Luan van Toan 8

Qua việc nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và việc ứng dụng của nó, đề tài đã hệ thống được cụ thể các phương pháp nên phù hợp với từng đối tượng học sinh, họ[r]

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài

Trong lĩnh vực khoa học tự nhiên đời sống tốn học ln ngành giữ vai trị quan trọng địi hỏi suy luận trí thơng minh cao, chứa đựng nhiều thử thách tác động đến não Nói đến Tốn học nói đến rõ ràng logic, kiến thức toán học bao gồm trình tri thức phong phú: tư trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy nạp, khái quát hoá, … Giải Toán phận khơng thể thiếu q trình tri thức đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyết vào thực hành; thực tiễn sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, sâu vào môn học lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Toán học cịn mơn học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả tư trừu tượng, óc phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái qt hố góp phần hình thành đức tính cần cù, nhẫn nại, xác, biết suy nghĩ, khai thác vấn đề sống

Trong thực tế dạy học, bên cạnh số học sinh giỏi thực trạng học sinh học yếu mơn Tốn vấn đề trăn trở nhiều giáo viên đứng lớp nỗi lo chung toàn ngành, toàn xã hội Là người giáo viên nghiên cứu Toán học chương trình Tốn bậc Trung học sở, chúng tơi nhận thấy số tốn chưa khơng có giải thuật địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ thật tốt tìm lời giải Chính địi hỏi giáo viên phải có lực, kinh nghiệm phương pháp giải đắn để truyền thụ hướng dẫn cho học sinh

các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng dạng tốn khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, …

Xuất phát từ vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu phương pháp chọn lọc việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu dễ hơn, củng cố kiến thức học, rèn kỹ cho em q trình giải Tốn nhằm nâng cao chất lượng dạy học ngày tốt

Vì lý nhóm chúng tơi định chọn đề tài: “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng chương trình Đại số 8” để nghiên cứu khóa luận này.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách có hệ thống nhằm làm bật ưu, khuyết điểm phương pháp Tìm hiểu, sâu vào số ứng dụng qua số dạng tốn cụ thể

Qua đó, giúp học sinh có hệ thống việc phân tích đa thức thành nhân tử lựa chọn đắn phương pháp phân tích vào việc giải tốn sau 3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập vận dụng thích hợp cho dạng phương pháp

- Liên hệ ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải số dạng toán

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm đúc kết kinh nghiệm 4. Đối tượng nghiên cứu

5. Phạm vi nghiên cứu

Việc phân tích đa thức thành nhân tử trường Trung học sở 6. Giả thuyết khoa học

Nếu thực nghiệm hướng dẫn tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh đối tượng giúp em hệ thống phương pháp giải dạng tốn tương tự, tự định hình cách giải đưa nhiều cách giải cho tốn Từ nâng cao lực tự học học sinh, giúp em biết vận dụng phương pháp cụ thể vào dạng tốn có liên quan, em nhớ phương pháp giải có kiến thức ổn định Bên cạnh đó, em hình thành cho kĩ giải tốn, từ nâng cao chất lượng học toán học sinh

7. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài

- Phương pháp quan sát điều tra: Qua tiết dự giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Tốn 8, tìm hiểu tình hình học tập học sinh

- Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn thành viên nhóm.

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua buổi báo cáo chuyên đề tiết dạy tự chọn lớp

8. Bố cục

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 ĐA THỨC

1.1.1 Đơn thức

Cho P trng (thụng thng ta xột cỏc trng s Ô , ¡ , £ ) Biểu thức dạng:

1

n

k k k

n

ax x x (1) gọi đơn thức, với ≠ a 

P gọi hệ số, x1, x2 … , xn gọi ẩn số (hay biến số) lấy giá trị P, k1, k2, … , kn  ¥ .

Nếu a  0, số k = k1 + k2 + … + knđượcgọi bậc đơn thức (1)

Hai đơn thức:

1 n

k k k

n

ax x x

1 n

k k k

n

bx x x gọi hai đơn thức đồng dạng (tức chúng khác hệ số, ẩn số với số mũ tương ứng)

1.1.2 Đa thức nhiều biến

Một tổng hữu hạn đơn thức dạng:

1 n

k k k

n

ax x x , ki  ¥ gọi

là đa thức nhiều ẩn với ẩn (hay biến số) x1, x2, …, xn Ta kí hiệu đa thức nhiều ẩn bởi:

f(x1, x2,… xn) =

1 i i in

k k k

i n

a x x x

å

Mỗi đơn thức gọi số hạng (hay hạng tử) đa thức

Nếu tất hệ số đa thức đa thức gọi đa

thức không

Bậc đa thức nhiều ẩn (đã viết dạng tắc) bậc cao bậc đơn thức Đơi người ta cịn gọi bậc tập thể ẩn, để phân biệt với bậc ẩn có mặt đa thức (là bậc cao ẩn đa thức)

Nếu tất số hạng đa thức có bậc ta gọi đa thức đa thức đẳng cấp (hay đa thức nhất)

1.1.3 Đa thức biến

Một hàm số f(x) gọi đa thức biến biểu diễn dạng tổng hữu hạn đơn thức có biến, nghĩa là:

f(x)= kn

n k

k a x a x

x

a   

2

Ở a1, a2, …, an số bất kỳ, k1 , k2, , kn số nguyên không âm không

Ta cho tất đơn thức cách viết khơng đồng bậc đơn thức đồng bậc ta nhóm chúng thành đơn thức Người ta viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) bậc đơn thức Thường thường người ta viết đa thức dạng:

f(x) =

0 1

k k

k k

a x a x - a x a

-+ + + + (*)

Với a0 ≠ 0, a1, a2 , , ak số không đồng thời Các số a0, a1, a2, , ak đa thức f(x) gọi hệ số đa thức Số a0

được gọi hệ số bậc cao nhất, số ak gọi hệ số tự

Nếu đa thức f(x) viết dạng (*) ta nói biểu diễn dạng chuẩn tắc dạng chuẩn tắc không

Quy ước: Một số đa thức gọi đa thức bậc 1.1.4 Hằng đẳng thức

biểu thức toán học Hai đa thức số ẩn x1, x2, … , xn gọi đẳng (hoặc có gọi đồng nhất) chúng có giá trị giá trị thừa nhận lấy miền xác định đối số, chúng lập thành đẳng thức (hay đồng thức)

Sau số đẳng thức đáng nhớ: 1 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 3 x2 – y2= (x + y)(x – y)

4 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 5 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 6 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 7 x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 8

2

2

x y x y

xy                

9 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

10 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz) 11 xn – yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y + … + xyn-2 + yn-1)

12 x2k – y2k = (x – y) (x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 – … – y2k-1).

(x1 + x2 + … + xn)2 = x12 + x22 + … +xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 + … + xn-1xn 13 Nhị thức Newton

  k n k k n k n n n n n n n n n y x C y C y x C x C y x          

nk ( 1) (1.2 1) !( ! )!

n n n k n

C

k k n k

  

 

 với k = 0, 1, …, n.

Đặc biệt n

n n

1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.1 Đa thức bất khả quy

* Định nghĩa: Giả sử f(x) Ỵ P[x] đa thức có bậc lớn Ta nói f(x) bất khả quy trường P khơng thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc f(x) Trái lại đa thức gọi khả quy phân tích P

Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường sở Chẳng hạn x2 – 2

bất khả quy trờn Ô nhng kh quy trờn Ă : x2- 2 (= x+ 2)(x- 2).

* Tính chất

a) Mọi đa thức bậc bất khả quy trường số

b) Đa thức f(x) bất khả quy ước đa thức bậc đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a  P.

c) Đa thức f(x) bất khả quy P với đa thức p(x)

P[x] hoặc f x p x( ) ( ) , (f(x), p(x)) = 1.

1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho phân tích thành nhân tử

+ Với đa thức (khác 0) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(an

c x

n + an

c

- xn – + … + a0

c ) (với c¹ 0, c¹ 1)

b) Định nghĩa 2

khác nhỏ bậc f(x) Trường hợp trái lại f(x) gọi khả quy phân tích P

1.2.3 Một số định lí bản

 Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành

đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc khơng

Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trường số phức số thực)

a) Trên trường số phức £, đa thức bất khả quy bậc Vậy đa thức £ có bậc lớn phân tích thành tích đa thức bậc

b) Trên trường số thực ¡ , đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức  0 Vậy đa thức ¡ có bậc lớn

hơn phân tích thành tích đa thức bậc bậc với  0

 Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein đa thức bất khả quy trên

trường số hữu tỉ)

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn, n > 1, an  0, đa thức với hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ước an p ước tất hệ số cịn lại p2 khơng phải ước số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) l bt kh quy trờn Ô

Nh vy trờn trng s hu t Ô , cú đa thức bất khả quy bậc Chẳng hạn, đa thức f(x) = x20 + 6x10 – 18x4 + 42x2+12 l bt kh quy trờn Ô , bng cách dùng tiêu chuẩn Eisentein với số nguyên tố p =

Tiêu chuẩn Eisentein điều kiện đủ điều kiện có Chẳng hạn x4 - 2x2 +9 bất kh quy trờn Ô nhng khụng tha tiờu

chuẩn Eisentein

1.3 Mục đích, yêu cầu việc phân tích đa thức thành nhân tử - Giúp HS có hệ thống cách giải tập phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện để quan sát, nhìn nhận cách giải tốn tốt hơn, phân dạng tập cách hợp lý

- Như nêu trên, việc phân tích đa thức thành nhân tử đóng góp vai trị lớn trình thực hành giải số dạng tốn Nó địi hỏi người phân tích phải học thuộc đẳng thức, có óc quan sát, nhận xét vấn đề để đưa phương pháp giải đắn Sau nắm phương pháp phân tích người học cần biết cách phân biệt cách giải cho dạng toán đến nâng cao

1.4 Thực trạng dạy học vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử

1.4.1 Phương pháp dạy học giáo viên phương pháp học tập học sinh

* Những khó khăn chung

Hiện chương trình lớp cịn tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình, lười nhác học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn ý thức học tập chưa cao

hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt cho toán đặt Ngoài yếu tố quan trọng em thường hay quên đẳng thức đáng nhớ, hay em nhớ lầm đẳng thức đẳng thức khác

Đối với giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp cịn mơ hồ Sự lơgic phương pháp chưa cao, chưa vạch rõ cho học sinh nên ưu tiên phương pháp cho dạng toán phù hợp

Phụ huynh HS chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà

* Thực trạng vấn đề:

Qua trình tìm hiểu hiểu khảo sát chất lượng đầu năm học trao đổi trực tiếp học sinh giáo viên mơn chúng tơi thấy có số vấn đề sau: - Việc nắm bắt phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử,… em hiểu chưa thật rõ trọng tâm

- Việc phân biệt phương pháp để áp dụng lún túng chưa phân dạng nên áp dụng phương pháp cho loại toán

- Các phương pháp khác như: phương pháp chia liên tiếp, phương pháp dùng nghiệm phức, phương pháp xét giá trị riêng, phương pháp dùng hệ số bất định đặt hầu hết em chưa biết đến trình học tập

- Các em chưa hiểu rõ ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ ỨNG DỤNG CỦA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ

2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Phương pháp thường dùng

2.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a/ Nội dung phương pháp

- Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Tìm nhân tử chung tìm đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử:

+ Tìm nhân tử chung hệ số (tức ta tìm ước chung lớn hệ số có đa thức)

+ Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng)

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ 1: x3 – x2 + 3x

Giải: x3 – x2 + 3x = xx2 – xx + 3x (Nhận thấy có x nhân tử chung)

= x(x2 – x + 3)

(Đặt nhân tử chung x dấu ngoặc, viết nhân tử x2– x+3 vào dấu ngoặc, ta kết quả)

Ví dụ 2: 12x3y2 – 3xyz

= 3xy(4x2y – z)

(Đặt nhân tử chung 3xy dấu ngoặc, viết nhân tử 4x2y – z vào dấu ngoặc, ta kết quả)

Ví dụ 3: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

Giải: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 5xx(y – 2z) – 3.5x(y – 2z)(y – 2z) (Nhận thấy có 5x(y – 2z) nhân tử chung)

= 5x(y – 2z)[x – 3(y – 2z)]

(Đặt nhân tử chung 5x(y – 2z) dấu ngoặc, viết nhân tử lại x – 3(y – 2z) vào dấu ngoặc, ta kết quả)

= 5x(y – 2z)(x – 3y + 6z) (Rút gọn lại, ta kết quả)

Ví dụ 4: 8x2(x – y) – 2y( y – x)

Giải: 8x2(x – y) – 2y( y – x) = 2.4x2(x – y) + 2y(x – y)

(Ta đổi dấu hạng tử y – x thành – (x – y) để xuất nhân tử chung cho toán 2(x – y))

= 2(x – y)(4x2 + y)

(Đặt nhân tử chung 2(x – y) ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại 4x2 + y vào dấu ngoặc, ta kết quả)

Ví dụ 5: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2

Giải: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 = 9x(x – y) + 4xx(x – y)2 (vì (x – y)2 = (y – x)2, nhận thấy có x(x – y) nhân tử chung)

= x(x – y)[9 + 4x(x – y)]

(Đặt nhân tử chung x(x – y) ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại 9 + 4x(x – y) vào dấu ngoặc) = x(x – y)(4x2 – 4xy + 9)

(Rút gọn ta kết quả)

Ví dụ 6: xm+2 – xmy + 2xm+1

(Nhận thấy có xm nhân tử chung)

= xm (x2 – y + 2x)

(Đặt nhân tử chung xm dấu ngoặc, viết nhân tử x2 – y + 2x vào dấu ngoặc, ta kết quả)

c/ Ưu - khuyết điểm:

Ưu điểm : Nhận dạng dễ dàng nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược lại)

Hạn chế : Trong số trường hợp để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 21x2y + 14xy2

Kết quả: 7xy(3x + 2y) b/ 4x3 + 2x2 + 8x

Kết quả: 2x(2x2 + x + 4) c/ x2y2z + xy2z2 + x2yz2

Kết quả: xyz(xy + yz + xz)

Bài tập 2: a/ (x – y)2 – 2(x – y)

Kết quả: (x – y)(x – y – 2) b/ 16x2( y – 1) – 4x3(1 – y)

Kết quả: 4x2(y – 1)(4 + x) c/ 3x( 4x – 5) + 4x –

Kết quả: (4x – 5)(3x + 1)

Bài tập 3: a/ 7(a – b)2 – (a + b)(b – a)

Kết quả: 2(a – b)(4a – 3b) b/ (x2 + 3xy)( x + y) + (x2 + 3xy)( x – y)

2.1.1.2 Phương pháp dùng đẳng thức. a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức dạng tích lũy thừa bậc 2, bậc đa thức khác

Các đẳng thức thường dùng là: 1 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 3 x2 – y2 = (x + y)(x – y)

4 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 5 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 6 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 7 x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

Ngồi ra, ta hướng dẫn HS sử dụng số đẳng thức đặc biệt khác. b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: 4x2 – 12x +

Giải: 4x2 – 12x + = (2x)2 – 2.2x.3 + 32

(Nhận đẳng thức bình phương hiệu) = (2x – 3)2

(Đưa dạng đẳng thức bình phương hiệu với hai hạng tử 2x 3, ta kết quả)

Ví dụ 2: (x – 2)2 – 9x2

Giải: (x – 2)2 – 9x2 = (x – 2)2 – (3x)2 (Nhận đẳng thức hiệu hai bình phương)

= (x – + 3x)(x – – 3x)

(Rút gọn ta nhận thấy nhân tử chung hai nhân tử) = – 4(2x – 1)(x + 1)

(Tiếp tục đặt nhân tử chung ta kết quả)

Ví dụ 3: – 27x3

Giải: – 27x3 = 23 – (3x)3

(Ta nhận thấy đa thức cho có dạng lập phương hiệu) = (2 – 3x)(4 + 6x + 9x2)

(Đưa dạng lập phương hiệu, ta kết quả)

Ví dụ 4: x2 + 2x + – y2 + 2y – 1

Giải: x2 + 2x + – y2 + 2y – = x2 + 2x + – (y2 – 2y + 1)

(Ta nhận thấy đa thức cho có dạng hai đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu)

= (x + 1)2 – (y – 1)2

(Sau đưa dạng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu, ta chưa kết mà làm xuất tiếp dạng đẳng thức hiệu hai bình phương)

= (x + y)(x – y + 2)

(Đưa dạng hiệu hai bình phương, rút gọn lại ta kết quả)

Ví dụ 5: x3 + 9x2 + 27x + 27

Giải: x3 + 9x2 + 27x + 27= x3 + 3x2.3 + 3x32 + 33

(Nhận thấy đa thức cho có dạng đẳng thức lập phương tổng) = (x + 3)3

(Đưa dạng lập phương tổng, ta kết phân tích)

Ví dụ 6: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

Giải: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3= (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3

(Đưa dạng lập phương hiệu, ta kết phân tích) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa đa thức cho dạng tích, lũy thừa bậc hai, bậc ba từ dạng tổng

Hạn chế: Trong số trường hợp, ta cần đổi dấu số hạng tử áp dụng phương pháp

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ x2 – 25

Kết quả: (x + 5)(x – 5) b/ x2y4 – 1

Kết quả: (xy2 + 1)(xy2 – 1) c/ 16x2 – 49(x + y)2

Kết quả: (11x + 7y)(7y – 3x) d/ (x – y)2 – (x + y)2

Kết quả: – 4xy

Bài tập 2: a/ (a + b)3 + (a – b)3

Kết quả: 2a(a2 + 3b2) b/ a6 – b6

Kết quả: (a + b)(a – b)(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) c/ (a3 + 8) + (a2 – 4)

Kết quả: (a + 2)(a2 – a + 2) d/ (x – y)4 – (x + y)4

Kết quả: – 8xy(x2 + y2)

Bài tập 3: a/ 125x3 – 75a2 + 15a – Kết quả: (5x – 1)3 b/ 27x3 + 54a2 + 36a +

2.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a/ Nội dung phương pháp

- Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng

- Lựa chọn hạng tử thích hợp để lập thành nhóm nhằm làm hai dạng: nhân tử chung, dùng đẳng thức

- Để thực phương pháp này, ta thường dựa vào quan hệ sau: + Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn + Mỗi nhóm phân tích

+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử tốn phải tiếp tục thực

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: xy + 5y + 2x + 10

Giải: xy + 5y + 2x + 10 = (xy + 5y) + (2x + 10)

= y( x + 5) + 2(x + 5) (Ta nhóm hạng tử đặt nhân tử chung) = (x + 5)(y + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 2: x2 + xy – x – y

Giải: x2 + xy – x – y = x(x + y) – (x + y) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + y)(x – 1)

(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 3: x2 – 2x + – 4y2

Giải: x2 – 2x + – 4y2

= (x + 2y – 1)(x – 2y – 1) (Đưa dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta kết quả)

Ví dụ 4: 2x3 – 3x2 + 2x –

Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – 3

= x2(2x – 3) + (2x – ) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (2x – 3)(x2 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 5: x6 + x4 + x2 +1

Giải: x6 + x4 + x2 +1

= x4(x2 + 1) + x2 +1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x2 + 1)(x4 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 6: xm+2 – xm+3 + x –

Giải:xm+2 – xm+3 + x – 1

= xm+2(1 – x) + x – (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (1 – x)(xm+2 – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Sử dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung phương pháp dùng đẳng thức

Hạn chế: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm mà q trình phân tích thành nhân tử khơng thực ta phải thực lại

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 3x + 3y – z(x + y)

Kết quả: (x + y)(3 – z) b/ x( 2x – 5) – 10x + 25

Kết quả: (x – 5)(2x – 5) c/ x2 – (2x – y)y – 9z2

Kết quả: (x – y + 3z)(x – y – 3z)

Kết quả: (x – y)(x – 2) b/ 16xy – 4x2 + 4y – x

Kết quả: (4y – x)(4x + 1) c/ 3x2 +3y2 – x2z + z – y2z –

Kết quả: (3 – z)(x2 + y2 – 1) d/ ax2 – ay2 – bx2 +by2

Kết quả: (a – b)(x + y)(x – y)

Bài tập 3: a/ x4 + 2x3 – x2 – 2x

Kết quả: x(x + 1)(x – 1)(x + 2) b/ x5 – x3 + x2 –

Kết quả: (x + 1)2(x – 1)(x2 – x + 1) 2.1.1.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp. a/ Nội dung phương pháp

- Phương pháp kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể mối quan hệ hạng tử để tìm hướng phân tích thích hợp

- Thơng thường ta nên chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên: + Phương pháp nhân tử chung;

+ Phương pháp dùng đẳng thức; + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: 3x3 – 6x2 + 3x

Giải: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x2 – 2x + 1)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất dạng đẳng thức bình phương hiệu)

(Đưa dạng bình phương hiệu, ta kết quả)

Ví dụ 2: 2x3 + 4x2y + 2xy2

Giải: 2x3 + 4x2y + 2xy2 = 2x(x2 + 2xy + y2)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất dạng bình phương tổng) = 2x(x + y)2

(Đưa dạng bình phương tổng, ta kết quả)

Ví dụ 3: xy2 – 4xy + 4x

Giải: xy2 – 4xy + 4x = x(y2 – 4y + 4)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất dạng bình phương hiệu) = x(y – 2)2

(Đưa dạng đẳng thức bình phương hiệu)

Ví dụ 4: 24x3 + 81y3

Giải: 24x3 + 81y3 = 3(8x3 + 27y3)

(Đặt nhân tử chung, làm xuất tổng hai lập phương) = 3(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

(Đưa dạng đẳng thức tổng hai lập phương, ta kết quả)

Ví dụ 5: x2 + 2xy + y2 + xz + yz

Giải: x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x2 + 2xy + y2) + z(x + y) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung, làm xuất dạng đẳng bình phương tổng)

= (x + y)2 + z(x + y) = (x + y)(x + y + z)

(Đưa dạng đẳng thức, đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 6: 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2

Giải: 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2 = 2x2(x4 – x2 + 2x + 2) =2x2[x2(x2 – 1) + 2(x + 1)] (Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử)

= 2x2[x2(x – 1) + 2](x + 1) (Đưa dạng đẳng thức, tiếp tục đặt nhân tử chung) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm : Nhận xét toán sử dụng phương pháp (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử) để phân tích tốn cách thích hợp

Hạn chế: Trong số trường hợp ta sử dụng phương pháp (ví dụ: phân tích đa thức x2 + x – 6).

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 2x3 – 2xy2

Kết quả: 2x(x + y)(x – y) b/ 3xy2 + 12xy + 12x

Kết quả: 3x(y + 2)2 c/ 6x2 – 12xy + 6y2

Kết quá: 6(x – y)2 d/ 50x2y2 – 2(x – y)2

Kết quả: 2(5xy + x – y)(5xy – x + y)

Bài tập 2: a/ 16x3y – 2yz3

Kết quả: 2y(2x – z)(4x2 + 2xz +z2) b/ (x + y)3 + (x – y)3 – 8xy2

Kết quả: 2x(x + y)(x – y) c/ x3 – x2 – 4x + 4

Kết quả: (x – 1)(x – 2)(x + 2)

Bài tập 3: a/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Kết quả: 3xy(x + y + a – 1)(x – y – a – 1) b/ x5 – 4x3 – x2 + 4

2.1.1.5 Phương pháp phân tích hạng tử thành nhiều hạng tử khác (phương pháp tách hạng tử).

a/ Nội dung phương pháp

- Đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c: Ta tách hạng tử bằng nhiều cách: tách hạng tử bx, tách hạng tử ax2, tách hạng tử tự c, tách hai số hạng, tách ba số hạng, nhẩm nghiệm

Trong cách tách hạng tử bx, ta tách bx = b1x + b2x cho b1 + b2 = b, b1.b2 = a.c, muốn ta cần làm theo bước sau:

+ Bước 1: Tìm tích a.c;

+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách; + Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng b

- Đối với đa thức có từ bậc ba trở lên: Ta cần áp dụng định lí sau:

Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a, f(x) có nhân tử x – a, ta viết f(x) dạng

f(x) = (x – a)q(x)

Lúc đó, ta tách hạng tử f(x) thành nhóm, nhóm có chứa nhân tử x – a

Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức (nếu có) phải ước hệ số tự

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: x2 + 5x +

Giải: x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x +

(Tách hạng tử 5x = 2x + 3x, nhằm làm xuất nhân tử chung) = x(x + 2) + 3(x + 2)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

(Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 2: 3x2 + 8x + 4

Giải: 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 6x + 2x +

(Tách hạng tử 8x = 6x + 2x, nhằm làm xuất nhân tử chung) = 3x(x + 2) + 2(x + 2)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + 2)(3x + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 3: x2 – x – 6

Giải: x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x –

(Tách hạng tử - x = - 3x + 2x nhằm làm xuất nhân tử chung) = x(x – 3) + 2(x – 3)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x – 3)(x + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 4: 9x2 + 12x –

Giải: 9x2 + 12x – 5 = 9x2 + 15x – 3x –

(Tách hạng tử 12x = 15x – 3x nhằm làm xuất nhân tử chung) = 3x( 3x + 5) – (3x + 5)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (3x + 5)(3x – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Ví dụ 5: x3 + x2 + 4

Giải: x3 + x2 + 4 = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2) (Ta thấy – nghiệm đa thức cho)

Ví dụ 6: 2x2 + 7xy + 6y2

Giải: 2x2 + 7xy + 6y2 = 2x2 + 4xy + 3xy + 6y2

(Tách hạng tử 7xy=4xy+3xy nhằm làm xuất nhân tử chung) = 2x(x + 2y) + 3y(x + 2y)

(Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung)

= (x + 2y)(2x + 3y) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả)

c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phương pháp làm xuất hệ số tỉ lệ, kéo theo làm xuất nhân tử chung (đặt nhân tử chung) làm xuất hiệu hai bình phương (dùng đẳng thức)

Hạn chế: Trong số trường hợp ta phân tích theo phương pháp phối hợp (Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử) ta khơng nên sử dụng phương pháp

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a/ 2x2 + 5x + 2

Kết quả: (x + 2)(2x + 1) b/ 6x2 – 5x –

Kết quả: (3x + 2)(2x – 3) c/ x2 – 7xy + 10y2

Kết quả: (x – 5y)(x – 2y) d/ 4x2 – 4x – 3

Kết quả: (2x + 1)(2x – 3) Bài tập 2: a/ 3x2 + 11xy + 10y2

Kết quả: (x + 2y)(3x + 5y) b/ x2 – 5x – 14

c/ x2 + 2x – 15

Kết quả: (x – 3)(x + 5) Bài tập 3: a/ 2x3 + x2 + 4x + 2

Kết quả: (x2 + 2)(2x + 1) b/ 4x3 – 13x2 + 9x – 18

Kết quả: (x – 3)(4x2 – x + 6) 2.1.1.6 Phương pháp thêm bớt hạng tử. a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để xuất dạng nhân tử chung dạng đẳng thức

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: x4 + x2 +

Giải: x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 (Thêm bớt hạng tử x2)

= (x2 + 1)2 – x2

(Đưa dạng đẳng thức bình phương tổng, làm xuất tiếp dạng đẳng thức hiệu hai bình phương)

= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

(Đưa dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta kết quả)

Ví dụ 2: x2 – 3x + 2

Giải: x2 – 3x + = x2 – 4x + + x – (Thêm bớt hạng tử x + 2)

= (x – 2)2 + x – = (x – 2)(x – 1)

(Dùng đẳng thức bình phương hiệu đặt nhân tử chung, ta kết quả)

Giải: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 (Thêm bớt hạng tử 36x2)

= (2x2 + 9)2 – 36x2

(Đưa dạng đẳng thức bình phương tổng) = (2x2 + 6x + 9)(2x2 – 6x + 9)

(Đưa dạng đẳng thức hiệu hai bình phương)

Ví dụ 4: x7 + x2 + 1

Giải: x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + (Thêm bớt hạng tử x)

= x(x6 – 1) + x2 + x + 1

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= x(x – 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]

(Đưa dạng đẳng thức đặt nhân tử chung, ta kết quả) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Thêm bớt hạng tử giúp ta nhìn dạng thường gặp để dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử theo phương pháp biết (phối hợp nhiều phương pháp)

Hạn chế: Thêm bớt hạng tử không phù hợp dẫn tới việc phân tích khơng thể thực

d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 6x2 – 7x –

Kết quả: (2x – 1)(3x + 5) b/ 15x2 – 7x – 2

Kết quả: (3x – 2)(5x + 1)

Bài tập 2: a/ x4 – 16

b/ x5 –

Kết quả: (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) 2.1.2 Các phương pháp khác

2.1.2.1 Phương pháp chia liên tiếp a/ Nội dung phương pháp

Nếu a thuộc P nghiệm f(x) ta có phân tích: f(x) = (x – a).g(x), g(x) thuộc P[x] Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) cách dùng sơ đồ Hoocne chẳng hạn, sau ta lại áp dụng để phân tích tiếp g(x)

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: x4 + 2x2 –

Giải: x4 + 2x2 – = (x – 1)(x3 + x2 + 3x + 3)

(Vì nghiệm đa thức ta phân tích được) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

(Vì – nghiệm đa thức ta tiếp tục phân tích kết quả)

Ví dụ 2: x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Giải: x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 = (x + 2)2(x2 – 6x + 9) (Vì – nghiệm đa thức cho) =(x + 2)2(x + 3)2 (Vì – nghiệm đa thức cho)

Ví dụ 3: 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x –

Giải: 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x – = (x – 1)(2x3 + 9x2 + 13x + 6) (Vì nghiệm đa thức ta phân tích được)

= (x – 1)(x + 1)(2x2 + 7x + 6)

(Vì –2 nghiệm đa thức ta tiếp tục phân tích kết quả)

Ví dụ 4: x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Giải: x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) (Vì – nghiệm đa thức cho)

= (x + 2)2(x3 + 2x2 + 2x + 2)

(Vì – nghiệm đa thức x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2)3(x2 + 1)

(Vì – nghiệm đa thức x3 + 2x2 + 2x + 2) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa dạng tích hai đa thức cách (thực phép chia) Dùng sơ đồ Hoocne

Hạn chế : PP gặp khó khăn q trình nhẫm nghiệm d/ Bài tập vận dụng

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: a/ 6x4 + 19x3 + 13x2 – 4x – 4

Kết quả: (x + 1)(x + 2)(2x – 1)(3x + 2) b/ x4 + x3 + 3x2 + 5x – 10

Kết quả: (x – 1)(x + 2)(x2 + 5)

Bài tập 2: a/ x4 – x3 – 2x – 4

Kết quả: (x + 1)(x – 2)(x2 + 2) b/ x5 – x4 + 3x3 – 3x2 + 2x – 2

Kết quả: (x – 1)(x2 + 1)(x2 + 2) 2.1.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số phức tạp đa thức có biến dễ dàng phân tích thành nhân tử, sau phân tích xong ta cần đổi biến số ban đầu

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2

Giải: Đặt ẩn phụ t = x2 + x, đa thức cho trở thành: t2 + 3t + = (t + 1)(t + 2)

(Vì – 1, – nghiệm đa thức t2 + 3t + 2)

Đổi ẩn phụ, ta được: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2= (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)

Ví dụ 2: x4 + x2 – 20

Giải: Đặt t = x2, đa thức cho trở thành: t2 + t – 20 = (t + 5)(t – 4)

(Vì 4, nghiệm đa thức t2 + t – 20) (ta chưa nhận kết quả bước này)

Thế ẩn phụ vào, ta được:

x4 + x2 – 20 = (x2 + 5)(x2 – 4)

= (x2 + 5)(x + 4)(x – 4)

(Tiếp tục ta dùng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta kết quả)

Ví dụ 3: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Giải: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt t = x2 + 10x + 12, đa thức cho có dạng: (t – 12)(t + 12) + 128 = t2 – 16

= (t + 4)(t – 4) Đổi ẩn phụ, ta được:

Ví dụ 4: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

Giải: Đặt ẩn phụ t = x2 + x + 1, đa thức cho trở thành: t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12

= t2 – 3t + 4t – 12 = (t – 3)(t + 4) Đổi ẩn phụ, ta kết quả:

(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)( x2 + x + 5) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Đưa đa thức có bậc cao đa thức có bậc thấp để dễ dàng cho việc phân tích

Hạn chế : Sau đổi ẩn phụ ẩn ban đầu q trình phân tích tốn thực tiếp, gặp khó khăn q trình phân tích

d/ Bài tập vận dụng

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a/ (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

Kết quả: (x – 1)(x + 2)( x2 + x + 6) b/ x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

Kết quả: (2y – x – 5)(2y – x + 7) Bài tập 2: a/ x12 – 3x6 + 1

Kết quả: (x6 + x3 – 1)(x6 – x3 – 1) b/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Kết quả: (x + 2)(x + 6)(x2 + 8x + 10) 2.1.2.3 Phương pháp dùng hệ số bất định

Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn cách lập phương trình giải hệ phương trình sơ cấp

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Giải: Biểu diễn đa thức dạng: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x +

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện:

6 12 14

a c

ac b d

ad bc

bd

ìï + =

-ïï

ï + + =

ïï

íï + =

-ïï

ï =

ïïỵ

Xét bd = 3, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = b = 3, d = b = – 1, d = – b = – 3, d = –

* Với b = 3, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

6

3 14

a c ac

a c

ìï + =

-ïï

ï =

íï

ïï + = -ïỵ

Từ suy ra: c = – 4, a = –

Vậy x4 – 6x3 +12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) * Các trường hợp khác, ta có kết tương tự

Ví dụ 2: x4 + x3 – 4x2 – 17x + 7

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện:

1 17

a c ac b d

ad bc bd

ìï + = ïï

ï + + = -ïï

íï + = -ïï

ï =

ïïỵ

Xột bd = 7, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = b = 7, d = b = – 1, d = – b = – 7, d = –

* Với b = 7, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

1 12

7 17

a c ac

a c

ìï + =

ïï

ï =

-íï

ïï + = -ïỵ

Từ suy ra: c = – 3, a =

Vậy x4 + x3 – 4x2 – 17x + = (x2 + 4x + 7)(x2 – 3x + 1) * Các trường hợp khác, ta có kết tương tự c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phân tích dạng phân tích thường gặp

Hạn chế: Khó khăn q trình giải hệ phương trính tìm hệ số

d/ Bài tập vận dụngPhân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Kết quả: (3x + y + 5)(x + 7y + 2) b/ x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1

Kết quả: (x2 – 3x + 1)(x2 – 4x + 1) c/ x4 – 8x + 63

2.1.2.4 Phương pháp xét giá trị riêng a/ Nội dung phương pháp

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại

b/ Ví dụ minh họa

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1: A = x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x y A = x2( y – z) + y2(z – x) = 0, A có chứa thừa số (x – y)

Nếu thay x y, thay y z, thay z x A khơng đổi (ta nói A hốn vị vịng quanh x y z x® ® ® ) Do đa thức A có chứa thừa số (x – y) có chứa thừa số (y – z) (z – x).Vậy A có dạng :

A = k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta có nhận xét: k phải số A có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng (ta chọn giá trị riêng chọn tùy ý thỏa điều kiện (x – y)(y – z)(z – x)¹ 0), chẳng hạn chọn x = 2, y = 1, z = 0, ta k = –

Vậy A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z).

Ví dụ 2: P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(x – z)

Nếu thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (ta nói P hốn vị vịng quanh x y z x® ® ® ) Do đa thức P có chứa thừa số (x – y) có chứa thừa số (y – z) (z – x).Vậy P có dạng :

P = k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta có nhận xét: k phải số P đa thức bậc ba biến x, y, z Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng (ta chọn giá trị riêng chọn tùy ý thỏa điều kiện (x–y)(y–z)(z–x)¹ 0), chẳng hạn chọn x = 1, y = – 1, z = 0, ta k = –

Vậy A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Có thể phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Hạn chế: Khó xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức d/ Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 1: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

Kết quả: (a – b)(b – c)(a – c)

Bài tập 2: x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)

Kết quả: 3(y – z)(z – x)(y – x)

Bài tập 3: a(b+c-a)2 +b(a+c-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) Kết quả: 4abc

2.1.2.5 Phương pháp dùng nghiệm phức a/ Nội dung phương pháp

Phương pháp gần với lý thuyết tổng quát Chúng ta cần nhớ rằng: i2 = -1

Chú ý đa thức với hệ số thực có nghiệm phức a bi

a = + có nghiệm phức liên hợp a =a+bi Khi

(x- a)(x- a) tam thức bậc hai với hệ số thực

b/ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức sau thành nhân tử trường số thực trường số phức

Ví dụ: x4 + 4

Giải:

Trên trường số phức ta phân tích x4 + = x4 +2 x2 + – 2x2

= (x2 + 2)2 – 2x2

=(x2 + - 2x)( x2 + + 2x) ( ta nhớ i2 = -1) =[(x2 - 2x +1 – i2)][( x2 + 2x+ - i2)]

=[(x2 - 2x +1) – i2)][( x2 + 2x+ 1) - i2)] =[(x2 -1)2 – i2)][( x2 + 1) - i2)]

= (x – + i)(x + – i)(x + + i)(x – – i)

Trên trường số thực, ta biết nghiệm phức đa thức cho có hai cặp nghiệm liên hợp Đó + i, – i – + i, – – i

Ta có: [x – (1 + i)][x – (1 – i)] = x2 – 2x + 2 [x – (–1 + i)][x – (1 – i)] = x2 + 2x + 2 Vậy ta có x4 + = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) c/ Ưu - khuyết điểm

Ưu điểm: Phân tích nhiều đa thức khơng có nghiệm thực thành nhân tử chung số phức đơn giản

Hạn chế: Kiến thức nghiệm phức mẻ HS THCS nên không dễ dàng áp dụng phương pháp

Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ x4 + 64

Kết quả:(x + - 2i)( x + + 2i)( x – - 2i)( x – + 2i) b/ x4 + 1

Kết quả:( 1 )( 1)( 1)( 1)

2 4 4

x- + i x- - x+ - x+ +

c/ 4x2 +

Kết quả:(2x i- )(2x i+ )

d/ 9x4 – 8x2 - 1

Kết quả:(3x i- )(3x i x+ )( - 1)(x+1)

2.2 Một số ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Rút gọn phân thức

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức: A = 2 2 2

6 11

x y

x xy y

-+ +

Giải: Ta dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để thực tìm nhân tử chung tử mẫu để đơn giản rút gọn biểu thức cho

A = 2 2 2

6 11

x y x xy y

-+ + = 2

(3 )(3 )

6

x y x y

x xy xy y

+

-+ + +

=2 (3x x y(3x y++) (3)(3+ x yy x y- )+ ) = (3(3x y xx y++)(2)(3x y+- 3 )y) =(2(3xx y+- 3 )y)

Ví dụ 2: Thu gọn đa thức sau:

B = x x( 3)+(x 3)(3x 6)+(x 6)(3x 9)+x19

+ + + + + +

Ta có: B = 3

( 3) ( 3)( 6) ( 6)( 9)

x x+ + x+ x+ + x+ x+ +x+

= 3( 6)( 9) ( 9) ( 3) ( 3)( 6)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x x x x x

x x x x

+ + + + + + + + +

+ + +

=3( 9)( ) ( 3)(3 6)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x x x x x x

+ + + + + + +

+ + +

=6( 9)( 3) ( 3)( 9)

( 3)( 6)( 9)

x x x x x

x x x x

+ + + + +

+ + +

= ( 9)( 3)(6 )

( 3)( 6)( 9)

x x x

x x x x x

+ + +

=

+ + +

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:

A = 2

3 (3 ) 3

2 2

x y x

x y

y x x y x y

-+ +

- +

-Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2

3 (3 ) 3

2 2

x y x

x y

y x x y x y

-+ +

- +

= - 2(x y3x )+x y3y +2(x y x y3 (3x y x)(- ) )

- + - +

= - 2(x y x y3 (x x y)(+ ) )+2(x y x y6 (y x y)(- ) )+2(x y x y3 (3x y x)(- ) ) - + + - - +

= ( ) ( ) (3 )

2( )( )

x x y y x y x y x x y x y

- + + - +

+

=

2 2

3 6

2( )( )

x xy xy y xy x x y x y

- - + - +

+

= 12

2( )( )

x xy y

x y x y

- +

+ =

2

6( ) 2( )( )

x xy y

x y x y

- - + - + = 3( ) ( ) x y x y - -+

2

16 25 3

4

a ab a b

A

a b

- - +

-=

Đáp án : A = a+4

3

2

27

( 9)( 9)

x B

x x x

-=

- + +

Đáp án B =

3

x+

2

( )( )( )

c ba cb ac C

a b b c c a

- - +

=

- -

Đáp án C =

a b+

2 2

3

(x y x)( 1)

D

x y xy

- -= - ( 1) xy x

Đáp án D = y x.( +1) E = 2 42 2(42 2)

2

mn n n m m n n m

+ - +

+ + +

Đáp án : E = 21

2

m +

2.2.2 Giải phương trình bất phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình

a) 2x2 – = 0

Áp dụng cách phân tích thành nhân tử ta có: 2x2 – = Û x2 – = Û (x - 2)(x + 2) =

2 2 x x x x é + = ê Û ê -êë = é = -ê Û ê =êë

Vậy nghiệm phương trình là: é = -êê =xx 22

ê ë

Giải:

Ta có:  (x2 – 5x – 6) (x2 – x – 3) = 0

 [(x2 +x) –(6x +6)][ (x2 +x)-(3 x + 3)] =0  [x(x +1) –6(x +1)][x (x +1)-3( x + 1)] =0  ( x - 6)(x +1) (x +1)(x - 3) =0

 ( x - 6)(x +1)2(x - 3) =0  x x x é - = ê ê - = ê ê + = ê ë  x x x é = ê ê = ê ê = -ê ë

Vậy nghiệm phương trình

6 x x x é = ê ê = ê ê = -ê ë

c) x2(x – 1) – 9x +9 = 0

Giải: Ta phân tích chúng thành dạng tích tìm nghiệm phương trình tích Ta có: x2(x – 1) – 9x +9 = 0

 x2(x – 1) – 9(x – 1) =0

 (x – 1) (x2 -9) = 0

 (x – 1) (x +3) (x – 3) = 0

 Vậy

1 3 x x x é = ê ê = -ê ê = ê ë

d) 3x(x – 2) +10 – 5x = Ta có: 3x(x – 2) +10 – 5x =  3x(x – 2) -5(x – 2) =

 Vậy

2

x x

é = ê ê ê = ê ë

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: a) x2 + x - >0

Bài toán cho cần đưa chúng phương trình tích để giải nên ta phải phân tích đa thức cho thành nhân tử chung

Ta áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích ta có:

x2 + x - = (x – 2)(x + 3)

Nên việc giải bất phương trình x2 + x - >0 trở thành giải bất phương trình (x – 2)(x + 3) >0

Giải: Ta chia thành trường hợp: Trường hợp : ìï - >ïïíï + >xx 03 0

ïïỵ

 ìï >ïïíï > -xx 23

ïïỵ ta có kết x > 2

Trường hợp 2: ìï - <ïïíï + <xx 03 0

ïïỵ

 ìï <ïïíï < -xx 23

ïïỵ ta có kết x <-3

Vậy nghiệm bất phương trình là: x <-3 x >

b/ x( 2x – 5) – 10x + 25 < 0

Ta có : 2x 2– 5x – 10x + 25 = (2x 2– 10x) – (5x - 25) = 2x(x– 5) – 5(x - 5) =(x - 5)(2x– 5)

(x - 5)(2x– 5) < 0

Trường hợp :

2

x x ìï - < ïïí

ï - > ïïỵ  5 x x ìï < ïïï íï >

ïïïỵ ta có kết

5

2 < x <5

Trường hợp 2:

2

x x ìï - > ïïí

ï - < ïïỵ  5 x x ìï > ïïï íï <

ïïïỵ (loại)

Vậy nghiệm bất phương trình là: 52 < x <5.

Bài tập tự tham khảo

Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) x2 + x – = 0

Nghiệm phương trình é = -êê =xx 23

ê ë

b) x2 – x – =

Nghiệm phương trình

4 x x é = -ê ê = ê ë

c) x3 – 5x2 – 9x + 45 = 0 Nghiệm phương trình

3 x x x é = ê ê = -ê ê = ê ë

Nghiệm phương trình x x x é = -ê ê = -ê ê = ê ë

e) (x2 -x - 6) (9x2 +12 x -5) = 0 Nghiệm phương trình

3 x x x é = ê ê = -ê ê = ê ë

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau: a) ( x – 5)(2x +3) £ 0

Nghiệm phương trình là:

2 x

- £ £

b) 4x2 – 29x + 30 ³ 0

Nghiệm phương trình là:

5 x x é ê £ ê ê ³ ê ë

c) -2 x2 + 9x +35 > 0

Nghiệm phương trình là:

2 x

- < <

d) 2x(x+2) – 5x – 10 >0

Nghiệm phương trình là: x - < <

e) 3y(2y -7) – 4y +14 <0

Nghiệm phương trình là: 2

3< <x

2.2.3 Chứng minh đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

2

( )

2

x a x

a x a

+

-=

Hướng dẫn:

Ta có phân tích tử thức đơn giản với mẫu thức để điều phải chứng minh

VT = ( )2

2

x a x

x a

+

-+ =

( )( ) (2 )

2

x a x x a x a x a

a

x a x a

+ - + + +

= =

+ +

Ví dụ 2: Cho a, b, c đôi khác Chứng minh đẳng thức sau:

M =

( )( ) ( )( ) ( )( )

ab bc ca

a c b c- - + b a c a- - + c b a b- - = - .

Giải: Bằng cách vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn phân thức M cho gọn Thực dạng tốn chứng mính toán thu gọn biết kết trước

Hướng dẫn: M = ( ) ( ) ( )

( )( )( )

aba b bc b c ca c a a b b c c a

- + - +

-

= ( ) [( ) ( )] ( )

( )( )( )

aba b bc b a c a ca c a

a b b c c a

- + - - - +

-

-= ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

aba b bc b a bc c a ca c a a b b c c a

- + - - - +

-

-= ( )( ) ( )( )

( )( )( )

ba b a c c c a b a a b b c c a

- - - -

-

-=( )( )( )

( )( )( )

a b a c b c a b b c c a

- -

=

-

-Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau khơng phụ thuộc biến

B=

2

9 3 2

1

x xy x y

x y

- - +

-+

- - với (

1, 1

Hướng dẫn: Ta dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn hạng tử tốn tìm kết

Ta có: B =

2

9 3 2

1

x xy x y

x y

- - +

-+

-

-=(3 1)(3 1) ( 1) 2( 1)

(3 1)

x x x y y

x y

+ - - +

-+

- -

-= ( 1)(3 2)

1

y x

x

y

- +

- - +

-=- 3x- 3+ x+2 = 1

Bài tập tự tham khảo:

Bài tập 1: Chứng minh rằng: (n3 – n) chia hết cho 6. Bài tập 2: Chứng minh rằng:

2

( 5)

2

x x

x

+

-+ = 5.

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

2 2

( )( 1)

( )

2 x y x y

x y x y x y xy

- + +

=

CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm

Trong thực tế dạy học, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng địi hỏi tính suy luận cao Vì để xây dựng cho học sinh tảng kiến thức vững nội dung việc ứng dụng vào dạng tốn khác cần phải xây dựng cách hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào thực tiễn giảng day Chính muốn mang nội dung chương “Một số phương pháp ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử” vào thực nghiệm học sinh lớp - Trường THCS An Thạnh thử nghiệm học sinh lớp - Trường THCS Trinh Phú nhằm:

- Rút kinh nghiệm cho thân để áp dụng giảng dạy, bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi điều chỉnh để đề tài ngày hoàn thiện

- Biết khó khăn sai sót học sinh q trình phân tích đa thức thành nhân tử việc ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử - Đánh giá chất lượng học sinh việc tiếp thu vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3.2 Nội dung thực nghiệm

3.2.1 Triển khai Tổ chun mơn (Tổ Tốn Lý – Trường THCS An Thạnh Nhì Trường THCS Trinh Phú)

- Tổ chức triển khai đề tài làm khóa luận sinh hoạt tổ chuyên môn - Tổ chức lấy ý kiến giáo viên giảng dạy môn BGH 3.2.2 Nội dung giảng dạy

- Phân tích dạng đa thức để áp dụng phương pháp phân tích cách hợp lý

- Hệ thống số dạng toán nhằm áp dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình chứng minh đẳng thức

3.2.3 Nội dung thực nghiệm học sinh

Áp dụng phương pháp nghiên cứu vào tiết dạy tiến hành khảo sát chất lượng học sinh lớp thử nghiệm học sinh học qua lớp (đang học lớp 9) với hình thức kiểm tra giấy (đề kiểm tra đáp án phần phụ lục)

3.2.4 Giáo án thực nghiệm

Tiết 1, : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG, DÙNG HẰNG ĐẲNG

THỨC, NHÓM HẠNG TỬ, BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

I/ MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp: đặt nhân tử chung, dung đẳng thức, nhóm hạng tử, cách phối hợp phương pháp

Kỹ năng: Biết vận dụng phương pháp để giải tập Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích mơn học

II/ CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK Toán 8, SBT Toán 8, SGV Toán 8, loại sách tham khảo khác (Khóa luận tốt nghiệp)

III/ HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY 1/ Ổn định lớp: (1 phút)

2/ Kiểm tra cũ: (không) 3/ Hoạt động dạy học:

Hoạt động thầy Hoạt động trò Hoạt động 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (8 phút) Cho biểu thức 25.82 + 25.18 Các hạng tử

trên có thành phần chung?

Lúc biểu thức cho viết dạng 25(82 + 18) = 2500

Ví dụ: hạng tử 2x2 + 4x có thành phần

nào chung?

Biểu thức 2x2 + 4x viết dạng:

2x2 + 4x = 2x(x + 2)

Việc biến đổi 2x2 + 4x = 2x(x + 2) gọi là

phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung

Nhận xét: ta phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác Tìm nhân tử chung (thành phần chung) viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc

Các hạng tử 25.82 + 25.18 có thành phần 25 chung Chú ý lắng nghe

Thành phần 2x chung Chú ý theo dõi

Chú ý lắng nghe, nghi nhận viết vào

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (5 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x2 – x

b/ 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)

Vận dụng để phân tích: a/ x2 – x = x.x – x = x(x – 1)

b/ 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)

Nhận xét làm học sinh khẳng định lại nội dung phương pháp nêu

Hoạt động 3: Phương pháp dùng đẳng thức (8 phút) Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 thành nhân tử?

Nhận xét: không sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung

Ta cần sử dụng cách thành thạo (chiều xuôi chiều ngược lại) đẳng thức đáng nhớ để đưa đa thức cho dạng tích lũy thừa bậc 2, bậc đa thức

Biểu thức x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 (áp dụng

hằng đẳng thức bình phương tổng)

Chú ý lắng nghe

Chú ý ghi chép vào

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x2 + 6x + 9

b/ 10x – 25 – x2

c/ x3 + 3x2 + 3x + 1

d/ (x + y)2 – 9x2

Nhận xét làm học sinh nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Chú ý làm tập cá nhân a/ x2 + 6x + = (x + 3)2

b/ 10x – 25 – x2

= -(x2 – 10x + 25)

= -(x – 5)2

c/ x3 + 3x2 + 3x + = (x +

1)3

d/ (x + y)2 – 9x2

= (x + y)2 – (3x)2

= [(x + y)–3x].[(x + y)+ 3x] = (y–2x)(4x + y)

Hoạt động 5: Phương pháp nhóm hạng tử (8 phút) Trong phương pháp ta cần lựa chọn

làm xuất hai dạng: nhân tử chung đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử xy + 5y + 2x + 10

= (xy + 5y) + (2x + 10) = y( x + 5) + 2(x + 5) = (x + 5)(y + 2)

Chú ý:tránh trường hợp nhóm hạng tử(xy + 10) và (5y + 2x) q trình phân tích khơng thực nữa.

Chú ý quan sát

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x2 + xy – x – y

b/ x2 – 2x + – 4y2

Nhận xét làm học sinh nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Thực phân tích theo yêu cầu giáo viên :

a/ x2 + xy – x – y

= x(x + y) – (x + y) = (x + y)(x – 1) b/ x2 – 2x + – 4y2

= (x2 – 2x + 1) – 4y2

= (x – 1)2 – (2y)2

= (x + 2y – 1)(x – 2y – 1) Hoạt động 7: Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp (5 phút) - Phương pháp kết hợp nhuần nhuyễn

giữa phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì em cần nhận xét tốn cách cụ thể mối quan hệ hạng tử để tìm hướng phân tích thích hợp

- Thông thường, ta nên chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên:

+ Phương pháp nhân tử chung;

+ Phương pháp dùng đẳng thức; + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

pháp:

+ Đặt nhân tử chung; + Dùng đẳng thức; + Nhóm nhiều hạng tử Hoạt động 8: Bài tập vận dụng (15 phút)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ 3x3 – 6x2 + 3x

b/ xy2 – 4xy + 4x

Nhận xét làm học sinh nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Làm tập a/ 3x3 – 6x2 + 3x

= 3x(x2 – 2x + 1)

= 3x(x – 1)2 b/ xy2 – 4xy + 4x

= x(y2 – 4y + 4)

= x(y – 2)2 4/ Củng cố: (18 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ 9x(x – y) + 4x2( y – x)2

b/ 16x2 – 49(x + y)2

c/ 16xy – 4x2 + 4y – x

d/ 2x6 – 2x4 + 4x3 + 4x2

5 Dặn dò – nhận xét tiết học: (2 phút)

Tiết 3,4 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP: TÁCH HẠNG TỬ, THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT

HẠNG TỬ, CHIA LIÊN TIẾP, ĐẶT ẨN PHỤ I/ MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp: tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, chia liên tiếp, đặt ẩn phụ

Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích môn học II/ CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK Toán 8, SBT Toán 8, SGV Toán 8, loại sách tham khảo khác (Khóa luận tốt nghiệp)

Học sinh: Tham khảo tài liệu có liên quan III/ HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY

1/ Ổn định lớp: (1 phút) 2/ Kiểm tra cũ: (không) 3/ Hoạt động dạy học:

Hoạt động thầy Hoạt động trò Hoạt động 1: Phương pháp tách hạng tử (8 phút)

- Đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c: Ta có thể tách hạng tử nhiều cách: tách hạng tử bx, tách hạng tử ax2, tách hạng tử tự c,

tách hai số hạng, tách ba số hạng, nhẩm nghiệm Trong cách tách hạng tử bx, ta tách

bx = b1x + b2x cho b1 + b2 = b, b1.b2 = a.c, muốn ta cần làm theo bước sau:

+ Bước 1: Tìm tích a.c;

+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách;

+ Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng b - Đối với đa thức có từ bậc ba trở lên: Ta cần áp dụng định lí sau:

Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a, f(x) có nhân tử x – a, ta viết f(x) dạng f(x) = (x – a)q(x)

Lúc đó, ta tách hạng tử f(x) thành nhóm, nhóm có chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức (nếu có) phải ước hệ số tự

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x2 + 5x + 6

b/ 3x2 + 8x + 4

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Chú ý làm tập a/ x2 + 5x + 6

= x2 + 2x + 3x +

= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) b/ 3x2 + 8x + 4

= 3x2 + 6x + 2x +

= 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

Chú ý lắng nghe giáo viên trình bày

Hoạt động 3: Phương pháp thêm bớt hạng tử (8 phút) Giới thiệu phương pháp: Phương pháp thêm

bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để xuất dạng nhân tử chung dạng đẳng thức

Tiếp nhận kiến thức mà giáo viên truyền thụ

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x4 + x2 + 1

Học sinh làm tập theo yêu cầu giáo viên:

a/ x4 + x2 + 1

= x4 + 2x2 + – x2

= (x2 + 1)2 – x2

b/ x2 – 3x + 2

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

b/ x2 – 3x + 2

= x2 – 4x + + x –

= (x – 2)2 + x –

= (x – 2)(x – 1) Học sinh lắng nghe Hoạt động 5: Phương pháp chia liên tiếp (8 phút) Giới thiệu phương pháp: Nếu a thuộc P

một nghiệm f(x) ta có phân tích: f(x) = (x – a).g(x), g(x) thuộc P[x] Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) cách dùng sơ đồ Hoocne chẳng hạn, sau ta lại áp dụng để phân tích tiếp g(x)

Theo dõi ghi nhận vào

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x4 + 2x2 – 3

b/ x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Làm tập: a/ x4 + 2x2 – 3

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

= (x – 1)(x3 + x2 + 3x + 3)

b/ x4 – 2x3 – 11x2 + 12x +

36

= (x + 2)2(x2 – 6x + 9)

=(x + 2)2(x + 3)2

Hoạt động 7: Phương pháp đặt ẩn phụ (8 phút) Giới thiệu phương pháp: Bằng phương pháp đặt

ẩn phụ (phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số phức tạp đa thức có biến dễ dàng phân tích thành nhân

tử, sau phân tích xong ta cần đổi biến số ban đầu

Hoạt động 8: Bài tập vận dụng (10 phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2

Học sinh làm tập:

Đặt ẩn phụ t = x2 + x, đa thức cho trở thành:

t2 + 3t + = (t + 1)(t + 2) (Vì – 1, – nghiệm đa thức t2 + 3t + 2)

Đổi ẩn phụ, ta được:

(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2= (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)

4/ Củng cố: (15 phút) a/ 2x2 + 5x + 2

b/ 15x2 – 7x – 2

c/ 6x4 + 19x3 + 13x2 – 4x – 4

d/ x12 – 3x6 + 1

5 Dặn dò – nhận xét tiết học: (2 phút)

Tiết 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG, DÙNG NGHIỆM

PHỨC I/ MỤC TIÊU:

Kiến thức: Học sinh hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp: hệ số bất định, xét giá trị riêng, dùng nghiệm phức

Thái độ: Trung thực, biết tìm tịi, u thích mơn học II/ CHUẨN BỊ:

Giáo viên: SGK, SBT, SGV, loại sách tham khảo khác (Khóa luận tốt nghiệp)

Học sinh: tham khảo tài liệu có liên quan III/ HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY

1/ Ổn định lớp: (1 phút) 2/ Kiểm tra cũ: ( không) 3/ Hoạt động dạy học:

Hoạt động thầy Hoạt động trò Hoạt động 1: Phương pháp hệ số bất định (5 phút) Giới thiệu phương pháp:

Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn cách lập phương trình giải hệ phương trình sơ cấp

Học sinh ý lắng nghe

Hoạt động 2: Bài tập vận dụng (8 phút) Phân tích đa thức sau thành

nhân tử:

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Đồng hệ số, ta được:

Học sinh làm tập theo yêu cầu giáo viên: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

6 12 14

a c

ac b d

ad bc

bd

ìï + =

-ïï

ï + + =

ïï

íï + =

-ïï

ï =

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Xột bd = 3, vi b d, ẻ Â, b = 1, d = hoặc b = 3,

d = b = – 1,

d = – b = – 3, d = –

* Với b = 3, d = 1, hệ điều kiện trở thành:

6

3 14

a c ac

a c

ìï + =

-ïï

ï =

íï

ïï + = -ïỵ

Từ suy ra: c = – 4, a = – Vậy x4 – 6x3 +12x2 – 14x +

= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Hoạt động 3: Phương pháp xét giá trị riêng (5 phút) Giới thiệu phương pháp: Trong

phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại

Học sinh theo dõi, ý ghi nhận lại kiến thức vào

Hoạt động 4: Bài tập vận dụng (8 phút) Phân tích đa thức A sau thành

nhân tử:

x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Học sinh làm tập theo yêu cầu giáo viên:

Thử thay x y A = x2( y – z) + y2(z – x) = 0, A có chứa thừa số (x – y).

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

thừa số (y – z) (z – x)

Vậy A có dạng : A = k(x – y)(y – z)(z – x) Ta có nhận xét: k phải số A có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z

Vì đẳng thức x2( y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) luôn với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng (ta chọn giá trị riêng chọn tùy ý thỏa điều kiện (x – y)(y – z)(z – x)¹ 0), chẳng hạn chọn x = 2, y = 1, z = 0, ta k = –

Vậy :

A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z) (x – z).

Hoạt động 5: Phương pháp dùng nghiệm phức (5 phút) Giới thiệu phương pháp:

Phương pháp gần với lý thuyết tổng quát

Chúng ta cần nhớ rằng: i2 = -1 Khi biết i2 = -1 việc phân tích đa thức thành nhân tử cách dùng nghiệm phức đễ dàng

Chú ý đa thức với hệ số thực có nghiệm phức

a bi

a = + có

nghiệm phức liên hợp

a bi

a = + Và

(x- a)(x- a) tam thức bậc hai với hệ số thực

Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (8 phút) Phân tích đa thức x4 + thành

nhân tử

Nhận xét nêu ưu – khuyết điểm phương pháp

Học sinh làm tập: x4 + 4

* Trên trường số phức ta phân tích x4 + = x4 +2 x2 + – 2x2

= (x2 + 2)2 – 2x2

=(x2 + - 2x)( x2 + + 2x) ( ta nhớ i2 = -1)

=[(x2 - 2x +1 – i2)][( x2 + 2x+ - i2)] =[(x2 - 2x +1) – i2)][( x2 + 2x+ 1) - i2)] =[(x2 -1)2 – i2)][( x2 + 1) - i2)]

= (x – + i)(x + – i)(x + + i)(x – – i) * Trên trường số thực, ta biết nghiệm phức đa thức cho có hai cặp nghiệm liên hợp Đó + i, – i – 1 + i, – – i

Ta có: [x – (1 + i)][x – (1 – i)] = x2 – 2x + 2 [x – (–1 + i)][x – (1 – i)] = x2 + 2x + 2

Vậy ta có x4 + = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

4/ Củng cố: (4 phút): mang tính chất hướng dẫn

a/ 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

c/ x4 + 64

5/ Dặn dò – nhận xét tiết học: (1 phút)

3.3 Kết thực nghiệm

- Qua trình thực nghiệm nội dung phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên, kết đạt sau:

- Kết triển khai Tổ chuyên môn: Được quan tâm đạo nhà trường uy tín trường Đại Học Đồng Tháp, nhà trường tổ chức buổi trao đổi đề tài cách cụ thể cho giáo viên tổ Sau chúng tơi tiến hành lấy ý kiến giáo viên tổ phiếu góp ý kiến Nhìn chung đa số giáo viên tổ chuyên môn thống với nội dung thực nghiệm nêu chương đề tài

* Kết thực nghiệm trường THCS An Thạnh Nhì:

Chất lượng học sinh

Lần kiểm tra Lần (Tổng số: 39 học

sinh, kết kiểm tra năm học trước)

Lần (Tổng số: 38 học sinh)

Tổng số Tỉ lệ Tổng số Tỉ lệ

Học sinh làm chưa

được (điểm 5) 15.38% 5.27%

Học sinh làm chưa hoàn chỉnh

(điểm từ – 6.5)

13 33.34% 11 23.95%

Học sinh làm chưa đầy đủ bước (điểm từ – 8)

14 35.90% 15 39.47%

hoàn chỉnh (điểm 8.5)

* Kết thử nghiệm trường THCS Trinh Phú: Do nội dung

việc ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh đẳng thức) đến thời điểm học sinh lớp chưa học đến nên mạnh dạng thử nghiệm học sinh học qua lớp (đang học lớp 9) Chúng tiến hành triển khai lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng buổi buổi thứ cho HS làm kiểm tra kết đạt sau:

Tổng số Giỏi

(Trên điểm)

Khá

( Từ 6.5 đến 7.5)

Trung bình

( Từ đến 6) Điểm

30 HS 11 8

Tỉ lệ % 36.66% 26.67% 26.67% 10%

3.4 Kết luận sư phạm

Trong q trình giảng dạy phân tích đa thức thành nhân tử việc ứng dụng nó, nhận thấy phương pháp đưa phù hợp với đối tượng, đa số học sinh hiểu sâu lí thuyết, nắm dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng vào thực tiễn như: rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, … Bên cạnh cịn số học sinh lúng túng phân tích số làm tắt, bỏ qua bước lập luận Cần rèn luyện cho học sinh cách lập luận logic cách trình bày tốn

PHẦN KẾT LUẬN * Kết luận chung

Qua thời gian gần tháng nghiên cứu, tìm hiểu, trao đổi thực nghiệm nhiều phương pháp khác Nhóm sinh viên chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu cách hoàn thiện

Đề tài hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử số ứng dụng giải toán, giúp người giáo viên Trung học sở, đặc biệt giáo viên dạy Toán khối giáo viên bồi dưỡng HSG khối trường có hệ thống tập, ví dụ để ơn tập bồi dưỡng cho em HS

Có hệ thống phương pháp dành riêng cho loại đối tượng HS 1 Kết đạt được

Phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn có vai trị quan trọng, xem tảng vững để tiếp thu giải dạng tốn khác có liên quan

Quá trình nghiên cứu đề tài giúp bước đầu làm quen với đề tài nghiên cứu khoa học, có nhiều cố gắng hẳn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót khuyết điểm, chúng tơi mong đóng góp nhiệt tình q thầy cơ, đồng nghiệp bạn học viên để đề tài hồn thiện Chúng tơi chân thành cảm ơn mong có đóng góp ý kiến

2 Hạn chế đề tài

- Đa số học sinh không vận dụng hết phương pháp trình bày đề tài

- Chưa thực nghiệm đối tượng học sinh (còn thử nghiệm học sinh lớp 9)

3 Hướng phát triển đề tài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đức Chí (2004), 500 toán nâng cao 8, NXB Đại học sư phạm

[2] Phan Đức Chính (2005), SGK Tốn tập 1, 2, NXB giáo dục [3] Phan Đức Chính (2005), SGV Tốn tập 1, 2, NXB giáo dục [4] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức ứng dụng, NXB giáo dục [5] Nguyễn Bá Kim (2000), PP dạy học mơn Tốn, NXB giáo dục [6] Hồng Kỳ (1999), Đại số sơ cấp, NXB giáo dục

[7] Nguyễn Văn Nho (2004), Phương pháp giải dạng Toán tập 1, 2, NXB giáo dục

[8] Nguyễn Đức Tấn (2004), Giải nhiều cách toán 8, NXB Đại học sư phạm

[9] Tôn Thân (2009), SBT Toán tập 1,2, NXB giáo dục

[10] Đỗ Đức Thái – Đỗ Thị Hồng Thúy (2004), Bồi dưỡng Toán 8, NXB giáo dục

PHỤ LỤC

Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 1)

Trường THCS An Thạnh Nhì

Họ tên HS: ……… Lớp :

Bài 1: 8xy3 + 2xy2

Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z) Bài 3: 9x2 + 24x + 16

Bài 4: (3x – 1)2 – x2 Bài 5: x2y2 – x2y4

Bài 6: 5xy + y + 10x + Bài 7: x5 + x3 + x2 + 1 Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2 Bài 9: x3 + 2x2 + x

Bài 10: x2 – 2xy + y2 + xz – yz Bài 11: 8x3 + 27y3

Bài 12: x2 + 3x + 2 Bài 13: x4 + x2 + 1 Bài 14: x4 + 4

Đáp án

Bài 1: 8xy3 + 2xy2 = 2xy2(4y + 1)

Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z) = 3x(y – 2z)(3y – 5) Bài 3: 9x2 + 24x + 16 = (3x + 4)2

Bài 4: (3x – 1)2 – x2 = (4x – 1)(2x – 1) Bài 5: x2y2 – x2y4 = x2y2(1 – y)(1 + y)

Bài 6: 5xy + y + 10x + = (5x + 1)(y + 2)

Bài 7: x5 + x3 + x2 + = (x2 + 1)(x + 1)(x2 – x + 1) Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2 = (a + b)(x + y)(x – y) Bài 9: x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2

Bài 11: 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Bài 12: x2 + 3x + = (x + 1)(x + 2)

Bài 13: x4 + x2 + = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Bài 14: x4 + = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)

Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 2)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2 Bài 3: 4x2 + 12x + 9

Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2 Bài 5: x2y4 – 25x2y2 Bài 6: xy + 5y + 2x + 10 Bài 7: x5 – x3 + x2 – 1 Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2 Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x

Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz Bài 11: 24x3 + 81y3

Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy = 2xy(7xy2 + y3 – 2)

Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2 = 5x(y – 2z)(x – 4y + 8z) Bài 3: 4x2 + 12x + = (2x + 3)2

Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2 = (1 + 6x)(1 – 2x) Bài 5: x2y4 – 25x2y2 = x2y2(y + 5)(y – 5) Bài 6: xy + 5y + 2x + 10 = (x + 5)(y + 2)

Bài 7: x5 – x3 + x2 – = (x – 1)(x + 1)2(x2 – x + 1) Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2 = (a – b)(x + y)(x – y) Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x – 1)2

Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x + y)(x + y + z) Bài 11: 24x3 + 81y3 = 3(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Bài 12: 2x2 + 5x + = (x + 2)(2x + 1)

Trường THCS Trinh Phú

Họ tên HS: ……… Lớp :

ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM

(KẾT QUẢ ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ)

(Thời gian làm 60 phút)

Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n M (2 điểm)

Câu 2: Chứng minh rằng: ( 5)2

2

x x

x

+

-+ = (2 điểm)

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

2

16 25 3

4

a ab a b

A

a b

- - +

-=

- (1.5 điểm)

3

2

27

( 9)( 9)

x B

x x x

-=

- + + (1.5 điểm)

Câu 4: Giải phương trình: ( điểm)

a) ( x2 + x – 6) = 0 ( điểm)

b) (x2 – x – 4) = 0 ( điểm)

Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n M

Ta có: n3 – n= n(n2-1)=n(n-1)(n+1) Ta có tích số liên tiếp chia hết cho 2 Tích số liên tiếp chia hết cho 3

Một số vừa chia hết cho vừa chia hết cho số chia hết cho 6 ( Nguyên lý Đirichlet)

Câu 2: Chứng minh rằng: ( 5)2

2

x x

x

+

-+ = 5

VT = ( 5)2

2

x x

x

+

-+ =

( )( )

2

x x x x x

+ - + +

+

=5(2 5)

2 x x + = +

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

2

16 25 3

4

a ab a b

A a b - - + -= -Giải:

Ta có: 16 25 3

4

a ab a b A

a b

- - +

-=

- =

(4 5)(4 5) ( 1) ( 1)

4

a a a b b

a b

- + - - +

= ( 1)(3 1) b a a b - + +

=4a+ -5 3a- 1= +a

3

2

27

( 9)( 9)

x B

x x x

-= - + + Giải: Ta có: 2 27

( 9)( 9)

x B

x x x

-=

- + + =

2

( 3)( 9)

( 3)( 3)( 9)

x x x

x x x x

- + +

- + + +

=

(x+3)

Câu 4: Giải phương trình: a) x2 + x – = 0 Giải:

Ta có: x2 + x – = 0

 x x é + = ê ê - = ê ë  x x é = -ê ê = ê ë

Vậy nghiệm phương trình é = -êê =xx 23

ê ë

b) x2 – x – = 0

Giải:

Ta có  x2 + x - 4x – = 0  (x2 + x) – (4x + 4) = 0  x(x+1) -4 (x+1)= 0  (x+1)(x -4)= 0



4 x x é + = ê ê - = ê ë

 x x é = -ê ê = ê ë

Vậy nghiệm phương trình é = -êê =xx 41

ê ë

c) (x2 – 5x – 6) (x2 – x – 3) = 0

Giải:

Ta có:  (x2 – 5x – 6) (x2 – x – 3) = 0

 [(x2 +x) –(6x +6)][ (x2 +x)-(3 x + 3)] =0  [x(x +1) –6(x +1)][x (x +1)-3( x + 1)] =0 ( x - 6)(x +1) (x +1)(x - 3) =0

( x - 6)(x +1)2(x - 3) =0  x x x é - = ê ê - = ê ê + = ê ë  x x x é = ê ê = ê ê = -ê ë

Vậy nghiệm phương trình