Đang tải... (xem toàn văn)
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của P lên 4 cạnh của tứ giác là 4 đỉnh của một tứ giác có đường tròn nội tiếp ... b) M là một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành. Chứng[r]
(1)HÌNH HỌC
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông
1) b2 = a.b’ c2 = a.c’ 2) h2 = b’.c’ 3) h.a = b.c 4) 12 12 12
h b c B H C
A
a h c'
c b
b'
2 Một số tính chất tỷ số lượng giác Cho hai góc phụ nhau, đó:
sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg Cho góc nhọn Ta có:
0 < sin< < cos< sin2 + cos2 = 1 sin
tg
cos
cos cotg
sin
tg cot g 1 3 Các hệ thức cạnh góc tam giác
vuông
Cho tam giác ABC vuông A Khi b = a sinB c = a sinC b = a cosC c = a cosB b = c tgB c = b tgC b = c cotgC c = b cotgB
b c
a
C A
B
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 160: Cho tam giác ABC với yếu tố hình 1.1 Khi đó:
A 2
b b
c c B 2 b b ' c c C
2 b b '
c c' D 2
b b
c c'
H 1.1
a b ' c'
h
b c
B C
A
H
Câu 161: Trong H1.1 khoanh tròn trước câu trả lời sai: A a c
b h B
a b
b b ' C
b b '
c c ' D
a c
c c' Câu 162: Trên hình 1.2 ta có:
A x = 9,6 y = 5,4 B x = y = 10 C x = 10 y = D x = 5,4 y = 9,6
H 1.2
15 y x
9
Câu 163: Trên hình 1.3 ta có: A x = 3 y = 3 B x = y = 2 C x = 3 y = D Tất sai
H 1.3
3 y x
1
Câu 164: Trên hình 1.4 ta có: A x = 16
3 y = B x = 4,8 y = 10 C x = y = 9,6 D Tất sai
H 1.4
8
y x 6
C©u 165: Tam giác ABC vuông A có AB AC 4 đường cao AH = 15 cm Khi độ dài CH bằng:
(2)Câu 166: Tam giác ABC có AB = 5; AC = 12; BC = 13 Khi đó: A ˆ O
A90 B Aˆ90O C Dµ 90O D Kết khác Câu 167: Khoanh tròn trước câu trả lời sai
Cho O O
35 , 55
Khi đó: A sin = sin B sin = cos C tg = cotg D cos = sin
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Đường trịn tâm O bán kính R ( với R > ) hình gồm điểm cách điểm O khoảng cách R.
2 Tiếp tuyến đường trịn đường thẳng có điểm chung với đường trịn.
CÁC ĐỊNH LÍ
1. a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng.
2. a) Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn đó.
b) Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng trục đối xứng đường trịn đó.
3. Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính 4. Trong đường trịn:
a) Đường kính với dây qua trung điểm dây ấy.
b) Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm thì vng góc với dây ấy.
5. Trong đường trịn :
a) Hai dây cách tâm, hai dây cách tâm bằng nhau.
b) Dây lớn gần tâm ngược lại.
a) Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.
b) Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn.
6. Nếu hai tiếp tuyến đ.tròn cắt điểm thì: a) Điểm cách hai tiếp điểm.
b) Tia từ qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến.
c) Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm.
7. Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm đường trung trực của dây chung.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 168: Cho MNP hai đường cao MH, NK ( H1) Gọi (C) đường tròn nhận MN làm đường kính Khẳng định sau không đúng?
H1
H P
M
N
K
A Ba điểm M, N, H nằm đường tròn (C) B Ba điểm M, N, K nằm đường tròn (C)
C Bốn điểm M, N, H, K không nằm đường tròn (C) D Bốn điểm M, N, H, K nằm đường tròn (C) Câu 169: Đường tròn hình
A Khơng có trục đối xứng B Có trục đối xứng C Có hai trục đối xứng D Có vơ số trục đối xứng
Câu 170: Cho đường thẳng a điểm O cách a khoảng 2,5 cm Vẽ đường trịn tâm O đường kính cm Khi đ thẳng a
(3)C Cắt đường trịn D Khơng tiếp xúc với đường tròn
Câu 171: Trong H2 cho OA = cm; O’A = cm; AI = cm
Độ dài OO’ bằng:
A B +
C 13 D 41 H2
O' O
A
I
Câu 172: Cho ABC vng A, có AB = 18 cm, AC = 24 cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng:
A 30 cm B 20 cm C 15 cm D 15 cm
Câu 173: Nếu hai đường trịn (O) (O’) có bán kính R=5cm và r= 3cm khoảng cách hai tâm cm (O) (O’)
A Tiếp xúc B Cắt hai điểm C Khơng có điểm chung D Tiếp xúc
Câu 174: Cho đường tròn (O ; 1); AB dây đường trịn có độ dài là Khoảng cách từ tâm O đến AB có giá trị là:
A
2 B C
2 D
3
Câu 176: Cho hình vng MNPQ có cạnh cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng bằng:
A cm B 3cm C 2cm D 2 cm
Câu 177: Cho đường tròn (O; 25 cm) dây AB 40 cm Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:
A 15 cm B cm C 20 cm D 24 cm
Câu 178: Cho đường tròn (O; 25 cm) hai dây MN // PQ có độ dài theo thứ tự 40 cm 48 cm Khi khoảng cách dây MN PQ là:
A 22 cm B cm C 22 cm cm D Tất sai Câu 179: Cho tam giác ABC có AB = 3; AC = ; BC = :
A AC tiếp tuyến đường tròn (B;3) B AClà tiếp tuyến đường tròn (C;4) C BC tiếp tuyến đường tròn (A;3) D Tất sai
Chương 3: GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC ĐỊNH NGHĨA:
1. Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn.
2. a) Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó. b) Số đo cung lớn hiệu 360O số đo cung nhỏ (có chung
hai mút với cung lớn)
c) Số đo nửa đường tròn 180O.
3. Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn đó.
4. Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, một cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung.
5. Tứ giác nội tiếp đ.tròn tứ giác có đỉnh nằm đ trịn.
CÁC ĐỊNH LÍ:
1 Với hai cung nhỏ đ.tròn, hai cung (lớn hơn) căng hai dây (lớn hơn) ngược lại.
2 Trong đường tròn hai cung bị chắn hai dây song song thì bằng ngược lại.
3 Trong đường trịn đường kính qua điểm một cung qua trung điểm vng góc với dây căng cung và ngược lại.
(4)
4 Số đo góc có đỉnh bên (bên ngồi) đường trịn nửa tổng (hiệu) số đo hai cung bị chắn.
5 Góc nội tiếp nhỏ 90O có số đo nửa góc tâm
cùng chắn cung.
6 Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại.
a) Quỹ tích (tập hợp) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc khơng đổi hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng (0 < < 180O)
b) Một tứ giác có tổng hai góc đối diện 180Othì nội tiếp được đường trịn ngược lại.
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
d) Tứ giác có tổng hai góc đối diện 180O.
e) Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện.
f) Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc .
7 Trên đường trịn có bán kính R, độ dài l cung nO diện tích
hình quạt tính theo cơng thức: Rn
l
180
S Rn 360
hay S lR BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
H1 x
o 60
B
C
A D
H3
o 60
n
C D
B A
60
x 40
Q N
M
P
HÌNH HÌNH HÌNH
Câu 180: Trong hình Biết AC đường kính (O) góc BDC = 600 Số đo góc x bằng:
A 400 B 450 C 350 D 300
Câu 181: Trong H.2 AB đường kính (O), DB tiếp tuyến (O) tại B Biết ˆ O
B60 , cung BnC bằng:
A 400 B 500 C 600 D 300
Câu 182: Trong hình 3, cho điểm MNPQ thuộc (O) Số đo góc x bằng: A 200 B 250 C 300 D 400
x
H4 o
30
C
B A D
x H5
o 78
O
Q
M P
N
x o
H6
70
O
C M
B
A
Câu 183: Trong hình Biết AC đường kính (O) Góc ACB = 300 Số đo góc x bằng:
A 400 B 500 C 600 D 700
Câu 184: Trong hình Biết MP đường kính (O) Góc MQN = 780 Số đo góc x bằng:
A 70 B 120 C 130 D 140
Câu 185: Trong hình Biết MA MB tiếp tuyến (O), đường kính BC Góc BCA = 700 Số đo góc x bằng:
(5)
H7 o
30
45 K
o
Q O
N P M
E
H8
x
m 80 30 n
B
C D
A
Câu 186: Trong hình Biết góc NPQ = 450 vốcgóc MQP = 30O Số đo góc MKP bằng:
A 750 B 700 C 650 D 600 Câu 187: Trong hình Biết cung AmB = 80O cung CnB = 30O Số đo góc AED bằng:
A 500 B 250 C 300 D 350 Câu 188: Trong hình Biết cung AnB = 55O góc DIC = 60O Số đo cung DmC bằng:
A 600 B 650 C 700 D 750
n m
55
H9
60
I
A
B C D
A x 58
H10
O
M
B
20
18
x M
Q P
N
Câu 189: Trong hình 10 Biết MA MB tiếp tuyến (O) AMB = 58O
Số đo góc x :
A 240 B 290 C 300 D 310 Câu 190: Trong hình 11 Biết góc QMN = 20O góc PNM = 18O Số đo góc x
A 340 B 390 C 380 D 310
80
C E A B
H12 20
H13 x m
O A
D
M
5
x C
B A
O
H 14
Câu 191: Trong hình vẽ 12 Biết CE tiếp tuyến đường trịn Biết cung ACE = 20O; góc BAC=80O.Số đo góc BEC bằng
A 800 B 700 C 600 D 500
Câu 192: Trong hình 14 Biết cung AmD = 800.Số đo góc MDA bằng: A 400 B 700 C 600 D 500
Câu 193: Trong hình 14 Biết dây AB có độ dài 6. Khoảng cách từ O đến dây AB là:
A 2,5 B C 3,5 D
Câu 194: Trong hình 16 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C thuộc (O) cho AC = R Số đo cung nhỏ BC là: A 600 B 900 C 1200 D 1500 Câu 195: Trong hình 17 Biết AD // BC Số đo góc x bằng: A 400 B 700 C 600 D 500
10
15
20
? F
E D
C
A B
H 15
R R
O C
A
H 16
B
x 60
80
C B
A H 17
D
Câu 196: Hai tiếp tuyến A B đường tròn (O;R) cắt M Nếu MA = R 3thì góc tâm AOB :
A 1200 B 900 C 600 D 450
Câu 197 :Tam giác ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Nếu góc AOC = 1000 cạnh AC :
A Rsin500 B 2Rsin1000 C 2Rsin500 D.Rsin800
Câu 198: Từ điểm ngồi đường trịn (O;R) vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MCD qua tâm O.Cho MT= 20, MD= 40 Khi R :
(6)
Câu 199: Cho đường trịn (O) điểm M khơng nằm đường tròn , vẽ hai cát tuyến MAB MCD Khi tích MA.MB :
A MA.MB = MC MD B MA.MB = OM
C.MA.MB = MC2 D MA.MB = MD2
Câu 200: Tìm câu sai câu sau đây A Hai cung có số đo
B Trong đường tròn hai cung số đo C Trong hai cung , cung có số đo lớn cung lớn
D Trong hai cung đường trịn, cung có số đo nhỏ nhỏ
Câu 201:Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có A = 400 ;
B = 600 Khi
C - D :
A 200 B 300 C 1200 D 1400
Câu 202 : Hai tiếp tuyến A B đường tròn(O; R) cắt M cho MA = R Khi góc tâm có số đo :
A.300 B 600 C 1200 D 900
Câu 203: Trên đường tròn tâm O đặt điểm A ; B ; C theo chiều quay sđAB = 1100; sđ
BC = 600 Khi góc
ABC :
A 600 B 750 C 850 D 950
Câu 204:Cho đường trịn (O) điểm P nằm ngồi đường tròn Qua P kẻ tiếp tuyến PA ; PB với (O) , biết APB = 360 Góc tâm
AOB có số đo
bằng ;
A 720 B 1000 C 1440 D.1540
Câu 205:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) biết B = C = 600 Khi gócAOB có số đo :
A 1150 B.1180 C 1200 D 1500
Câu 206:Trên đường tròn tâm O bán kính R lấy hai điểm A B cho AB = R Số đo góc tâm \s\up4(() chắn cung nhỏ AB có số đo :
A.300 B 600 C 900 D 1200
Câu 207:Cho TR tiếp tuyến đường tròn tâm O Gọi S giao điểm OT với (O) Cho biết sđ SR = 670 Số đo góc
OTR :
A 230 B 460 C.670 D.1000
Câu 208 : Trên đường tròn (O;R) lấy bốn điểm A; B; C; D cho \s\up4(() = \s\up4(() = \s\up4(() = \s\up4(() AB :
A R B R C.R D 2R
Câu 209 :Cho đường trịn (O;R) dây cung AB khơng qua tâm O.Gọi M là điểm cung nhỏ AB Biết AB = R AM :
A R B R C R D.R
Câu 210:Cho đường trịn (O) đường kính AB cung CB có số đo 450, M điểm cung nhỏ AC Gọi N ; P điểm đối xứng với m theo thứ tự qua đường thẳng AB ; OC Số đo cung nhỏ NP
A 300 B 450 C 600D 900 E 1200
Câu 211: Cho hình vẽ có (O; 5cm) dây AB = 8cm Đường kính CD cắt dây AB M tạo thành CMB = 450 Khi độ dài đoạn MB là: A 7cm B.6cm C 5cm D 4cm
Câu 212: Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có hai cạnh đối AB CD cắt M Nếu góc BAD 800 góc BCM :
A 1100 B 300 C 800 D 550
Câu 213: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O ; R) có AB = 6cm ; AC = 13 cm đường cao AH = 3cm ( H nằm ngồi BC) Khi R :
A 12cm B 13cm C 10cm D 15cm
Câu 214:Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 4cm Cho AB = BC = 1cm Khi CD :
A 4cm B cm C.cm D 2cm
Câu 215:Hình tam giác cân có cạnh đáy 8cm , góc đáy 30o Khi độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC :
A 8 B 16 3
C 16 D
3
Câu 216: Tam giác ABC vng A có AB = 6cm , \s\up4(() = 600 Đường trịn đường kính AB cắt cạnh BC D Khi độ dài cung nhỏ BD :
A
B C
D Câu 217: Đường kính đường trịn tăng đơn vị chu vi tăng lên :
A B
2
C 2 D
2
Chương : HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU KIẾN THỨC CẦN NHỚ
(7)Diện tích xung quanh Thể tích
Hình trụ Sxq = 2rh V = r2h
Hình nón Sxq = rl V = 1 r h2 3
Hình cầu S = 4R2 V = 4
R 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 218: Cho hình chữ nhật có chiều dài cm chiều rộng cm. Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài ta hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ là:
A 30 (cm2) B 10 (cm2) C 15 (cm2) D 6 (cm2)
Câu 219: Cho tam giác ABC vuông A; AC = cm; AB = cm Quay tam giác vịng quanh cạnh AB ta hình nón Diện tích xung quanh hình nón là:
A 20 (cm2) B 48 (cm2) C 15 (cm2) D 64 (cm2)
Câu 220: Một hình trụ hình nón có chiều cao đáy Tỷ số thể tích hình nón hình trụ là:
A
2 B
3 C
3 D
Câu 221: Một mặt cầu có diện tích 1256 cm2 (Lấy 3.14) Bán kính mặt cầu là:
A 100 cm B 50 cm D 10 cm D 20 cm
Câu 222: Một hình nón có bán kính đáy cm, góc đỉnh tạo đường cao đường sinh hình nón 30O Diện tích xung quanh hình nón là: A 22 147 cm2 B 308 cm2 C 426 cm2 D Tất sai
Câu 223: Diện tích tồn phần hình nón có bán kính đáy cm đường sinh dài 10 cm là:
A 220 cm2 B 264 cm2 C 308 cm2 D 374 cm2
( Chọn 22
, làm tròn đến hàng đơn vị )
Câu 224: Hai hình cầu A B có bán kính tương ứng x 2x Tỷ số thể tích hai hình cầu là:
A 1:2 B 1:4 C 1:8 D Một kết khác
Câu 225:Một hình trụ có bán kính đáy 7cm , diện tích xung quanh 352cm2 Khi chiều cao hình tru gần :
A 3,2cm B 4,6cm C 1,8cm D.8cm
Câu 226: Chiều cao hình trụ bán kính đáy Diện tích xung quanh hình trụ 314cm2 Khi bán kính hình trụ thể tích của hình trụ :
A R = 7,07 (cm) ; V = 1110,72(cm3) B R = 7,05 (cm) ; V = 1120,52(cm3) C R = 6,03 (cm) ; V = 1210,65(cm3) D R = 7,17 (cm) ; V = 1010,32(cm3)
Câu 227 :Một ống cống hình trụ có chiều dài a; diện tích đáy S. Khi thể tích ống cống :
A a.S B C S2.a D a +S
Câu 228: Một hình chữ nhật có chiều dài 3cm , chiều rộng 2cm. quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài hình trụ Khi diện tích xung quanh bằng:
A 6 cm2 B 8cm2 C 12cm2 D 18cm2
Câu 229: Thể tích hình trụ 375cm3, chiều cao hình trụ là 15cm Diện tích xung quanh hình trụ :
A.150cm2 B 70cm2 C 75cm2 D 32cm2
Câu 230: Một hình trụ có chiều cao 16cm, bán kính đáy 12cm thì diện tích tồn phần
A 672 cm2 B 336 cm2 C 896 cm2 D 72 cm2
Câu 231: Một hình trụ có diện tích xung quanh 128cm2, chiều cao bán kính đáy Khi thể tích :
A 64cm3 B 128cm3 C 512cm3 D 34cm3
Câu 232: Thiết diện qua trục hình trụ có diện tích 36cm, chu vi 26cm Khi diện tích xung quanh :
A 26cm2 B 36cm2 C 48cm2 D 72cm2
Câu 233: Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh là 2cm Khi thể tích hình trụ :
(8)
Câu 234:Nhấn chìm hồn tòan khối sắt nhỏ vào lọ thuỷ tinh có dạng hình trụ Diện tích đáy lọ thuỷ tinh 12,8cm2 Nước lọ dâng lên thêm 8,5mm Khi thể tích khối sắt :
A 12,88cm3 B 12,08cm3 C 11,8cm3 D 13,7cm3
Câu 235: Một hình nón có bán kính đáy 5cm, chiều cao 12cm Khi diện tích xung quanh :
A 60cm2 B 300cm2 C 17cm2 D 65cm2
Câu 236:Thể tích hình nón 432 cm2 chiều cao 9cm Khi bán kính đáy hình nón :
A 48cm B 12cm C 16/3cm D 15cm
Câu 237: Một hình nón có đường kính đáy 24cm , chiều cao 16cm Khi diện tích xung quanh :
A 120cm2 B 140cm2 C 240cm2 D 65cm2
Câu 238: Diện tích xung quanh hình nón 100 cm2 Diện tích tồn phần 164cm2 Tính bán kính đường trịn đáy hình nón
A 6cm B 8cm C 9cm D.12cm
Câu 239: Một hình nón có bán kính đáy R , diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy Khi thể tích hình nón :
A cm3 B R3 cm3
C cm3 D Một kết khác
Câu 240: Diện tích tồn phần hình nón có bán kính đường trịn đáy 2,5cm, đường sinh 5,6cm :
A 20 (cm ) B 20,25 (cm ) C 20,50 (cm ) D 20,75 (cm ) Câu 241 :Thể tích hình nón 432 cm2 chiều cao 9cm. Khi độ dài đường sinh hình nón :
A cm B 15cm C.cm D.Một kết khác
Câu 242:Hình triển khai mặt xung quanh hình nón hình quạt Nếu bán kính hình quạt 16 cm, số đo cung 1200 thì độ dài đường sinh hình nón :
A.16cm B 8cm C 4cm D 16/3cm
Câu 243: Hình triển khai mặt xung quanh hình nón hình quạt Nếu bán kính hình quạt 16 cm ,số đo cung 1200 thì tang nửa góc đỉnh hình nón :
A B C D
Câu 244: Một hình cầu tích 972cm3 bán kính :
A 9cm B 18cm C 27cm D 36cm
Câu 245: Một mặt cầu có diện tích 9 cm2 thể tích hình cầu :
A cm3B cm3C 3 cm3 D 8 cm3
Câu 246:Cho hình phần nửa hình cầu bán kính 2cm, phần hình nón có bán kính đáy 2cm, góc đỉnh góc vng thể tích cần tìm :
A 8 cm3 B.7 cm3 C 3 cm3 D cm3
Câu 247 : Thể tích hình cầu cm3 Bán kính bằng: A.2cm B 3cm C 4cm D.5cm ( Lấy 22/7 ) Câu 248: Một mặt cầu có diện tích 16 cm2 Đường kính bằng
A.2cm B 4cm C 8cm D.16cm
Câu 249: Một mặt cầu có diện tích 9 cm2 thể tích : A.4cm2 B cm2 C cm2 D cm
Câu 250: Một mặt cầu có diện tích 16 cm2 đường kính bằng
(9)
Phần MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUẬN A ĐẠI SỐ
Chương I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Bài 1.1: Thực phép tính.
1. A =( 12 75 27): 15
2. B = (7 483 27 12): 363
3. C = 7 7
4. D = 9 17 9 17
5. M = (4 15)( 10 6) 4 15
6. N = 4 35 4810 74 ( N = )
7. P = 2 2 2 2 2 2
100 99
1
1
1
1
1
1
Gợi ý: Trước hết cần chứng minh:
2
2
1 1
1
1
n n n n
để suy 2
1 1
1
1
1 n n n
n
Từ ta có
P = 11 12 3 13 41 1 1 99 1001 982 1001
= 98
49 100
8. Q =
2007 2006 2007
2006 2006
1 2
2
Ta có: 20072 = ( 2006 + )2 = 20062 + 2.2006 + suy + 20062 = 20072 - 2.2006
=> Q =
2
2
2
2006 2006 2006 2006
2007 - 2.2006 2007
2007 2007 2007 2007
= 2007 2006 2006 2007 2007 2007
Bài 1.2: Cho A =
25 24
1
4
1
1
1
B =
24 1
1 Tính A
2 Chứng minh B > Gợi ý:
(10)Ta có 2B = 2
2 2 3 2 24
= 2
1 1 2 3 24 24
> 2
1 2 3 24 25
= 2.A =
Bài 1.3: Tìmgiá trị nhỏ biểu thức: Q = 9 30 25
x x x
x
Bài 1.4: Cho x, y số thực thoả mãn x 1 y2 y 1 x2 1
Chứng
minh x2 + y2 = 1. Gợi ý: ĐK -1 x 1; -1 y 1. Cách :
Bình phương vế để đưa dạng:
1 x2 1 y2 xy 1 x2 1 y2 x y2
Suy x2 + y2 = 1.
Cách áp dụng cauchy cho số khơng âm ta có:
1
2 2
2 1
1 1
2
x y y x
x y y x
Dấu “=” xảy
2 2
2
2
2
1
1
x y x y
x y
y x
y x
Bài 1.5: Cho biểu thức: P =
1
1
a a a a
a a a> Tìm a để P có nghĩa
b> Rút gọn P
Bài 1.6: Cho S = 1 1
2 100
Chứng minh S là số tự nhiên
Gợi ý: Trước hết cần chứng minh bất đẳng thức kép sau:
2 n n n n
n
( với n số tự nhiên khác 0.) Từ suy :
S=1 1
2 100
>1+2
2 101 100
= 1+ ( 101 ) > 1+2.10 - 2 > 21-3 = 18
S =1 1
2 100
<1+2 2 1 3 2 100 99
= 1+ ( 100 1) = +2.9 = 19
Vậy 18 < S < 19, chứng tỏ S số tự nhiên Bài 1.7: Cho biểu thức:
Q = 3 : 1
2 2
a a b
a a
a ab b a a b b a b a ab b
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị nguyên a để M có giá trị nguyên
Bài 1.8: Tính tổng: S = 1
2 1 2 3 100 99 99 100 Gợi ý: Cần chứng minh: (n 1) n n n1 1 1n n1 1
Bài 1.9: Cho biểu thức:B = 1 2
1
a a a a a a a a
a a a a
a) Rút gọn A
(11)c) Chứng minh B >
3 Bài 1.10: Cho biểu thức:
Q = 1 1 : 1
1 1
x x x x x
x x
x x x
a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị Q x = 2
c) Chứng minh Q với x x
Chương II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1.11: Cho hệ phương trình
3 3 3 3 y mx my x
1 Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm Giả hệ phương trình với m = -
3 Tìm m Z để hệ có nghiệm ( x; y) với x > 0, y >
Bài 1.12: Giải hệ phương trình
1 5 4 3 0 4 3 2 1 3 2 z y x z y x z y x
Bài 1.13 : Cho hệ phương trình
1 2 1 2 y mx my x
1 Giải biện luận theo tham số m
2 Tìm m Z để hệ có nghiệm ( x; y) với x, y Z
3 Chứng mingh hệ có nghiệm (x;y), điểm M(x;y) chạy đường thẳng cố định
4 Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc toạ độ bán kính
2 .
Hướng dẫn: Theo câu ta có x = y = m nên M(x;y) thuộc đường trịn tâm O bán kính
2
2 x2 + y2
= r2 =1
2
2
2
1 1
2 2 2
m m m
(m + 2)2 = m=0 m = -4.
Bài 1.14: Cho hệ phương trình:
3 1 mx y x y
1 Giải hệ phương trình m =
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x = -2; y = -2 ) Bài 1.15: Cho hệ phương trình mxx (m2my m1) y 21
1 Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) điểm M( x; y) luôn thucộc đường thẳng cố định m thay đổi
2 Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ
3 Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc toạ độ bán kính
Hướng dẫn:
Khi m khác hệ có nghiệm x m 1;y
m m
(12)
Ta có x 1 x y x y
m
Vậy M thuộc đường thẳng có pt y = -x + Bài 1.16: Giải hệ phương trình sau:
a )
1
2
3 27
x y z
x y z
x y z
b)
2 11
2
3
x y z
x y z
x y z
KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; )
Chương II:HÀM SỐ y = ax2( a 0)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Bài 1.17 Cho phương trình x2 + 2(m - 1)x - +2m = 0.(1) (m tham số.) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m
2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 + x22 ≥ 10
3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 để E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 1.18: Ch o hai phương trình x2 + a1x + b1 = (1) x2 + a2x + b2 = (2)
Cho biết a1a2 ≥ (b1+b2) Chứng minh hai phương trình có nghiệm
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2
Bài 1.19 : Cho ba phương trình ax2 + 2bx + c = (1)
cx2 + 2ax + b = (3)
Cho biết a, b, c ≠ Chứng minh ba phương trình có nghiệm
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 + 3 Bài 1.20: Cho Parabol y =
2
x
(P) Và đường thẳng y = x +
2
(d) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ
2 Chứng tỏ đường thẳng (d) ln tiếp xúc parabol (p) Tìm tọa độ tiếp điểm
Bài 1.21: Trong hệ toạ độ gọi (P) đồ thị hàm số y = ax2 (d) đồ thị hàm số y = -x + m
1 Tìm a biết (P) qua A (2;- 1), vẽ (P) với a tìm
2 Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) (ở câu 1) Tìm toạ độ tiếp điểm Trong điểm sau điểm thuộc (P) điểm thuộc (d) vừa
tìm : M(-2;1); N(2; -1); E(-2; -1)
4 Gọi B giao điểm (d) (ở câu 2) với trục tung , C điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ C nằm (P) tam giác ABC vuông cân
Bài 1.22: hệ trục vng góc gọi P đồ thị hàm số y = x2, gọi M,N hai điểm thuộc P có hồnh độ là: -1 Viết phương trình đường thẳng MN ( KQ: y = x+2)
Bài 1.23: Cho phương trình: mx2- 2( m+1 )x + m +2 = 0. a Xác định m để phương trình có nghiệm
(13)
Gợi ý: b phương trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối
nhau trái dấu
0
0
' 0
0 2 1
0 m
a
m S
S m
m
Bài 1.24: Cho phương trình ẩn x : x2 + x + m = Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt lớn m ( KQ: m < - )
Bài 1.25: Cho a 0, giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình:
2
2
1 0
x ax a
Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x14 + x24 HD: áp dụng Vi-et ta có: x1 + x2 = a; x1.x2 =
2
1 a
Áp dụng cauchy suy ra:
Q = a4 +
4
2 2
a => Min Q = 2 4 a8 =
Bài 1.26: Cho Parabol y =
2
x (P) điểm M(0;2), N(m; 0) với m ≠ Vẽ (P)
2 Viết phương trình đường thẳng (d) qu điểm M, N Chứng minh đườngthẳng (d) cắt (P) hai điểmphân biệt A, B với m ≠
4 Gọi H, K hình chiếu A, B trục hoành Chứng minh tam giác MHK tam giác vuông
Bài 1.27: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hất biểu thức: A = x + y
Gợi ý: Ta có: ( x++)2 (x2+y2) = => A 2
2 2
a A
B HÌNH HỌC
Bài 2.1 Cho tam giác ABC vuông A (BˆC)ˆ AH đường cao, AM là trung tuyến Đường trịn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AD D đường thẳng AC E
b Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng
c Chứng minh góc MAE góc ADE MADE
d Chứng minh điểm B, C, D, E nằm đường tròn tâm O Tứ giác AMOH hình gì?
Bài 2.2: Cho tam giác ABC có AB = AC Các cạnh AB, BC,CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm tương ứng D,E,F
a Chứng minh DF//BC điểm A,O,E thẳng hàng
b Gọi giao điểm thứ hai BF với (O) M giao điểm DM với BC N Chứng minh BFC DNB N trung điểm BE
c Gọi (O’) đường tròn qua điểm B,O,C Chứng minh AB,AC tiếp tuyến (O’)
Bài 2.3: Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Ba đường cao AD,BE,CF ABC cắt H Tia AH AO cắt đường tròn tương ứng điểm thứ hai K M Chứng minh
a MK//BC b DH = DK
c HM qua trung điểm BC
Bài 2.4: Gọi C điểm tuỳ ý đoạn AB cho trước Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AC BC nửa mặt phẳng bờ AB Kẻ tiếp tuyến chung PQ hai nửa đường trịn (P thuộc nửa đường trịn đường kính AC; Q thuộc nửa đường trịn đường kính BC) Tia AP tia BQ cắt M a Khi C di chuyển đoạn AB M di chuyển đường nào?
(14)
Bài 2.5: Cho đường tròn nội tiếp ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC M N Đường thẳng MN cắt tia phân giác góc B C E G Chứng minh:
a EB EC
b Tứ giác BGEC nội tiếp
Bài 2.6: Cho đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc C (R>R’) ABC đường kính chung M trung điểm AB, đường vng góc M với AB cắt (O) D E CD cắt (O’) F
c Tứ giác ADBE hình gì? Tại sao? d Chứng minh E, B, F thẳng hàng e Chứng minh MF tiếp tuyến (O’)
Bài 2.7: Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC = 2R (AB>AC) Dựng hình vng ABED có DAC kéo dài AE cắt (O) F
a BCF tam giác gì? Tại sao?
b Gọi K = CFED Chứng minh tứ giác BCDK nội tiếp.
c Gội H trung điểm dây CF Tính HK theo R
Bài 2.8: Cho (O;R) Từ A (O) kẻ tiếp tuyến AB; AC Lấy M thuộc cung nhỏ BC (MB, C) Hạ MD; ME; MF vng góc với BC; CA; AB
a Chứng minh tứ giác MDBF MDCE nội tiếp b Chứng minh FBM DCM DBM ECM c Tìm vị trí M để tích ME.MF lớn
Bài 2.9: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) BC cố định, gọi
E; F theo thứ tự điểm cung AB AC Gọi giao điểm DE với AB AC H K
a Chứng minh AHK cân
b Gọi I = BECD Chứng minh AI qua điểm cố
định A thay đổi cung BC
c Chứng minh tỷ số AH
AKkhông phụ thuộc vào vị trí điểm A
Bài 2.10: Gọi AB đường kính đường trịn tâm O điểm M điểm đường trịn (M khác A, B) Tiếp tuyến (O) A M cắt E Kẻ MPAB (P AB) kẻ MQAE (Q AE)
Gọi I trung điểm PQ
a Chứng minh ba điểm O, I, E thẳng hàng b Chứng minh hệ thức AQ.AE = AO.AP = 2AI2
c EB cắt PM K Chứng minh IK // AB
d Cho AE = bán kính (O) R = Tính thể tích hình tạo tứ giác EMPA quay vòng quanh AE
Bài 2.11: Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B,C,M,N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với (O)
a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đường tròn b Chứng minh AOC = BIC
c Chứng minh BI//MN
d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 2.12: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
a Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp b Tính tích AH.AK theo R
c Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Bài 2.13: Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác góc BAC cắt đoạn BC D, cắt đường trịn M, đường phân giác ngồi góc BAC cắt đường thẳng BC E, cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE
Chứng minh rằng:
a MN vng góc với BC trung điểm I BC b Góc ABN = góc AEK
c KA tiếp tuyến đường tròn(O)
Bài 2.14: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O, bán kính R Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, dây AM lấy AD = MC
a) Tính góc BMC; chứng minh ABD = CBM
b) Tính diện tích phần hình trịn tâm O bán kính R nằm ABC c) Giả sử AM cắt BC I Chứng minh rằng:
(15)
Bài 2.15:Cho tam giác ABC vuông A Trên đoạn AB lấy điểm D (D khác A B) vẽ đường tròn (O) có đường kính BD Đường trịn (O) cắt BC E Các đường thẳng CD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F
a) Chứng minh ACED tứ giác nội tiếp b) Chứng minh
BE BA BD BC
c) Chứng minh AED = ABF
d) Chứng minh đường thẳng AC, DE, BF đồng qui
Bài 2.16: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Một tia Ax nằm hai tia AB AC cắt BC D cắt đường tròn E
a Chứng minh AD.AE = AB2 Tìm vị trí tia Ax để độ dài DE lớn nhất, giải thích sao?
b Biết góc BAC = 300 Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung BC dây cung BC theo R
Bài 2.17 : Cho tam giác vuông ABC (C = 900 ) nội tiếp đường tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy điểm M ( M khác A C ) Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC, đường trịn cắt đường trịn (O) điểm D (D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A điểm N
a) Chứng minh MB tia phân giác góc CMD .
b) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn tâm A nói c) So sánh góc CNM với góc MDN
d) Cho biết MC = a , MD = b Hãy tính đoạn thẳng MN theo a b Bài 2.18: Cho ABCD tứ giác nội tiếp P giao điểm hai đờng chéo AC BD
a) Chứng minh hình chiếu vng góc P lên cạnh tứ giác đỉnh tứ giác có đường trịn nội tiếp
b) M điểm tứ giác cho ABMD hình bình hành Chứng minh góc CBM = góc CDM góc ACD = góc BCM
c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để :
)
(
BC AD CD AB
SABCD
Bài 2.19:Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đường trịn tâm O, kẻ đường kính AD
1) Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật
2) Gọi M , N thứ tự hình chiếu vng góc B , C AD , AH đường cao tam giác ( H cạnh BC ) Chứng minh HM vng góc với AC
3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4) Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC R r Chứng minh Rr AB.AC
Bài 2.20: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I
a) Chứng minh OI vng góc với BC b) Chứng minh BI2 = AI.DI
c) Gọi H hình chiếu vng góc A BC Chứng minh góc BAH = góc CAO
d) Chứng minh góc HAO = B C
Bài 2.21: Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Giả sử
BAM BCA
a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA b) Chứng minh minh : BC2 = AB2 So sánh BC đường chéo
hình vng cạnh AB
c) Chứng tỏ BA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC
d) Đường thẳng qua C song song với MA , cắt đường thẳng AB D Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC
Hướng dẫn:
2.1
a Có góc EAD = 90O DE đường kính ba điểm D, H, E thẳng hàng. b Sử dụng DHA, AMB AMC cân, HAB vuông
(16)
- Tứ giác AMOH hình bình hành Có OM // AH ( BC)……… 2.2
a Các ADF ABC cân … DF//BC
b AO AE phân giác góc A A,O,E thẳng hàng
c BO phân giác góc DOO’ ; OO’B cân O’ OD//O’B mà OD AB O’B AB
2.3
a BC AK MK // BC KM AK
b O
O
KAC KBC
KBC EBC KAC C 90
KAC EBC EBC C 90
HBK cân ( đường cao trùng với đường phân giác) DH = DK
c
BE AC
BE // MC MC AC
HBMC BM AB
BM // CF CF AB
là hình bình hành đpcm
2.4
d Chứng minh góc AMB khơng đổi 90O Vậy C di chuyển trên đoạn AB M di chuyển nửa đường trịn dường kính AB nằm phía với P
e Trên đường trịn đường kính AC có PAC = QPC =1
2 sđ PC
APC AMB vuông APQ + ABQ = 180O Hay tứ giác APQB nội tiếp 2.5
a Chứng minh tứ giác ONEC nội tiếp ENC = EOC (1) mà ENC = 90
2
o A
(2) EOC =
2(B + C) (3)
Từ 1,2,3 suy đpcm
b Chứng minh tương tự để có GB GC Do BEC + BGC = 180O 2.6
a ADBE hình thoi
b Chứng minh BF // AD suy E, B, F thẳng hàng c Tứ giác MECF nội tiếp
MFE = MCE MFE = MCF MFE = O’FC MFO’ = 90O Hay MF tiếp tuyến (O’)
2.7
a BCF tam giác vuông cân
b BCF = 45O & BDE = 45O điểm BCDK thuộc đường trịn c Có F trung điểm CK HK 3CK
4 BCK tam giác vuông cân B CK = 2R 2.8
c Từ FBM DCM DBM ECM suy tỷ số suy
ra
2
FM DM
FM.EM DM
DMEM Vậy tích ME.MF lớn MD lớn
nhất
Hay M điểm cung BC
2.9
a Sử dụng tính chất góc có đỉnh bên đường tròn suy AHK cân A
b Chứng minh I giao điểm ba đường phân giác ABC Vậy AI qua điểm nằm cung nhỏ BC
2.10
a QMPA hình chữ nhật I trung điểm AM OI AM
Mà EI AM nên O, I, E thẳng hàng
b Chứng minh EAO : PAQ EA.AQ = AO.AP (1)
Chứng minh APM : AIO AP.AO = AM.AI = AI2 (2) từ (1) Và (2) đpcm
c Chứng minh BKP : BEA BP KP
BA EA (3)
Chứng minh BMP : OEA MP BP
EA OA (4)
(17)d V V V 2 Trong đó:
V1 thể tích hình nón quay QEM quanh QE có V1 1 3QE QM2
V2 thể tích hình trụ quay hình chữ nhật QMPA quanh QA
2
V QA QM 2(4 )
3
V QM QA
Dựa vào câu (b) AMQ vuông A suy QM = QA =
Vậy V 12
2.11 b BIC =
2BOC (góc nơi tiếp góc tâm chắn cung) AOC =
2BOC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
c Có AOC = AEC (Góc nội tiếp chắn cung AC đường tròn qua điểm A, O, E, C) Kết hợp với (b) suy BIE = AEC (vị trí so le trong) suy BI // MN
2.12
a Xét tổng hai góc đối K C tứ giác BCHK b ACH : AKB AH.AK = AB.AC = 2R
2R = R2 2.13
a Có NA AM (tính chất tiếp tuyến ngồi) MN đường kính (O) (1)
Chứng minh AED : IEN IEN vuông I (2) Từ (1) (2) đpcm
b Chứng minh ABN = AMN (góc nội tiếp chắn cung AN) AMN = AEK ( phụ với ANM )
2.14
a Góc BMC = 120O; ABD = CBM (c.g.c)
b Theo tính chất trọng tâm đường cao BH = 2R áp dụng tỷ số lượng giác góc 60O tính độ dài cạnh BC =
3 R
4
ABC
SV R Diện tích cần tìm
c Chứng minh BAI : MAB AB2 = AI.AM
AB2 = AI.AM = AI.(AI + IM) = AI2 + AI.IM AB2 - AI2 = AI.IM (AB – AI)(AB+AI) = AI.AM (1)
Chứng minh ABI : CMI BI.IC = AI.IM (2) Từ (1)(2) đpcm 2.15
a Chứng minh tổng hai góc đối tứ giác 180O (A + E) b Chứng minh ABC : EBD tỷ số
c Có AED = ACD (1) ( cung chắn cung AD đường tròn (ACED)) ACD + ADC = 90O = FDB + FBD ACD = FBD (2)
Từ (1)(2) đpcm
d Gọi giao điểm BF AC Q QBC có FC BA đường cao D trực tâm Mà DE BC Q, D, E thẳng hàng đpcm
2.16
a Chứng minh ADB : ABE đpcm
b Từ O hạ OH BC Có BOC = 60O 60
360
qOBCO
R R
S
OHC cân O mà BOC = 60O BOC
OH R
. 3
2
OBC
SV R R R Tính S hình viên phân
ĐỀ ÔN TẬP SỐ Bài 1: (0,75 điểm) Chứng minh đẳng thức:
3 150
3
27
(18)Bài 2: (1,25 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) 4 29 6 1
3
A x x x
x
với
1
3
x
b) 7
4 7
B
Bài 3: (2,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị (P) hàm số y ax2
điểm B không thuộc (P)
1 Tìm hệ số a vẽ (P)
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A B Xác định tọa độ giao điểm thứ hai (P) đường thẳng AB
Bài 4: (1,5 điểm) Một xe lửa từ Huế Hà Nội Sau 40 phút, xe lửa khác từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ km/h Hai xe gặp ga cách Hà Nội 300 km Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km
Bài 5: (2,75 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường trịn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H đường tròn
Bài 6: (1,25 điểm) Để làm phểu hình nón khơng nắp bìa cứng bán kính đáy r12cm, chiều cao h16cm, người ta cắt từ bìa hình khai triển mặt xung quanh hình nón, sau cuộn lại Trong hai bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm; bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, sử dụng bìa để làm phểu hình nón nói mà khơng phải chắp nối ? Giải thích
ĐỀ ƠN TẬP SỐ
Bài 1: (1,75 điểm) a Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu
thức: 3
3 3
A
b Rút gọn biểu thức
1 1
: vµ
1
x
B x x
x x x x x
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 C1 ; 4
1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm C song song với đường thẳng y2x Xác định tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với trục hoành Ox
2 Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đường thẳng BC trục hồnh Ox (làm trịn đến phút)
3 Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 3: (2 điểm)
a Tìm hai số u v biết: u v 1,uv 42 u v
b Khoảng cách hai bến sông A B 60 km Một xuồng máy xi dịng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút bến B quay trở lại ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất Tính vận tốc xuồng máy nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/h
Bài 4: (2,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D cắt By E
a) Chứng minh rằng: DOE tam giác vuông
b) Chứng minh rằng:
(19)
c) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ
Bài 5: (1,5 điểm) Một xô dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy 19 cm cm, độ dài đường sinh l 26 cm Trong xơ chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy (xem hình vẽ)
a) Tính chiều cao xơ
b) Hỏi phải đổ thêm lít nước để đầy xơ ?
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ ƠN TẬP SỐ Bài (0,75)
2 3
3 6
3
27 3 3 3
(0,25)
150
3 (0,25)
3 150 6
3 3 3
27 6
(0,25) Bài 2a:( 0,75)
2
2
3
4
3
x x
x x x
x x
(0,25)
6
6
6
3
x x x x
x
x x
(vì
x
nên x0 3x 1 0) (0,50)
Bài 2b:( 0,5)
4 72 4 72 7
4 7
9
4 7
B (0,25)
4 7
3 3
B (vì 16 7 4 7) (0,25)
Bài (2,50)
3.a + Điểm A có tọa độ: A(2; 3) (0,25)
+ ( ) 3 4 3
4 A P a a
(0,25) + Lập bảng giá trị vẽ đồ thị (P)
(0,50) 3.b + Phương trình đường thẳng có dạng
y ax b , đường thẳng qua A và
B nên ta có hệ phương trình:
6
a b a b
(0,50)
+ Giải hệ phương trình ta được: 3;
4
a b
Vậy phương trình đường thẳng AB là:
4
y x (0,25)
+ Phương trình cho hồnh độ giao điểm (P) đường thẳng AB là:
2
3
6
4x 4x x x
(0,25)
Giải phương trình ta có 2
27
2;
4
x x y (0,25)
Vậy tọa độ giao điểm thứ hai (P) đường thẳng AB 3; 27
4
(0,25)
Bài (1,50)
Gọi x (km/h) vận tốc xe lửa thứ từ Huế đến Hà Nội Khi đó, x > vận tốc xe lửa thứ hai từ Hà Nội là: x + (km/h) (0,25) Theo giả thiết, ta có phương trình:
A O'
A'
(20)300 345
5
x x (0,50)
900x 5x x 1035 x x 22x 1035
(0,25)
Giải phương trình ta được: x123 (loại x > 0) x2 45 0 (0,25) Vậy vận tốc xe lửa thứ là: 45 km/h
và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h (0,25)
Bài (2,75) Vẽ hình: (0,25)
a) Tứ giác ABEH có: B 900
(góc nội tiếp nửa đường tròn);
900
H (giả thiết) Nên: ABEH nội tiếp (0,25)
Tương tự, tứ giác DCEH có C H 900
, nên nội tiếp
(0,25)
b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: EBH EAH
(cùng chắn cung EH ) (0,25)
Trong (O) ta có: EAH CAD CBD (cùng chắn cungCD ). (0,25)
EBH EBC ,nên BE tia phân giác góc HBC (0,25) + Tương tự, ta có: ECH BDA BCE ,
nên CE tia phân giác góc BCH . (0,25)
+ Vậy: E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH
Suy EH tia phân giác góc BHC (0,25)
c) Ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên
2
BIC EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC ) Mà
EDCEHC, suy BIC BHC (0,25)
+ Trong (O), BOC 2BDC BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn
cung BC). (0,25)
+ Suy ra: H, O, I cung chứa góc BHC dựng đoạn BC, hay điểm
B, C, H, O, I nằm đường tròn (0,25) Câu (1,25)
+ Đường sinh hình nón có chiều dài: l r2 h2 20 (cm)
(0,25)
+ Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt hình trịn bán kính l, số đo cung hình quạt là:
0 360 360 12 2160 20
r n
l
(0,25)
AOI 720 OI cosAOI
OA
OI 20cos 720 6, (cm) (0,5)
+ Do đó, để cắt hình quạt nói phải cần bìa hình chữ nhật có kích thước tối thiểu: dài 40cm, rộng (20 + 6,2) = 26,2cm Vậy phải dùng bìa B cắt hình khai triển mặt xung quanh hình nón mà
khơng bị chắp vá (0,25)
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ ÔN TẬP SỐ Bài (1,75)
1.a
3 3
3
3 3 3 3
A
(0,25)
+ 3 2 3 3
A
(0,25)
+ A 3 1 (0,25)
1.bTa có: +
1 1
1 1
x x x x x x (0,25)
=
1 x
x x (0,25)
=
1
2 1
x x
(21)+
2
1 1
:
1 1
x x x
B
x
x x x
(vì x0 x1) (0,25)
Bài (2,25)
2.a + Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y2x 3, nên phương
trình đường thẳng (d) có dạng y2x b b ( 3). (0,25)
+ Đường thẳng (d) qua điểm C1; 4 nên: 4 2 b b 6 3
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: y2x6. (0,25)
+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm A x( ; 0) nên 2 x 6 x3
Suy ra: A3 ; 0 (0,25)
2.b + Đồ thị hàm số y ax b là
đường thẳng qua B4; 0
1; 4
C nên ta có hệ phương trình:
0 4
a b a b
(0,25) + Giải hệ phương trình ta được:
; ; 16
5
a b
(0,25)
+ Đường thẳng BC có hệ số góc 0,8
a , nên tang góc ' kề bù với góc tạo BC trục Ox là: tg'a 0,8 ' 38 40'
(0,25)
+ Suy ra: Góc tạo đường thẳng BC trục Ox 1800 ' 141 20 '0
0,25
2.c + Theo định lí Py-ta-go, ta có: 2 22 42 2 5
AC AH HC (0,25)
+Tương tự: BC 52 42 41
Suy chu vi tam giác ABC là:
7 41 17,9( )
AB BC CA cm (0,25)
Bài (2,0)
3.a + u, v hai nghiệm phương trình: x2 x 42 0
(0,25)
+ Giải phương trình ta có: x1 6; x2 7 (0,25) + Theo giả thiết: u v , nên u7;v60,25
3.b+ Gọi x (km/h) vận tốc xuồng nước yên lặng
Điều kiện: x > (0,25)
+ Thời gian xuồng máy từ A đến B: 60 (h)
x , thời gian xuồng ngược dòng từ B C : 25 (h)
1
x (0,25)
+ Theo giả thiết ta có phương trình : 60 25
1
x x (0,25)
+ Hay 3x2 34x 11 0
Giải phương trình trên, ta nghiệm:
1 11
x ;
x (0,25)
+ Vì x > nên x = 11
Vậy vận tốc xuồng nước đứng yên 11km/h (0,25) Bài
4.a + Hình vẽ (câu a): (0,25)
+ Theo giả thiết: DA DM hai tiếp tuyến cắt D, nên OD tia phân giác góc AOM Tương tự: OE tia phân giác góc MOB (0,50)
+ Mà
AOM MOB
là hai góc kề bù, nên DOE 900
Vậy tam giác DOE vuông O (0,50) 4.b+ Tam giác DOE vuông O OMDE nên theo hệ thức lượng
tam giác vng, ta có: DM EM OM2 R2
(22)
+ Mà DM = DA EM = EB (định lí tiếp tuyến cắt nhau) (2) (0,25) + Từ (1) (2) ta có: DA EB R2
(0,25)
4.c+ Tứ giác ADEB hình thang vng, nên diện tích là:
1
2
2
S AB DA EB R DM EM R DE (0,25) + S nhỏ DE nhỏ Mà DE đường xiên hay đường vng góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ DE = DH (DH vng góc với By H)
Khi DE song song với AB nên M điểm nửa đường trịn (O) (hoặc OM AB) Giá trị nhỏ diện tích là: S0 2R2(0,25)
Ghi chú: Nếu học sinh khơng tìm giá trị nhỏ diện tích cho điểm tối đa.
Bài (1,5)
5.a
+ Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục OO', ta hình thang cân AA’B’B Từ A hạ AH vng góc với A’B’ H, ta có:
A'H O'A' OA 10 (cm)
(0,25) Suy ra:
2
2
OO' AH AA' A'H
26 10 24 (cm)
(0,25)
5.b + Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung IJ, IJ cắt AH K Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = (cm) 0,25
+ Bán kính đáy khối nước xô r1 O I O K KI KI1
KI//A’H
KI AK
= KI 7,5 16,5 (cm)
HA' AH r
(0,25)
Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:
+ 2 2
1
1
19 19 16,5 16,5
3
V h r rr r (0,25)
+ V 5948,6 cm3 5,9486dm3 5,9
lít 0,25
Ghi chú:
Học sinh làm cách khác đáp án cho điểm tối đa.