Đang tải... (xem toàn văn)
Song viÖc øng dông vµ vËn dông ph¬ng tr×nh bËc hai, hµm sè bËc hai trong viÖc gi¶i c¸c lo¹i to¸n kh¸c nh thÕ nµo cha ®îc quan t©m nhiÒu.[r]
(1)A Đặt vấn đề
I Lêi mở đầu:
Toỏn hc l mt mụn hc cú vai trị quan trọng trờng THPT Qua tốn học giúp cho ngời học nâng cao đợc khả t , khả suy luận việc vận dụng kiến thức vào mơn học khác Qua giúp ngời học phát triển hồn thiện nhân cách Chính lẽ việc lĩnh hội tiếp thu mơn tốn vấn đề mà khơng ngời giáo viên dạy tốn khơng quan tâm Đặc biệt hoạt động dạy học mơn tốn địi hỏi ngời dạy nh ngời học phải khơng ngừng tìm tịi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đa phơng pháp giảng dạy, cách lĩnh hội phù hợp Để giúp ngời học nắm vững kiến thức mơn học có tính hệ thống vấn đề đợc đặt Nhất thực hành việc giải tốn mang tính vận dụng đòi hỏi ngời học phải nắm vững hệ thống kiến thức khả vận dụng linh hoạt cơng cụ tốn học có tính hệ thống, kĩ năng, kĩ sảo thực
Trong chơng trình tốn học phổ thơng tam thức bậc hai đóng vai trị quan trọng, nên việc hiểu nắm vững đợc việc làm vơ cần thiết, làm tiền đề sau cho em em tiếp tục học lên bậc cao Trong chơng trình tốn học lớp làm quen với phơng trình bậc hai hàm số bậc hai Song việc ứng dụng vận dụng phơng trình bậc hai, hàm số bậc hai việc giải loại toán khác nh cha đợc quan tâm nhiều Chính lẽ q trình giảng dạy cho em đặc biệt học sinh giỏi ,tôi nhận thấy điều cần quan tâm Để giúp em hiểu sâu tam thức bậc hai việc vận dụng vào việc giải loại tốn khác; tơi mạnh dạn nêu lên vấn đề:" vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán bậc THPT"
Với đề tài này, hi vọng giúp em nắm vững kiến thức môn học có đủ tự tin thực hành giải tốn Từ phát huy đợc khả vận dụng kiến thức linh hoạt, khả sáng tạo nh t độc lập đặc biệt giúp em có hành trang tốt chuẩn bị cho cấp học cao
Tuy khuôn khổ đề tài nh kinh nghiệm hạn chế gặp thiếu xót khơng mong muốn, mong đóng góp xây dựng q đồng nghiệp
mét số dạng toán vận dụng tam thức bậc hai
(I):giải phơng trình :
A:Kiến thức bản:
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình dạng phơng trình bậc hai dạng :ax 2+ bx + c = cách đặt biến đổi Khi đa
phơng trình dạng phơng trình bậc hai ẩn ta có cơng cụ giải lớp Đó cơng thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn phơng trình bậc hai
B :Một số dạng toán :
1 : Phơng trình trùng phơng
a :Kiến thức :
Phơng trình trùng phơng có dạng : a x4 +bx2 +c =0 (a0 )
Để đa phơng trìng dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x2= t (t0 )
(2)Ta đợc phơng trìng bậc hai : at2 +bt +c = 0
B.VÝ dơ : Gi¶i phơng trình : 2x4-3x2-2=0
Giải :
Đặt x2 =t Điều kiện t0 ta đợc phơng trình bậc hai ẩn t
2t2 - 3t - = 0
=9 +16 = 25; =5 Phơng trình có hai nghiệm:
t1=
2
; t2=
4
t2=2 thoả mÃn điều kiện t20
víi t=t2=2 ta cã x2=2 x1 = ; x2=-
Vậy phơng trình có inghiệm : x1 = ; x2=- 2: Phơng trìng đối xứng bậc chẵn : a: kiến thc c bn :
Ta xét phơng trình bậc d¹ng : a x4 + bx3 +c x2 +bx +a = 0
(a0; hệ số ẩn cách số hạng )
v× x= nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho x2 ta có :
2
4 x ax
+ 2 2 2
2 x a x bx x cx x bx
a x2 + bx +c - 0
2 x a x b ) ( ) ( 2
c x x b x x
a (1)
Đặt x+ y x
1
ta cã : x2 + ( 1)2 2 2.
2 xx y x
Do phơng trình ( 1) có dạng phơng trình bậc hai :
ay2 + by +c -2a = (2)
Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ suy x
B: ví dụ :
Giải phơng trình : 2x4 + 3x3 - x2 +3x +2 = 0
Gi¶i :
Nhận thấy x= khơng nghiệm phơng trình , với x0 chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng :
2x2 + 3x -1 +3 0
2 x x ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 x x x x x x x x
tới ta nhận thấy phơng trình có dạng bậc hai đặt x + y x
1 đa phơng trình dạng : 2y2 + 3y -5 = giải phơng trình ta đợc :
y1 =1 ; y2 =
-2 víi x +1 1
x ta cã : x
2 + -x = v« nghiƯm
(3)víi x + x
x 2
5
+ 5x + = giải phơng trình ta đợc hai nghiệm :
x1 = -2 ; x2 =
-2
C : nhận xét : phơng trình đối xứng bậc chẵn m nghiệm
m
1
nghiệm phơng trình
Nếu phơng trình có dạng : a x5 +bx4cx3 +cx2 +bx +a = 0
đợc gọi phơng trình đối xứng bậc lẻ , phơng trình nhận -1 làm nghiệm Do hạ bậc để đa phơng trình phơng trình đối xứng bậc chẵn mà ta trình bày cách giải
3 : Phơng trình hồi quy :
a: phơng trình có dạng : a x4+ bx3+cx2+dx +k = (a0)
vì x= khơng phải nghiệm nên ta chia hai vế cho x2 ta đợc phơng trình tơng
đơng :
a(x2 + )
2 ax
k
+ b(x + )c0
bx d
trong : ( )2
b d a k
đặt x +
b d t x b
d x t bx
d
2 2
2
hay x2 +
b d t ax
k
2
2 phơng trình cho đợc đa vể dạng phơng trình bậc hai ẩn t :
at2 + bt + c +2 0
b ad
B: ví dụ :
Giải phơng trình : 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0
Gi¶i :
x = khơng phải nghiệm phơng trình nên chia hai vế cho x2 ta c
ph-ơng trình tph-ơng đph-ơng :
2(x2 +25) 21( 5) 74 0
2 x x x
Đặt x +5 252 t2 x x t
x - 10
khi phơng trình có dạng phơng trình bậc hai ẩn t 2t2 - 21t +54 = 0
Giải phơng trình bậc hai ta đợc hai nghiệm : t1 = t2 = 4,5
víi t1 = ta cã
5
x
x hay x2 - 6x + = 0
giải phơng trình ta đợc :
x1 = ; x2 =5
víi t2 = 4,5 ta cã : x +5 4,5
x hay x
2 - 4,5x + = 0
Giải phơng trình ta đợc x3 = ; x4 =2,5
vậy phơng trình cho có nghiệm :
x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 =2,5 C : nhËn xÐt :
(4)Phơng trình hồi quy ( )2
b d a k
; k0 cã Èn phơ d¹ng
t =x +
bx d
4 : Phơng trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m hc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx2
A: ví dụ1: Giải phơng trình :
( x + )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
Gi¶i :
( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) =
( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) =
(x2 + 5x +4 )(x2 +5x+6) = 3
Đặt : x2 +5x + = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t :
t(t + 2) =
t2 +2t-3 = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t ta đợc : t1 =1 ;t2 = -3
víi t1 = ta cã : x2 +5x+4 = 1 x2+5x +3 =0
Giải phơng trình ta đợc :
x1;2 =
2 13 5
t2 = -3 ta cã : x2+5x+4= -3 x2+ 5x + = ; phơng trình vô nghiệm
(v× = 25 - 28 < )
vậy phơng trình cho có nghiệm : x1;2 =
2 13 5
B.VÝ dô 2 : giải phơng trình :
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (1)
Gi¶i :
(1) 4(x2+17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2
4(x +17 +602
x )(x + 16 + x
60
) = (vì x0) Đặt x+16 +
x
60 = y
Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y2 + 4y - = 0
Phơng trình có hai nghiệm / = + 12 = 16
Giải phơng trình ta đợc :
y1 =
2
; y2 =
2
víi y1 =
2
ta cã : 2x2 + 31x +120 =
(5)giải phơng trình ta đợc x1 = - ;x2 =
-2 15 víi y2 =
-2
ta có : 2x2 + 35x + 120 = giải phơng trình ta đợc :
x3;4 =
4 265 35
vậy phơng trình cho có nghiệm : x1 = - ; x2 =
2 15
; x3;4 =
4 265 35
c: nhËn xÐt :
Đối với tphơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = a + d = b +c ta nhóm (xa)(xd)(xb)(xc) m
từ ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình cho dạng phơng trình bậc hai ẩn Đối với phơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 :ad = bc ta
nhãm (xa)(xd)(xb)(xc)mx2
ẩn phụ đặt : y= x +
x ad
hc y = (x + a)(x + d)
Đối với phơng trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx d =
c b a
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d nghiệm phơng trình y y =
5: Phơng trình vô tỉ : a) sở lí thuyết :
Trong q trình giải phơng trình vơ tỉ đơi ta gặp phơng trình ta dùng phơng pháp bình phơng hai vế để phá thức bậc hai dẫn đến phơng trình bậc cao mà việc giải phơng trình khơng đơn giản Song khéo léo đặt ẩn phụ ta qui phơng trình phơng trình bậc hai sau ta xét vài ví dụ:
b) vÝ dô :
VÝ dô 1: Giải phơng trình : 2x2 - 8x - 3
5
2
x
x = 12 (2) Gi¶i :
(2) 2( 5)
x x x x - =
Đặt
x
x = t (t0) ta quy phơng trình bậc hai víi Èn t :
2t2 - 3t - = 0
Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm t1 = ; t2 =
-2 víi t2 =
-2
loại ( t0)
vi t1 = ta giải phơng trình : x2 4x = hai vế khơng âm phơng trình tơng đơng với x2 - 4x - = 4
x2 - 4x - = 0
giải phơng trình ta đợc hai nghiệm : x1;2 = 2 13
(6)vÝ dô :
Giải phơng trình :
(4x - 1)
x = 2x2 + 2x +
Gi¶i :
Nếu bình phơng hai vế để phá thức ta quy phơng trình bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khó khăn , đặt t =
x ( t1) x2 = t2 - phơng trình
trên trở thành (4x - 1)t = 2(t2 - 1) + 2x + 1
ta quy phơng trình bậc hai ẩn t : 2t2 -(4x - 1)t + 2x - = 0
= (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2
t1;2 =
4
) (
4x x
t1 = 2x - ; t2 =
2
< (lo¹i) víi t = 2x - thay t =
x ta đợc phơng triình: 4x2- 4x + = x2+ (t1)
3x2 - 4x = 0
Giải phơng trình ta đợc x1 =
3
; x2 = (lo¹i)
vËy x =
nghiệm phơng trình cho 6: Giải biện luận phơng trình :
a)Kiến thức :
i vi phng trỡnh bậc cao với tham số phơng trình đặc biệt nên việc giải đơi khó khăn, phơng trình cho có tham số bậc hai ta đa phơng trình dạng phơng trình bậc hai ẩn tham số:
b) VÝ dô:
Giải biện luận phơng trình :
x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 +(5a + 6)x + 2a + a2 = 0
Giải : Phơng trình viết dới dạng:
a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = 0
/a
= (x2 - 5x - 1)2 - (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = (x - 1)2
a1 = x2 - 4x - ; a2 = x2 - 6x
- Víi a = x2 - 4x - x2 - 4x - - a = 0
ta cã : = 4+ 2+ a = + a *NÕu /
0 a6 ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1;2 = 2 6a
* NÕu /
< a <-6 ph¬ng trình vô nghiệm
-với a= x2+ 6x x2- 6x - a = 0, ta cã / = + a
*NÕu /
0 a9 phơng trình có hai nghiệm x3;4= 9a
*NÕu /
< a < -9 phơng trình vô nghiệm
Tóm lại:
* Nếu a < -9 phơng trình vô nghiệm
* Nếu-9 a < -6 phơng trình có hai nghiệm x3;4= 9a
* Nếu a6 phơng trình có nghiÖm x12 = 2 6a ; x3;4= 9a C: NhËn xÐt :
Víi nh÷ng phơng trình có dạng nh ta cần lu ý tham sè cđa chóng nÕu
(7)tham số bậc hai ta đa phơng trình cho phơng trình bậc hai với ẩn tham số:
II: bất đẳng thức: A:Kiến thức :
Do tam thøc bËc hai f(x) = ax2+ bx + c (a 0) x R.
- Điều kiện để f(x) 0
0
a x
- XÐt hµm sè bËc hai :y = ax2+ bx + c (a 0) x ,
*NÕu x =
-a b
2 , th× : max y = max
) ( ); ( ); (
a b y y
y y =
) ( ); ( ); (
a b y y y
*NÕu x =
-a b
2 , th×:
max y= max y();y() y = miny();y()
B: Mét sè vÝ dơ:
1: Dïng ®iỊu kiƯn có nghiệm phơng trình bậc hai:
VÝ dơ 1:
Cho c¸c sè a, b, c thoả mÃn điều kiện : a + b + c = -2 (1) ; a2+ b2+ c2= (2)
Chứng minh số a, b, c thuộc đoạn
;0
3
biểu diễn trục số
Giải
Bình phơng hai vế (1) ta đợc: a2+ b2+ c2 + (ab +bc + ca) = 4
do (2) nªn ab +bc + ca =
2 4
= bc = - a(b + c ) = - a(a - 2) = a2+ 2a + 1
Ta lại có : b + c = -(a + 2) b,c nghiệm phơng trình X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0
Để tồn X thì:
(a + 2)2- 4(a2 + 2a + 1) 0
a(3a + 4) 0
4
a T¬ng tù :
3
b ;
3
c
VÝ dơ 2: Cho ba sè tho¶ m·n : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
Chøng minh r»ng : -1 a + b + c
Gi¶i: Ta cã: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
3
( a2+ b2+ c2) - 3(a + b + c) (1)
Ta lại có: (a + b + c)2 ( a2+ b2+ c2) (theo bất ng thc Bunhiacpki) (2)
Kết hợp (1) (2) ta cã:
(a + b + c)2 - 3(a + b + c) - (3)
Ta thấy bất đẳng thức vế trái có dạng tam thức bậc hai với biến a + b + c
(8)Tam thøc trªn nhËn -1 vµ lµm nghiƯm
kết hợp với (3) ta đợc : -1 a + b + c (đ.p.c.m)
VÝ dô 3:
Cho (x, y, z) lµ nghiƯm cđa hƯ:
4 2
zx yz xy
z y x
((54)) chøng minh r»ng
3 , ,
x y z
Gi¶i :
Nhân (5) với cộng với (1) ta đợc :
(x+y+z)2= 16 x+y+z =4
Nếu x + y + z = z = - x - y thay vào (5) ta đợc : xy + y(4 - x - y) + (4 - x - y) =
x2 - (4 - y)x - y(4- y) + = (*)
Do x nghiệm hệ nên x lµ nghiƯm cđa (*) vËy (*) cã nghiƯm 0 (4 - y)2 + 4
- 3y2 + 8y 0
3
y
Nếu x + y + z = -4 tơng tự ta đợc :-
8
y
VËy ta cã :
3
8
y
Vì x, y,z có vai trị nh nên ta đợc :
3 , ,
x y z
2: Dïng tÝnh chÊt cđa hµm sè bËc hai : y=ax2 +bx + c (a0) víi x, vÝ dụ :
Cho a,b,c 0;2 thoả mÃn điều kiƯn a+b+c = chøng minh r»ng a2+b2+c2 5(1) Gi¶i :
Nhận thấy bất phơng trình có ba biến a,b,c nhng a + b + c = nên ta đa bất đẳng thức hai biến cách thay c=3 - a - b vào (1) ta đợc :
a2+ b2+ c2 5 a2+ b2+ (3 - a - b)2 5 (2)
vậy ta chứng minh bất đẳng thức (2) với biến a,b có bậc hai nên ta quy (2) tam thức bậc với ẩn đó, chẳng hạn ẩn a :
(2) f(a) =2a2 - (3 - b) + b2 +(3 - b)2 - 0 (3)
muèn chøng minh (3) ta chØ cÇn chøng minh f(a) 0 víi a0;2
Do hƯ sè cđa a > nên a0;2 :
max f(a) = max f(0), f(2) víi a0;2
ta cã :
f(0) = b2 +(3 - b)2 - =2(b - 1)(b - 2)
khi a = th× b + c = c = - b
do 0c2 03 b21b31b2 (b - 1)(b - 2) 0 f(0) 0 f(2) = - 4(3 - b) +b2 +(3 - b )2 - = 2b(b - )
khi a = th× b +c = 0b,c 1 b(b - 1) 0 f(2) 0
(9)Nh vËy f(0) 0 ; f(2) 0 max f(0),f(2) 0
maxf(a) 0 f(a) 0 víi a0;2
VÝ dô 2:
Tìm m cho < x < nghiệm hệ bất phơng trình : 4 2 m x x m x x Giải:
Do < x < nghiệm hệ bất phơng trình nên : 4 2 m x x m x x
mäi < x < hay : ) ( ) ( x x f x x f (*)
: f1(x) = 4x2 - 4x+5 - m
f2(x) = x2+ 4x+ m
Nhng hoành độ đỉnh parabol x1 = 2;3
2
; x2 = -2(2;3)
hay (*)
) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 f f f f 21 12 29 13 m m m m
vËy :-12 m 13
3: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai
VÝ dô :
Chứng minh bất đẳng thức :
x2+2y2-2xy +12x- 4y+3 > 0
Gi¶i :
Ta nhận thấy có dạng tam thức bậc hai ẩn x : f(x) = x2 - 2(y - 1)x+(2y2 - 4y+3)
ta có : =(y - 1)2 - (2y2 - 4y+3) = -y2 +2y - = -(y - 1)2 - < f(x)
cïng dÊu víi hƯ sè cđa x tøc lµ f(x) >
C: NhËn xÐt :
Khi thực cách ta phải quy số bậc hai ẩn qua ta sử dụng, tính chất điều kiện dấu tam thức bậc hai :
Tam thøc bËc hai: f(x) = ax2+bx+c (a0)
*NÕu < th× f(x) cïng dấu với a với giá trị x
*NÕu = th× f(x) cïng dÊu víi a với giá trị x trừ x =
-a b
2
*NÕu > th× : f(x) trái dấu với a với giá trị x n»m kho¶ng hai
(10)nghiƯm
f(x) cïng dấu với a với giá trị x nằm khoảng hai nghiệm III: Các toán cực trị
A:Kiến thức
Để tìm cực trị biểu thức ta vận dụng tính chất điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai Nh ta biến đổi biểu thức để đa dạng tam thức bậc hai
B: Mét sè vÝ dô:
1) Đổi biến để đa tam thức bậc hai biến mới. dụ 1:
Tìm giá trị lớn biÓu thøc sau: A= x + 1 x
Giải: Điều kiện: x
§Ỉt 1 x = y ta cã : y2 = - x x = - y2 VËy : A = - y2 + y
= -(y2 - y +
4
) + = -(y -
2
)2 +
4
4 maxA =
4
y =
1- x =
x =
2: Đổi biến để đa bất phơng trình bậc hai biến : vớ d :
Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn A = x2 + y2
biÕt : x2 (x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = (1)
Gi¶i :
Tõ (1) ( x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) + = - x2 0
vËy : A2 - 4A + (A - 1)(A - 3) 0
1 A
minA = x = y = 1
maxA = x = y = Vớ d 2:
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
A = 2 2 2000
x x
x
(x0)
Gi¶i:
A = 2 2 2000
x x
x =
2 2
2 2 2000 x x
x x x
= 1- 2000
x
x v× x0
Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ta đặt
x
1 = y
(11)ta cã : A = - 2y + 2000y2 = 2000(y -
2000
)2 +
2000 1999 VËy: A
2000 1999 minA =
2000 1999
2000
y hay x = 2000
3: Đa phơng trình bậc hai sử dụng điều kiện 0
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
M = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + 2
Gi¶i :
Giả sử A giá trị biểu thức phơng trình :
2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + = A có nghiệm x, y Đa phơng trình bậc
hai ẩn x ta có :
2x2 + 2(y - 1)x + (y2 + 2y + - A) = cã nghiÖm / 0
x (y - 1)2 - 2(y2 + 2y + - A) 0
bÊt ph¬ng tr×nh : y2 + 6y + - 2A 0 cã nghiÖm y:
/y = - (3 - 2A) 0 2A + 0
A 3 DÊu " = " x¶y y = -3
x = 1 y
= VËy minM = -3 x = ; y = -3
VÝ dô 2:
Cho A =
1 ) (
2 2
x x x
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức A giá trị tơng ứng cđa x
Gi¶i:
Vì x2 + > với x :Do A =
1 ) (
2 2
x x x
(x2 + 1)A = 2x2 + 2x + 2
(A - 2)x2 - 2x + (A -2) = (1)
khi A = th× x =
khi A 2 để (1) có nghiệm , điều kiện cần đủ /
tøc lµ :
- (A - 2)20
(A - 2)2 1
A
VËy minA = x=- vµ maxA = x =
(12)