Đang tải... (xem toàn văn)
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm.. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không [r]
(1)
Đại số : Ôn tập nhân đơn thức với đa thức Nhân đa thức với đa thức
I.Tãm t¾t lý thuyÕt:
1- Nhân đơn thức với đa thức :
A ( B + C ) = AB + AC A(B + C - D) = A.B + A.C - A.D 2- Nhân đa thức với đa thức :
( A + B ).( C + D ) = A ( C + D ) + B ( C + D ) = AC + AD + BC + BD
(A + B).(C + D E ) = A(C + D E) + B(C + D E) = AC + AD A.E + BC + BD -B.E
II Các dạng toán :
Dạng 1 : Làm tính nhân
Cỏch gii : - áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức - Chú ý phép tính luỹ thừa : an.am = an+m
(an)m = anm a0 = (a 0)
VD1 : Làm tính nhân : a, x2( 5x3 - x -
2
) = 5x5 - x3 -
2
x2
b, ( 3xy - x2 + y ) x2 y = 3x3y2 - x4y + x2y2
c, ( 4x3 - 5xy + 2x ) ( - xy ) = - 4x4y + 5x2y2 - 2x2y
VD2 : Làm tính nhân :
a, (a2+2ab+b2)(a + b) = a2(a+b) + 2ab(a+b) +b2(a + b) = a3 + a2b +2a2b +2ab2 +ab2+
b3
= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3
b, (x2 -2x + 3)(x-1) = x3- x2 -2x2+3x -1 = x3- 3x2+3x -1
c, (x2 -x +1)(x+1) =x3+ x2- x2-x+x +1 = x3+1
D¹ng 2 : Tính giá trị biểu thức
Cỏch gii : - áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức
- Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn
VD3 : Thùc hiƯn phÐp nh©n råi tính giá trị biểu thức a, x(x - y) + y(x+y) x = y = -8
Ta cã : x(x - y) + y(x+y) = x2 - xy + xy + y2= x2 + y2
Thay giá trị x = y = -8 vào biểu thức rút gọn ta đợc : x2 + y2 = 62+(-8)2 = 100
b, (x2-5)(x+3) + (x+4)(x-x2) t¹i x = - 15
Ta cã : (x2-5)(x+3) + (x+4)(x-x2) = x3+3 x2- 5x -15 + x2-x3 +4x- 4x2 = - x - 15
Với x = -15 giá trị biểu thức cho : - x - 15 = -(-15) -15 = 15-15 = Dạng 3 : Rút gọn biểu thức
Cách giải : - áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức rút gọn biểu thức
VD4 : Rót gän biÓu thøc :
(2)a, 2x(x2- 5x- 1) + (3x- 1)x = x3-10 x2- 2x +3 x2- x = 2x3-7 x2- 3x
b, (2x3yz - 7x2yz)(-5xyz) + ( x2y2z + xy2z)4x2z = -10x4y2z2 + 35 x3y2z2+ 4x4y2z2 +
4x3y2z2
= -6 x4y2z2 + 39 x3y2z2
D¹ng : T×m x
Cách giải : - Thực phép nhân đa thức ,biến đổi rút gọn để đa đẳng thức cho dạng a x = b từ tìm đợc : x =
a b
(nÕu a 0)
VD5: T×m x , biÕt :
a, 3x(12x -4) -9x(4x -3) = 30
Thùc hiÖn phÐp tÝnh ë vÕ tr¸i ta cã : 3x(12x -4) -9x(4x -3) = 36 x2 -12x -36 x2 +27x =
15x
Đẳng thức cho trở thành : 15x = 30 -> x = 15 30
b, x(5 -2x) + 2x(x -1) = 15
Thùc hiƯn phÐp tÝnh ë vÕ tr¸i ta cã : x(5 -2x) + 2x(x -1) = 5x -2x2 + 2x2 - 2x = 3x
Đẳng thức cho trở thành : 3x = 15 -> x = 15
D¹ng : Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến
Cỏch giải : - Ta biến đổi biểu thức cho thành biểu thức khơng cịn chứa biến
VD6: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến : a, (x -5)(2x +3) -2x(x -3) + x +
b, 3(2x -1) -5(x-3) + 6(3x -4) -19x Gi¶i :
a, Ta cã : (x -5)(2x +3) -2x(x -3) + x + = 2x2 + 3x -10x -15 -2x2 + 6x +x + = -8
Giá trị biểu thức -8 víi mäi x
Vậy biểu thức cho không phụ thuộc vào giá trị biến x
b, Ta cã : 3(2x -1) -5(x-3) + 6(3x -4) -19x = 6x -3 -5x +15 + 18x -24 -19x = -12 Giá trị biểu thức -12 víi mäi x
Vậy biểu thức cho không phụ thuộc vào giá trị biến x Dạng : Chứng minh đẳng thức
Cách giải : - Biến đổi vế trái vế phải, biến đổi vế phải vế trái ,hoặc biến đổi vế biểu thức
VD7: Chøng minh r»ng :
a, (x2 -xy + y2)(x +y) = x3 + y3
b, (x2 +xy + y2)(x -y) = x3 - y3
Gi¶i :
a, Ta cã : VT = (x2 -xy + y2)(x +y) = x3 + x2y - x2y - xy2+ xy2+ y3 = x3 +y3 = VP
(®pcm )
b, Ta cã : VT = (x2 +xy + y2)(x -y) = x3 - x2y + x2y - xy2+ xy2- y3 = x3 -y3 = VP (®pcm
)
Dạng : Giải toán cách đặt ẩn x
Cách giải : - Chọn ẩn xác định điều kiện cho ẩn
- Tìm đẳng thức có chứa x
- Gi¶i tìm x chọn kết thích hợp
VD8 : Tìm số tự nhiên chẳn liên tiếp ,biÕt tÝch cđa sè sau lín h¬n tÝch số đầu 16
(3)Gọi số chẳn liên tiếp phải tìm : 2x , 2x + 2, 2x + (x N ) Ta có : tích số đầu lµ : 2x(2x + 2)
tích số sau : (2x + 2)(2x + 4) Theo ta có : (2x + 2)(2x + 4) - 2x(2x + 2) = 16 Mà vế trái đẳng thức đợc rút gọn :
(2x + 2)(2x + 4) - 2x(2x + 2) = 4x2 + 8x + 4x + - 4x2 - 4x = 8x + 8
Khi ta có đẳng thức : 8x + = 16 x = Vậy số chẳn liên tiếp : ; ;
Bµi tËp :
1.Làm tính nhân :
a, 5x3(3x2-8x + 2) b,
4
xy(3x2y- 4xy + y2)
c, (2x2- 3x)(7x2- 2x + 1) d, (2x - y)(3xy + 4y2 + x)
e, (x - 2) (x2 + 2x + 4) g, (x - 3)(x2 + 3x +9)
h, (xy -
2
x2y + y)(x - y) k, (x2 + xy + y2)(x- y)
l, 2x(7x2- 5x- 1) m, (x2 + 2xy- 3)(-xy)
n, (5x- 2y)(4x + 3y) i, (a + 2b)(3ab + 5b2 +b2)
2.Tính giá trị biÓu thøc sau :
a, 5x(4 x2 -2x +1) - 2x(10 x2 -5x- 2) víi x = 15
b, 5x(x 4y) 4y(y 5x) víi x =
-5
vµ y =
-2
c, (-2 x2 +3x + 5)( x2 - x + 3) víi x = -3
d, 3x(5 x2 -4) + x2(8 -15 x2) -8 x2 víi x = 3
e, x3(x2 - y2) + y2(x3-y3) víi x = vµ y = 1
3 Rót gän biĨu thøc sau :
a, (x2 + 1)(x - 3) - (x - 3)(x2 + 3x +9).
b, (x2 - 1) (x2 - 1) (x + 2) - (x - 2) (x2 + 2x + 4)
c, x(2 x2 -3) - x2(5x + 1) + x2
d, 3x(x -2) -5x(1 -x) -8(x2 -3)
e, (x +2)(x -2) - (x -3)(x+1) g, (x +2)( x2 -2x + 4) - (x3+ 5)
4 T×m x , biÕt :
a, 2x(x -5) - x(2x + 3) = 26 b, x(5 + 3x) - (x+1)(3x -2) = c, (x + 3)2 - (x- 3)(x + 3) = d, 4(x + 2) -7(2x -1) + 9(3x -4) = 30
e, 5x(1 -2x) -3x(x + 18) = g, 2(5x -8) -3(4x -5) = 4(3x -4) + 11 i, (x + 2)(x +3) - (x -2)(x+5) = k, (2x + 3)(x -4) + (x 2) = (3x -5)(x-4)
l, (8 -5x)(x +2) +4(x -2)(x +1) + 2(x - 2)(x + 2) = m, (8x -3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x -1) -33
5 Chøng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến :
a, x(x2 + x + 1) - x2(x + 1) - x + 5
b, x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3
c, 4(6 - x) + x2(3x+2) +3x2 (1- x) - x(5x-4)
d, (x + 1)(x2 + x + 1) - (x -1)(x2 + x + 1)
6 Chøng minh r»ng :
a, (x -1)(x2 + x + 1) = x3 -1
(4)b, (x3+ x2y + xy2 +y3)(x - y) = x4 +y4
c, (x +y +z)2 = x2 +y2 +z2 +2xy +2xz +2yz
d, (a -1)(a -2) + (a -3)(a +4) - (2a2 +5a -34) = -7a +24
e, (x +y)(x-z) - z(2x - z) - (x +y - z)(x - y - z) = g, ( x +2y)(x- 2y) = x2 - 4y2
h, (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
i, (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
7 a,Tìm số tự nhiên liên tiếp ,biết cộng tích , tích tích số đợc 26
b, Tìm số tự nhiên liên tiếp , biết tích số đầu bé tích số sau 18
Hình học : ¤n tËp vỊ h×nh thang
Tãm tắt lý thuyết :
1.Hình thang:
- Định nghÜa: H×nh thang ABCD : AB // CD A B - TÝnh chÊt : Trong h×nh thang 2góc kề cạnh bên bù
- Nhận xét :Nếu hình thang có cạnh bên song song cạnh bên ,2 cạnh đáy ngợc lại
D C
2 Hình thang vuông ,hình thang cân:
- Định nghĩa:
* Hỡnh thang vng hình thang có cạnh bên vng góc với đáy * Hình thang cân hình thang có góc kề 1đáy
- Tính chất : Trong hình thang cân : * cạnh bên
* đờng chéo
- DÊu hiÖu nhËn biÕt : A B * tø giác có cạnh song song hình thang
* Hình thang có góc vuông hình thang vuông
*Hỡnh thang cú góc kề đáy hình thang cân C * Hình thang có đờng chéo l hỡnh thang cõn
*Các dạng toán :
Dạng 1 : Tính góc hình thang
Cách giải : - Sử dụng tính chất góc tạo đờng thẳng song song với đ-ờng thẳng thứ
VD1: H×nh thang ABCD (AB//CD) cã ¢ - D = 200 , B = 2C Tính góc hình
thang
Gi¶i :
Ta có AB//CD nên : Â + D = 1800
Ta lại có Â - D = 200 nên : Â = 0 1000
2 20 180
, D = 1800 - 1000 = 800
AB//CD nªn : B +C = 1080 mµ B = 2C 3C = 1800 C = 600 , B = 1200
Dạng 2: Nhận biết hình thang , hình thang c©n
Cách giải : - Chứng minh tứ giác hình thang ta sử dụng định nghĩa hình thang - Chứng minh tứ giác hình thang cân :
* C/M tứ giác hình thang
* C/M hình thang có góc kề đáy đờng chéo
A B
D C
(5)VD2: Tø gi¸c ABCD cã AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang
Giải Ta cã : AB = BC ABC cân Â1 = C1
Ta lại có : Â1 = Â2 nên C1 = Â2 BC// AD
Vậy ABCD hình bình hành
VD3 : H×nh thang ABCD (AB//CD) cã : ACD = BDC Chøng minh r»ng ABCD lµ hình thang cân
Giải:
Gọi E giao điểm AC BD Ta cã ECD cã : C1 = D1 nên ECD cân EC = ED (1)
T¬ng tù chøng minh ta cã : EA = EB (2) Tõ (1) vµ (2) suy : AC = BD
Hình thang ABCD có đờng chéo nên ABCD hình thang cân Dạng : Tính số đo góc , độ dài đoạn thẳng qua
tÝnh chÊt h×nh thang c©n
Cách giải : Sử dụng tính chất hình thang cân : góc kề đáy ,2 cạnh bên nhau, đờng chéo
VD4: Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ) Kẻ đờng cao ME, NF hình thang
Chøng minh r»ng : QE = PF M N Gi¶i : MEQ = NFP ( c¹nh hun - gãc nhän)
QE = PF
Q E F P
VD 5: Các tËp 12 ,13, 15 , 16 (SGK - tr74; 75)
Bài tập :
1.Hình thang ABCD (AB // CD) cã ¢ - D = 400 , ¢ = 2C Tính góc hình thang
2 Cho ABC cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D, tia đối tia AB lấy điểm E
sao cho AD = AE Tø gi¸c DECB hình ? Vì ?
HD : ABC cân A nên
2 1800 1
A
C
DAE cân A nên
2 180
0
A
D
Do ¢1 = ¢2 nªn
1 D
C DE // BC DECB hình thang
mà BE = CD DECB hình thang cân
3.Tứ giác ABCD cã AB = BC = AD ,¢ = 1100,
C = 700 Chøng minh r»ng : a, DB tia phân giác góc D
d, ABCD hình thang cân
(6)HD : a, KỴ BH AD , BK CD
C/M: BH = BK -> DB lµ tia phân giác góc D b, Tính
1
D = 350 , ADC = 700 -> AB // DC
-> ABCD hình thang cã : 700
C
D nên hình thang cân
4.Hình thang cân ABCD (AB //CD) có đờng chéo cắt P, cạnh bên kéo dài cắt Q Chứng minh PQ đờng trung trực đáy
HD : ACD = BDC (c-g-c) -> ACD = BDC
-> PCD cân -> PC = PD (1)
Tơng tù : PA = PB (2)
QDC QAB có góc đáy nên cân
-> QA = QB (3) , QC = QD (4) Từ (1) (4) suy PQ đờng trung trực CD
Từ (2) (3) suy PQ đờng trung trực ca AB
5 Hình thang cân ABCD (AB //CD) có DB tia phân giác góc D ,DBBC
BiÕt AB = 4cm TÝnh chu vi h×nh thang
6 Tính chiều cao hình thang cân ABCD, biết cạnh bên BC = 25cm, cạnh đáy AB = 10cm, CD = 24cm
7.Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự điểm D, E cho AD =AE
a, Chøng minh BDEC lµ hình thang cân
b, Tớnh cỏc gúc ca hình thang cân ,biết  = 500
8.Cho ABC cân A,các đờng phân giác BD, CE
a, Tứ giác BEDC hình ? Vì ?
b, TÝnh chu vi tø gi¸c BEDC ,biÕt BC = 15cm, ED = 9cm
9.Cho h×nh thang ABCD cã AB//CD vµ BC = AB Chøng minh CA tia phân giác góc C
10. Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trong đờng phân giác góc D C cắt I nằm đáy AB Chứng minh : AD + BC = AB
Đại số : Ôn tập
v nhng hng ng thc đáng nhớ I,Tóm tắt lý thuyết :
? Nêu đẳng thức học ?
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)3= a3+3a2b +3ab2+b3
(a-b)3= a3-3a2b +3ab2-b3
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) Các dạng toán :
Dng 1: áp dụng đẳng thức đáng nhớ để tính
Cách giải : Đa đẳng thức đáng nhớ để tính
VD1: TÝnh
a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(7)c, (
2
x - y)3 = 2
2
3
y xy y x
x
d, (x2- 4)(x2+4) = x4 -16
e, (x+3)(x2 -3x+9) = x3 + 33 = x3 +27
Dạng : Chứng minh đẳng thức
Cách giải : áp dụng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái
VD2: Chøng minh r»ng : a, (x+ y)2 - 2xy = x2 +y2
VT = (x+ y)2 - 2xy = x2 + 2xy +y2 -2xy = x2 +y2 = VP
b, (x + y)3 - 3xy(x + y) = x3 + y3
VT = (x + y)3 - 3xy(x + y) = x3 +3x2y + 3xy2 + y3 - 3x2y - 3xy2 = x3 + y3
D¹ng : TÝnh nhanh
Cách giải : Đa số cần tính nhanh dạng (a + b)2 (a-b)2,trong a số
nguyªn chia hÕt cho 10
VD3: TÝnh nhanh
a, 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 12 = 10000 + 200 + = 10201
b, 99 2 = (100 -1)2 = 1002 - 2.100 + 12 = 10000 - 200 + = 9801
c, 47.53 = (50 -3)(50 + 3) = 502 -32 = 2500 -9 = 2491
Dạng : Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức
Cỏch gii : - áp dụng đẳng thức đáng nhớ để khai triển rút gọn - Thay giá trị biến x vào biểu thức rút gọn
VD4 : Tính giá trị biểu thức sau : a, 16x2 -24x +9 víi x = 5
Ta cã : 16x2 -24x +9 = (4x)2 - 2.4x.3 + 32 = (4x -3)2
Víi x = ta cã : (4x -3)2 = (4.5 -3)2 = 172 = 289
b, 8x3 + 12x2 + 6x + víi x = 3
Ta cã : 8x3 + 12x2 + 6x + = (2x)3 + 3.(2x)2 + 3.2x.1 + 13 = (3x + 1)3
Víi x = ta cã : (3x + 1)3 = (3.3 + 1)3 = 103 = 1000
VD5: Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
a, (x+ y)2 - (x- y)2 = x2 + 2xy +y2 - (x2 - 2xy +y2) = 4xy
b, (x + 1)3 + (x - 1)3 + x3 -3x(x + 1)(x -1) =
= x3 + 3x2 + 3x + + x3 - 3x2 + 3x - + x3 -3x(x2 -1)
= x3 + 3x2 + 3x + + x3 - 3x2 + 3x - + x3 - 3x3 +3x
= 9x
Dạng : Điền vào ô trống hạng tử thích hợp
Cách giải : - Dựa vào số hạng tử đẳng thức có trống ta nhận dạng đẳng thức đáng nhớ
- Thay vào ô trống hạng tử thích hợp
VD6 : Điền vào ô trống hạng tử thích hỵp : a, ( 2x + y)( - + ) = 8x3 + y3
b, (x - )( - 5x + ) = x3 - 125
Gi¶i :
a, , ( 2x + y)( 4x2 -2xy + y2) = 8x3 + y3
b,(x -5)( x2 - 5x + 25 ) = x3 125
Dạng : Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biÕn :
Cách giải : Dùng đẳng thức để biến đổi biểu thức cho khơng cịn chứa biến
(8)a, (2x + 3)(4x2 -6x + 9) - 2(4x3 - 1)
b, (x + 3)3 - (x + 9)(x2 +27)
Gi¶i :
a, áp dụng đẳng thức (A+B)(A2-AB+B2) = A3+B3 ta có :
(2x + 3)(4x2 -6x + 9) - 2(4x3 - 1) = (2x)3 + 33 - 8x3 + = 8x3 + 27 -8x3 + = 29
Vậy biểu thức cho không phụ thuộc vào x
b, (x + 3)3 - (x + 9)(x2 +27) = x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 -27x - 9x2 - 243 = -216
Vậy biểu thức cho không phụ thuộc vào x Dạng 7: Tìm x
VD8: T×m x, biÕt :
a , (x + 2)2 - = b, (x + 2)2 - x2 + = 0
Gi¶i :
a, áp dụng đẳng thức a2-b2 =(a+b)(a-b) ta có :
(x + 2)2 - = (x + 2)2 - 32 = (x + 2-3)(x + + 3) = (x -1)(x + 5)
VËy (x -1)(x + 5) = -> x = x = -5
Dạng : Tìm giá trị nhỏ ,lớn biểu thøc
Cách giải : Dựa vào đẳng thức : a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
để đa biểu thức dạng :
* A = a + [f(x)]2 víi a lµ h»ng sè , f(x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x
V× [f(x)]2
víi x -> A a -> Amin = a <-> f(x) = ( -> t×m x)
* B = b - [f(x)]2 víi b lµ h»ng sè , f(x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x
V× - [f(x)]2
víi x -> A b -> Amax = b <-> f(x) = ( -> tìm x)
VD 9 : Tìm giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc : a, A = 4x2 + 4x + 11
b, B = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) c, C = x2 - 2x + y2 -4y + 7
Gi¶i :
a, Ta cã : A = 4x2 + 4x + 11 = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x + 1)2 + 10
V× (2x + 1)2 víi
x -> A = (2x + 1)2 + 10 10 -> Amin = 10 <-> 2x +1 = -> x = -
2
b, B = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) = ( x2 +5x -6)(x2 +5x +6) = (x2 +5x)2 - 36
-36 víi
x
-> Bmin = -36 <-> x2 +5x = -> x(x +5) =
5 x x
c, C = x2 - 2x + y2 -4y + = (x - 1)2 + (y - 2)2 + víi x , y
-> Cmin = <-> x = 1, y =
VD10 :Tìm giá trị lớn biểu thức :
a, A = - 8x - x2 b, B = - x2 + 2x -4y2 - 4y
Gi¶i :
a, A = - 8x - x2 = - x2 -8x + = -( x2 +8x + 16) +16 +5 = -(x + 4)2 +21
V× -(x + 4)2
víi x -> A 21 -> Amax = 21 <->x + = -> x = -4
b, B = - x2 + 2x -4y2 - 4y = -(x - 1)2 -(2y + 1)2 +7
V× -(x - 1)2 -(2y + 1)2 nên B -> B
max = <> x = 1, y =
-2
(9)Cách giải : Biến đổi đẳng thức dạng : A2 + B2 = A = 0, B = 0
VD11: a, Cho a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca , chøng minh : a = b = c
b, Tìm a, b, c thoả mãn đẳng thức : a2 -2a + b2 +4b + 4c2 - 4c + = 0
Gi¶i :
a, Từ đẳng thức a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca ta có :
2a2 + 2b2 +2c2 - 2ab -2bc - 2ca = 0
-> (a2 -2ab+ b2)+ (b2 -2bc+ c2 )+ (c2 - 2ca +a2) = 0
hay (a - b)2 + (b - c)2 +(c - a)2 = -> a = b = c
b, Từ đẳng thức cho ta có : (a - 1)2 + (b + 2)2 +(2c - 1)2 = -> a = 1, b = -2, c =
2
Dạng 10 : Chứng minh bất ng thc tho vi mi bin
Cách giải :
- C/m biểu thức dơng với x ta biến đổi dạng : [f(x)]2 + K > (với K > 0)
- C/m biểu thức âm với x ta biến đổi dạng : - [f(x)]2 + n < (với n < 0)
VD12: Chøng minh r»ng:
a, x2 + x + > víi mäi x b, -4x2 - 4x - < víi mäi x
Gi¶i
a, Ta cã : x2 + x + = x2 + 2.x.
2
+
4
= (x +
)2 +
4
> víi mäi x v× (x +
2
)2 > víi mäi x
b, Ta cã : -4x2 - 4x - = -4x2 - 4x - - = -(4x2 + 4x + 1) - = -(2x + 1)2 -1 < víi
mäi x
Dạng 11 : áp dụng vào số học
Cách giải : * a b cã sè k cho a = b.k (a, b, k Z)
Phân tích biểu thức thừa số để xuất số chia
VD 13: BiÕt sè tù nhiªn a chia cho d 1, sè tù nhiªn b chia cho d C/m (a2 + b2)
5
Gi¶i
Ta cã a = 5K + ; b = 5l + (K, l N)
a2 + b2 =(5K+ 1)2 +(5l + )2 = 25K2 +10K +1 +25l2 +20l +4 = 5(5K2 +2K +5l2+4l
+1) 5
Dạng 12 : Một số đẳng thức tổng quát
* an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +….+abn-2 + bn-1 ) víi mäi n
Z * an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b +….- abn-2 + bn-1 ) víi mäi n
Z
VD: a5 - b5 = (a - b)(a4 + a3b + a2b2+ab3 + b4 )
a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b +a2b2 -ab3 + b4 )
Nhị thức Niu-tơn (a +b)n = an + C1
nan-1b + C2nan -2b + ….+ Cn n - 1abn-1 + bn
Víi CK n =
k k n n
n n
) ) (
2 )(
(
(k = 1, 2, 3,…,n-1) CK
n gọi tổ hợp chập k n phần tö VD: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a - b)5 = a5 - 5a4b+ 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5
VD14 : CMR : (1110 - 1) 100
Gi¶i
(10)Ta cã : 1110 - = 1110 - 110 = (11 - 1)( 119 +118 + 117 +….+ 11 +1)
= 10(119 +118 + 117 +….+ 11 +1)
Vì 119 +118 + 117 +….+ 11 +1 có chữ số hàng đơn vị
nªn (119 +118 + 117 +….+ 11 +1) 10
VËy (1110 - 1)
100
II,Bµi tËp :
Bµi 1: TÝnh
a, (x + 2y)2 b, (3x - 2y)2 c, (2x +
2
)2
d, x3 + 8y3 e, 8y3 -125 g, (x -2)(x2 +2x +4)
h, (x +
3
)3 i, x2 - 16y2 k, x6 - y3
Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau:
a, (a2+b2)2-4a2b2 = (a+b)2(a-b)2 b, (a2+b2)(x2+y2) =(a.x-by)2 +
(bx+ay)2
c, a3-b3 +ab(a-b) = (a-b)(a+b)2 d, (a+b)2-b2 =a(a+2b)
e, (a+b)3 =a(a-3b)2+b(b-3a)2 g, (a+b)3 -(a-b)3 = 2b(b2 -3a2)
Bµi 3: TÝnh nhanh:
a,10012 ; 29,9.30,1 b, 1532+94.153+472
c, 1262-152.126 +5776 d, 154-(152-1)(152+1)
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau: A= (x+y)2-(x-y)2
B = (x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2
C = (x+y)3-(x-y)3-2y3
D =(2x+3)2-2(2x+3)(2x+5)+(2x+5)2
E=(x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)
Bài 5: Tính giá trị biểu thức :
A= 49x2-56x+16 víi x=2
B = 27x3+54x2+36x+4 víi x =-2
Bµi 6: Rót gän råi tính giá trị biểu thức sau: a, (x -10)2 - x(x + 80) víi x = 0,98
b, (2x +9)2 - x(4x + 31) víi x = -16,2
c, 4x2 - 28x + 49 víi x = 4
Bµi7: ViÕt biểu thức sau dới dạng bình phơng tỉng hay mét hiƯu: a, x2+5x+
4 25
b, 16x2-8x +1
c, 4x2+ 12xy +9y2 d, (x+3)(x+4)(x+5)9x+6) +1
e, x2+y2+2x+2y+2(x+1)(y+1)+2 f, x2-2x(y+2)+y2+4y+4
Bµi 8: ViÕt biểu thức sau đay dới dạng lập phơng mét tỉng hay mét hiƯu: a, x3+3x2+3x+1 b, 27y3-9y2
+y-27
c, 8x6+12x4y+6x2y2+y3 d, (x+y)3(x-y)3
(11)Bài 9: Tìm x biÕt :
a, x2-4x+4 =25 b, (5-2x)2 -16 = 0
c,9x2-6x-3=0 d, x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4) = 3
e, x3+9x2+27x+19 = g, (x-3)2-(x-3)(x2+3x+9) +9(x+1)2 = 15
Bµi 10: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
(x + y)(x2 - xy + y2) +(x - y)(x2 + xy + y2) - 2x3
Bµi 11: a, áp dụng công thức (a+b)2 = a2+2ab+b2 ,hÃy tìm công thøc tÝnh (a+b+c)2
b, Rót gän biĨu thøc : (a+b+c)2 +(a+b-c)2-2(a+b)2
Hd : a,Ta cã: (a+b+c)2 = [a+ (b+c)]2= a2+2a(b+c)+(b+c)2
= a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
VËy (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Bµi 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
a, x2 - 20x + 101 b, 4a2 + 4a +2
c, x2 - 4xy + 5y2 + 10x -22y + 28
Bài 13: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc :
A = 4x - x2 +3 B = x - x2
Bài 14: Chứng minh bất đẳng thức sau thoả mãn với x, y : a, x2 + xy + y2 +1 >
b, x2 + y2 + 2x - 4xy - 10y +14 > 0
c, 5x2 + 10 y2 - 4x - 6xy - 2y + > 0
Bài 15: Cho số tự nhiên n :7 d Hái n2 : d bao nhiªu ? n3 : d bao nhiªu ?
Bµi 16: Cho a, b Z Chøng minh r»ng : (a3 + b3) (a + b) 3
Bµi 17: Cho a+b =1
a, TÝnh M = a3+3ab +b3
b, TÝnh N = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2)
Bài 18: Tìm số tự nhiên liên tiếp biết hiệu bình phơng chóng lµ 40
Bµi 19: Víi n N , chøng minh r»ng: a, (11n + 2 + 122n + 1) 133
b, (7.52n + 12.6n) 19
Bµi 20: Chøng minh r»ng:
(x - y)2 + (y - z)2 +(z - x)2 = ( y + z -2x)2 + (z + x - 2y)2 + (x + y -2z)2 th× x = y = z
Hình học : Ơn tập đờng trung bình
tam giác, hình thang
Tãm t¾t lý thuyÕt :
1 Đ ờng trung bình tam giác :
- Định nghĩa : Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam gi¸c
(12)- Tính chất : DE đờng trung bình ABC :
BC
DE BC DE
2 1 //
Đ ờng trung bình hình thang :
-Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm cạnh bên hình thang
- Tính chất : MN đờng trung bình hình thang ABCD :
( )
2 1
// , //
CD AB MN
CD MN AB MN
Các dạng toán:
Dng : Tính độ dài chứng minh quan hệ độ dài
Cách giải : - Vận dụng vào định lý đờng trung bình tam giác ,đờng trung bình hình thang
VD 1: Cho ABC Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung điểm cạnh AB , AC, BC
.Tính chu vi cña MNP ,biÕt AB = 8cm , AC = 10cm, BC = 12cm
A
Gi¶i
ABC cã :
NC AN
MB AM
-> MN đờng trung bình M N -> MN = 6( )
2 12
2 cm
BC
T¬ng tù : MP = 5( )
10
2 cm
AC
NP = 4( )
8
2 cm
AB
Vậy chu vi MNP : + + = 15 (cm) A 8cm B VD2: Cho hình vẽ ,trong AB//CD//EF//GH x
Tính x, y hình
Giải 16cm CD đờng trung bình hình thang ABFE nên :
y
x = 12( )
2 16
2 cm
EF AB
G H EF đờng trung bình hình thang CDHG nên : EF =
2
HG CD
-> 16 =
2 12 y
-> y = 20(cm)
Dạng : Chứng minh đờng thẳng song song chứng minh điểm thẳng hàng,tính góc
B
P
C
C D
(13)VD 3: ABC cã ¢ = 600, B = 700, D vµ E theo thø tự trung điểm AB AC
.Xỏc định dạng tứ giác BDEC tính góc ? A Giải
ABC cã :
EC AE
DB AD
-> DE đờng trung bình _ =
-> DE//BC ->BDEC hình thang D E -> 700, 1100, 500, 1300
E C
D
B _ =
B C
VD4: Cho hình thang vuông ABCD (Â =
D= 900).Gọi F trung điểm BC
Chøng minh r»ng : BAF = CDF
Gi¶i :
Gäi E trung điểm AD
-> E F đờng trung bình hình thang ABCD Nên : EF//AB //CD -> BAF = 1
F , CDF =
F (so le trong)
Do EF//CD mà ADCD nên EF AD
AFD có đờng trung tuyến FE đờng cao nên AFD cân
-> 1
F =
F -> BAF = CDF
Bµi tËp :
1 Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM Gọi I trung điểm AM ,D giao điểm BI AC
a, Chøng minh : AD =
2
DC b, So sánh độ dài BD ID
2.Cho h×nh thang ABCD (AB //CD ), Gọi E, F, K lần lợt trung điểm AD, BC, BD Chøng minh ®iĨm E, K, F thẳng hàng
3 Cho hình thang ABCD (AB //CD ),E trung điểm AD, F trung điểm BC Đờng thẳng E F cắt BD ë I, c¾t AC ë K
a, Chøng minh AK =KC, BI = ID
b, Cho AB =6, CD = 10 Tính độ dài EI, KF, IK ?
4.Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD,CE .Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên
5 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F ,K theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC a, So sánh độ dài đoạn EK CD , KF AB
b, Chøng minh E F
2
CD AB
6.Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ B đến tia phân giác góc A Gọi M trung điểm BC Tính độ dài HM ?
(14)7.Cho tam gi¸c ABC cã BC = 8cm, c¸c trung tuyÕn BD, CE Gäi M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD Gọi giao ®iĨm cđa MN víi BD, CE theo thø tù lµ I, K
a, Tính độ dài MN ?
b, Chøng minh r»ng : MI = IK = KN
đại số: Ôn tập phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
I Tóm tắt lý thuyÕt:
* Để phân tích đa thức thành nhân tử ta thờng dùng phơng pháp : - Phơng pháp đặt nhân tử chung
- Phơng pháp dùng đẳng thức - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
- Ph©n tích đa thức thành nhân tử phơng pháp phối hợp nhiều phơng pháp * Ngoài phơng pháp có vài phơng pháp khác :
- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phơng pháp thêm, bớt hạng tử thích hợp - Phơng pháp t bin ph
Các dạng toán :
Dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử
Cách giải : áp dụng phơng pháp :
* t nhõn tử chung dấu ngoặc : AB + AC - AD = A(B + C - D) * Sử dụng đẳng thức đáng nhớ
* Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
VD 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a, 5x2y2+20x2y-35xy2= 5xy.xy +5xy.4x-5xy.7y
= 5xy(xy+4x-7y) b, 5x(x-1)-3y(x-1) = (x-1)(5x-3y)
c, 3x(x-2y) +6y(2y-x) =3x(x-2y)-6y(x-2y) = (x=2y)(3x-6y)
=3(x-2y)(x-2y) =(x-2y)2
VD2 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a, 9x2+30x+25 = (3x)2+2.3x.5 +52 = (3x+5)2
b,
9
x4 -16 y2=(
3
x)2 -(4y)2 = (
3
x2- 4y)(
3
x2+4y)
c, 8x3 + 60x2y + 150xy2 + 125y3 = (2x)3 +3.(2x)2.5y +3.2x.(5y)2+(5y)3
= (2x +5y)3
VD3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a, a x-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y) = (a+b)(x-y) b, x2-2xy+y2-4 = (x-y)2-22 = (x-y+2)(x-y-2)
VD4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a , a4+5a3+15a-9 = (a4-9)+(5a3+15a)
= (a2-3)(a2+3) + 5a(a2+3)
= (a2+3)(a2-3+5a)
b, x2-x-30 =x2-6x +5x -30 = x(x-6) +5(x-6) = (x-6)(x+5)
D¹ng : Tính nhanh
Cách giải : Phân tích biĨu thøc cÇn tÝnh nhanh thõa sè råi tÝnh
VD5: TÝnh nhanh :
(15)Gi¶i
a, 722 -282 = (72 + 28)(72 -28) = 100.44 = 4400
b, 372 - 132 = (37 + 13)(37 -13) = 50.24 = 1200
c, 20042 - 42 = (2004 + 4)(2004 -4) = 2006.2000 = 4012000
VD6: TÝnh nhanh : x2 +
6
x víi x = 49,75
Gi¶i : x2 +
6
x = x2 + 2.x. )2
4 (
= (x +
4
)2 = (x + 0,25)2
D¹ng : Tính giá trị biểu thức
Cách giải : - Phân tích đa thức thành nhân tử
- Thay giá trị biến biểu thức ó phõn tớch
VD7: Tính giá trị biểu thøc :
15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 D¹ng : T×m x
Cách giải : - Đa đẳng thức dạng VP =
- Phân tích VT thành nhân tử để đợc A.B =
0 B A
- Tìm x từ đẳng thức A = 0, B =
VD8: T×m x, biÕt :
a, (x + 2)2 -16 = b, x3 -
4
x = Gi¶i
a, Ta cã : (x + 2)2 -16 = (x + 2)2 -42 = (x + + 4)(x + - 4)= (x + 6)(x - 2)
Đẳng thức cho trở thành : (x + 6)(x - 2) = -> x = -6 x = b, Ta có : x3 -
4
x = x(x2 -
4
) = x(x + )
2 )(
x
Do : x(x + ) )(
x = -> x = hc x =
2
hc x =
-2
Dạng : áp dụng vào số học
Cách giải : * a b nÕu cã sè k cho a = b.k (a, b, k Z)
Phân tích biểu thức thừa số để xuất số chia
VD9: Chøng minh r»ng : (55n + 1 - 55n) 54
Gi¶i
Ta cã : 55n + 1 - 55n = 55n .55 - 55n = 55n(55 -1) = 55n.54 54
Dạng : Phân tích đa thức phơng pháp tách đối vi tam thc bc hai
Cách giải : Đối với tam thức bậc hai a.x2+bx+c ta làm nh sau:
1- T×m tÝch ac
2- Ph©n tÝch ac thừa số nguyên cách 3- Chän thõa sè mµ tỉng b»ng b
VD10 : Ph©n tÝch 2x2-7x+6
Ta thÊy a.c = 12=(-3)(-4)=2.6 Mµ(-3)+(-4) = -7
(16)Nªn 2x2-7x+6 = 2x2-3x-4x+6 =2(2x-3) -2(2x-3) = (2x-3)(x-2)
Dạng 7: Phơng pháp t n s ph
VD11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x(x+2)(x+5)(x+3) -7 = (x2+5x)(x2+5x+6)-7
Đặt x2+5x= y đa thức có dạng : y(y+6)-7 = y2+6y-7 = y2+7y-y-7 = (y-1)(y+7)
= (x2+5x-1)( x2+5x +7)
b, (x2+2x)2 + 4(x2+2x)-21
Đặt x2+2x = y đa thức cho có dạng: y2+4y-21 = y2+7y-3y-21 = (y+7)(y-3)
= (x2+2x +7)( x2+2x -3)
D¹ng : Phơng pháp thêm bớt số hạng tử:
VD12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, 4x4 +81 = (2x2)2 +92 +2.2x2.9-2.2x2.9 = (2x2+9)2-(6x)2 = (2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
b, 64x4 + y4 = (8x2)2 +(y2)2+ 2.8x2.y2 -2.8x2.y = (8x2 +y2)2 -(4xy)2
= (8x2+y2-4xy)(8x2+y2+4xy)
VD13: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: x7+x2+1 = x7-x+x2+x+1
= x(x3-1)( x3+1) +x2+x+1
= x(x3+1)( x3-1) (x2+x+1) +x2+x+1
= (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)
Đối với đa thức có bậc từ trở lên ta cần ý điều sau:
1- Nếu đa thức có tổng hệ số nghiệm đa thức ,do đa thức có chứa thừa số x-1
VD1: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 3x2-4
C¸ch 1: x3 + 3x2-4 = x3-x2 +4x2-4 = x2(x-1) + 4(x2-1) = x2(x-1) + 4(x-1)(x+1)
= (x-1)(x2+4x+4) = (x-1)(x+2)2
C¸ch 2: x3 + 3x2-4 = x3-1 +3x2-3 = (x-1)(x2+x+1) + (3(x-1)(x+1)
= (x-1)(x2+x+1+3x+3) = (x-1)(x2+ 4x+4) = (x-1)(x+2)2
2- Nếu đa thức có hệ số số hạng bậc chẳn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thøc , ®a thøc chøa thõa sè x+1
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4-5x3+3x2+9x = x4+x3-6x3-6x2+9x2+9x = x3(x+1)-6x2(x+1) +9x(x+1)
= (x+1)(x3-6x2+9x) = (x+1)x(x-3)2
3 - Nếu nghiệm đa thức có ớc hệ số tự đa thức có chứa thừa số là x cộng với hệ số tự do
VD: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 3x2+x -2 = x3+2x2+x2+2x-x-2 = x2(x+2) +x(x+2) -(x+2) = (x+2)(x2+x-1)
II, Bµi tËp :
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a , 40a3b3c2x +12a3b4c2-16a4b5cx b, (b-2c)(a-b)-(a+b)(2c-b)
c, a2y2 +b2x2-2abxy d, 64x2-(8a+b)2
e, 3a2-6ab +3b2-12c2 g , 1-2a +2bc+a2-b-c2
h, x2-5x+6 k, x2-5x-14
l, x2-12x+32 m, 12x2y-8xy2z+28xz
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, x3 - 5x2+8x -4 e, x3 -2x -4
b, x3 - 5x2+3x +9 g, 2x3 -12x2+17x -2
c, x3 + 8x2+17x +10 h, x3 + x2+4
(17)Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a x(x+1)(x+2)(x+3) e x4+4
b (x2+x)2+3(x2+x)+2 g 81x4+4
c x2-2xy+ y2+3x-3y-10 h x7+x5+1
d (x2+8x+7)(x+3)(x+5)+15 i x8+x+1
Bµi 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a,
2
(a2+b2)- 2a2b2 g, x4 -4x2+4x -1
b, 4x2-(x2+4x+4) h, 4a2b2 - (a2+b2+c2)2
c, 7x2-3(x-y)2-7y2 i, 6x2-11x+3
d, 6x3-x2y-6x+y k, 2x2+3x-27
e, 81a3-6bc-9b2-c2 l, 2x2-5xy-3y2
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, x3 - 4x2-8x +8 e, x3 -7x +6
b, 6x3 - x2-486x +81 c, x3 -9x2+6x +16
d, x3 + 5x2+8x +4 i, x3 + x2-x +2
Bài 6: Tìm tất số nguyên x,y thoả mÃn: : a, xy +1 = x +y (x=1,y=1)
b, xy +x+y+10 = (x = 0, y = -10 hc x = -10 ,y = 0) (x = 8, y = -2 hc x = -2 ,y = 8) (x =2, y = -4 hc x = -4 ,y = 2) c, x +y = xy
Gi¶i : c, x +y = xy x+y-1-xy = -1 (x-1) -y(x-1) = -1 (x-1)(1-y) = -1 (x-1)(y-1) = (1)
Vì x,yZ nên x-1Z y-1 Z Trong Z ta cã (1) vµ chØ khi: x-1 =1 x =
y-1 = y = hc x-1 = -1 x = y-1 = -1 y = VËy cỈp số nguyên x,y (0;0),(2;2)
Bài 7: CMR với mäi sè nguyªn n ta cã : a, (4n+3)2-25 chia hÕt cho 8
b, (n+7)2-(n-5)2 chia hÕt cho 24
c, 5n3+15n2+10n lu«n chia hÕt cho 30
Gi¶i :
a, Ta cã : (4n +3)2-52= (4n+3+5)(4n+3-5) = (4n+8)(4n-2) = 4(n+2).2(2n-1)
= 8(n+2)(2n-1) Vì n Z nên (n+2)(2n-1) Z .Do 8(n+2)(2n-1) 8
b, Ta cã : (n+7)2-(n-5)2=(n+7-n+5)(n+7+n-5) =12(2n+2) = 24(n+1)
24 n Z
c,Ta cã : n3+15n2+10n = 5n(n2+3n+2)
= 5n(n2+n+2n+2)
= 5n[n(n+1)+2(n+1)] = 5n(n+1)(n+2)
n(n+1)(n+2) tích số liên tiếp mà số liên tiếp có số chẳn nên n(n+1)(n+2)2 (1)
Vì nZ nên n3 n3 d 1thì n+2 n3 d th× n+13
(18) n(n+1)(n+2)3 (2)
Tõ (1) &(2) n(n+1)(n+2)6 l¹i cã 5n5
Suy 5n(n+1)(n+2)30 hay (5n3+15n2+10n) 30 với n số nguyên
Bài 8: Tìm x biÕt :
a, x2+x=6 b, 6x3+x2=2x
c,(5-2x)(2x+7) =-4x2+25 (x=2,5)
d, x3+27 +(x+3)(x-9) = (x = 0;2;-3)
e, (x+1)(2-x) +(x-2)2+x2-4 = 0
g, 4(2x+7)2-9(x+3)2 = 0
h, (5x2+3x-2)2 = (4x2-3x-2)2
Bài 9: Tìm x biết:
a, (x2-9)2-(x-3)2 = (x=2; x=3; x=4)
b, x3 -3x +2 = (x=1; x=-2)
c, (2x-3)(x+1) +(4x3-6x2-6x):(-2x) = 18 (x=9)
Bài 10: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc sau: a, (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
b, x2-2x +y2-4y +6
Bµi 11: Tính nhanh giá trị biểu thức sau: A = (x+2)2-2(x+2)(x-8) +(x-8)2 víi x = -5
4
B = a3-a2b-ab2+b3 víi a = 5,75 ; b = 4,25
Bµi 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a, (x2+x)2-2(x2+x)-15 b (x2+2x)+9x2+18x+20
c (x2+3x+1)(x2+3x+2)-6 d x4+4
e x4+324 g x5+x+1
h.4x8+1
Bài 13: Giải phơng trình sau:
a, (x2-25)2-(x-5)2 = b, x3-4x2-9x+36 = 0
c, 16x2-9(x-+1)2 = d, (x2-x)2+ 4(x2-x)-12 = 0
e, (x-1)(x+2)(x+3)(x+4) -24 = g, x4+8x2-9 = 0
KQ: a, x = 5;hc x = -6; hc x = -4 b, x = ; hc x =-3 ; hc x =4 c, x = ; hc x =
-7
d, x = ; hc x = -1; hc x = 3; hc x = -3 e, x = ; hc x =
g, x = -1; x =
Hình học : Dựng hình thang thớc com pa Dùng h×nh thang
(19)2 2
1 1
Cách dựng hình thang b»ng thíc vµ com pa:
Gåm bíc :
Phân tích : - Giả sử có hình thoả mãn điều kiện tốn - Chọn yếu tố dựng đợc (đoạn thẳng, tam giác,…) - Đa việc dựng điểm lại tốn dựng hình
Cách dựng : - Nêu thứ tự bớc dựng đồng thời thể hình vẽ
Chứng minh : - Chứng tỏ với với cách dựng hình thoả mãn đ/k
Biện luận: - Xét xem toán dựng c v dng c my hỡnh
Các dạng toán :
Dạng 1: Dựng tam giác
VD1: Dựng tam giác ABC vuông B, biết cạnh huyền AC = 4cm, cạnh góc vuông BC = 2cm x Giải A
Cách dựng :
- Dựng đoạn thẳng BC = 2cm
- Dùng gãc CBX = 900 4
- Dựng đờng tròn (C, 4cm), cắt Bx A
- Dựng đoạn thẳng AC B C Chứng minh : ABC có : B^ = 900, BC = 2cm, AC = 3cm thoả mãn đề
Dạng : Dựng hình thang
VD2: Dùng h×nh thang ABCD, biÕt
D= 900, đáy CD = 3cm, cạnh bên AD = 2cm,
cạnh bên BD = 3cm
Giải A B B/ x
- Dựng ABD biết cạnh góc xen Sau dựng điểm B
( u ýL : Có hình thang thỏa mãn tốn D C Dạng 3: Dựng góc có số đo đặc biệt
VD3: Dùng gãc có số đo 450
Giải
- Dựng tam giác vng để có góc 900
- Dựng tia phân giác góc 900
Dạng : Dựng tứ giác, dựng điểm hay đờng thẳng thỏa mãn yêu cầu đó
VD4: Cho ABC Dựng đờng thẳng song song với BC cắt AB AC D E
sao cho : DE = BD + CE A Gi¶i
Phân tích : Giả sử dựng đợc DE//BC
cho DE = BD + CE D I E Trªn DE lÊy I cho : DI = DB th× EI = EC
-> C/m : 1 2 B
B vµ 1 2
C
C B C
* C¸ch dùng : - Dựng tia phân giác góc B C, chóng c¾t ë I 19
(20)B F
C G
D H
- Qua I, dựng đờng thẳng //BC, cắt AB AC D E
II Bµi tËp
1.Dùng ABC, biÕt : AB +AC = 3cm, BC = 2cm, B = 750
2.Dùng h×nh thang c©n ABCD (AB//CD), biÕt : AB = 1cm,
C= 550, đờng cao BH = 1,5cm
3 Dùng h×nh thang ABCD (AB//CD), biÕt : AB = 1,5cm, CD = 3,5cm,
C= 450, D =
600
4 Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết : AB = 1cm, CD = 3cm, BD = 2,5cm Dùng h×nh thang ABCD (AB//CD), biÕt : AB = 1cm, CD = 3cm, AC = 3cm, BD = 2cm
6 Dùng gãc cã sè ®o b»ng 1050
7 Cho ABC (BC > AB) Dùng ®iĨm M BC cho : MA + MB = BC
Hình học: Ôn tập hình bình hành
I.Tóm tắt lý thuyết:
1 Định nghĩa:
Tứ giác ABCD hình bình hành AB//CD ,AD//BC A B
2.TÝnh chÊt : Trong hình bình hành ABCD : D C - AB =CD, AD =BC
- ¢ =
C, B D
- OA =OC , OB = OD
3.DÊu hiÖu nhËn biÕt :
Tứ giác có : + cạnh đối song song hình bình hành + cạnh đối hình bình hành + góc đối hình bình hành
+ đờng chéo cắt trung điểm đờng + cạnh đối song song v bng
hình bình hành
II Các dạng toán :
Dạng : Nhận biết hình bình hành
Cách giải : Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành
VD1: Cho tø gi¸c ABCD cã E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác E FGH hình ? Vì ?
Giải : Tứ giác E FGH hình bình hành :
C1: E F//GH ( cïng // AC) EH//FG ( cïng // BD)
C2: E F // GH ( cïng // AC) E f = GH ( cïng =
2
AC
)
AB//CD AD//BC
(21)A
D E
F Dạng : Chứng minh đoạn thẳng b»ng nhau,
c¸c gãc b»ng nhau
Cách giải : Sử dụng tính chất hình bình hành
VD2: Cho hình bình hành ABCD
Gọi E, F lần lợt trung điểm AD,BC A B Chøng minh r»ng BE = DF = x
Gi¶i : E F Tứ giác BEDF có : DE // BF DE = BF = x -> BEDF hình bình hành -> BE = DF D C
VD3: Cho hình bình hành ABCD
Trờn ng chéo BD lấy điểm E, F cho DE = BF Chứng minh : A F//CE
Giải : c/m AFCE hình bình hành theo t/c đờng chéo Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy
Cách giải : Sử dụng tính chất đờng chéo hình bình hành
VD4: Cho hình vẽ, ABCD hình bình hành a, Chứng minh AHCK hỡnh bỡnh hnh
b, Gọi O trung điểm cña HK
Chøng minh r»ng A, O, C thẳng hàng
Giải :
AHD = CKB ( c¹nh hun – gãc nhän)
=> AH = CK =>Tø gi¸c AHCK cã AH // CK , AH = CK => AHCK hình bình hành
b, Hình bình hành AHCK có trung điểm O đờng chéo HK trung điểm đờng chéo AC => A, O, C thẳng hàng
D¹ng : Dựng hình bình hành
Cỏch gii : Đa dựng tam giác sau dựng tiếp đỉnh cịn lại hình bình hành
VD5: Dùng hình bình hành ABCD biết : AB = AC = 3cm, AD = 2cm
Gi¶i A B V× AB = 3cm => CD = 3cm => dùng ACD biÕt c¹nh
Sau dựng điểm B
D C
II, Bµi tËp :
1. Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM Gäi H K theo thứ tự hình chiếu B C AM Chứng minh CH // BK
Giải :
Ta có : BH vuông gãc AM (gt) A
21 B
C
A B
C D
H
(22)CK vu«ng gãc víi AM (gt) BH // CK (1)
Xét tam giác BHM tam giác CKM có: H
Gãc BHM = gãc CKM = 900
góc BMH = góc CMK (đối đỉnh ) M
tam gi¸c BHM = tam giác CKM (cạnh huyền B C
gãc nhän) BH = CK (2) K Từ (1) (2) tứ giác BHCK hình bình hành CH // BK
2 Cho hình bình hành ABCD có Â = 1200 vµ AB = AD
a, CMR r»ng tia phân giác góc D cắt AB E trung điểm AB b, Chứng minh AD AC
c, Gọi F trung điểm CD Chứng minh ADF Giải :
a, Ta có ABCD hình bình hành A B AB //CD gãc E 1= gãc D2( so le trong)
L¹i cã gãc D1 = góc D2(DE phân giác góc ADC)
gãc D1 = gãc E1 suy tam giác ADE cân A
hay AD = AE mµ AD = AB/2 D F C suy AE = AB/2 hay E trung điểm cđa AB
b, Ta cã ¢ = 1200 mà Â + ADC = 1800(2 góc phía cña A)
suy gãc ADC = 1800 -Â = 1800-1200 =600
Mặt khác AD = DC/2 suy gãc ACD = 300
Do góc ADC = góc ACD = 600+300 = 900 suy góc DAC = 900 hay AD
AC 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi M,N theo thứ tự trung điểm AB, CD
a,CMR: AMCN hình bình hành
b, DB ct AN CM theo thứ tự I K So sánh độ dài DI, IK, KB
Gi¶i : A M B a Vì ABCD hình bình hành nên AB = CD, AB// CD
Mµ
CD NC
DN
AB MB
AM
2
=> AM = CN
Và AM // CN => AMCN hình bình hành b, Sử dụng t/c đờng trung bình tam giác
C/m DI = IK = KB
4 TÝnh c¸c góc hình bình hành ABCD , biết  -
B = 100
HD: HBH cã ¢ +
B = 1800 mµ ¢ - B = 100 => ¢ = C = 950 , B = D = 850
Hình học : Ôn tập đối xứng trục đối xứng tâm I, Tóm tắt lý thuyết:
§èi xøng trôc :
- điểm đối xứng qua đờng thẳng d
E
1
D N C
I
(23)1
2
I A đối xứng A’ qua d
IB IA
AA d '
A I A’
- 2 hình đối xứng qua đờng thẳng điểm hình đối xng vi 1
điểm hình
- Hình có trục đối xứng.
- Đờng thẳng qua trung điểm đáy hình thang cân trục đối xứng hình
thang c©n
2 §èi xøng t©m : A O A/
- điểm đối xứng qua điểm : / /
A đối xứng A’ qua O O trung điểm AA/
- Điểm O gọi tâm đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm hình H qua tâm O thuộc hình H
Các dạng toán :
Dạng : Vẽ hình đối xứng qua trục (1 tâm)
nhận biết hình đối xứng qua trục (1 tâm)
Cách giải : - Sử dụng định nghĩa điểm đối xứng với qua trục ( tâm), hình đối qua trục ( tâm)
VD1: Cho ABC cân A, M trung điểm BC Trên tia đối tia AB lấy
điểm E, tia đối tia AC lấy điểm D cho : AD = AE Chứng minh điểm D E đối xứng với qua đờng thẳng AM
HD : C/m D E đối xứng qua đờng thẳng AM D E = = AM đờng trung trực DE
A AM DE vµ DI = IE
/ / ADM cân A
B x x C
¢3 = ¢4 ¢1 = ¢2 M
y
H VD2: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm H có toạ độ (3;2)
Hãy vẽ điểm K đối xứng với H qua gốc toạ độ -3 tìm toạ độ điểm K ? x HD: toạ độ điểm K (-3;-2) K -2
Dạng : Chứng minh đoạn thẳng nhau, gãc b»ng nhau
(24)D
Cách giải :- Sử dụng tính chất : Nếu đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đờng thẳng chúng
- Sử dụng định nghĩa điểm đối xứng qua tâm, hình đối xứng với qua tõm
VD3: Cho hình thang vuông ABCD ( ¢ =
D = 900) Gọi K điểm đối xứng với C
qua AD I lµ giao điểm KB AD Chứng minh : AIB = CID
HD: C/m AIB = CID A B
I AIB = KID vµ CID = KID
K / / C
VD4: Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh E đối xứng với F qua B
HD :
Ta cã AE // BC vµ AE = BC (v× = AD)
BE // AC BE = AC (1) Tơng tự: BF // AC vµ BF = AC (2)
Tõ (1) (2) E, B, F thẳng hàng BE = BF
E đối xứng F qua B
Dạng : Tìm đối xứng trục, đối xứng tâm hình, hình có trục đối xứng, hình có tâm đối xứng
Cách giải : Dựa vào định nghĩa trục đối xứng hình , tâm đối xứng hình định lý trục đối xứng hình thang, tâm đối xứng hình bình hành
VD5: Cho tam gi¸c ABC cân B
a, Tìm trục đối xứng tam giác b, Gọi trục đối xứng d
Kể tên hình đối xứng qua d đỉnh A, B, C ; cạnh AB, AC
HD: a, Trục đối xứng tam giác ABC đờng phân giác
B
b, Hình đối xứng qua d đỉnh A, B, C ; cạnh AB, AC lần lợt C, B, A, CB, AC
A d C
VD6: Các câu sau hay sai ?
a, Tâm đối xứng đờng thẳng điểm đờng thẳng b, Trọng tâm tam giác tâm đối xứng tam giác
c, Hai tam giác đối xứng qua điểm có chu vi
HD: a,c : ; b: sai II Bài tập :
1 Cho tam giác vuông ABC , Â =900, đờng cao AH, gọi Dvà E lần lợt điểm i
xứng điểm H qua AB AC Chøng minh :
a, ®iĨm A,D, E thẳng hàng B
b, Tứ giác BDEC hình thang vu«ng
_
_
// //
C F
B
D
E
A
(25)E
F D
A
B C
M
A'
B' C'
c, BC = BD + CE
Gi¶i:
a, Ta có D H đối xứng với qua AB nên D / / H
AB lµ trung trùc cđa DH AD =AH
Tam giác ADH cân mà AB đờng cao nên AB = C phân giác Â1 = Â2 A
Lại có C D đối xứng qua AC = AC trung trực HE AH = AE
Nên tam giác AHE cân mà AC đờng cao E
Â3 = Â4
mà góc DAE = ¢1 +¢2 +¢3 +¢4 = 2(¢3 +¢4) = 2.900 = 1800
Vậy điểm A ,D ,E thẳng hàng
b, Vì A B lần lợt đối xứng với qua AB , D H đối xứng qua AB ABD ABH đối xứng với qua AB
ABD = ABH mµ gãc ADB =900 BD DE
Tơng tự CE DE
Vậy tứ giác BDEC có BD // CE góc D = 900 nên hình thang vuông.
c, Ta cú D v H lần lợt đối xứng với H qua AB ,AC BD = BH ; CH = CE
mµ BC = BH + CH BC = BD +CE
2 Cho ABC nhọn, M BC Gọi D điểm đối xứng với M qua AB, E điểm đối
xøng víi M qua AC Gäi I, K giao điểm DE với AB, AC a, Chứng minh MA tia phân giác góc IMK ?
b, Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ ?
HD: a, C/m :
M = 1
D ,
M =
E ( t/c đối xứng)
T¬ng tù c/m : AD = AE ( cïng b»ng AM) => 1
D =
E => M = 2
M
b, ADE cân A có DAE = 2BAC ( không đổi )
-> DE nhá nhÊt <=> AM nhá nhÊt <=> AM BC
3 Cho điểm A mặt phẳng toạ độ có toạ độ (2; 1) Vẽ điểm B đối xứng với A qua trục hoành, điểm C đối xứng với A qua trục tung Có nhận xét điểm B C đối xứng với gốc toạ độ O ?
HD: B ®/x víi C qua O C A B
4. Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C, MA cắt DE N Chứng minh MC = NE ?
HD: ABC = ADE (c.g.c) => C = E E N D
=> ED //BC AMC = ANE (g.c.g) => MC =NE
A
B C M
6. Cho điểm M nằm tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi A/, B/ ,C/ theo thứ tự điểm đối xứng với M qua F, E, D
Chøng minh : A/B/C/ = ABC ?
(26)O
A B
D C
H
F E
G
HD: B/C/ = BC (cïng b»ng 2DF)
T¬ng tù A/B/ = AB ; A/C/ = AC
=> A/B/C/ = ABC (c.c.c)
7 Cho hình bình hành ABCD, đờng chéo cắt O Lấy M cạnh AD, lấy N cạnh BC cho AM = CN Chứng minh M đối xứng với N qua O ?
A B
HD: C/m AMCN hình bình hành M = O = N D C
8 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = CG, BF = DH
a, Xác định tâm đối xứng hình bình hành ABCD ?
b, Chứng minh EFGH hình bình hành tìm tâm đối xứng ? c, O cịn tâm đối xứng hình ?
HD: a, Tâm đối xứng hình bình hành ABCD giao điểm O đờng chéo
b, AE//CG, AE = CG => AECG hình bình hành => O trung điểm EG
Tơng tự O trung điểm HF
=> O tâm đối xứng hình bình hành ABCD
c, O tâm đối xứng hình bình hành : AECG, BEGD, AHCF,DHBF
Đại số: Ôn tập chia đơn thức cho đơn thức
Chia đa thức cho đơn thức – Chia đa thức một biến
xếp I.Tóm tắt lý thuyết :
1.Chia đơn thức cho đơn thức:
Quy tắc: Chia đơn thức A cho đơn thức B (trờng hợp AB):
- Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B
- Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến B - Nhân kết tìm đợc với
VD: 9x2y3: (-3xy2) = -3xy
2.Chia đa thức cho đơn thức :
Quy tắc: Chia đa thức A cho đơn thức B (trờng hợp AB) ta chia hạng tử
đa thức A cho đơn thức B
(A+ B - C) : D = A: D +B:D - C: D
VD: (x3-3x2y +5xy2): x = x2-3xy + 5y2
3.Chia đa thức biến xếp :
Quy tắc : Phép chia đa thức xếp thực tơng tự nh phép chia số tự nhiên
(27)VD: [3(a-b)5-6(a-b)4+21(b-a)3+9(a-b)2]: 3(a-b)2 =
= [3(a-b)5-6(a-b)4-21(a-b)3+9(a-b)2]: 3(a-b)2
= (a-b)3-2(a-b)2-7(a-b)+3
II Các dạng toán :
Dạng : Làm tính chia
Cách giải : - Chia lũy thừa biÕn : xm : xn = xm-n ( m n 0)
- Quy tắc chia đơn thức A B
- Quy tắc chia đa thức cho đơn thức : (A+ B - C) : D = A: D +B:D - C: D
VD1: Lµm tÝnh chia :
a, 65: 63 b, (-12)3 : 83 c, x10 : x8 d, (-x)5: (-x)3
e, 4x2y5 : 6x2y g, x4y4: x2y2 h, (- 2x5 + 3x2 - 4x3) : 2x2
HD: a, 62 b, (-12)3 : 83 =
(-8 12
)3=
(-2
)3 =
-8 27
c, x2 d, x2
e,
3
y4 g, x2y2 h, -x3 +
2
- 2x Dạng : Tính giá trị biÓu thøc
Cách giải : - Trớc hết rút gọn biểu thức cách chia đơn thức cho đơn thức đa thức cho đơn thức
- Thay giá trị biến vào biểu thc ó rỳt gn
VD2: Tính giá trị cđa biĨu thøc sau :
15x4y3z2 : xy2z2 víi x = 2, y = -10 , z = 2009
HD: Ta cã : 15x4y3z2 : xy2z2 = 5x3y
víi x = 2, y = -10 th× : 5x3y = 5.23(-10) = - 400
Dạng : Không làm tính chia xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B khơng
Cách giải : A B hạng tử A phải chia hết cho B
VD3: Khơng làm tính chia xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B khơng ? A = 14xy2 + 16x2y3+21x3y2 ; B = 7y2
D¹ng : Thùc hiƯn phÐp chia đa thức
Cách giải : - Sắp xếp đa thức biến theo luỹ thừa giảm dần biÕn
- Thực bớc chia đa thức xếp (trình bày nh phép chia số tự nhiên
)
Lu ý : Nếu đa thức bị khuyết bậc trung gian viết ta để trống khoảng tơng ng vi bc khuyt ú
VD4: Sắp xếp ®a thøc sau råi lµm tÝnh chia : a, (x3-7x + - x2)
(x-3) b, (2x4-3x3 - 3x2 -2 + 6x): (x2 -2)
HD: a, x3- x2-7x + x-3 b, 2x4-3x3 - 3x2 + 6x - x2 -2
x3-3x2 x2 + 2x - 2x4 - 4x2 2x2 - 3x
+
2x2 - 7x + -3x3 + x2 + 6x -
2x2 - 6x -3x3 + 6x -
- x + x2 - 2
- x + x2 - 2
VËy (x3- x2-7x + ): (x-3) = x2 + 2x - ; (2x4-3x3 - 3x2 +6x -2): (x2 -2) = 2x2 - 3x
+
VD5: Lµm tÝnh chia :
a, (12xy3- x2y2+ 4x3y4): 4xy2 b, (6x5-3x4+15x2): 3x2
(28)HD: a, (12xy3- x2y2+ 4x3y4): 4xy2 = 3y -
3
x +xy2
b, (6x5-3x4+15x2): 3x2 = 2x3 - x2 + 5
VD6: Cho ®a thøc A = 3x4+ x3 + 6x - , B = x2 +1
H·y chia A chia B råi viÕt díi d¹ng : A = B.Q + R
HD : Thùc hiÖn phÐp chia A cho B : 3x4+ x3 + 6x - x2 +1
3x4 + x2 3x2 + x - 3
x3 -3 x2 + 6x -
x3 + x
-3 x2 + 5x - 5
-3 x2 -
5x - VËy 3x4+ x3 + 6x - = (x2 +1)( 3x2 + x - 3) + 5x -2
D¹ng : TÝnh nhanh
Cách giải : Sử dụng đẳng thức đáng nhớ
VD7: TÝnh nhanh
a, (x2 + 2xy + y2) : (x + y) b, (8x3 + 1): (2x + 1)
HD: a, (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = x + y
b, (8x3 + 1): (2x + 1) = 4x2 - 2x + 1
VD8: Không làm tính chia hÃy xét xem ®a thøc A cã chia hÕt cho ®a thøc B kh«ng ? A = x2 -2x +1 B = - x
HD: A B v× A = (1 -x)2
Dạng : áp dụng định lý Bezout để phân tích đa thức thừa số
Cách giải : - Nếu f(x) (x - a) f(a) = ngợc lại
VD9: Với giá trị a đa thức
a, f(x) = 3x3- 7x2+4x + a chia hÕt cho ®a thøc x -2
b, (x3-3x2+5x+2a) (x-2)
HD: a, f(x) (x - 2) f(2) = tøc lµ : 3.23- 7.22+4.2 + a = => a = -4
b, (x3-3x2+5x+2a)
(x-2)
Cách 1: (đặt phép chia đa thức )
Thùc hiÖn phÐp chia: x3-3x2+5x+2a x-2
x3-2x2 x2-x+3
-x2+5x+2a
-x2+2x
3x+2a 3x-6 2a+6
Để x3-3x2+5x+2a chia hết cho x-2 ta phải có 2a +6 = tức a = -3
Cách 2: (ph ơng pháp hệ số bất định hay đồng hệ số)
NÕu đa thức A B hạng tử bậc đa thức phải cã hƯ sè b»ng
§a thøc x3-3x2+5x+2a chia hết cho đa thức x-2 thơng đa thức bậc có hạng tử
cao x3: x = x2 , hạng tử thấp 2a: (-2) = -a
VËy gäi th¬ng cđa phÐp chia lµ x2+bx-a
Khi x3-3x2+5x+2a = (x-2)(x2+bx-a)
Suy x3-3x2+5x+2a = x3+(b-2)x2-(a+2b)x+2a
(29)-a -2b = a = -3 Vậy giá trị cần tìm a = -3
Cách 3: (ph ơng pháp xét giá trị riêng)
Gọi thơng phép chia đa thức A = x3-3x2+5x+2a cho đa thức x-2 D(x)
Khi ú: x3-3x2+5x+2a = (x-2).D(x)
Vì đẳng thức cho với x nên thay x =2 vào đa thức x3-3x2+5x+2a ta có :
8-12+10+2a = suy a =-3
với a =-3 đa thøc A = x3-3x2+5x+2a = x3-3x2+5x-6
Sơ đồ Hocrner tìm d phép chia f(x) cho x -
Gi¶ sư f(x) = anxn + an-1xn-1+………+ a1x + a0
®a thøc d q(x) = bnxn + bn-1xn-1+………+ b1x + b0
Các hệ số b đợc tính nh sau :
an an-1 an-2 ……… a1
bn
= an
bn-1
= bn + an-1
bn-2
= bn-1+ an-2
b1
= b2 + a1
D lµ : b2 + a1
VD: T×m d phÐp chia :
a, (3x4 - 4x3 + 1) :(x - 1) b,(2x5 -70x3 + 4x2- x + 1):(x - 6)
HD: a, - -1 -1 -1 => d b»ng
b, -70 -1 12 16 95 571 = > d b»ng 571
II Bµi tËp:
1.Thùc hiÖn phÐp chia:
a, 5x4y3z3: 3xyz3 b,
2
(a-b)5:
2
(b-a)2
c, (xy2
-3
x2y3+
5
x3y2):2xy d, (2x4-3x3y2+7xy2
):(-3
x) e, (a4-a3b+a2b2-ab3): (a2+b2) g, (8x3-1): (2x-1)
h, (5x2+9xy-2y2): (x+2y) i, (x5+x3+x2+1): (x3+1)
2 TÝnh giá trị biểu thức :
A = 28x5y4z2: (-4x2y3z2) víi x = ; y = 19 ; z = 2004
B = (12x3y-12x2y2+3xy3): 3xy víi x =
-2
; y = Rót gän tính giá trị biểu thức :
A =
y x y
y x xy x y y x
2
2
3
) ( )
(
víi x= -9 ; y =2005 (kq: A = -7x3y =
-133) B =
)
4 ( ) (
)
)(
(
2
3
2 3
y xy x
y x
y x y x
víi x =
-2
; y = (kq: B = (2x-y)2= 64)
4 Với giá trị a ,b để đa thức : a, ( x3-3x+a)
(x-1)2 b, (2x2+7x+6) (x+a)
(30)c, (x3+a x2+bx+2) : (x+1) d 5
: (x+2) d
HD:
a, kq: a =
b, kq: a =2 hc a =
2
c, V× A(x) = (x3+a x2+bx+2) : (x+1) d ,chia cho (x+2) d nªn ta cã
A(x) = (x+1).Q(x) +5 (1) A(x) = (x+2).D(x) +8 (2)
Víi x =-1 (1) trë thµnh -1+a -b+2 = hay a-b = (3) Víi x =-2 (2) trë thµnh -8+4a-2b+2 = hay 2a-b = (4) Tõ (3) & (4) suy a = 3; b = -1
5 Tìm giá trị nguyên n để cho
1
7 2
n n
n số nguyên
Hd:Ta cã
1
7 2
n n
n = n +4 +
1
3
n
§Ĩ
1
7 2
n n
n là số nguyên (với n số nguyên)
1
3
n phải số nguyên (vì
n+4 số nguyên)
Suy phải chia hết cho 2n +1
Do 2n +1 = 2n +1 = -1 Hoặc 2n +1 = 2n +1 = -3 Vậy n = 0; n =-1; n =
HìNH HọC: hìNH CHữ NHậT Hình thoi I.Tóm tắt lý thuyết:
1.Hình chữ nhật
a Định nghĩa: A B - Tứ giác ABCD hình chữ nhật  = ^
B = C^ = D^ = 900
b TÝnh chÊt :
-Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành , D C h×nh thang
-Trong hình chữ nhật đờng chéo cắt trung điểm đ-ờng
c.DÊu hiƯu nhËn biÕt:
- Tø gi¸c có góc vuông hình chữ nhật
- Hình thang cân có góc vuông hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật
- Hỡnh bỡnh hnh cú đờng chéo hình chữ nhật
2.H×nh thoi: B
a, Định nghĩa:
ABCD hình thoi AB = BC = CD = DA
b, TÝnh chÊt: A C
c,DÊu hiƯu nhËn biÕt:
- Tø gi¸c cã cạnh hình thoi D - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi
- Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với hình thoi
(31)II Bµi tËp:
Bµi 1:
Cho tam giác BAC vuông A Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, AC Chứng minh tứ giác AMNP hình chữ nhật
HD:
GT Cho ABC,¢ = 90
0.
AM = MB, BN = NC CP = PA
KL AMNP hình ch÷ nhËt
Sơ đồ chứng minh:
AMNP hình chữ nhật
AMNP hình bình hành  = 900(GT)
MN //= AP MN //=
2AC AP = 2AC
Bµi 2:
Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ HM AB HN AC Chứng minh MN = AH
HD:
GT Cho ABC,¢ = 90
0.
AH BC, HM AB HN AC
KL AH = MN
Sơ đồ chứng minh: AH = MN
AMHN hình chữ nhËt
¢ = M^ = N^ = 900(?)
Bµi 3:
Cho tam giác ABC vng A, đờng cao AH Gọi I trung điểm AB, K điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ giác AHBK hình chữ nhật
HD:
Sơ đồ chứng minh: AHBK hình ch nht
AHBK hình bình hành ^
H = 900
IA = IB IK = IH AH BC GT Cho ABC,¢ = 90
0.
AH BC, IA = IB K H đối xứng qua I K
L AHBK hình chữ nhật
31 N
M H
C B
A
K
I H
C B
A
N
M H
C B
(32)(?) (?) (?)
Bµi 4:
Tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác E FGH hình gì? Vì sao?
HD
Dự đoán: EFGH hình chữ nhật
SĐCM:
EFGH hình chữ nhật EFGH hình bình hµnh ^
E = 900
EF // HG EH // FG EF EH
EF // AC EH // BD EF // AC AC BD HG // AC FG // BD EH // BD (?) (?) (?) (?)
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A ,điểm D nằm cạnh BC Gọi E,F lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ D đến AB ;AC
a Gọi I trung điểm E F Chứng minh điểm A,I, D thẳng hàng b Điểm D vị trí BC E F có độ dài ngắn
HD: a, B
A,I,D thẳng hàng
E D
I trung điểm AD I
AEDF hình chữ nhËt A C F
b,AEDF lµ hình chữ nhật nên AD = E F
Do E F có độ dài ngắn AD có độ dài ngắn AD BC hay D chân đờng vng góc kẻ từ A n BC
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD.Kẻ BH AC, gọi M trung điểm AH, K
trung điểm CD, N trung điểm cđa BH
a, Chøng minh tø gi¸c MNCK hình bình hành b, Tính góc BMK
HD: A B
a, MNCK hình bình hành M N H
MN = KC MN // KC D C K
MN =
2
AB MN đờng trung bình tam giác AHB b, Góc BMK = 900 MK
MB CN BM, CN // MK N trực tâm tam giác
BMC MN BC
:GT
Tø gi¸c ABCD AC BD
AE = EB, BF = FC CG = GD, DH = HA KL EFGH hình gì?Vì sao?
H G
F E
D
C B
(33)Bài : Cho hình thang ABCD (AB // CD) E trung điểm AD, F trung điểm BC, M trung điểm DC Đờng thẳng EF cắt BD I; c¾t AC ë K
a Chøng minh r»ng: AK = KC ; BI = ID
b,Chøng minh tø giác EKMD hình bình hành
HD: a, AK = KC KF đờng trung bình tam giác ABC E F đờng trung bình hình thang ABCD
A B T¬ng tù BI = ID - = b,EKMD hình bình hành E I F
- K =
ED //KM , ED = KM D M C
Bµi 8:
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB vµ gãc A = 600 Gäi E,F theo thø tù trung
điểm BC AD
a, Tứ giác ECFD hình gì?
b, Tứ giác ABED hình gì? Vì ? c, Tính số đo góc AED
HD: a, ECFD hình thoi EC = CD = DF = FE b, ABED hình thang BE // AD c, AED = 700
Bµi 9
Cho ABC Gọi M,N lần lợt trung điểm BC,AC Gọi H điểm đối xứng N qua M
a, C/m tứ giác BNCH ABHN hbh
b, ABC thỏa mÃn điều kiện tứ giác BNCH hình chữ nhật
B H
HD: * tø gi¸c BNCH lµ hbh
= MC = MB , MN = MH M * tø giác ABHN hbh = A C AB // MN , AB = MN N
MN = MH MN đờng TB ABC b, tứ giác BNCH hình chữ nhật
BNCH lµ hbh cã BC = HN ABC cã AB = BC
Bµi 10:
33
B C
D A
E
(34)Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm đờng chéo ( không vng góc),I K lần lợt trung điểm BC CD Gọi M N theo thứ tự điểm đối xứng điểm O qua tâm I v K
a, C/m tứ giác BMND hình bình hành
b, Vi iu kin no ca hai đờng chéo AC BD tứ giác BMND hình chữ nhật c, Chứng minh điểm M,C,N thng hng
Bài 11:
Cho hình bình hành ABCD Gọi E F lần lợt trung điểm AD BC Đờng chéo AC cắt đoạn thẳng BE DF theo thứ tự P Q
a, C/m tứ giác BEDF hình bình hµnh b, Chøng minh AP = PQ = QC
c, Gọi R trung điểm BP Chứng minh tứ giác ARQE hình bình hành
Bài 12:
Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
HD:
GT Hình chữ nhật ABCDAM = MB, BN = NC CP = PD, DQ = QA K
L MNPQ hình thoi SĐCM:
MNPQ hình thoi
MN = NP = PQ = QM
AMQ = BMN = CPN = DPQ (?)
Đại số: Ôn tập chơng I
Bài 1: Thực phÐp chia: a,
xy y
y x xy x
2
2 2 3 3
2
( = 3y2x ) ; b, 2 2
3
2
y xy x
y xy x
( = y
x y x
) c,
2
2
x x
x
x ( =
2
x x
) ; d,
x xy y x
y x xy x
2 3
2
2
( =
2
1
x x
) e,
7 16
2
2
x x
x
x ( =
7
2
x x
) ; g,
) )( (
6
x x
x
( =
2
x )
Q
P N
M
D C B
(35)h,
9
9
2
x x
x
( =
3
x x
) ; i,
x x
x
16
2
( =
x x
) k,
4
4
2
x x
x ( =
2
x
) ; l,
4
2
x x
x ( =
x x
) m,
8 12
3
x x
x ( =
x )
Bµi 2: TÝnh nhanh
a, A = 872 + 26 87 + 132
b, B = 502 - 492 + 482 - 472 + + 22 - 12
Bµi 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a, x2 - y 2 - 5x + 5y b, x2 - 4x + 4
c, x2 + 4x +16 d, - a2 + 6a -
e, - 18x + 54 g, 5x3 - 5x2y - 10x2 + 10xy.
h, x2 - 3x + i, a2 - b2 - 6a + 6b.
k, 2x3 - 2x2y - 6x2 + 6xy l, x2 +5x - 6.
n, x3 +4x2 +4x m, x2 +4x +3
2.Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, x2 - y2 - 2x + 2y b, 2x + 2y - x2 - xy
c, 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d, x2 - 25 + y2 + 2xy
e, a2 + 2ab + b2 - ac - bc f, x2 - 2x - 4y2 - 4y
g, x2y - x3 - 9y + 9x h , x2(x-1) + 16(1- x)
n, 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m , xz-yz-x2+2xy-y2
p, x2 + 8x + 15 k, x2 - x - 12
l, 81x2 + 4
Bµi 4: Rót gän biÓu thøc sau:
a) (2a + 1)2 + 2(4a2 - 1) +(2a -1)2
b) (x2 + 1)(x - 3) - (x - 3)(x2 + 3x +9).
c, (x2 - 1) (x2 - 1) (x + 2) - (x - 2) (x2 + 2x + 4)
d, (x + y)2 - (x - y)2
e, (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
g, 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
Bµi 5 : TÝnh giá trị biểu thức :
a, - x2 + 2x - t¹i x = -1
b, x2 - 4x + t¹i x = -
c, x2 - 16 t¹i x = - 13
d, x3 - 3x2 + 3x - x = 1
Bài 6: Làm tÝnh chia
a) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1)
b) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5)
c) (x4 - x - 14) : (x - 2)
d, (x4 - 2x3 + 4x2 - 8x):(x2 + 4)
(36)HD: a)
2x3 + 5x2 - 2x +3 2x2 - x + 1
2x3 - x2 + x x + 3
6x2 - 3x +3
6x2 - 3x +3
b) 2x3 - 5x2 + 6x - 15 2x – 5
2x3 - 5x2 x2 + 3
6x - 15 6x - 15
c) x4 +0x3+ 0x2 -x –14 x – 2
x4 – 2x3 x3 + 2x2 + 4x+7
2x3 + 0x2 - x – 14
2x3 - 4x2
4x2- x – 14
4x2- 8x
7x – 14 7x 14
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau.
A = x2 - 6x + 11 B = 2x2 + 10x – 1
C = 5x - x2 D = x2 - 4x +
E = 4x2 + 4x + 11 G = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)
K = - 8x - x2 M = 4x - x2 +1
HD:
a, Biến đổi biểu thức ta đợc A = x2 - 6x + 11
A = x2 - 6x + +
A = (x - 3)2 + V× (x - 3)2 ≥ nªn
(x - 3)2 + Vậy A có giá trị nhỏ b»ng x – = x = 3
b, Biến đổi biểu thức:
B =2x2 + 10x – = 2x2 +10x +
4 50
-
1-4 50
V× 2(x2 + 5x +
4
25 ) ≥ nªn
B = 2(x2 + 5x +
4 25
) -
4 54 ≥ -
4 54
VËy B cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -
4 54
x +
2
= x = -
2
c, Biến đổi biểu thức C = 5x - x2 = - (x2 - 5x +
4 25
-
4 25
(37)C = - (x2 - 5x +
4 25
) -
4 25
C = - (x -
2
)2 -
4 25
V× (x -
2
)2 ≥ (x -
2
)2 -
4 25 ≥ -
4 25
- (x -
2
)2 -
4 25 ≤
4 25
VËy C có giá trị lớn
4 25
Khi x =
2
Bµi 8 : C/m r»ng: x2 - 2x + > ; x.
Bài 10 : Tìm x biÕt:
a, 4x2- = b, (x-5)(x+5) -x2+3x +13 =0
c, 2x(x-5)-x(3+2x)=26 d, 5x(x-1) = x-1 e, 2(x+5) - x2-5x = g, (2x-3)2-(x+5)2=0
h, 3x3 - 48x = i, x3 + x2 - 4x = 4
k, x3 -4x2 -9x + 36 = l, ( x2- 25)2 –(x + 5)2 = 0
m, x2 + 7x +10 = n, 2x2- 7x +5 = 0
HD: a, x =
Bµi 11 : Chøng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
A = x(x2+x+1)-x2(x +1) -x +5
B = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) C = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1)
D = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1)
Bµi12 : Cho a +b +c =1,
c b a
1 1
= TÝnh giá trị biểu thức :
A = a2 +b2 +c
Bài 13 : Thực phÐp tÝnh sau:
a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2)
b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2
c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5)
d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5)
e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4)
Bµi 14 : Chøng minh r»ng biÓu thøc:
A = x(x - 6) + 10 luôn dơng với x B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3
Bài 15: Xác định a để đa thức:
a, x3 + x2 + a - x chia hÕt cho(x + 1)2
b, x2 + 6x + a chia hÕt cho (x +3)
c, x2 – 3x + a chia hÕt cho x-1
d, x2 + 8x + 15 chia hÕt cho x +
Bµi 16 : Chøng minh r»ng:
a) 52005 + 52003 chia hÕt cho 13
b, 45 – chia hÕt cho 30
(38)Hình Học: Ôn tập hình vuông
I Tóm tắt lý thuyết : A B
Định nghĩa:
ABCD hình vuông
DA CD BC AB
D C B
A 900
_ Các dấu hiệu nhận biết hình vuông:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng D C - Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc với hình vng
- Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng
- Hình thoi có hai đờng chéo hình vng
II Bµi tËp :
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông A, kẻ phân giác AD góc A, kẻ DM AB, DN AC Chứng minh tứ giác AMDN hình vuông
HD:
G T
Cho ABC,
A90
1
A A , DM AB DN AC
KL AMDN hình vuông
SĐCM:
AMDN hình vuông AMDN hình chữ nhật
1
A A (?)
AMN90 (?)
Bµi 2:
Cho hình vuông ABCD Gọi I điểm đoan AC (I khác A C) Qua I kẻ IE IF vuông góc với AB, AD Chứng minh tứ giác AEIF hình vuông
HD:
GT Hình vuông ABCDIE AB, IF AD
KL AEIF hình vuông F
E
I
D C
B A
2
N
M D
C B
(39)SĐCM:
AEIF hình vuông
AEIF hình chữ nhật AI phân gi¸c A (?)
A E F 90 (?)
Bài 3:Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, K, P, Q cho AE = BK = CP = DQ Tø gi¸c EKPQ hình gì? Vì sao?
HD :
GT Hình vuông ABCDAE = BK = CP = DQ KL EKPQ hình gì?Vì sao? Dự đoán: EKPQ hình vuông
SĐCM:
EKPQ hình vuông
EKPQ hình thoi KEQ 900
EK = KP = PQ = QE
AEQBEK90
AEQ = BKE = CPK = DQP AEQ BKE (?) (?)
Bµi 4:
Cho đoạn thẳng AM Trên đờng vuông góc với AM M, lấy điểm K cho MK =
2 AM Kẻ MB vng góc với AK (B thuộc AK) Gọi C điểm đối xứng với B qua M Đờng vng góc với BC C cắt D Chứng minh ABCD hình vng
HD:
GT
Cho AM MK MK =
2AM,
MB AK, AD AK BC CD, BM = MC KL ABCD hình vuông
Gọi I trung điểm AM, Kẻ IN AK SĐCM: ABCD hình vuông
ABCD hình chữ nhật AB = BC
A B C 90 AN =
2 AB BM =
2BC AN = BM
39
1
N I D
C
B K M A
Q
D P C
K
E B
(40)(?) (?) (?)
ANI = MBK
Đại số: Ôn tập phân thức đại s
I Tóm tắt lý thuyết:
1 Định nghÜa:
- Phân thức đại số biểu thức có dạng
B A
, A tử thức ,B mẫu thức - Mỗi đa thức đợc coi nh phân thức có mẫu
2 Hai ph©n thøc b»ng nhau:
B A = D C
nÕu A.D = B.C
3 Tính chất phân thức:
* B A = M B M A
( M đa thức khác ) * B A = N B N A : :
( N đa thøc kh¸c ) * B A = B A
Rót gän ph©n thøc :
B1 : Phân tích tử mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
B2 : Chia c¶ tử mẫu cho nhân tử chung
Các dạng toán :
Dạng : Chứng minh phân thức
Cách giải : Để chøng minh
B A
=
D C
ta chøng minh A.D = B.C
VD1: Dùng định nghĩa phân thức chứng tỏ rằng: a, x y x xy 12 16
b, 25x((xx yy)) 25x c, ) )( ( x x x x x d, 2 x x x x x
x e,
3 27 x x x x Gi¶i
a, Ta cã : 4xy.12x = 3.16x2y nªn :
x y x xy 12 16
b, V× 5.2x(x + y) = 2x.5(x + y) nªn :
5 ) ( ) ( x y x y x x
c, Ta cã : (x +3)(x –2)(x +2) = (x2 – 4)(x +3) nªn :
2 ) )( ( x x x x x
d, Ta cã :( x2 –x –2)(x-1) = (x2 –3x +2)(x +1) nªn :
1 2 x x x x x x
e, V× x3-27 = (x –3)(x2 +3x+9) nªn : 3
9 27 x x x x
Dạng : Tìm giá trị nhỏ ,giá trị lớn phân thức
Cách gi¶i : * A = a + [f(x)]2 -> A
min = a <-> f(x) =
* B = b - [f(x)]2 -> A
(41)VD2: 1, Tìm GTLN phân thức : a, 2 x
x b, 15 4x2 x
2, Tìm GTNN phân thức :
14
3 x
Gi¶i
1 Ta cã tư thøc > vµ mÉu thøc : x2 +2x + = (x2 +2x + 1) +1 = (x +1)2 +1 > 0
nên phân thức có GTLN (x +1)2 +1 có GTNN
Vì (x +1)2 nên (x +1)2 +1 cã GTLN b»ng x = -1
VËy GTLN cña
2 x
x b»ng x =-1
b, Mẫu thức dơng nên phân thức có GTLN -4x2 +4 cã GTLN
Ta cã : - 4x2 +4 = – (2x –1)2
Vì (2x 1)2 0 nên (2x 1)21
GTLN cđa ph©n thøc b»ng
15
x =
2
2.V× mÉu thức 14 > nên phân thức
14
3 x
cã GTNN + 2x cã
GTNN
V× 2x 0 nªn + 2x 3
-> + 2x cã GTNN b»ng 2x –1 tøc x =
Khi GTNN phân thức
14
Dạng : Rút gọn phân thức
Cách giải :- Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử - Chia tử mẫu cho nhân tử chung
VD3: Rót gän ph©n thøc :
a,
4 xy y x
b, 2
2 ) ( 16 ) ( 12 x xy x xy c, 3 x x
x d,
y x xy x y x xy x 2 Gi¶i
a,
4 xy y x = y x 2
b, 2
2 ) ( 16 ) ( 12 x xy x xy = ) ( x y c, 3 x x
x = x
x x x ) ( d, y x xy x y x xy x 2 = y x y x x y x x y x y x y x x y x y x x ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) (
Dạng : Chứng minh đẳng thức :
Cách giải : Phân tích phân thức để biến đổi VT( VP) cho thành nhân tử rút gọn ta đợc kết
VD4: Chøng minh r»ng :
(42)) )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x x y xy xy x y xy y x x y xy x
= x y
1
Dạng : Tính giá trị biểu thức
Cách giải : - Rút gọn phân thøc
- Thay giá trị biến cho vào biểu thức rút gọn
VD5 : Tính giá trị biểu thức
) )( ( ) 2 )( ( x x x x x x
víi x =
-2
Gi¶i
Ta cã :
2 2 )( ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) 2 )( ( 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Thay x = -
2
ta đợc :
4 2 2 x
D¹ng : Chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phơ thuộc vào giá trị của biến
Cỏch gii : Rút gọn phân thức để phân thức khơng cịn chứa biến
VD6: Chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phụ thuộc vào giá trị biến: a,
5
)
( 2
x x
x b,
) 3 )( ( 2 x y y x y x Gi¶i
a,
) ( ) ( 5 )
( 2
x x x x x
kh«ng phơ thc vµo x b, ) )( ( ) )( ( ) 3 )( ( 2 2 2 y x y x y x x y y x y x x y y x y x
không phụ thuộc vào giá trị x
II Bµi tËp:
Bài 1: Dùng định nghĩa phân thức chứng tỏ rằng: a, x x = x x x 2
b, x
x = ) ( x x x x
c, 1
xy y x = x y x xy x 2
d, ( )2
) )( ( y x x y x e, ) )( ( ) ( 2 x x x x = 2 x x g, 6 x x
x =
5 2 x x x
Bài 2 : Dùng định nghĩa phân thức tìm đa thức A trờng hợp sau:
a,
1 3x
A = 12 2 x x
x b,
A x x 13
= 5 x x c, 2 x x
x =
1 2 x x A d, 2 x x x x =
A x x2 4
e, 2 x x = A x x
3
(43)h, x A
= ( 1)2
1 x x i, 3 2 x x x x = 3x
A
Bài 3 : Chứng minh đẳng thức sau : a, 10 x x x =
2 x b, x x x x 2 = x
c, 2
3 ) )( ( x x x x = x x
d, 12 2 x x x x = x x e, 3 2 x x x = ) ( x x g, 10 2 x x x x = x x h, 2 3 x x x x x
x =
1 x x i, x x x x 3 2 1
= x x x x 2 1
Bài 4 : Rút gọn phân thức :
a, 3 2
3 ) ( 24 ) ( 21 y x y x
b, xx y y
3
c, 15 2 x x x x d, 10 x x
x e,
4 3 3 x x x
x g,
y xy x x 10 25 h, 8 x x i, ) )( ( x x x k, 9 2 x x x l, x x x 16 2
m,
4 4 x x
x n,
4 2 x x x p, 12 3 x x x q, 2 x x x x
r, 2 2 2 y xy x y xy x
Bµi 5: Chøng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a, ) ( )
( 2
x x x b, a x ax a x ax 15 10 3 5 c, a x a x ax 2 d, x y xy y x y xy y 3 2 2
Bài 6 : Tính giá trị biểu thức : a, 27 9 x x x x
x t¹i x = 103 b,
12 12 2 x x x
x t¹i x = -2
c, 2
2 y xy x y xy x
t¹i x =2 , y = -3 d,
2 3 2 x x x x
t¹i x = Bài 7 : Rút gọn phân thức :
a, c b a c b a )2
( b,
ac c b a ab c b a 2 2 2 2
c,
(44)Bài 8: Rút gọn phân thức: a, xy y y x xy x
2 2 3 3
2
( = …3y2x ) b, 2 2 2 y xy x y xy x
( = … xx yy
) c, 2 x x x x ( = … 2 x x
) d,
x xy y x y x xy x 3 2 2 (= … x x ) e, 16 2 x x x
x ( = …
7 x x
) g,
) )( ( x x x ( = … 2 x ) h, 9 2 x x
x ( = … 3 x x
) i,
x x x 16 2 ( = … x x ) k, 4 x x
x ( = …
2
x
) l,
4 2 x x
x ( = … x x ) m, 12 3 x x x ( = … x )
Bài : Tìm điều kiện biến để giá trị phân thức sau xác định : A = x x x x 5 2
B =
1 2 x x
x C =
2 y x y x D = xy z y x
10
E = x x
x F =
) )( ( 2 x x x x
Bài 10 : Với giá trị biến x gia trị phân thức sau b»ng : a, 1 x x b, x x x c, x x d, x x x x x 3
e,
15 192 48 x x x
Bµi 11 : Tìm số nguyên x cho : a,
3
x số nguyên b,
2
x
x số nguyên
Bài 12 : Cho phân thức : M =
1 3 x x
a, Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b, Tìm giá trị x để phân thức có giá trị
c, Tìm số ngun x để phân thức có giá trị ngun
Bµi 13: Cho ph©n thøc : A =
1 x x x a, Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b,Rút gọn phân thức
(45)
Ngµy soạn :10-12-2009
Đại số : Ôn tập phép toán phân thức
Biến đổi biểu thức hữu tỉ
I.Tãm t¾t lý thuyÕt :
1, Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức:
- Là biến đổi phân thức cho thành phân thức có mẫu lần lợt phân thức cho
Cách làm : * Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung (MTC) *Tìm nhân tử phụ mẫu thức
* Nhân tử mẫu phân thức với nhân tư phơ t¬ng øng
2, Phép cộng phân thức đại số:
- Céng ph©n thøc cïng mÉu :
B C A B C B
A
- Cộng phân thức không mẫu : ta quy đồng mẫu thức phân thức cộng nh cộng phân thức mẫu
* Phép cộng phân thức đại số có tính chất giao hoán & kết hợp
3, PhÐp trõ ph©n thøc :
Phân thức đối phân thức phân thức
B A
đợc kí hiệu
-B A
-B A
=
B A
vµ -
B A
=
B A
( )
D C B
A D C B A
4, PhÐp nh©n ph©n thøc :
D B
C A D C B A
5, PhÐp chia ph©n thøc :
C B
D A C D B A D C B A
: víi 0
D C
II.Các dạng toán:
Dạng 1: Thực phép tính
Cách giải : * áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức VD1: Làm phÐp tÝnh :
a,
5 18
2
x x x
x x
x
b,
xy y
x xy
x y
2
2 2
c,
2 2
x x x
x
d, : 43 )
4 (
12
2
x x x
x
Gi¶i
(46)a, 15 18 18 5 x x x x x x x x x x x x b, xy x y y x xy x y x y y x xy x y y x xy x y x xy y xy y x xy x y ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 c, ) )( ( ) )( ( 2 2 x x x x x x x x
d, 34 44
) ( ) ( 4 : ) ( 12
2
x x x x x x x x x
Dạng : Tìm x Cách gi¶i :
- Đối với phép tốn cộng, trừ ta chuyển hạng tử không chứa x vế Đối với phép toán nhân chia ta chuyển đẳng thức dạng : Ax =B ->x =
B A
- Rót gän biĨu thức VD2: Tìm x: (a, b số) a, x + (a + b)2=
2 4
) (a b
b a b, ab a b a x b a ab a 2 2 4 Gi¶i
a, x + (a + b)2=
2 4
) (a b
b a
-> x = 2
2 2 2 4 2 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( a b
b a b a b a b a b a b a b a b a b, ab a b a x b a ab a 2 2 4
-> x = 2
2
2
2 2 2
: a b a b a ab a ab a b a
III Bµi tËp:
Bài 1: Quy đồng mẫu thức phân thức sau:
a, 2
3 ; x x
x b,
2 ; ; 2 x x x x x x c, 2 ; 2 x x x x x
HD : a,
) ( ) ( ) )( ( ) ( x x x x x x x x x ; ) ( ) ( x x x
b, (( 11))
x x x x
; 2((2 11)); (( 21))
x x x x x x x x c, ) )( ( ; 3 x x x x x
Bµi 2 : Cộng phân thức sau :
a, 2
2 2 1 2 x x x x x x x
( = 1)
b, 2
2 ( )
3 ) ( a x x a x a x x a x
( = 2
2 ) ( 2 a x x a x x )
c, 2
4 x x x x
(
2
x )
d, 2
(47)e, 3 2 y xy x y x x y xy y
x
( = 2
) ( y xy x y x )
g, 2 2
4 y x y x
xy ( =( ) ( )
8
2 x y
y
x )
h, a a a a a a 2 2 i, 10 10 10
x
x x
( = 1) Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh :
a, x y2
y y x xy
( = x y2
y xy
)
b, 2
3 2 y xy x xy y xy x x
( = x(x –y)
c, 2
9 ) ( 3 x x x x x x x ( = 2 2 x x x )
d,
9 2 x x x
x ( = ( 9) 15 51 x x x )
e, )
1 1 ( ) 1 ( 1 1 1 2 3
x x x
x x x x x x x x x x g, ) )( ( ) )( ( ) )( (
x x x x x
x ( =
h, ) ( 1
x x x x
x
i, x
x x x 2
k, 1 1 2
x x
x x x l, 3 2
x x
x x
x m,
1 4 2 2
x x x x x
x x
x
Bµi 4: Lµm tÝnh nh©n:
a, 3
2 2 9 2 4 3 y x y x y x y xy x
b, 4
4 24 13 65 48 a b b a e, ) 1 ).( 1
( 2
x x
x x c, 2 x x x x x x
d, 3 2
3 2 m m x x x m
g, (x4-1).
1 x x h, 25 125 x x
x i,
1 18 2 2 x x x x x x
x k,
1 10 x x x x
Bài 5: Rút gọn phân thức sau : a, 5 : ) 1 1 ( x x x x x x (… 10
x )
b, xyx yy xx xyy xy yx
2 (… xy
y x
)
c, ( 2
2 2
2 ): 2
2 y xy x xy y x x xy y x y xy x
(… 2
(48)d, 2 2 2 ) ( y x y x y x y y x x
(…2( )
) ( 2 y x y x )
e, (x4-1):
3 x
x (…x3 +3x2+ x+3)
g, :(4 25)
3 125
8
x x
x (…
) )( ( 25 10 x x x x )
Bµi 6: Cho M =
x x x x x x x x 3 : ) 3 (
a, Tìm điều kiện x để giá trị M xác định b,Rút gọn biểu thức M
c, Víi x = th× M cã giá trị ? d, Với giá trị x M có giá trị nhỏ ?
HD: a, §/K :
0 1 0 x x => 1 0 x x b, M =
x x x x x x x x 3 : ) 3 ( = x x x
2
c, x = => M =
21 44
d, §Ĩ M < mµ x2 - x +2 = (x -
2
)2 +
4
> víi mäi x nªn mÉu thøc 3x < => x <
Bµi 7: Cho A = 2 3
2 2 : ) 2 4 2 ( x x x x x x x x x x
a, Tìm điều kiện x để giá trị A xác định b, Rút gọn A
c, Tìm x để giá trị A = HD : a,
0 0 2 0 2 x x x => 0 2 2 x x x
b, A = 2 3
2 2 : ) 2 4 2 ( x x x x x x x x x x = ) )( ( ) ( x x x x
c, §Ĩ A = => 4x2(x-2) = => x = (không thoả m·n ®iỊu kiƯn)
x - 2= => x = (không thoả mãn điều kiện) Vậy khơng có giá trị x để A =
Bài 8: Cho phân thức sau: A = ) )( ( x x x B = 9 2 x x
x C =
x x x 16 2 D = 4 x x
x E =
4 2 x x
x F =
8 12 3 x x x
a) Với điều kiện x giá trị phân thức xác định b)Tìm x để giá trị phân thức
(49)HD : *A = ) )( ( x x x §/k : 2 3 x x
KQ : A =
2
x => Khơng có giá trị x để A =
* B =
9 2 x x
x §/k : x
KQ: B =
3 x x
=> B = => x+3 = => x = -3
* C =
x x x 16 2
§/k :
3 4 0 x x
KQ : C =
x x
=> C = => 3x + = => x =
-3
* D =
4 4 x x
x §/k : x
-2 KQ: D =
2
x
=> D = => x + = => x = -2 (không thoả mÃn điều kiện) * E =
4 2 x x
x §/k : 2 2 x x KQ: E =
2
x x
=> E = => x =
* F =
8 12 3 x x
x §/k: x
KQ : F =
2
x => Khơng có giá trị x để F =
Bµi 9 : Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau: a) x x + x x x 3 2 (… x x 2 ) b)
x x x
x 6 (… x )
c) x x2y
+ x y
x
2
+ 2
4
x y
xy
(…x y
x 2 ) d)
x 4 9
6 3 x x x
(…3
1
x )
Bµi 10: Rót gän biĨu thøc:
A =
2
2 y x y xy
x : 2
(50)HD: A= ( )(1 )].( 4)( ) 2 (1 )
) (
1
[ 2
y x x xy
y x y x y x y x y
x
Bài 11: Chứng minh đẳng thức:
3 1
2 x
x x x
x :
2
x x x
x
HD: Ta cã :
VT =
3 1
2
x x x x
x :
2 )
2
2 (
x x x
x x
x x
x
= VP
Đề cơng ôn tập toán I Lí thuyết:
A Đại số:
1) Học thuộc quy tắc nhân,chia đơn thức với đơn thức,đơn thức với đa thức,phép chia hai đa thức biến
2) Nắm vững vận dụng đợc đẳng thức - phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3) Nêu tính chất phân thức,các quy tắc đổi dấu - quy tắc rút gọn phân thức,tìm mẫu thức chung,quy đồng mẫu thức
4) Học thuộc quy tắc: cộng,trừ,nhân,chia phân thức đại số
B H×nh häc:
1) Định nghĩa tứ giác,tứ giác lồi,tổng góc tø gi¸c
2) Nêu định nghĩa,tính chất,dấu hiệu nhận biết hình thang,hình than cân, hình thang vng,hình chữ nhật,hình bình hành,hình thoi, hình vng
3) Các định lí đờng trung bình tam giác,của hình thang
4) Nêu định nghĩa hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua đờng thẳng; Hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua điểm,hình có trục đối xứng,hình có tâm đối xứng 5) Tính chất điểm cách đờng thẳnh cho trớc
6) Định nghĩa đa giác đều,đa giác lồi,viết cơng thức tính diện tích của: hình chữ nhật,hình vng,tam giác,hình thang,hình bình hnh,hỡnh thoi
II Bài tập:
A Đại số:
1/ Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2
c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5)
e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4)
2/ Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
3/ Chøng minh biÓu thøc sau không phụ thuộc vào biến x,y A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)
B = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1)
C = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1)
4/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - y2 - 2x + 2y b)2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2
d)x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f)x2 - 2x - 4y2 - 4y
g) x2y - x3 - 9y + 9x h)x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2
m)xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12
l) 81x2 +
(51)a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x2-5x = d) (2x-3)2-(x+5)2=0
e) 3x3 - 48x = f) x3 + x2 - 4x = 4
6/ Chøng minh r»ng biÓu thøc:
A = x(x - 6) + 10 luôn dơng với x B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3
7/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A,B,C giá trị lớn biểu thức D,E: A = x2 - 4x + B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)
D = - 8x - x2 E = 4x - x2 +1
8/ Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho(x + 1)2
9/ Cho phân thức sau: A = ) )( ( x x x B = 9 2 x x
x C =
x x x 16 2
D =
4 4 x x x E = 2 x x
x F =
8 12 3 x x x
a) Với điều kiện x giá trị phân thức xác định b)Tìm x để giá trị pthức
c)Rút gọn phân thức
10) Thực c¸c phÐp tÝnh sau: a) x x + x x x 3 2 b)
x x x
x 6
c) x x2y
+ x y
x
2
+ 2
4 x y xy d)
x 4 9
6 3 x x x
11/ Chøng minh r»ng:
b) 52005 + 52003 chia hÕt cho 13
c) b) a2 + b2 + ab + a + b
d) Cho a + b + c = chøng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc
12/ a) Tìm giá trị a,b biết: a2 - 2a + 6b + b2 = -10
b) TÝnh giá trị biểu thức;
A =xz yxyz yxz nÕu111 0
z y x 13/ Rót gän biÓu thøc:
A =
2
2 y x y xy
x : 2
4
x y
xy
14) Chứng minh đẳng thức: 1 x x x x
x :
2 x x x x
II H×nh häc:
1/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã BC = 2AB vµ gãc A = 600 Gọi E,F theo thứ tự là
trung đIểm BC AD a) Tứ giác ECDF hình gì?
b) Tứ giác ABED hình gì? Vì ? c) TÝnh sè ®o cđa gãc AED
2/ Cho ABC Gọi M,N lần lợt trung điểm BC,AC Gọi H điểm đối xứng N qua M
a) C/m tứ giác BNCH ABHN hbh
b) ABC thỏa mÃn điều kiện tứ giác BCNH hình chữ nhật
3/ Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm đờng chéo ( khơng vng góc),I K lần lợt trung điểm BC CD Gọi M N theo thứ tự điểm đối xứng điểm O qua tâm I K
a) C/mr»ng tứ giác BMND hình bình hành
(52)b) Với điều kiện hai đờng chéo AC BD tứ giác BMND hình chữ nhật c) Chứng minh điểm M,C,N thẳng hàng
4/ Cho hình bình hành ABCD Gọi E F lần lợt trung điểm AD BC Đờng chéo AC cắt đoạn thẳng BE DF theo thứ tự P Q
a) C/m tứ giác BEDF hình bình hành b) Chứng minh AP = PQ = QC
c) Gäi R lµ trung điểm BP Chứng minh tứ giác ARQE hình bình hành 5/ Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lợt trung điểm AB,BC,CD,DA a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao?
b) Tỡm iu kin tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ hình vuụng?
c) Với điều kiện câu b) hÃy tính tỉ số diện tích tứ giác ABCD MNPQ
6/ Cho ABC,các đờng cao BH CK cắt E Qua B kẻ đờng thẳng Bx vuông góc với AB Qua C kẻ đờng thẳng Cy vng góc với AC Hai đờng thẳng Bx Cy cắt ti D
a) C/m tứ giác BDCE hình bình hành
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh M trung điểm ED c) ABC phải thỏa mÃn đ/kiện DE qua A
7/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD),E trung điểm AB a) C/m EDC cân
b) Gọi I,K,M theo thứ tự trung điểm BC,CD,DA Tg EIKM hình gì? Vì sao? c) TÝnh S ABCD,SEIKM biÕt EK = 4,IM =
8/ Cho hình bình hành ABCD E,F lần lợt trung điểm AB CD a) Tứ giác DEBF hình gì? Vì sao?
b) C/m đờng thẳng AC,BD,EF đồng qui
c) Gäi giao ®iĨm cđa AC víi DE vµ BF theo thø tù lµ M N Chứng minh tứ giác EMFN hình bình hành
d) Tính SEMFN biết AC = a,BC = b
Một số tập trắc nghiệm
1) Chọn biểu thức cột A với biểu thức cột B để có đẳng thức Cột A Cột B
1/ 2x - - x2 a) x2 - 9
2/ (x - 3)(x + 3) b) (x -1)(x2 + x + 1)
3/ x3 + c) x3 - 3x2 + 3x - 1
4/ (x - 1)3 d) -(x - 1)2
e) (x + 1)(x2 - x + 1)
2)KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh 2 2 299 301
12000
lµ:
A B 10 C 100 D 1000 3)Ph©n thøc
1
4
3
x x
đợc rut gọn : A
1
x B
4
x D
4
x
x
4)§Ĩ biĨu thức
3
x có giá trị nguyên giá trị x
A B.1;2 C 1;-2;4 D 1;2;4;5 5)Đa thức 2x - - x2 đợc phân tích thành
A (x-1)2 B -(x-1)2
C -(x+1)2 D (-x-1)2
6)§iỊn biĨu thức thích hợp vào ô trống biểu thức sau : a/ x2 + 6xy + = (x+3y)2
b/
y
x
2
( ) =
8 3 y
x
(53)7)TÝnh (x + 2y)2 ?
A x2 + x +
4
B x2 +
4
C x2 -
4
D x2 - x +
4
8) NghiÖm phơng trình x3 - 4x = 0
A B 0;2 C -2;2 D 0;-2;2 9)Mét tø giác hình vuông :
a- Tứ giác có góc vuông
b- Hình bình hành có góc vuông c- Hình thoi có góc vuông
d- Hình thang có hai gốc vuông
10)Trong hình sau hình khơng có trục đối xứng : A Hình thang cân B Hình bình hnh
C Hình chữ nhật C Hình thoi
11)Trong hình sau hình khơng có tâm đối xứng : A Hình thang cân B Hình bình hành
C Hình chữ nhật C Hình thoi
12)Cho MNP vuông M ; MN = 4cm ; NP = 5cm DiÖn tÝch MNP b»ng :
A 6cm2 B 12cm2 C 15cm2 D.20cm2 13)Hình vuụng cú ng chộo bng
4dm cạnh :
A 1dm B 4dm C 8dm D
3
dm
14)Hình thoi có hai đờng chéo 6cm 8cm chu vi hình thoi A 20cm B 48cm C 28cm D 24cm
15)Hình thang cân :
A H×nh thang cã hai gãc b»ng
B Hình thang có hai góc kề đáy C Hình thang có hai cạnh bên 16, Chứng minh đẳng thức : (
x x
x x x
x x
x
x
3 ) 3 ( : ) 9
2
17, Cho biÓu thøc : A =
) (
5 50 10
2
2
x x
x x
x x
x x
a,Tìm điều kiện biến để giá trị biểu thức xác định ? b,Tìm x để A =
c, Tìm x để A =
-4
(54)Hình học: Ôn tập diện tích đa giác
I Tóm tắt lý thuyết: ( dạng KTBC)
1, Đa giác :
- Tổng góc đa giác n c¹nh b»ng (n-2).1800
- Trong đa giác n cạnh ,số đờng chéo
2 ) (n
n
- Số đo góc đa giác n cạnh
n n 2).1800
( b 2, DiÖn tích hình chữ nhật: b
S = a.b a 3, DiƯn tÝch h×nh vu«ng: a
S = a2
a
4, Diện tích tam giác vuông: b S =
2
a.b A a A
5, DiƯn tÝch tam gi¸c : S =
2
AH.BC
B H C
6, DiƯn tÝch h×nh thang : b
h S =
2 ) (ab h
a
7, DiƯn tÝch h×nh thoi, diện tích hình bình hành :
h S = a.h a
B
8, Tứ giác có đ ờng chéo vuông góc, hình thoi :
A C S =
2 BD AC
D
II Bµi tËp:
Bài 1 :a, Tính số đo góc hình cạnh đều,9 cạnh ,15 cạnh ? b,Tính đờng chéo hình cạnh đều,9 cạnh ,15 cạnh ?
HD: a, 1080; 1400; 1560
b, 5; 27 ; 90
Bài 2 : a, Cho lục giác có tất góc Tính góc lục giác ? b, Đa giác có 14 đờng chéo ?
HD: a, 1200
(55)Bµi 3 :Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AC = 10 cm Gọi O giao điểm đ-ờng chéo AC BD ;M,N,P,Q lần lợt trung điểm OA, OB, OC, OD
TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c MNPQ KQ: SMNPQ = 15cm2
Bµi 4 : Tính diện tích hình chữ nhật ABCD ,biết từ A kỴ AH BD ,BH = 9cm,
CH = 16cm
Bài 5: Cho MNP vuông M ; MN = 4cm ; NP = 5cm TÝnh diÖn tÝch MNP KQ: 20 cm2
Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC ,đờng cao AH Biết AB = 26cm, AC = 25cm , HB = 10cm.Tính diện tích ABC ?
KQ: AH = 24cm, HC = 7cm => S = 168 cm2
Bài 7: Cho ABC có BC = 10cm, đờng trung tuyến BD CE có độ dài theo thứ tự 9cm 12cm Tính diện tích ABC ?
Bài 8: Cho ABC có BC = 28cm, đờng cao AH = 40m.Một đờng thẳng song song với BC cách BC 10 m,cắt AB AC theo thứ tự D E
a, Tính diện tích ABC , BEC, BDE b, Tính độ dài DE ?
Bài 9: Hình vng có đờng chéo 4dm cạnh ?
Bài 10: Cho hình thang ABCD ( AB// CD), biÕt AB = 4cm,CD = 25cm, BC = 17cm Tõ B kỴ BE // AD TÝnh diƯn tÝch BEC
Bài 11: Hình thoi có hai đờng chéo 6cm 8cm chu vi hình thoi ?
Bài 12: Cho tam giác ABC có BC = 15cm,đờng cao AH = 10cm.Gọi d đờng thẳng song song với BC cắt cạnh AB,AC theo thứ tự D,E.Từ E kẻ EK vng góc với BC (KBC)
a, Tính diện tích tam giác ABC ? b,Tính độ dài DE EK = 4cm ?
c, Tính độ dài DE DE = KE ?
HD: a,DiƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng: 75
2 10 15
cm AH
BC
b,Đặt DE=x ta cã:SADE+SBDEC=SABC ( 15).4 75
2
x
x x=9
Vậy DE=9cm
c,Đặt DE=EK=x ta cã:SADE+SBDEC=SABC
1
x(10-x)+
(x +15).x=75 10x-x2+x2+15x=150 25x=150 x=6
VËy DE=6cm
Bài 13: Cho tam giác ABC cân A,diện tích 30cm2,đờng cao AH.Gi I l trung
điểm AH,D giao ®iĨm cđa BI vµ AC,E lµ giao ®iĨm cđa CI AB a, Tính diện tích tam giác BIC ?
b, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ADIE ?
HD: a, V× IH = AH
2
nªn SIBC =
2
SABC=30:2 = 15
b,Gọi K trung điểm BE KH //EC
55
I
B C
A
H D E
D E
A
B H C
(56)Tam giác AKH có AI = IH ,EI // KH nên AE = EK SAEI=
3
SABI (vì AE =
3
AB) mà SABI=
2
SABH (v× AI =
2
AH) vµ SABH=
2
SABC (v× BH =
2
BC) SAEI=
12
SABC SADIE = SAEI=
6
SABC=30:6 =
3,Cho tam giác nhọn ABC (AC > AB ) đờng cao AH.Gọi D,E,F theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC
a, Tứ giác DE FH hình g× ? v× ? b, BiÕt AH = 8cm, HB = 4cm, HC = 6cm TÝnh diÖn tÝch tam giác ABC
diện tích tứ giác BDE F vµ DE FH ?
HD: a,
EC AE
DB AD
=> ED // BC => tø gi¸c DEFH hình thang b, SABC = 40cm2 , SBDEF = 20cm2 , SDEFH = 15cm2
4,Một hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 6cm.Gọi E,F,G,H,lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA
Tính diện tÝch tø gi¸c E FGH?
HD: SE FGH = 12cm2
5,Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có CA tia phân giác góc C, AB = 13cm, CD = 23cm ,đờng cao AH
a, Tính độ dài HD, AH ?
b, TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC ? c, TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD ?
HD:a, HD = 5cm; AH = 12cm b,SABC = 6.13= 78cm2 ; c, SABCD = 216cm2
6, Cho h×nh thoi ABCD ( AB // CD) cã AC = 6cm, BD = 10cm Gäi E,F,G,H,lÇn lợt trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA Tính diện tÝch tø gi¸c E FGH?
KQ: 15cm2
A
B C
H
D E
F
A D
C B
E
H
G
F
A B
D C
H
A B
C D
H
E
F
(57)Đại số : Phơng trình bậc ẩn
I Tóm tắt kiến thức cần nhớ : ? HÃy nêu dạng tổng quát phơng trình ẩn ? Cho vÝ dô ?
? Nêu định nghĩa phơng trình tơng đơng ?
? Nêu định nghĩa phơng trình bậc ẩn? Cách giải ?
Sè nghiệm phơng trình bậc ẩn ?
? Muốn đa phơng trình dạng ax + b = ta lµm nh thÕ nµo ?
1 Ph ơng trình ẩn : Có dạng : A(x) = B(x) 2.Ph ơng trình t ơng đ ơng : a, Định nghĩa:
Hai phng trỡnh c gi tơng đơng chúng có tập nghiệm
b,Hai quy tắc biến đổi ph ơng trình : - Quy tắc chuyển vế
- Quy tắc đổi nhân chia với số Ph ơng trình bc nht mt n:
a, Định nghĩa:
Phơng trình bậc ẩn phơng trình có dạng : a x + b = (a 0)
b, Cách giải :
a x + b = (a 0)
a x = - b x =
a b
Vậy phơng trình bậc nhÊt mét Èn cã mét nghiƯm nhÊt lµ x =
a b
4 Ph ơng trình đ a đ ợc dạng ax + b = - Quy đồng mẫu thức vế
- Khử mẫu thức cách nhân vế cho mẫu thức - Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vÕ, c¸c h»ng sè sang vÕ
(58)- Thu gọn giải phơng trình II Các dạng toán :
Dạng 1: Xét xem x = a có nghiệm phơng trình kh«ng
Cách giải : Thay x = a vào vế phơng trình A(x) = B(x) để tính A(a) B(a) Nếu A(a) = B(a) x = a nghiệm phơng trình,
cßn nÕu A(a) B(a)thì x = a không nghiệm phơng tr×nh
VD1: H·y xÐt xem x = -1 cã nghiệm phơng trình sau không ? a, 4x -1 = 3x -2 b, x+1 = 2(x-3) c, 2(x +1) +3 = 2-x
Gi¶i :
a,Víi x = -1 : VT = 4x - = 4(-1) -1 = -5 VP = 3x -2 = 3(-1) -2 = -5
=> VT = VP => x = -1 lµ nghiƯm cđa phơng trình 4x -1 = 3x -2 b, Với x = -1 : VT = x + = -1+1 =
VP = 2(x -3) = 2(-1 -3) = -8
=> VT VP => x = -1 không nghiệm phơng trình x+1 = 2(x-3) c, Với x = -1 : VT = 2(x +1)+3 = 2(-1 +1)+3 =
VP = 2- x = 2- (-1) =
=> VT = VP => x = -1 nghiệm phơng trình 2(x +1) +3 = 2-x Dạng 2: Xét phơng trình có tơng đơng không ?
Cách giải : Dựa vào định nghĩa phơng trình tơng đơng
VD2: Hãy xét xem cặp phơng trình sau có tơng đơng với không ? a,x = x(x -1) = b, x2 - = (x -2)(x +2) = 0
Gi¶i :
a, Phơng trình x = có tập nghiệm S1 = {0}
phơng trình x(x -1) = cã tËp nghiÖm S2 = {0;1}
Vì S1 S2 nên phơng trình cho khụng tng ng
b, Phơng trình x2 -4 = cã tËp nghiÖm S
1 = {-2;2}
phơng trình (x-2)(x +2) = có tập nghiƯm S2 = {-2;2}
Vì S1 = S2 nên cho tơng đơng với
D¹ng 3:Giải phơng trình bậc ẩn
Cỏch gii : Đa phơng trình dạng phơng trình bậc ẩn áp dụng quy tắc biến đổi phơng trỡnh tng ng gii
VD3: Giải phơng tr×nh :
(59)c,
2
2
5x x
d,
9 12
3
10x x
Gi¶i :
a, (x-2)(x2+2x + 4) - 4x = x(x-2)(x+2) <=> x3 -8 - 4x = x3 - 4x
<=> 0x = => Phơng trình vô nghiÖm
b, 2x +4(x-2) -5 = <=> 6x -13 = <=> x =
6 13
=> Phơng trình có nghiệm x =
6 13
c,
2
2
5x x
<=> 2(5x -2) = 3(5-3x) <=> 10x +9x = 15 + <=> x =
=> Phơng trình có nghiệm x = d,
9 12
3
10x x
<=> 3(10x+3) = 36 +4(6+8x) <=> -2x = 51 <=> x =
-2 51
=> Phơng trình có nghiệm x =
-2 51
III Bài tập
1 Giải phơng trình sau: a,
2
x (x =
12 145
) b, x(x-5) - x(x- 6) = ( x = 7) c,
5
3
1
x x
(x =
-7 94
) d, (x-5)2 -(x-3)(x-4) = 2(2-3x) (x =
-3)
e, (2x-1)2 + 2x = (x+3)(x-3) + 3x2 (v« nghiƯm)
g, 4(2x +3)- 3(2-3x) = (x =
17
) h, 3x(12x-4)-9x(4x-3) = 30 (x =
39 30
) i, (x+2)2-2(x-3) = (x+1)2 (v« nghiƯm )
k, 6x - 3(x-2) = (x =
3 10
) i, 2(3x-1) + 5(2x +1) = 19 (x = 1) Tìm giá trị k cho :
a, Phơng trình : (2k +5)x - 3k = phơng trình bậc ẩn b, Phơng trình: (5k-2)x -2k +1 = có nghiệm x = -2
c, Phơng trình : (4x -1)(5x-3k) -5(x-2) = cã nghiÖm x =
(60)d, Phơng trình : (3k -6)x -5k + = phơng trình bậc Èn
HD: a, k - 2,5 b, k =
12
c, k =
3 10
d, k = Giải phơng trình sau :
a, 2(x + )
3 ( )
x b, 1)
3 ( 3 ) ( x x
c, 2x(x-1) + x(x-2) = 3(x+1) -10x
4 Giải phơng trình : a.x + b = (a,b số cho)
HD: XÐt c¸c trêng hỵp : 1, a 2, a = b = 3, a = vµ b Cho phơng trình : (m2+6m+5) x = m +5 Chøng minh r»ng :
a, Khi m = -5 phơng trình có tập nghiệm S = R b, Khi m = -1 phơng trình vô nghiệm
c, Khi m -1 m -5 phơng trình có nghiệm ? Tìm nghiệm phơng trình theo m ?
HD: a, m = -5 => phơng trình có dạng : 0x = => Phơng trình có tập nghiệm S = R b, m = -1 => Phơng trình có dạng : 0x =
=> Phơng trình vô nghiÖm
c, (m2+6m+5) x = m +5 => (m+1)(m+5)x = m+5
=> Phơng trình có dạng phơng trình bậc ẩn Khi m -1 m -5 phơng trình có nghiệm nhÊt x =
1
m
6, Giải phơng trình: a, 2001 2002 2003 2004 2005 2006
x x x x x
x b, 95 100 96 100 97 100 98 100 99 100 100
100 2 2
2
x x x x x x x x x x x
x
HD : a, Cộng số hạng với b, Cộng số hạng với -1 Giải phơng trình:
a, ) ( 10 ) ( ) (
x x
x
(x =
(61)c,
2 ) )( (
) (
)
( 2
x x x
x (x= - 3,4)
d,
3 13 10
) ( 15
) (
)
( 2
x x x
x (x = 3,5)
e,
6 11
3
) (
3
x x
x
(x =
3 35
)
g, 12
6 10
) )(
(
x x
x
(x = 1,6)
8 H·y xÐt xem x = -1; x = - có nghiệm phơng trình sau không ? a,2x2- 4x +1 = x2-3(3x+1) b, 2x + 15 = -20 -3x
HD: a, x = -1 x = - nghiệm phơng trình (a)
b, x = -1 x = - khơng nghiệm phơng trình (b) Hai phơng trình sau có tơng đơng khơng ?
a, 1,5x = vµ 1,5x = x b, 4x +3 = vµ 4x2 +3 =
c, x + = x vµ x2 +1 = d, x3 + vµ (x2 +3)(x -5) = 0
HD: a,c : Hai phơng trình tơng đơng
b,d : Hai phơng trình khơng tơng đơng
10 Tìm giá trị a để phơng trình có nghiệm tơng ứng : a, ax -5 = có nghiệm x = ( a =
4
) b, ax +7 = cã nghiÖm x = -3 (x =
3
) c, ax -
5
= cã nghiÖm x =
3
(x =
5
)
11 Tìm giá trị x cho biĨu thøc A vµ B sau có giá trị nhau: a, A = (x -3)(x +4) -2(3x -2) B = (x-4)2
b, A = (x -2)(x +2) -(2x+1)2 B = x(2-3x)
c, A = (x +1)(x2-x+1) -2x B = x(x-1)(x+1)
d, A = (x -2)3 +(3x -1)(3x+1) B = (x +1)3
HD: a, b,
-6
c, d,
9 10
Hình học: Ơn tập định lý Ta Let tam giác
I.Tãm t¾t lý thuyÕt:
1 Tỉ số đoạn thẳng: Là tỉ số độ dài chúng (theo đơn vị đo)
2 Đoạn thẳng tỉ lệ :
AB CD tØ lƯ víi A’B’ vµ C’D’
' '
' '
A
D C
B CD
AB
3 Định lý Ta lét tam giác:
61
A
C B
(62)ABC cã B’C’ // BC AC CC AB BB CC AC BB AB AC AC AB AB / / / / / / / /
4 Hệ định lý Ta Lét : BC C B ABC // /
/ BC
C B AC AC AB
AB/ / / /
5 Định lý Ta Lét đảo : C C AC B B AB / / / /
B/C/ // BC
6 Nh¾c lại tính chất tỉ lệ thức
A'' ''
D C B CD AB ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , ,3 , ,1 D C CD B A AB D C B A CD AB D C D C B A CD CD AB D C CD B A AB CD B A D C AB
II Các dạng toán :
Dạng : Tính toán, chứng minh tỉ số đoạn thẳng đoạn thẳng tỉ lệ
Cách giải : Sử dụng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc
VD1: Cho biết độ dài AB gấp lần độ dài CD độ dài DE gấp 12 lần độ dài CD Tính tỉ số đoạn thẳng AB DE ?
Gi¶i 12 CD CD DE AB
VD2: Gọi M điểm nằm đoạn thẳng AB cho :
2 MB MA Tính tỉ số
AB AM AB MB Gi¶i
A M B
(63)C¸ch 2:
3
1
1
AB MA MB
MA MA MB
MA
3 2
1 2
1
AB MB MB
MA MB MB
MA
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng
Cách giải : Xét đờng thẳng song song với cạnh tam giác, kập đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng tính chất tỉ lệ để tính toỏn
VD3: Tìm x trờng hợp sau :
A
B C
M N
a, MN// BC b, E F // MN
Giải : a, Xét ABC có MN// BC, theo định lý Ta let ta có :
5 ,
5
x NC AN MB AM
=> x = 2,8 b, x = 31,58
D¹ng : Chøng minh c¸c hƯ thøc
Cách giải : Xét đờng thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoanh thẳng tỉ lệ Biến đổi tỉ lệ thức nhận đợc để đến điều phải chứng minh
VD4: Cho hình thang ABCD(AB//CD) Một đờng thẳng song song với đáy, cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Chứng minh : 1
BC CF AD AE
Gi¶i :
Gọi K giao điểm AC E F XÐt ADC, EK// DC :
AC AK AD AE
(1)
XÐt ABC, KF // AB :
AC CK BC CF
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy : 1
AC AC AC
CK AK AC CK AC AK BC CF AD AE
III.Bµi tËp:
1, Cho đoạn thẳng AB = 15cm Trên đờng thẳng AB lấy điểm C,D cho
2
DB DA CB CA
( C AB, D nằm đoạn AB ).Tính độ dài CA, DA ?
HD:
D A C B
CA= 5cm, DA = 30cm
2, Cho đoạn thẳng AB ,1 ®iĨm C AB vµ chia AB theo tØ sè
3
H·y tÝnh c¸c tØ sè
AC AB
,
CB AB
?
3, Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) , E trung điểm AB, O giao ®iĨm cđa AC vµ BD, F lµ giao ®iĨm cđa EO CD Chứng minh F trung điểm CD
63 M
N P
E
F
K
A B
C D
E F
8
9,5 28
x
4 x
(64)HD: AB//CD =>
FD EB OF OE CF
AE
Do AE = EB nªn CF = FD
4, Cho tam gi¸c ABC , D BC cho BD =
4
BC , E AD cho AE =
3
AD Gọi K giao điểm BE vµ AC TÝnh tØ sè
KC AK
? HD: Kẻ DH // BK (H AC) Theo định lý ta lét : Do EK //DH nên
2
ED AE KH
AK
Do DH // BK nªn
4
BC BD KC KH
Suy :
8
KC KH KH
AK
=>
8
KC AK
5, Cho tam giác ABC ,đờng trung tuyến AM, I AM.Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB Chứng minh E F// BC
HD :
6, Cho tam gi¸c ABC , D BC, M nằm A D Gọi I,K theo thứ tự trung điểm MB, MC Gọi E giao điểm DI AB, F giao điểm cđa DK vµ AC Chøng minh E F//IK ?
HD: Gọi N trung điểm AM Ta cã : NI//AB, NK//AC nªn :
KD FK ND AN ID EI
=> EF// IK
7, Cho tam gi¸c ABC ,I AB ,K AC KỴ IM // BK (MAC) , kỴ KN // CI (N
AB).Chøng minh MN //BC ? HD: MI// BK =>
AK AM AB AI
=>AI.AK = AB.AM (1) KN// CI =>
AC AK AI
AN
=> AN.AC = AI.AK (2) Tõ (1) vµ (2) suy : AB.AM = AN.AC =>
AB AN AC
AM
=> MN// BC
O
A B
C D
E
F
E A
B C
D K
H
I A
B C
M E F
K I
A
B D C
M
F E
N
A
B C
K I
(65)8, Cho hình bình hành ABCD Gọi G điểm cạnh CD, KCB cho
2
GC DG
vµ
2
KC BK
.Gọi giao điểm BD với AG AK lần lợt E F Tính độ dài đoạn DE, E F, FB biết BD = 24cm ?
HD : Do DG // AB nªn
AB DG EB
DE
mà AB =CD
3
DC DG EB DE
suy
4
BD DE
VËy DE =
4
BD = 6cm T¬ng tù BF =
8
BD = 9cm suy E F = 9cm
9, Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD , E trung điểm CD Gọi M giao điểm AE BD, N giao điểm BE AC Chứng minh MN//AB
HD: AMB cã AB//DE nªn :
AB ED MA ME
Mµ ED = EC =>
AB EC MA ME
(1) ANB cã AB//EC nªn :
AB EC NB NE
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy :
NB NE MA ME
=> MN//AB
10 Cho tứ giác ABCD Đờng thẳng qua A // BC cắt BD E Đờng thẳng qua B // AD cắt AC G Chứng minh r»ng: EG//CD
HD: áp dụng định lý Ta lét ta có : Do AE//BC nên:
OC OA OB OE
(1)
Do BG // AD nªn :
OA OG OD OB
(2)
Nhân theo vế (1) (2) :
OA OG OC OA OD OB OB OE
=>
OC OG OD OE
=> EG //CD
11 Cho hình bình hành ABCD Qua điểm ECD, vẽ đờng thẳng // AC cắt AD F Qua F vẽ đờng thẳng // BD cắt AB G Qua G vẽ đờng thẳng // với AC cắt BC H Chứng minh EFGH hình bình hành
HD: Theo định lý Ta lét ta có :
HB CH GB AG FD AF ED CE
Tõ EH BD
HB CH ED CE
// EFGH hình bình hành
Đại số : Ôn tập phơng trình tích Phơng trình chứa ẩn mẫu
65 F
E
A B
C D
G
K
N M
A B
C D
E
O A
B
C D
G E
A B
C D
E F
G
(66)I, Tóm tắt lý thuyết: Phơng trình tÝch: A(x).B(x) =
0 ) (
0 ) (
x B
x A
Phơng trình chứa ẩn mẫu:
- ĐKXĐ phơng trình giá trị ẩn để tất mẫu thức ph-ơng trình khác 0
- Cách giải : * Tìm ĐKXĐ
* Quy đồng mẫu thức vế phơng trình khử mẫu * Giải phơng trình vừa nhận đợc
* Kết luận : Với giá trị x tìm đợc kiểm tra ĐKXĐ viết tập nghim
II Các dạng toán :
Dạng : Phơng trình dạng A(x).B(x) = 0
Cách giải : - Giải phơng trình A(x) = B(x) = - Lấy tất nghiệm thu đợc
- ViÕt tËp hỵp nghiƯm S
VD1: Giải phơng trình :
a, (2x -3)(5x +6) = b, (3,4x - 6,8)(0,2x + 4) = c, (2x +1)(x2 +2) = d, (3x +7)(x-4)(4x+1) = 0
Gi¶i
a, (2x -3)(5x +6) = <=> 2x -3 = hc 5x +6 = * 2x -3 = <=> 2x = <=> x =
2
* 5x +6 = <=> 5x = -6 <=> x =
5
Vậy tập nghiệm phơng trình lµ : S =
2 ;
6
b, (3,4x - 6,8)(0,2x + 4) = <=> 3,4x - 6,8 = hc 0,2x + = * 3,4x - 6,8 = <=> 3,4x = 6,8 <=> x =
* 0,2x + = <=> 0,2x = -4 <=> x = -20
Vậy tập nghiệm phơng trình lµ : S = 20;2
c, (2x +1)(x2 +2) = <=> 2x +1 = hc x2 +2 = 0
* 2x +1 = <=> 2x = -1 <=> x =
2
* x2 +2 = <=> x2 = -2 vô nghiệm (vì x2 0, với x)
Vậy tập nghiệm phơng trình lµ : S =
2
d, (3x +7)(x-4)(4x+1) = <=>
0
0
0
x x
x
<=>
4
3
x x x
VËy S =
4 ;
1 ;
7 VD2: Giải phơng trình :
a, (5x -3)
3
1
4x x
= b, (2 1)
5 ) ( 2
1
x x x
(67)Gi¶i
a, (5x -3)
4x x
= <=> 5x -3 = hc
3 x x = * 5x -3 = <=> x =
5 * x x
= <=> 3(4x -1) -5(2x +1) = <=> 12x -3 -10x -5 = <=> 2x = <=> x =
VËy S =
;4
5
b, (2 1)
5 ) ( 2 x x x x <=> ) ( ) ( 2 x x x x <=>
) ( 2 ) ( ) ( x x x x
<=> x x <=> x x
VËy S =
; ;
D¹ng : Phơng trình đa dạng phơng trình tích
Cách giải : - Chuyển tất hạng tử sang vế trái, vế phải
- Rỳt gọn phân tích đa thức thu đợc vế trái thảnh nhân tử - Giải phơng trình kết lun
VD3: Giải phơng trình sau :
a, 3x(x-2) + 4(x-2) = b, x(x -4) = 3x(2x- 5) c,(x2+2x +1) -9 = d, x2- 2x +3 = 0
Gi¶i :
a, 3x(x-2) + 4(x-2) = <=> (x-2)(3x+4) = <=> x x
<=> x x
VËy S =
;2;
4
b, x(x -4) = 3x(2x- 5) <=> x(x -4) - x(6x-15) = <=> x(x- 4- 6x +15) = <=> x(11-5x) = <=>
11 x x
<=> 11 x x
VËy S =
; 11 ;
c,(x2+2x +1) -9 = <=> (x +1)2 -32 = <=> (x+1- 3)(x+1+3) = 0
<=> (x- 2)(x+4) = <=> x x
VËy S = 4;2
(68)d, x2- 2x +3 = <=> x2- 3x-x +3 = <=> x(x-3)- (x-3) = <=> (x- 1)(x- 3) = 0
<=> x x
<=> x x
VËy S = 1;3
Dạng 3: Giải phơng trình có chứa ẩn mẫu
Cách giải : - Tìm ĐKXĐ
- Quy đồng mẫu thức bỏ mẫu thức
- Giải phơng trình vừa tìm đợc (phơng trình khơng chứa ẩn mẫu) - Kiểm tra ĐKXĐ
- Viết tập nghiệm
VD4: Giải phơng trình: a, x x
= b,
2 2 x x x
c,
2 ) ( ) ( x x x
x d, 5 ( 3)
5
1
x x x
Giải :
a, ĐKXĐ: x-4 x x
= <=>
4 x x = ) ( x x
<=> 3x- = 2(x+4) <=> 3x- = 2x + <=> x =10 (tho¶ m·n §KX§) VËy S = 10
b, §KX§ : x0
2 2 x x
x <=>
2 2
9
2 2 x
x x x x
<=> 2x2 -9 = 2x2 +x
<=> x = -9(thoả mÃn ĐKXĐ) Vậy S = 9
c, §KX§ : x2
) ( ) ( x x x
x <=> x(x- 3) -2(x- 3) =
<=> (x-2)(x-3) = <=> x = (vì x2 theo ĐKXĐ) Vậy S = 3
d, §KX§ : x0
5 ( 3) x x
x <=> x
x x x
x (1 )( 3)
<=> 3(1-5x) = (1-5x)(x2+3) <=> (1-5x)(x2+3) - 3(1-5x) = 0
<=> (1-5x)(x2+3-3) = <=> (1-5x)x2 = 0
<=> x x <=> ) ( x DKXD x
VËy S =
III Bài tập : Giải phơng trình:
a, (5x +2)(x-7) = ( S =
;7
5
) b, 15(x+9)(x-3)(x+21) = (S =
(69)c, (x2-1)(x+3) = (S = {-3;-1;1} ) d, (x2+1)(x2+4x+4) = (S = {-2;-1;1;2}
e, x2-x-6 = (S = {-2;3} ) g, x2+5x+6 = (S = {-3;-2}
h, (x-1)(x2+5x-2)- x3+1 = (S = {
4
;1} ) i, x2 +(x+2)(11x-7) = ( S = {-2;
4
}) k, x3-x(x+1)+1 = (S = {-1;1})
l, x3+x2+x+1 = (S = {-1}
2 Gi¶i phơng trình:
a, x2-7x +6 = (S = {1;6}
b, 2x2-3x-5 = (S = {-1;
2
} c, 4x2-12x +5 = (S = {
2 ; } Cho biÓu thøc : A = (5x- 3y +1)(7x+2y-2) a, T×m x cho víi y = th× A =
b, T×m y cho x = -2 th× A =
HD: a, x = 1; x=
7
b,y = -3 ; y = Giải phơng trình:
a,
1 x x
(S = {2} b, x x
x (S = {-2}
c, 2 x x x x
(S = {
7 25
} d,
x x x
x
x
3 3 12
(S = {-1}
e, 1 x x x x x x
(S = ) g, 12 2 x x x x
(S = ) Với giá trị a để biểu thức sau có giá trị ?
a, 3 a a a a
(a = -1/4) b,
4 3 a a a a
(a = -8/5) Cho phơng trình ẩn x : 32 2
2 a x a a a x a x a x a x
a, Giải phơng trình với a = -3 b, Giải phơng trình với a =
c, Xác định a để phơng trình có nghiệm x = 0,5
HD: a, S = {-2} b, S = c, a = 0; a = 1/3
7 Tìm a, b để phơng trình : (x-1)a +(2x+1)b = x+2 có tập nghiệm R
HD: 0 2 0 1 2 b a b a <=> 1 1 b a
8 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm :
(70)HD:
0
1
0
m m m
m m
<=>
1
2 0
m m m
9.Tìm m để phơng trình sau vơ nghiệm : 2
1
x x x
m x
HD: m = ; m =
Đại số : Ôn tập giải toán cách lập phơng trình
Tóm tắt b ớc giải toán cách lập ph ơng trình :
B ớc 1 : Lập phơng trình :
- Chn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết - Lập phơng trình biểu thị mối liên hệ đại lợng B ớc 2 : Giải phơng trình.
B íc 3 : Tr¶ lời : Kiểm tra xem nghiệm phơng trình nghiệm nào thỏa mÃn điều kiện ,nghiệm không thỏa mÃn trả lời
Các dạng toán :
Dng 1 : Toỏn chuyn ng
Cách giải : Dựa vào c«ng thøc : S = v.t
(v - vận tốc ; t - thời gian ; S - quãng đờng đợc)
VD1: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 24km Một sau ngời xe máy từ A đến B đến trớc ngời xe đạp 20 phút Tính vân tốc xe ? biết vận tốc xe máy gấp lần vận tốc xe đạp
HD :Gọi vận tốc xe đạp x (km/h) (x > ) Thì vận tốc xe máy 3x (km/h)
(71)Xe máy 24/3x Ta có phơng trình :
60 20 24 24
x
x x = 12 (TM§K)
vận tốc xe đạp 12km/h, vận tốc xe máy 12.3= 36km/h Bài tập :
1, Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36km/h Sau tàu chở khách từ với vận tốc 48km/h đuổi theo tàu chở hàng Hỏi tàu chở khách gặp tàu chở hàng ?
HD : Gọi thời gian tàu chở khách từ TPHCM đến lúc gặp tàu chở hàng x (h) ( x> 0)
Lúc tàu chở khách đợc quãng đờng 48.x 9km)
Vì tàu chở hàng trớc tàu chở khách 2h nên gặp tàu chở hàng đ-ợc quãng đờng l : 36(x+2)
Ta có phơng trình : 48x = 36(x+2) x= ( t/m ®k Èn)
2, Một ô tô quãng đờng AB gồm quãng đờng đá quãng đờng nhựa Trên đờng đá ,xe với vận tốc 30km/h Trên đờng nhựa xe với vận tốc 45km/h Biết đoạn đờng đá
3
đoạn đờng nhựa ,và thời gian xe quãng đờng AB 4h Tính quãng đờng AB ?
HD : Gọi chiều dài quãng đờng nhựa x (km) ( x > 0) Thì chiều dài quãng đờng đá
3
x (km) Thời gian quãng đờng nhựa
45
x
Thời gian quãng đờng đá
45 30
x x
Ta có phơng trình : 45
x
+ 45
x
= x= 90 Vậy chiều dài quãng đờng nhựa 90km
chiều dài quãng đờng đá
90 = 150km
3 , Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h Lúc ngời với vận tốc 24km/h nên thời gian lâu thời gian 30 phút Tính quãng đờng AB ?
§S: AB = 60km
(72)4,Một tơ từ Thanh Hố đến Hà Nội lại từ Hà Nội Thanh Hoá theo đờng cũ tất 8h45’ Vận tốc lúc 40km/h, lúc 30km/h Tính qng đờng Hà Nội –Thanh Hố?
§S: 150 km
5, Một ngời xe đạp từ A đến B cách 12km Nửa sau ngời xe máy từ A đến B trớc ngời xe đạp 10 phút.Tính vận tốc ngời, biết vận tốc ngời xe máy gấp lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc ngời xe đạp x km/h(x>0) ta có: 12
60 10 60 30 12 12
x
x x
6 Một ô tô từ A đến B 2h30 phút Nếu với vận tốc nhỏ 10km?h nhỏ thời gian 50 phút Tính quãng đỡng AB ?
HD: Gäi vËn tèc cđa « t« lµ x kn/h (x > 0), ta cã :
6 ) 10 ( 20
5
x
x
=> x = 40 S =100km
7 Một ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h từ B đến A với vận tốc 30km/h Thời gian 8h45 phút Tính đoạn đờng AB ?
§S: 150km
8 Một ô tô từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 24 phút giảm bớt vận tốc 10km/h Vì tơ đến muộn dự định 18 phút Tính thời gian dự định ô tô ? ĐS: 1h36 phút
9 Một ngời dự định xe máy quãng đờng dài120km 2h30 phút Đi đợc 1h ngời nghỉ 15 phút Để đến đích dự định ngời phải tăng vận tốc gấp 1,2 lần vận tốc lúc đầu Tính vận tốc lúc đầu ngời ?
HD: Gọi vận tốc ô tô lúc đầu x km/h (x > 0)-> sau 1h ngời đợc x km Vận tốc sau tăng 1,2x(km/h)
Đoạn đờng lại 120 – x ->ngời thời gian
4 4
1 giê Ta cã : 120 –x = 1,2x
4
=> x = 48km
(73)tô lại chạy với vận tốc 27,5km/h Do cịn cách B 124km mơ tơ đuổi kịp tơ Tìm khoảng cách AB ?
HD:Gọi khoảng cách AB x (km), thời gian dự định ô tô trớc y (giờ)
Ta cã :
62 124 5,
27 124 3 55 3 2
55 62
x y x
x
x y x
=> x = 514(km)
11 Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc dự định 50km/h Sau đợc 2h với vận tốc này, ô tô nghỉ 20 phút tiếp tục Để đến B kịp thời gian định, ô tô phải tăng vận tốc thêm 10km/h Tính quãng đờng AB ?
HD: Gọi khoảng cách AB x km (x> 0), ta cã :
3 60
100
50
x
x
=> x = 200
12 Một ô tô khởi hành từ A lúc 7h sáng dự định đến B lúc 11h30 phút ngày Do trời ma, nên ô tô đợc với vận tốc chậm dự định 5km/h Vì phải đến 12h ô tô đên B Tính quãng đờng AB ?
HD: Gọi khoảng cách AB x km (x > 0)
Vận tốc ô tô dự định : 4x,5 (km/h) vận tốc thực tế (4x,5- 5)km/h Ta có phơng trình : (4x,5-5).5= x => x = 225
13 Một ngời dự định từ tỉnh A đến tỉnh B
2
2 Nếu với vận tốc nhỏ dự định 10 km/h nhiều thời gian 50 phút Tính quãng đờng AB ?
HD: Gọi quãng đờng AB x km (x > 0) Thì vận tốc dự định
2 2
x x
(km/h)
VËn tèc thùc tÕ lµ : ( 10
x
) km/h => thêi gian thùc tế : ( 10
x
)h Ta có phơng trình : x: ( 10
5
x
) = 2 +
6
=> x = 100
Dạng : Toán chữ số
Cách giải : * Biểu diễn số có chữ số : ab10ab (a,b N)
sè cã ch÷ sè : abc100a10bc (a,b,c N)
(0 < a 9 , < b 9, < c9)
(74)VD2: Tìm số có chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục , ta đổi chỗ chữ số cho số số cũ 54 đơn vị
HD : Gọi chữ số hàng chục x ( x 3) Chữ số hàng đơn vị 3x
Số cho x(3x) = 10x + 3x = 13x
Khi đổi chỗ chữ số cho ta đợc số : (3x)x = 30x + x = 31x Vì số lớn số cũ 54 đơn vị nên ta có phơng trình :
31x – 13x = 54 x = số cho 39
Bµi tËp :
1, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng hai chữ số số 11 viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số hớn đơn vị
§S: 56
2, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị viết chữ số xen vào chữ số số ta đợc số gấp số ban đầu
§S : 18
3, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng hai chữ số số 16 , viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số lớn 18
§S : 79
4, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Nếu đặt chữ số xen vào chữ số ta đợc số lớn số cũ 370
§S: 48
5.Nam nay, ti mĐ gÊp lần tuổi phơng Phơng tính 13 năm tuổi mẹ gấp lần tuổi phơng Hỏi năm phơng tuổi :
HD: Gọi tuổi Phơng năm x ->tuổi me năm naylà 3x 13 năm tuổi Phơng x+13 -> ti mĐ lµ 3x +13 Ta cã : 3x+13 = 2(x +13) => x = 13
6.Hai sè có tổng 120 tỉ số chúng 1/3
ĐS: 30 90
7 Tng số 90 Số gấp đơi số Tìm s ú ?
ĐS: 30 60
8 Một phân số có tử bé mẫu 13 Nếu tăng tử số lên đơn vị giảm mẫu số đơn vị ta đợc phân số 3/4 Tìm phân số cho ?
§S: 12/25
9 Tỉ số số 3/5.Nếu chia số thứ cho chia số thứ cho thơng thứ nhỏ thơng thứ Tìm số cho ?
(75)10 Tổng số 45 Nếu lấy số thứ công thêm 2, số thứ trừ 2,số thứ nhân với 2, số thứ chia cho kết Tìm số ban đầu ?
ĐS: 8; 12; 5; 20
11 Ông An An 56 tuổi Cách năm, tuổi «ng gÊp lÇn ti An Hái ti An hiƯn ?
HD: Gọi tuổi An hiƯn lµ : x (x > 5,xN) Ta có phơng trình :
5 56
x x
=> x = 13
12 Một phân số có tử bé mẫu Nếu tăng tử số lên đơn vị giảm mẫu số đơn vị đợc phân số phân s
6
Tìm phân số ban đầu ?
HD: Gọi tử số x Ta có phơng trình :
6 5
x x
=> x = Phân số :
15
13 Ti bè hiƯn b»ng
5
2 ti C¸ch năm, tuổi bố
15 43
ti TÝnh ti bè vµ hiƯn ?
HD:Gäi ti hiƯn lµ : x (xN+ x > 5) tuổi bố : x
5 12
Cách năm : tuổi : x-5 , tuổi bố lµ : x
5 12
-5 Ta có phơng trình : x
5 12
-5 = 15 43
(x-5) => x = 20 Ti hiƯn lµ 20, ti bè 48
14.Tìm số học sinh líp 8Avµ 8B biÕt r»ng : NÕu chun häc sinh tõ 8A sang 8B th× sè häc sinh líp b»ng NÕu chun häc sinh líp 8A sang 8B th× sè häc sinh líp 8B b»ng
3
sè häc sinh líp 8A
HD: Gäi sè häc sinh líp 8B lµ x (xN* x > 5)
Thì sè häc sinh líp 8A lµ : x +
Khi chun häc sinh líp 8A sang 8B số học sinh lớp 8B lại : x-5 Sè häc sinh líp 8A lµ : x+9
Ta có phơng trình : x-5 =
3
(x + 9) => x = 33 (tháa m·n) VËy sè häc sinh 8A lµ 37, sè häc sinh 8B lµ 33
Dạng : Toán xuất
(76)1, Một xởng dệt theo kế hoạch ngày phải dệt 30 áo ,nhng xởng dệt đợc 40 áo ngày nên hoàn thành trớc thời hạn ngày ,ngồi cịn làm thêm đợc 20 áo Tính số áo xởng dệt theo kế hoạch ?
HD : Gọi số áo xởng phải dệt theo kế hoạch x (áo) (x N) Thì số áo xởng dệt đợc : x + 20 (áo)
Thêi gian xởng dệt theo kế hoạch : 30
x
Thời gian thực tế dệt : 40
20
x
Ta có phơng trình : 30
x
-3 = 40
20
x
x = 420 ¸o
2, Một công nhân theo định mức phải làm đợc số sản phẩm Nhng thực ngời làm đợc định mc sản phẩm Vì sau ngời làm đợc số sản phẩm số sản phẩm định mức cho Hỏi theo định mức ng ời phải làm đợc sản phẩm ?
HD :
Gọi số sản phẩm làm đợc theo định mức x (sản phẩm) (x N) số sản phẩm làm đợc theo thực tế x + (sản phẩm)
số sản phẩm làm đợc theo định mức 8x số sản phẩm làm đợc theo thực tế 6(x + 5) Ta có phơng trình : 8x = 6(x + 5) x =15
3, Một đội mỏ theo kế hoạch ngày phải khai thac đợc 50m3 than Nhng thực
hiện ngày đọi khai thác đợc 57m3 than Do hồn thành trớc kế hoạch ngày và
vợt mức 13m3 Tính khối lợng than đội phải khai thác theo kế hoạch ?
(
57 13
50
x
x
x = 500m3)
4.Một hồ nơc có dung tích 5000 lít Hai vòi nớc chảy vào hồ, vòi thứ mở trớc vòi thứ 90 phút vịi thứ 100lít/h Khi vịi khố vịi thứ chảy đợc 4h cịn thiếu 120lít đầy hồ Tính xem vịi 1h chảy đợc lít nớc ?
§S: 712lÝt/h
5 Một cơng nhân đợc giao làm số sản phẩm thời gian định Ngời dự định làm ngày 45 sản phẩm Sau làm đợc ngày, ngời nghỉ ngày, nên để hồn thành cơng việc kế hoạch, ngày ngời phải làm thêm sản phẩm Tính số sản phẩm ngời đợc giao ?
(77)Thì số ngày dự định : 45
x
; sè ngµy thùc tÕ lµm lµ : 50
90
x
Ta có phơng trình : 45
x
- (
50 90
x
) = => x = 540
6 Một công nhân đợc giao làm số sản phẩm thời gian định Ngời dự định làm ngày 48 sản phẩm Sau làm đợc ngày, ngời nghỉ ngày, nên để hồn thành cơng việc kế hoạch, ngày ngời phải làm thêm sản phẩm Tính số sản phẩm ngời đợc giao ?
ĐS: 480 sản phẩm
Dạng : Toán công việc làm chung ,riêng.
Cách giải : Nếu đội làm xong công việc x ngày ngày đội làm đợc
x
1
ngµy
1, Hai cơng nhân làm việc sau 12 ngày hồn thành cơng việc Nhng thực tế họ làm ngày , sau cịn ngời thứ làm nốt công việc ngày Hỏi ngời làm xong công việc ?
HD : Gọi thời gian ngời thứ hai làm xong cơng việc : x (ngày, x> 0) Trong ngày : ngời thứ hai làm đợc :
x
1
công việc Cả ngời làm đợc :
12
công việc Sau ngày ngời làm đợc : -
12
= 12
8
c«ng viƯc , Phần việc lại : - 12
8
Sau ngày ngời thứ hai làm đợc :
x
1 =
x
7
c«ng viƯc Ta có phơng trình :
x
7
= - 12
8
x = 21
thêi gian ngêi thø hai lµm xong công việc 21 ngày thời gian ngời thứ làm xong công việc 1:(
12
- 21
1
) =28 ngµy
2, Hai tổ cơng nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc Nhng họ làm chung với đợc tổ thứ chuyển làm việc khác tổ làm nốt cơng việc 10 Hỏi tổ làm xong cơng việc ?
HD: (
x
10
, x= 15h)
3, Hai tổ công nhân làm chung 15 hồn thành xong công việc Nhng họ làm chung với đợc tổ thứ chuyển i lm vic
(78)khác tổ làm nốt công việc 12 Hỏi tổ làm xong công việc ?
§S: 18h
4 Hai vịi nớc chảy vào bể đầy bể 3h20 phút Ngời ta cho vòi thứ chảy 3h, vòi thứ chảy 2h vịi chảy đợc 4/5 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể ?
HD: Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bĨ lµ x (giê) Ta cã :
10 3 1
x
x => x = => 5h 10h
Dạng : Toán phần trăm
1, Trong thỏng u t sn xuất làm đợc 400 chi tiết máy Sang tháng sau ,tổ vợt mức 10%, tổ vợt mức 15%, nên tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ làm đợc chi tiết máy ?
HD : Ph¬ng tr×nh : x +10%x + (400 - x) +(400 - x).15% = 448 x = 240
2,Cho lợng dung dịch 10%muối .Nếu pha thêm 200g nớc đợc dung dich 6%.Hỏi có gam dung dịch cho ?
HD : Gọi khối lợng dung dịch cho : x(g) x> 0) Lợng muối dung dịch : x.10% =
10
x
Lỵng dung dịch : x + 200, tỉ số muối lợng dung dịch
) 200 (
10 x
x
Ta có phơng trình :
) 200 (
10 x
x
= 100
6
x = 300 g
3 Sè häc sinh tiªn tiÕn cđa khèi trờng phổ thông 300 Biết r»ng
3
sè häc sinh tiªn tiÕn khèi b»ng 50% sè häc sinh tiªn tiÕn khèi Tính số học sinh tiên tiến khối ?
HD: Gäi sè häc sinh tiªn tiÕn cđa khèi lµ : x (0 < x < 300, x N) Thì số học sinh tiên tiÕn cđa khèi lµ : 300- x
Ta có phơng trình :
(300-x) = 50%.x => x = 120 (T/mđk) số học sinh tiên tiÕn cđa khèi lµ : 120
sè häc sinh tiên tiến khối là: 180
(79)cđa tam gi¸c I Tãm t¾t lý thuyÕt :
Trong tam giác, đờng phân giác góc chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng tỉ lệ với cạnh kề đoạn thẳng
ABC cã : ¢1=¢2 =>
AC AB DC DB
Chú ý : Định lý với tia phân giác của góc ngồi tam giác
ABC
cã : ¢3=¢4 =>
AC AB EC EB
II Các dạng toán :
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Cách giải : Lập đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đờng phân giác
VD1: Tam gi¸c ABC cã : AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC M Tính MB, MC ?
Giải :
AM phân giác ABCnên :
5
AC AB MC MB
Do :
3 5
4
MC MB MC
MB
=> MB =
3
cm, MC =
3 10
cm
VD2: Tam giác ABC vuông A, đờng phân giác BD Tính AB, BC biết AD = 4cm, DC = 5cm
Giải : BD đờng phân giác ABC :
5
DC DA BC
BA
Đặt BA = x, BC = y => 54
y x
vµ y2-x2 = AC2 = 92 = 81
=>
16 25 25 16
2 2
y y x
x => 3
5
y x
=> x =12cm, y = 15cm => AB = 12cm, BC = 15cm
Bµi tËp :
1 Tam gi¸c ABC cã AB = 9cm, AC = 6cm, BC= 10cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC D
a, Tớnh di đoạn thẳng DB, DC ?
b, TÝnh tØ số diện tích tam giác ABD diện tích tam gi¸c ACD ?
c, Vẽ tia phân giác góc ngồi góc BAC cắt BC E Tính độ dài đoạn thẳng DE ? 79
C E
4 A
B D
1
A
B C
M
A
B C
(80)A A/
B/ C/
HD: a, Theo t/c tia phân giác tam gi¸c, ta cã :
2
AC AB DC DB
=>
5 10
3
3
DC DB DC BC
DB
=> DB = 6cm, DC= 4cm b,
2
DC DB S
S
ACD
ABD
c, 10
1
3 3
EB EC EB EC BC
AC AB EC EB
=> EC = 20 => DE = EC + DC = 24cm
2 Tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 3cm, BC= 4cm, đờng phân giác AD Qua D kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt AC E Tính độ dài AE, DB, DC ?
HD:
3
AC AB DC DB
=> DB = 1,6cm ; DC = 2,4cm DE // AB =>
BC DB AC EA
=> AE = 1,2cm
3 Tam gi¸c ABC cã AB = 30cm, AC = 45cm, BC= 50cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC t¹i D
a, Tính độ dài đoạn thẳng DB, DC ?
b,Qua D vÏ DE//AB, DF//AC (EAC , F AB) Tính cạnh tứ giác AEDF ?
HD: a, DB = 20cm, DC= 30cm
b, DE// AB, DF//AC đờng chéo AD phân giác góc A nên AEDF hình thoi
BC DC AB DE
=> DE = 18cm
4 Tam giác ABC vuông A, đờng phân giác AD Tính độ dài AB, AC biết DB = 15cm, DC = 20cm ?
Hình học: Ơn tập tam giác đồng dạng
Tóm tắt lý thuyết : 1, Khái niệm :
A’B’C’ ABC nÕu : A/ = A , B/ = B , C/ = C
B E
A
C D
A
B C
D E
A
B C
(81)B C
CA A C BC
C B AB
B
A/ / / / / /
* Quan hệ đồng dạng có tính chất sau :
- Mỗi tam giác đồng dạng với
- NÕu A’B’C’ ABC th× ABC A’B’C’
- NÕu A’B’C’ A//B//C// vµ A//B//C// ABC th× A’B’C’
ABC
* ABC Cã MN // BC ( M AB , N AC ) th× AMN ABC
2, Các tr ờng hợp đồng dạng hai tam giác :
ABC vµ A’B’C’ cã :
- NÕu
CA A C BC
C B AB
B
A/ / / / / /
th× A’B’C’ ABC (c-c-c)
- NÕu
AC C A AB
B
A/ / / /
vµ : A/ = A th× A’B’C’ ABC
(c-g-c)
- NÕu B/ = B , A/ = A th× A’B’C’ ABC (g-g)
Bµi tËp :
1, ABC DE F, biÕt AB = 16cm, BC = 20cm, DE = 12cm, vµ AC - DF = 6cm TÝnh AC , E F, DF
2, Tứ giác ABCD có : AB = 4cm, BC = 2cm , CD = 25cm, DA = 8cm, đờng chéo BD = 10cm
a, ABD có đồng dạng với BDC khơng ?
b, Chøng minh r»ng : AB // CD
3, ABC có AB = 4cm , AC = 5cm, BC = 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D
sao cho AD = 5cm
a, ABC đồng dạng với tam giác ?
b, Tính độ dài CD ?
c, Chøng minh r»ng : BAC = ACB
4, Hình thang vuông ABCD có : A = D = 900 , BC
BD , AB = 2cm, CD = 8cm
a, Chứng minh : ABD BDC tìm tỉ số đồng dạng ? b, Tính góc B, C hình thang
HD: A B a, ABD BDC (g.g)
b,ABD vuông có AB = 12 BD ADB = 300 D
81
(82)ABD = 600 C = 300 B = 1800- 300 = 1500
5, Cho ABC vuông A, đờng cao AH Gọi P, Q lần lợt trung điểm
đoạn thẳng BH, AH Chứng minh :
a, ABH CAH b, ABP CAQ c, AP CQ
HD: a, ABH CAH (g.g) b, ABP CAQ(c.g.c)
6, Cho ABC có AB = AC = 10cm , BC = 12cm , đờng cao AD CE cắt
nhau t¹i H
a, Tính độ dài AD ? (= 8cm)
b, Chứng minh ABD CBE (g.g) c, Tính độ dài BE , HD ?
(
BE BD CB
AB
BE = 7,2cm ,
CDH ABD (g.g) DH = 4,5cm
7, Cho ABC vu«ng t¹i A , AB = 12cm, AC = 16cm Tia phân giác góc A cắt
BC D
a, Tính tỉ số diện tích tam giác ABD ACD ? b, Tính độ dài BC , BD , CD , chiều cao AH ?
HD : a, SABD=
2
AH.BD SACD=
2
AH.DC
CD BD S
S
ACD ABD
mà BD phân giác góc BAC nên:
4 16 12
DC BD DC
BD AC AB
b, BC = 20cm
cm BD
BC CD cm BD
DC BD
BD DC
BD
7 80 60 20
60
3 20
3
3
SABC= AB.AC = AH.BC AH =
5 48
cm
8, Cho ABC vuông A , AB = 9cm, AC = 12cm Tia phân giác góc A cắt BC
tại D Từ D kẻ DE AC
a, Tính độ dài BD , CD ,DE ?
82 A
E
H
B D C
B
H
D
A C
B
D
B
A C
(83)b, Tính diện tích tam giác ABD ACD ?
HD : BC = AB2 AC2 15cm
a, BD tia phân gi¸c BAC
BD cm
DC BD
BD AC
AB DC BD
7 45
3
3 12
9
DE // AB CDE CDA DE = 36/7 b, SABC=
2
AB.AC = 54cm2 mµ
7
BC BD S
S
ABC ABD
SABD=
7 162
cm2
9, Cho gãc xAy , Ax lấy điểm E,C cho : AE = 3cm , AC = 8cm; Ay lấy điểm D, F cho : AD = 4cm, AF = 6cm
a, ACD AEF có đồng dạng vơi khơng ? ?
b, Gäi I giao điểm CD EF Tính tỉ số diện tích tam giác IDF IEC
HD : ACD AEF (g.g)
IDF IEC (g.g)
25 5
2
2
IEC IDF
S S EC
DF IC IF AD DI
10, Cho tam giác ABC ( AB = AC ), vẽ đờng phân giác BD CE
a, Chøng minh : DB = CE ; ED // BC
b, TÝnh AD , DC , ED ,biÕt AB = AC = 6cm ; BC = 4cm ? HD : a, Chøng minh ABD = ACE (g.c.g)
DB = CE
AC AD AB AE
ED // BC ( Đ/l Ta lét đảo) b, BD phân giác góc ABC nên :
10 6
6
6
AD
AD DC
AD DC
AD BC
AB DC AD
AD = 3,6cm, DC = 2,4cm ED // BC
BC ED AC AD
ED = 2,4cm
11, Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; BC = 6cm Vẽ đờng cao AH ADB
a, Chøng minh : AHB BCD b, Chøng minh : AD2 = DH.DB
c, Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH ?
HD : a, AHB BCD (g.g)
b, ABD HAD (g.g) AD2 = DH.DB
83 B
C x
E
A I D F
y
A
C
E D
D C
A B
(84)c, Tõ AD2 = DH.DB HD = 3,6cm , AH = 4,8cm
12, Trên cạnh góc đỉnh A, đặt đoạn thẳng AE = 3cm AC = 8cm.Trên cạnh thứ hai góc đó, đặt đoạn thẳng AD = cm AF = 6cm
a) Hỏi tam giác ACD AFE có đồng dạng với hay khơng ? ?
b) Gọi I giao điểm CD EF TÝnh tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c IDF IEC
Đại số : Ôn tập bất phơng trình Tóm tắt lý thuyết :
1, Các tính chất bất đẳng thức :
- Nếu (tính chất bắc cầu)
- NÕu a < b , c bất kì a + c < b + c ;
nÕu a b , c a + c b + c
- NÕu a > b, c a + c > b + c ; nÕu a b, c a + c b + c
(Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức khơng đổi chiều)
- Nếu a > b+c a - c > b
(85)- Nếu a > b c > d a+c > b+d
(Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều )
Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều
- Nếu a > b c a – c > b -d
(Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ)
Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức chiều - Nếu a > b c > ac > bc , Nếu a > b c < ac < bc Tức là:
* Nhân vế bất ng thc vi mt s dng BĐT khụng đổi chiều
* Nhân vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều - Nếu a > b > c > d > ac > bd
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dương ta bất đẳng thức cung chiều
Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều - Nếu 1 1 0
a
b
Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương phép lấy nghịch đảo ®ổi chiều bất đẳng thức
- Nếu a > b > n nguyên dương - Nếu a > b n ngun dư¬ng
Ví dụ1:Cho a,b,c > chứng minh rằng:
Giải: Ta có:
(86)
Cộng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Giải: Ta có:
Bµi tËp :
1.Cho hai số thực Chứng minh : 2. Cho ba số thực Chứng minh : 3 Cho số thực Cmr :
4. Cho số thực dương có tổng Chứng minh rằng:
5. Cho Chứng minh : 6 Cho Chứng minh :
7 Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh: 8. Cho Chứng minh:
9. Cho Chứng minh: 10. Cho Chứng minh :
11. Cho ba số thực dương Cmr : 13. Cho a,b,c > Cmr :
(87)14 BÊt phơng trình sau bất phơng trình Èn ?
A x +5 > x + B (x – )(x – 2) < C 2x – ≤ D x2 + > 0
15 x = - lµ nghiƯm bất phơng trình ?
A 2x + > B – 2x > 4x + C – x < + 2x D 2x > 10 x 16 Bất phơng trình sau vô nghiệm ?
A 2x – > 2(x- 1) B 2x – ≥ 2(x – )
C 2x – ≤ 2(x – 3) D 2x +5 > 2(x + 1)
17.Tập nghiệm bất phơng trình
15 10
3
11 x x
lµ: A S = {
19 29 / R x
x } B S =
19 29 /x R x
C S =
19 29 /x R
x D S =
19 29 /x R x
18 Giải bất phơng trình – biĨu diƠn tËp nghiƯm trªn trơc sè
a) 2 7x(32x) (5 6x) b) (x2)(x4)(x 2)(x8)26
c) 4x 83(3x 2)4 2x d) ( 4)(5 1) 16
x x x
x
19 Giải bất phơng trình – biĨu diƠn tËp nghiƯm trªn trơc sè a)
4
) (
2
20
5x x2 x x x x
b)
3
2
6
x x
x
c)
6 18
12
8
5
x x
x
d)
2 3
1
5
x x
x
20. Giải bất phơng trình biểu diễn tËp nghiƯm trªn trơc sè a) (3x8)(54x) 0 b) (6x 8)(12x15) 0
c) (14x7)(3 x)0 d) (6x 15)(9x 24)0
21 Giải bất phơng trình biĨu diƠn tËp nghiƯm trªn trơc sè
a) (x1)(x2)(x3)0 b) (2x 1)(3x 2)(4x 3) 0
c) (5x4)(6x7)(3 4x)0 d) (12x8)(4x 20)(6 15x) 0
H íng dÉn gi¶i
1. Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ý không dùng bất đẳng thức Cosi khơng cho a, b khơng âm
2. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa tổng bình phương ln khơng âm
3. Cách làm tương tự
(88)4. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
5. Biến đổi tương đương tạo thành tích số không âm 6. Biến đổi tương đương
Biến đổi tạo thành biểu thức không âm 7. Áp dụng bất đẳng thức Cosi lÇn : 8 Tương tự
9.Biến đổi lại áp dụng
10. Áp dụng bất đẳng thức cosi lần cho số
11. Cộng hai vế BĐT với BĐT cần chứng minh trở thành Áp dụng bất đẳng thức 11
12. BĐT
áp dụng 11
Đại số : Ơn tập phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I Lý thuyÕt :
a =
a 0
Dạng : Tính giá trị tuyệt đối số
VÝ dô 1 : Giải phơng trình :
a, a = b, a = c, a = -3 a nÕu a
(89)d, a = e, -11 a = - 22
Gi¶i : a, a = a = hc a = -5. b, a = a = 0.
d, a = v× = nên a = a = a = -5
e, -11 a = -22 a = a = a = -2 c, a = -3 khơng tìm đợc giá trị a
VÝ dô 2 : Giải phơng trình : a, x =
4
víi x < c, x < b, x = 0,35 víi x > d, x > 4
Gi¶i: x =
4
víi x < x = -
4
x = 0,35 víi x > x = 0,35 c, x < x = , hc x =
2
, hc x =
4 ……
VÝ dô 3 : Cho số hữu tỉ dấu a b HÃy so sánh a b , biết : a, a > b b, a = b
Gi¶i: a, NÕu a b dơng a > b a > b NÕu a b âm a > b a < b b, Nếu a b dơng a = b a = b Nếu a b âm a = b a = b
Bài tập: 1, Tìm số nguyên a , biÕt :
a, a = víi a > 0
b, a < 2
c, a > 6
2, Cho a , b số hữu tỉ dấu HÃy so sánh a b biết a < b
3, Em cã nhận xét số hữu tỉ a , biÕt : a, a = a
b, a < a
Dạng : Tính giá trị biĨu thøc :
VÝ dơ 4 : Tính giá trị biểu thức :
A = 3x2- 2x + víi x =
2 Gi¶i :
x =
2
x =
2
hc x =
-2
(90)- NÕu x =
2
th× A = 3.(
2
)2 –
2
+ =
4
- + =
4
NÕu x =
-2
th× A = 3.(
-2
)2 – 2.(-
2
) + =
4
+ + =
4
Dạng 3 : Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
VÝ dô 5 : Rót gän biĨu thøc :
A = 3(2x - 1) - x
Gi¶i :
- Víi x - th× x = x –
- Víi x - < th× x = - x + 4
XÐt trêng hợp ứng với hai khoảng giá trị biến x : a, NÕu x th× A = 3(2x - 1) - (x - 4) = 5x + b, NÕu x < th× A = 3(2x - 1) - (-x + 4) = 7x -
Dạng 4: Tìm giá trị biến đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 6 : Giải phơng tr×nh :
3x + =
Ta cã : 3x = nªn 3x - = , hc 3x - = -2
XÐt trêng hỵp :
a, 3x - = x = b, 3x - = -2 x =
-3
VÝ dô 7 : Giải phơng trình :
x - x = 3
Gi¶i :
a, XÐt x ta cã : x - - x = ( lo¹i )
b, XÐt x < ta cã : - x - x = x = ( giá trị thoả mÃn x < )
VËy x =
VÝ dô 8 : Giải phơng trình : x 1x5
Giải :
* Cách 1: Ta cã : x -1 = x + (1) hc x - = - x -5 (2)
(91)hc -x + = x + (3)
- Trờng hợp (1) : Khơng có giá trị x để 0x = - Trờng hợp (2),(3) : 2x = -5 +1 = -4 x = -2 Vậy x = -2
Ví dụ 9 : Với giá trị a b ta có đẳng thức : ab 2 = a ( 2- b)
Gi¶i :
Vì A = A nên ta có : ab 2 = a ( 2- b) Mà A = A A :
ab 2 = a ( 2- b) a ( 2- b) VËy : - NÕu a = th× b tuú ý
- NÕu a > th× b < - NÕu b = th× a tuú ý - NÕu a < th× b >
VÝ dơ 10 : Tìm số a , b cho : a + b = a - b (1) Gi¶i :
* NÕu a , b > th× (1) trë thµnh : a + b = a - b b = -b
Đẳng thức không xảy vế trái dơng , vế phải ©m
* Nếu a , b (1) trở thành : a + b = a + b
đẳng thức luôn a , b thỏa mãn toán * Nếu a < , b > (1) trở thành : a + b = -a - b a = -b a < 0, b = -a thỏa mãn toán
* Nếu a < , b (1) trở thành : a + b = -a + b a = -a Đẳng thức khơng xảy vế trái dơng , vế phải õm
Kết luận : Các giá trị a b phải tìm : a , b Hc a < 0, b = -a
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
VÝ dô 11: Tìm giá trị nhỏ phơng trình : A = 23x -
Gi¶i :
Víi x ta cã : 3x 3x
Do : 3x - -4
(92) A = -4 3x - = x =
3
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cña A = -4 x =
3
VÝ dụ 12 : Tìm giá trị lớn phơng trình : B = 10 - x
Gi¶i :
Víi x ta cã : x - x
Do : 10 - x 10
B = 10 x-7 = 10 x =
Vậy giá trị lớn phơng trình B = 10 x = Ví dụ 13 : Tìm giá trị nhỏ phơng trình
C = x63 víi x Z Gi¶i :
- XÐt x > C > 0
- Xét x < , x Z nên : x = x = x = 2 Khi : C = -2 C = -3 C = -6 Vậy giá trị nhỏ C = -6 x = x = -2 Ví dụ 14 : Tìm giá trị lớn phơng trình
A = x - x Gi¶i :
- XÐt x A = x - x= (1) - XÐt x < A = x - (-x) = 2x < (2) Tõ (1) & (2) ta thÊy A
(93)ÔN TẬP HỌC KỲ II.
Câu 1: Phương trình bậc ẩn ax + b = (a 0) có nghiệm là:
a x b
a
b x a
b
c x a
b
d x b
a
Câu 2: Tập nghiệm phương trình (4x – 5)(5x + 6)(6x – 7) = laø: a S = 54
b S =
6
c S =
7
6 d S =
5 6 ; ;
Câu 3: Các phương trình sau, phương trình phương trình bậc ẩn a x2 + = b 2x + = c 2x 0
x
d x 0
Câu 4: Điều kiện x để giá trị phân thức
x x
xaùc định là:
a x1 b x1 c x 1 d Xác định với x
Câu 5: Mẫu thức chung phương trình 4x
x x 1 laø:
a x -1 b x + c x2 - d Cả a,b,c sai.
Câu 6: Điều kiện xác định phương trình x 2x 2(x 2)2x 3
= laø:
a x 0 b x 2 c x 0 x 2 d x 2
Câu 7: Bất phương trình 2x – < có nghiệm là:
a x < -3 b x < c x > d x > -3
Câu 8: Hình vẽ bên biễu diễn cho tập nghiệm bất phương trình sau ñaây: a 2x + b 2x – > c – 2x + d – 2x +
Câu 9: Mẹ 37 tuổi, tuổi Sau năm nửa tuổi mẹ gấp lần tuổi con? a năm b năm c năm d năm
Câu 10: Với giá trị x để biểu thức A 2x 5x
6
có giá trị dương?
a x
b x
2
c x
4
d x
4
(94)Câu 11: Tập nghiệm phương trình 2x 2x 1 2x
2
laø:
a S = 12
b S =
3
c S =
5
d S =
7
Câu 12: Cho ABC ∽ A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng
3 k
5
Suy A’B’C’∽ ABC theo tỉ số đồng dạng là:
a k = b k = c k = 53 d k = 15
Câu 13: Cho EDF, có DH tia phân giác D (hình 1) Độ dài đoạn HF
baèng:
a 1,875 b 4,1
c 5,8 d 5,1 ,
Câu 14: Nếu AD đường phân giác góc A tam giác ABC (D BC) thì:
a DB AB
DC AC b
AB DC
BD AC c
BD AC
DC AB d
AB DC AC DB
Câu 15: Trong câu sau đây, câu sai? Nếu ABC∽ A'B'C' theo tỉ số k thì:
a A A';B B';C C' b AB
A'B' k
c A'B' A'C' B'C'AB AC BC d ABC
A'B'C'
S
k S
Câu 16: Cho ABC, trung tuyến AD,BE,CF cắt G Tỉ số AF
AB baèng:
a
6 b
4 c
2 d
Câu 17: Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC Biết SABD = 15 cm2, SADC = cm2 Tỉ số BD
BC bằng: a
4 b
8 c
2 d
Câu 18: Cho ABC có BC = 5cm, AC = 4cm, AB = 6cm AD đường phân giác
Tæ số diện tích hai tam giác ABD vàACD là:
a
2 b
3 c
4 d
Câu 19: Cho ABC có AB = Ac = 6cm Tia phân giác góc B cắt đường cao AH I
Bieát AI
IH 3 Chu vi ABC bằng:
(95)Câu 20: Dựa vào hình vẽ bên chọn câu trả lời đúng? Trong tam giác ABC có a // BC ta có:
a AB' AC' B'C'
AB AC BC b
AB AC BC AB' AC' B'C'
c Cả a, b d Cả a, b sai