
.3n
n n
d)
2
6 lim
2 x
x x
x
e)
3
2
lim
1 x
x
x x
f )
2
lim ( )
(5)Câu 2: Tìm gá trị m để hàm số
3
3
( )
3
x
khi x
f x x
m khi x
liên tục xo = Câu 3:
a)Cho f(x) = 2cos2x + sin2x + Giải phương trình f /(x) = 0 b)Cho f(x) =
3
15
x x
x
Giải bất phương trình f /(x) 0
c)Chứng minh hàm số y = xsinx ta có : xy//-2(y/-sinx) + xy = 0 d)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =
2 5 4
x x
x
, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x +2009
Câu 4:Tìm ba số liên tiếp cấp số cộng biết tổng ba số 21 tổng bình phương chúng 155
ĐỀ 2.
Câu 1: Tính giới hạn sau: a)
3
3
lim
72
n n
n n
b)
4
2
16
lim
8
n n
n n
c)lim osn n
c
d)
2 2
3
lim
4 x
x x
x
e)lim 2
1 x
x x
f ) 2
1
lim
1
x x x
Câu 2: Gọi (C) đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 a)Tính y/.
b)Viết phương trình tiếp tuyến (C) ,biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x-2 Câu 3: Cho hàm số y = x45 – 2x40 – 2008x2008 Tính y(2008)(2008)
Câu 4: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10,tổng năm số hạn cấp số nhân 155
16 Tìm số hạn cơng bội cấp số nhân Câu 5: Xác định a để hàm số f(x) =
2 1
,
1
ax+2 ,khi x
x
khi x x
liên tục R
Câu 6: Chứng minh hàm số y = x x2 13
ta có: (1+x2)y// + xy/ - 9y =
(6)Lý thuyết:
- Hai mặt phẳng song song (định nghĩa,tính chất,định lí Ta-lét) - Góc hai đường thẳng ,hai đường thẳng vng góc
- Đường thẳng vng góc với mặt phẳng ,điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng,định lí ba đường vng góc,góc đường thẳng mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vng góc,góc hai mặt phẳng - Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
+ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song + Khoảng cách hai mặt phẳng song song
+ Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo + Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Ví dụ minh hoạ
* Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD.Gọi G1,G2,G3 lần lượt trọng tâm tam giác ABC,ACD,ABD.Chứng minh:(G1G2G3)//(BCD)
Giải:
Gọi I,J,K lần lượt trung điểm BC,CD,DB Theo tính chất trọng tâm ta có:
3 J
2
1
A AG AI
AG
G1G2 //IJ
Mà: IJ (BCD)
Nên: G1G2//(BCD)
3 K
3
A AG AI
AG
G1G3//IK
Mà: IK (BCD)
Nên: G1G3 //(BCD)
Vậy: (G1G2G3)//(BCD)
*Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B,SAvng góc với mp(ABC) Gọi '
',C
B lần lượt hình chiếu vng góc A đường thẳng SB,SC Chứng minh : a) BC(SAB) : AB' (SBC)
b) Chứng minh: AB' SC. c) (SAC) (AB'C') Giải:
a) Ta có: BC SA (vì SA (ABC)) Và: BC AB (gt)
BC (SAB)
*Ta có: BC(SAB) AB' BC (do AB' (SAB)) Mặt khác: AB' SB
Nên: AB' (SBC). b) Ta có : AB' (SBC)
AB' SC (do SC (SBC)) c) Ta có: AB' (SBC).
SC AB'(do SC (SBC)) Mặt khác : SC AC' SC (AB'C')
Do đó: (SAC) (AB'C')
* Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,cạnh đáy a đường cao SO=
2 a
Gọi I trung điểm BC K hình chiếu vng góc O lên SI
S
A
B
C B'
C ' A
B D
C
I J
K
G1 G2
(7)a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SI DC Giải:
a) * Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD
Gọi H hình chiếu vng góc điểm O lên đường thẳng SD Ta có: OH SD
d(O;SD)=OH
Tam giác SOD vuông O,có OH đường cao nên:
2
1 1
SO OD
OH (*)
Ta có: BD=AB 2=a OD=
2 2
a BD
Từ (*): 2 22 42 62
a a a
OH
6
2 a
OH OH=
6 a
Vậy d(O;SD)=
6 a b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
Ta có:OK(SBC) OK khoảng cách từ điểm O đến (SBC) Tam giác SOI vng O,có OK đường cao nên:
12 12 12 42 42 82
a a a SO OI
OK
8
2 a
OK OK=
4
a . Vậy d(O;(SBC))=
2 a . c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SI DC
Ta có: CISI CIDC CI khoảng cách SI DC Mặt khác: CI=
2 a
Vậy: d(SI,DC)=
2 a
II.Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh SA (ABCD).Gọi H,I,K lần lượt hình chiếu vng góc A SB,SC,SD.Chứng minh:
a) BC (SAD) ;BD(SAC)
b) HK(SAC).Từ suy HK AI
Bài 2: Cho tứ diện OABC có cạnh OA,OB,OC đơi vng góc với nhau.Gọi H điểm thuộc mặt phẳng(ABC) cho OH(ABC).Chứng minh rằng:
a) BC (OAH)
b)H trực tâm tam giác ABC c) 2 12 12 12
OC OB OA
OH
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a,AD=a Cạnh bên SAvng góc với đáy SA=a
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc đường thẳng SB CD
c) Tính góc đường thẳng SD (SAB) d) Tính diện tích tam giác SBD
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính độ dài đường cao SO hình chóp
b) Gọi M trung điểm SC,chứng minh (MBD) (SAC) c) Tính diện tích tam giác SBC SAC
Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC,cạnh đáy a đường cao SO=
3 a
.Gọi I trung điểm
S
D
A
B
C I K H
(8)a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA b) Chứng minh: BC (SOI) OK (SBC) c) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều,SC=a 2.Gọi K
trung điểm AD.Chứng minh: a) (SAB) (ABCD) b) AC SK; CK SD
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a,mặt bên (SBC) vng góc với đáy Gọi M,N,P lần lượt trung điểm AB,SA,AC
a)Chứng minh:(MNP)//(SBC)
b)Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP)và (SBC)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,SA (ABCD) SA=2a a) Chứng minh:(SAC) (SBD); (SCD) (SAD)
b)Tính góc SD (ABCD) ; SB (SAD) c) Tính d(A;(SCD)); d(B;(SAC)); d(C:(SBD))
d) Xác định tính đoạn vng góc chung đường thẳng SD BC; AD SB
Bài 9:Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a.Gọi O tâm đáy ABCD a) Chứng minh:(SAC) (SBD); (SBD) (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD);từ O đến (SBC)
c) Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SD Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA (ABC).Vẽ đường cao AH tam giác SAB.Chứng minh rằng:
a) BC (SAB);AH SC b) Tam giác SBC vuông B c) (SAB)(SBC);(AHC)(SBC)
Bài 11 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi H trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC(AHA’) Tính diện tích tam giác AHA’