Đang tải... (xem toàn văn)
Ñònh nghóa : Hình choùp laø moät hình ña dieän coù moät maët laø moät ña giaùc, caùc maët coøn laïi ñeàu laø nhöõng tam giaùc coù chung moät ñænh * Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù [r]
(1)NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B
A : phương trình có nghiệm A B x A = vaø B : phương trình vô nghiệm A = B = : phương trình vô số nghiệm
Ax > B A > :
A B x A < :
A B x
A = vaø B : vô nghiệm A = B < : vô số nghiệm
NHỚ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/ Dạng :
/ / /x b y c a
c by ax
2/ Cách giải : baab ba ba
D //
//
bccb bc bc Dx //
//
caac ca ca Dy //
(2) D : hệ có nghiệm
D D
y y
D D
x x
D = vaø Dx
Hệ vô nghiệm D = vaø Dy
D = Dx = Dy = : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/
Sơ đồ: a c b
a’ c’ b'
D Dy
Dx
NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax2 + bx + c = ( a 0)
= b2 – 4ac
>
a b x
2
1
,
a b x
2
2
= Nghiệm kép
a b x
x
2
2 < Vô nghiệm
/ = b/ – ac
/ >
a b
x1 / / ,
a b x
/ /
/ = Nghiệm kép
a b x x
/ / < Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = : nghieäm x1 = 1, x2 = ac a – b + c = : nghieäm x1 = –1, x2 = ac
NHỚ : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a 0) x –
a b
(3)NHỚ : DẤU TAM THỨC f(x) = ax2 + bx + c ( a
0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì
0 0
a
0
a
f(x) > 0, x f(x) < 0, x
0 0
a
0 0
a
f(x) > 0, x a b
2
f(x) < 0, x
a b
2
> x – x1 x2 + f(x) cuøng true
dấu a
NHỚ : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a
0) , hai số thực 1/ Muốn có x1 < < x2 ta phải có af(x) <
2/ Muốn có x2 > x1 > ta phải có
0 2
0 ) (
0
S af
3/ Muốn có x1 < x2 < ta phải có
0 2
0 ) (
0
S af
4/ Muốn có x1< < < x2 ta phải có
0 ) (
0 ) (
(4)5/ Muốn có x1< < x2 < ta phải có
0 ) (
0 ) (
af af
6/ Muốn có
2
2
x x
x x
ta phải có f()f()0
7/ Muốn có < x1 < x2 <ta phải coù
2 0 ) (
0 ) (
0
S af af
Chú ý:
1/ Muốn có x1 < < x2 ta phải có P < 2/ Muốn có x2 > x1 > ta phải có
0 0 0
S P
3/ Muoán có x1 < x2 < ta phải có
0 0 0
S P
NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/
K
K
B A B B
A 2
2 0
2/
)0 (0
2 2
hayB A
B A B A K K
(5)1/
K K
B A B A B A
2
2 0
0
2/
K K
BA B A B BA
2 2
0 0 0
3/ 1 1
K
K A B A B
NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/
0 0
B B A B
BA B A
2/
B A
(6)Chú ý:
0 )( )( 0
)( )( )( )(
x xg xf x
xg xf xg xf
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/
0
B B A B B A
2/
0 0 0
B B A B
B A B B
A 3/ 2
B A B
A
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Định nghĩa :
Daïng : A > B, A B A < B, A B 2/ Tính chất :
a) ab ba
b) ca
cb ba
(7)d)
0 ,
0 ,
c bc ac
c bc ac b a
e) a c b d
d c
b a
f) ac bd
dc ba
0 0
g)
0 ;
1
0 ;
1
ab khi b a
ab khi b a b a
3/ BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an
n
n
n a a a a
n
a a
a a
3
2
hay
n n n
n
a a
a a a a a
a
3
Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an 4/ BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn số tực đó:
) )(
(
)
( 12 22 12 22
2
1b a b anbn a a an b b bn
a
Dấu đẳng thức xảy = k.bi , i = , , 3, , n 5/ BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n N Ta có : (1 + a)n + na Đẳng thức xảy
1
n a
6/ BĐT tam giác :
B A B
A
Đẳng thức xảy AB
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức )
1/ 2
Cos x x
Sin
(8)3/ CotxCosxSinx 4/ Tanx.Cotx1
5/
x Cos x
Tan2 12
1
6/
x Sin x
Cot2 12
1
Điều kiện tồn :
Tanx laø x / + k , k Z Cotx laø x k , k Z Sinx laø – Sinx
Cosx laø – Cosx Chú ý :
a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab
a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
B CƠNG THỨC CỘNG ( cơng thức ) 7/ Cos(ab)CosaCosb SinaSinb 8/ Cos(a b)CosaCosbSinaSinb 9/ Sin(ab)SinaCosbCosaSinb 10/.Sin(a b)SinaCosb CosaSinb 11/
TanaTanb Tanb Tana
b a Tan
1 ) (
12/.Tan a b TanaTanaTanbTanb
1 ) (
13/
Cotb Cota
CotaCotb b
a Cot
)
(
14/.Cot a b CotaCotbCota Cotb
)
(
C CÔNG THỨC NHÂN
I NHÂN ĐƠI : ( cơng thức) 15/ Sin2a2SinaCosa
16/ Cos2a2Cos2a 11 2Sin2aCos2a Sin2a 17/
a Tan Tana a
Tan 2
1 2
II NHÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a 4Cos3a 3Cosa
19/ Sin3a 3Sina 4Sin3a
20/
a Tan
a Tan Tana a
Tan 2
3
3 3
(9)21/ Sin2a 1 Cos2 2a
1 Cos2a 2Sin2a 22/
2
2a Cos a
Cos 1Cos2a 2Cos2a
23/ Sin3a 3Sina4Sin3a
24/
4 3
3a Cosa Cos a
Cos
IV GĨC CHIA ĐƠI : ( cơng thức) 25/ 1
2
t t Sinx
26/ 22
1
t t Cosx
, với
2
x Tan t
27/ 2
1
t t Tanx
D TỔNG THÀNH TÍCH : ( cơng thức) 28/ CosaCosb2Cosa2bCosa2 b 29/
2
2Sina bSina b
Cosb
Cosa
30/ SinaSinb2Sina2bCosa2 b 31/
2
2Cosa bSina b
Sinb
Sina
32/
CosaCosb b a Sin Tanb
Tana ( )
33/
CosaCosb b a Sin Tanb
Tana ( )
34/ CotaCotbSinSinaSinb(ab) 35/ Cota CotbSinaSinbSin(a b)
E TÍCH THÀNH TỔNG : ( cơng thức)
36/ ( )
2
b a Cos b a Cos
CosaCosb
37/ ( ) ( )
2
b a Cos b
a Cos
SinaSinb
38/ ( ) ( )
2
b a Sin b a Sin
SinaCosb
(10)Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin Sin bù Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos Phụ chéo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin Khác Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot Sai / Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv
2
k v u
k v u
k Z
Cosu = Cosv uvk2
Tanu = Tanv uvk
Cotu = Cotv uvk
Sinu = u k
Sinu = 1 u/2k2
Sinu = –1 u /2k2
Cosu = u/2k
Cosu = 1 uk2
Cosu = – u k2
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2
) Phương pháp :
Cách 1: Chia hai veá cho 2
b
a
Đặt : Sin
b a
b Cos
b a
a
2
2 ;
Ta coù ( ) a2 b2 c x
Sin
(*)
(*) Có nghiệm
2
2
b
a c
2
2 b c
a
(*) Vô nghiệm a2 b2 c2
Caùch 2:
Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải nghiệm phương trình hay không? Xét x (2k + 1) Đặt : t Tan2x
Theá 2 22
1 ;
1
t t Cosx t
t Sinx
Vaøo phương trình t ? x ?
(11)1/ Đối với hàm số lượng giác: Giả sử a
0
2
bSinx c x
aSin ( đặt tSinx , t 1)
0
2
bCosx c x
aCos (đặt tCosx , t 1)
0
2
bTanx c x
aTan ( đặt t Tanx x k
2
, )
0
2
bCotx c x
aCot ( đặt tCotx ,xk)
2/ Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx
Dạng: 2
bSinxCosx cCos x x
aSin (1)
0
3
2
bSin xCosx cSinxCos x dCos x x
aSin (2)
Phương pháp :
Cách 1:
Kiểm x = / + k có phải nghiệm phương trình ?
Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai, bậc ba Tanx
Caùch 2:
Dạng (1) sử dụng cơng thức hạ bậc SinxCosx Sin22x vào 3/ Phương trình đối xứng Sinx, Cosx:
Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt : ),
4 (
2
Sinx Cosx Sin x t
t
0
1 (*) atbt2 c
t
( có) x
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = (*) giải tương tự :
Đặt : ),
4 (
2
Sinx Cosx Sin x t
t
0
1 (*)
2
at b t c t ? ( có) x ? D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/ Tổng bình phương :
A2 + B2 + + Z2 = A = B = = Z = A 0, B 0, , Z
Ta có : A + B + + Z = A = B = = Z = 2/ Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*) Nếu ta chứng minh
K B
(12) K B K A (*) 3/ k l B A k B l A k B l A 4/ A 1, B 1
1 1 1 B A
AB hay 1 1 B A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG Tam giác thường ( định lý)
Hàm số Cosin a2 b2c2 2bcCosA bc a c b CosA 2 2 Hàm số Sin
R SinC c SinB b SinA a R a SinA RSinA a , Hàm số Tan
b a b a B A Tan B A Tan 2
Các chiếu abCosCcCosB Trung tuyeán
4 ) (
2 2
2 b c a
ma
Phân giác 2
a A bc Cos l b c Diện tích Diện tích
S aha bhb chc
2 2
S bcSinA acSinB abSinC
2 2 S pr
(13)H
B C
A
S p(p a)(p b)(p c)
Chú ý: ) ( ) ( )
(p a TanA p b TanB p cTanC
p S
r
SinC c SinB b SinA a S abc R 2
4
a, b, c : cạnh tam giác A, B, C: góc tam giác
ha: Đường cao tương ứng với cạnh a ma: Đường trung tuyến vẽ từ A
R, r : Bán kính đường trịn ngoại, nội tiếp tam giác
2
c b a
p Nữa chu vi tam giác
Hệ thức lượng tam giác vuông: AC AB BC AH CH BH AH
AB2 BH.BC
AC2 CH.CB BC2 AB2AC2
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TĨAN CẦN NHỚ Cho tam giác ABC :
1/ SinASinBSinC 4CosA2CosB2CosC2 2/
2 2
1 SinASinBSinC
CosC CosB
CosA
3/ TanATanBTanC TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông) 4/ 2 2 C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A
Cot
5/
2 2 2
2
A Tan C Tan C Tan B Tan B Tan A Tan
6/ Sin2A Sin2B Sin2C 2CosA.CosB.CosC
7/ Cos2A Cos2B Cos2C 2CosA.CosB.CosC
8/ Sin(AB)SinC CosC B
A
Cos( ) ;
2 C Cos B A
Sin
2 C Sin B A
Cos ;
2 C Cot B A
Tan
9/
8 3
.SinBSinC
SinA 2 1 AC AB
(14)10/ CosA.CosB.CosC 81 11/
8 3
2
C Cos B Cos A Cos 12/
8
2
C Sin B Sin A Sin
13/ 2 43
Cos B Cos C A
Cos 14/
9
2
2
Sin B Sin C A
Sin
15/ 2
Tan B Tan C A
Tan
16/
2
2
3 2
Sin A Sin B Sin C 17/ 2 2 2 2 94
Cos A Cos B Cos C
18/
2
2
2
2
Tan B Tan C A
Tan
19/
2
2
2
2 ACot BCot C Cot
20/
2 3 2
2ASin BSin C
Sin
21/ Cos2ACos2BCos2C 23 NHỚ 16 : HAØM SỐ LIÊN TỤC
Định nghóa 1:Hàm số yf(x) gọi liên tục điểm x = a :
1/ f (x) xác định điểm x = a
2/ limx a f(x)f(a)
Định nghóa 2: f(x)liên tục điểm x = a lim f(x) lim f(x) f(a)
a x a
x
Định lý : Nếu f(x)liên tục [a, b] f(a).f(b)0thì tồn
điểm c (a, b) cho f(c)0 NHỚ 17 : HAØM SỐ MŨ
1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a 1 ( cố định) Hàm số mũ hàm số xác định công thức : y = ax ( x
R) 2/ Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục R b) y = ax > 0 moïi x
R
c) a > 1 : Hàm số đồng biến
2
1 a x x
ax x
d) 0 < a < 1 : Haøm số nghịch biến
2
1 a x x
ax x
(15)3/ Đồ thị :
(a> 1) y ( < a < 1) y
x x NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/ Định nghóa :
a) Cho a0,a1, N 0
Logarit số a N số mũ M cho : aM = N Ký hiệu : logaN = M
b) Hàm số logarit theo số a ( a > 0, a ) đối số x hàm số cho công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a 1)
2/ Tính chất định lý logarit : Giả sử logarit có điều kiện thỏa mãn
TC1 : logaN = M aM = N
TC2 : loga aM = M , alogaM M
TC3 : loga1 = 0, loga a =
TC4 : loga (MN) = loga M + loga N
TC5 : M N
N M
a a
a log log
log
TC6 : Đổi số
a b
a N N
b a c
c a
log log
; log log
log
3/ Đồ thị :
(a> 1) y ( < a < 1) y
x x 4/ Phương trình Logarit :
) ( ) ( ) ( log ) (
loga f x a g x f x g x ( f(x) g(x) > , < a ) 5/ Bất phương trình Logarit :
(*) ) ( log ) (
(16) )( )( 0) ( (*) 1 xg xf xf a )( )( 0) (
(*) 0 1
xg xf xg
a
NHỚ 19 : ĐẠO HAØM I/ Định nghĩa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác định ( a, b) , x0 ( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm
tại x0 giới hạn
x khi x y tồn x x f x x f x y x f x x ) ( ) ( lim lim )
( 0
0
0 '
Đạo hàm bên trái :
x y x f x 0
'( ) lim
( tồn ) Đạo hàm bên phải :
x y x f x 0
'( ) lim
( tồn ) Cho y = f(x) xác định (a, b)
y = f(x) có đạo hàm x0 (a, b) f ‘(x0+) = f ’(x0–)
II/ Qui tắc tính đạo hàm :
1/ (a b c)' a' b' c'
2/ (ab)' a'.b a.b'
(abc)' a'.b.c a.b'.c a.b.c'
3/
' ' ' b ab b a b a
( b
0) (cu)' c.u' (c R)
' ' u u u
III/ Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp :
TT Hàm số Đạo hàm
1 y = c y’ = 0
2 y = x y’ = 1
3 yyux ' . x y ' ' .u .u
y
4
x
y 1 ' 12
(17)x
y
u y
x y
2
'
u u y
2
' '
5 yySinuSinx yy' uCosx'.Cosu '
6 yyCosuCosx yy'' uSinx'.Sinu
7 yTanx
Tanu
y
x Cos y' 12
u Cos
u
y 2
' '
8 yCotx
Cotu
y
x Sin y' 12
u Sin
u
y 2
' '
9 yarcSinx
2 '
1
x y
10 yarcCosx
2 '
1
x y
11 yarcTanx ' 2
1
x y
12 yarcCotx
2 '
1
x y
13 yy aaux
Lna a y x
'
Lna a u y' '. u.
14 yy eeuu
x e y'
u e u y' '
15
Lnx
y
Lnu
y
x y' 1 u u y' '
16
x Ln y
u Ln y
x y'
u u y
' '
17 yloga x
xLna y'
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
(18)f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN 1/ Công thức NewTon _ Leibnitz :
b
a
b
a F b F a
x F dx x
f( ) ( ) ( ) ( )
với F(x) nguyên hàm f(x) [a, b} 2/ Tích phân phần :
b
a
b
a b
a vdu
v u
udv [ ]
với u, v liên tục có đạo hàm liên tục [a, b] 3/ Đổi số :
t t dt
f dx x f
b
a
) ( ) ( )
( '
với x = (t) hàm số liên tục có đạo hàm ’(t) liên tục [a, b] , t
a =(), b = (), f[(t)] hàm số liên tục [, ] 4/ Tính chất :
a)
b
a
a
b
dx x f dx
x
f( ) ( )
b) ( ) 0
a
a
dx x f
c)
b
c c
a b
a
dx x f dx x f dx x
f( ) ( ) ( )
d)
b
a
b
a b
a
dx x g dx x f dx x g x
f( ) ( )] ( ) ( )
[
e)
b
a
b
a
R K dx x f K dx x
Kf( ) ( ) ,
f) Nếu m f(x) M
) ( )
( )
(b a f x dx M b a
m
b
a
5/ Bảng tích phân :
TT Cơng thức
1 ( 1)
1
1
dx x c
x
2 ax b c
a dx b
ax
) ( )
(
1
(19)3
( 1)
) (
1
1
dx x c
x
4
( 1)( ) ( 1)
1 )
(ax b a ax b c
dx
5 Lnx c x
dx
6
b aLnax b c ax
dx
7 KdxKxc ,KR
8 exdxex c
9 e c a
dx
eax b ax b
10 c
Lna a dx a
x x
11 Sinxdx Cosxc
12 Cos axb c a
dx b ax
Sin( ) ( )
13 CosxdxSinxc
14 Sin axb c a
dx b ax
Cos( ) ( )
15 Tanxc
x Cos
dx
2
16 Cotxc
x Sin
dx
2
17
arcTanx c
x dx
1
2
18
a c
x arcTan a
a x
dx
2
19
x a c
a x Ln a a x
dx
2
2
20
a x c
x a Ln a x a
dx
2
2
21
) (
2
2 a c a
x arcSin x
a dx
22 Lnx x h c
h x
dx
2
23 ( 0)
2
2 2
2 c a
a x arcSin a
x a x dx x a
24 x2 hdxx x2hhLnx x2h c
2
(20)2/ Tổ hợp : CK K!(nn! K)! n
CnK CnnK
n
n
n C
C
CnK CnK CnK 1
Cn0Cn1 Cnn 2n
3/ Chỉnh hợp : (0 )
)! (
!
n K K
n n AK
n
NHỚ 23 : SỐ PHỨC 1/ Phép tính :
Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z z’ = ( a a’) + ( b b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
z = r.(Cos + i.Sin)
z’ = r’(Cos + i.Sin) z, z’ 0
z.z’ = r.r’[Cos( + ) + i.Sin( + )]
)] (
) ( [ '
' r Cos iSin
r z
z 2/ MoaVrô :
) (
)] (
[r Cos iSin n rn Cosn iSinn 3/ Căn bậc n số phức z = r.( Cos + i.Sin) :
)
2 (
n K Sin i n
K Cos r
Z n
K
với K = 0, 1, 2, , n – 1
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ :
) ,
(x y OM xe ye
M
Cho A( xA, yA )
B( xB, yB )
1) AB (xB xA , yB yA)
2) ( , )2
A B A
B x y y
x
(21)3) Tọa độ trung điểm I AB :
2 2
B A
B A
y y y
x x x
4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k :
k y k y y
k x k x x
B A
B A
1 . 1
.
Phép toán : Cho a (a1,a2)
) , (b1 b2
b
1)
2 2
1 1
b a
ba ba
2) ab (a1b1,a2 b2)
3) m.a (ma1,ma2)
4) aba1b1a2b2
5)
2
1 a
a
a
6) 1 2 0
b a b a b a
7)
2 2 2
2 1
,
b b a a
b a b a b
a Cos
B ĐƯỜNG THẲNG
1/ Phương trình tham số :
t a y y
ta x x
2
1
Vectơ phương a (a1,a2)
2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2
0)
Phaùp vectơ n(A,B)
(22) Vectơ phương a (B,A)
( hay a (B, A)
)
Hệ số goùc (B0)
B A
K x 3/ Phương trình pháp dạng :
0
2 2
2
2
A B
C y
B A
B x
B A
A
4/ Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K :
)
(
0 K x x
y
y
5/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) B(xB, yB) :
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)
hay
A B
A A
B A
y y
y y x x
x x
6/ Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
1
b y a x
7/ Phương trình tắc : x ax0 yby0
) , ( ), ,
(x0 y0 a a b
M
* Quy ước :
0
0
x x b
y y x x
0
0
0
y y y y a
x x
8/ Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :
1
b y a x
9/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = :
2
0
B A
C By Ax
10/ Vị trí tương đối hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
2
B B A A D
2 1 2 1
B B C C
Dx
(23)2 1 2 1
C C A A
Dy
* d1 caét d2 D0
*
0 0 // 2
1
x
D D d
d hay
0 0 y
D D
*d1 d2 DDx Dy 0 Chú ý : A2, B2, C2 0
d1 caét d2
2
B B A A
2 2 1//
C C B B A A d
d
2 2
1 C
C B B A A d
d
11/ Góc hai đường thẳng d1 d2 :
Xác định công thức : 2 2 2
2
B A B A
B B A A Cos
12/ Phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2 :
2 2
2 2
1
1 1
B A
C y B x A B
A
C y B x A
* Chú ý :
Dấu
2 1n
n Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo d1, d2 Phương trình đường phân giác góc tù tạo d1, d2
– t1 = t2 t1 = – t2
+ t1 = – t2 t1 = t2
C ĐƯỜNG TRÒN :
1/ Định nghóa : M (c) OM = R
2/ Phương trình đường trịn tâm I( a, b) bán kính R : Dạng : (x a)2 (y b)2 R2
Daïng : x2 y2 2ax 2by c 0
Với R2 a2 b2 c 0
3/ Phương trình tiếp tuyến với đường trịn M( x0, y0)
(24)D ELIP PT tắc Lý thuyết
2
2
2
1
( )
x y a b a b
2
2
2
1
( )
x y a b a b
Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Đỉnh A1,2( ± a, 0)B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0)B1,2(0, ± b)
Taâm sai e c
a
e c
b
Đường chuẩn x a
e
y b
e Bán kính qua tiêu MF2 = a – exMF1 = a + ex MF1 = b + eyMF2 = b – ey Pt tiếp tuyến
M(x0 , y0) 02 02
x x y y a b
0
2
x x y y a b
Pt hình chữ nhật sở
x a y b
x a y b
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2 E HYPEBOL
PT tắc Lý thuyết
2
2
x y a b
2
2
y x b a
Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Đỉnh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)
Taâm sai e c
a
e c
b
Đường chuẩn x a
e
y b
e
Tiệm cận y bx
a
y b x
a Bán kính qua tiêu M nhánh phải
MF1 = ex + a MF2 = ex – a
M nhánh phải
(25)M nhaùnh traùi
MF1 = – (ex + a) MF2 = – (ex – a)
M nhaùnh traùi
MF1 = – (ey + b) MF2 = – (ey – b) Pt tiếp tuyến
M(x0 , y0) 02 02
x x y y a b
0
2
y y x x b a
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2 F PARAPOL
Pt tắc
Lý thuyết y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py
Tiêu điểm ,0
2
p F
2,0
p F
0,2
p F
0,
p F
Đường chuẩn
2
p x
2
p x
2
p y
2
p y Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ :
1
, ,
M x y z OM x e y e z e
1 1 2 3
( , , )
a a a a a a e a e a e
Cho A x y z( ,A A, ),A B x y z( ,B B, )B
1) ( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z
2) ( )2 ( )2 ( )2
B A B A B A
AB x x y y z z
3) Tọa độ trung điểm I AB :
2 2
A B
A B
A B
x x x
y y y
z z z
4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ :
1 1
A B
A B
A B
x kx x
k y ky y
k z kz z
k
(26)1
( , , )
b b b b
1)
1
2
3
a b
a b a b
a b
2) a b (a1b a1, 2b a2, 3b3)
3) m a (ma ma ma1, 2, 3) 4) a b a b 1 1a b2 2a b3 3
5) 2
1
a a a a
6) ab a b1 1a b2 2a b3 3 0
7) 12 22 2 32
1 3
,
a b a b a b Cos a b
a a a b b b
8) Tích vơ hướng hai Vectơ
3
2 1
2 3 1
, a a ,a a a a,
a b
b b b b b b
Điều kiện đồng phẳng :
, ,
a b c
Đồng phẳng a b c, 0
* Diện tích tam giác ABC : ,
S AB AC
B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG : 1/ Phương trình tham số :
0 1
0 2 2
0 3
, ( , )
x x a t b t
y y a t b t t t R z z a t b t
Cặp Vectơ phương ( VCP) a( , , ),a a a1 2 3 b ( , , )b b b1 2 3
2/ Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D =
( , , )
n A B C
Vectơ pháp tuyến ( VPT)
Đặc biệt :
By + Cz + D = song song truïc ox
Cz + d = song song mặt phẳng oxy Ax + By + Cz = qua gốc tọa độ
(27) z = mặt phẳng oxy
3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,coù VPT n ( , , )A B C
laø: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
4/ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn tên trục tọa độ:
1
x y z a b c
5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 =
β: A2x + B2y + C2z + D2 =
a/ Góc mặt phẳng : Tính công thức :
1 2
2 2 2
1 1 2
A A B B C C Cos
A B C A B C
b/ Vuông góc : A A1 2B B1 2C C1 0
c/ Vị trí tương đối :
α caét β A B C1: 1: 1A B C2: 2:
1 1
2 2
A B C D
A B C D
1 1
2 2
// A B C D
A B C D
Với A2, B2, C2, D2≠ 0
d/ Phương trình chùm mặt phẳng có dạng
1 1 2 2
( ) ( )
m A x B y C z D n A x B y C z D
Với m2 + n2≠ 0 α cắt β
C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1/ Phương trình tham số :
0
0
0
,
x x a t
y y a t t R z z a t
Với a( , , )a a a1 2 3 Vectơ phương 2/ Phương trình tổng quát :
1 1
2 2
0 :
0
A x B y C z D d
A x B y C z D
Với A B C1: 1: A B C2: 2:
2 2
1 1
A B C
2 2
2 2
A B C
d có Vectơ phương a n n1,
(28)A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
D VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ Hai đường thẳng :
d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a ( , , )a a a1 2 3
'
d qua N x y z( , , )0' 0' 0' có Vectơ phương b ( , , )b b b1 2 3
* d, d’ nằm mặt phẳng a b MN, . 0
* d cheùo d’ a b MN, . 0
* Góc d d’ : 2 12 22 2 32 2
1 3
a b a b a b Cos
a a a b b b
2/ Đường thẳng mặt phẳng :
d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a ( , , )a a a1 2 3
mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyeán
( , , )
n A B C
* d // ()
0 0
0
a n
Ax By Cz D
* d caét ( ) a n. 0
* d
0 0
0
a n
Ax By Cz D
* d a a a1: 2: A B C: :
* Góc đường mặt phẳng : tính công thức
1
2 2 2
1
a A a B a C Sin
a a a A B C
E KHOẢNG CÁCH :
1/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến Ax + By + Cz + D =
0 0
2 2
Ax By Cz D
A B C
2/ Khoảng cách từ điểm N(x’0, y’0, z’0) đến đường thẳng d qua M(x0, y0, z0) có VCP a ( , , )a a a1 2 3
(29)d a b
d a
,
MN a a
3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ :
, ,
a b MN a b
F MẶT CẦU :
Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d =
Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ 0
NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC
1
// // //
d d a b
d a a
d b b
2 a// có a’ , a’//a
// //
d
a a d
a
d a
// //
//
d
a a d
a
5 a
b
Neáu
chứa a b cắt nhau, a//, b// //
6
// //
P a
P b a b
P
b a
(30)7
C' B'
A'
C B
A
R Q
P
b
a Neáu P // Q // R chúng chắn tr6n hai caùt
tuyến a, b đoạn thẳng tỉ lệ
' ' ' '
AB A B BC B C
8
R Q P
b d a
// // //
P Q d R P a
a b d R Q b
d R
9 Nếu a ab, b
10 a a vng góc với hai đường thẳng b, c cắt
11
b a
Nếu a//b a b Nếu a b a//b
12
a
// a a Nếu a a //
13 b
a
b a
Nếu a chéo b
* Có mộ tvà đường vng góc chung
* Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường * Có hai mặt phẳng song song mặt chứa đường
14
H O
A'
B A
ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vng góc chung OH đoạn ngắn * Hai đoạn xiên dài có hình chiếu dài
bằng ngược lại
OA = OA’ HA = HA’
*Hai đoạn xiên có độ dài khác đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại
(31)a d
P
d
15
b' a b
ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG VNG GĨC
a đường xiên b có hình chiếu vng góc b’ , ta có : a b' a b
16
a a
Nếu d với
a mà ad thì a
d
P d P
P
17 S : Diện tích hình phẳng H
S’: Diện tích hình chiếu vuông góc H H’
: Góc mặt phẳng chứa H mặt phẳng
chứa H’
S' S Cos.
18
C' B' A'
C B
A HÌNH LĂNG TRỤ
1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt song song gọi hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song
2/ Các loại :
* Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy
* Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác
Ngồi cịn có lăng trụ xiên 3/ Sxq, STP, V :
* Sxq tổng diện tích mặt beân
* Sxq chu vi thiết diện thẳng nhân với độ dài cạnh bên
* Sxq lăng trụ đứng hay chu vi đáy nhân độ dài cạnh bên
* STP = Sxq + 2Sđáy * V = B.h
(32)19
D S
C B
A
HÌNH CHÓP
1/ Định nghĩa : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt cịn lại tam giác có chung đỉnh * Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên * Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy 2/ Sxq, STP, V :
Sxq hình chóp hình chóp cụt
tổng diện tích tất mặt bên hình
Hình chóp : STP = Sxq + Sđáy Hình chóp cụt :
STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ
Hình chóp :
2
xq
S chu vi đáy x trung đoạn
Hình chóp cụt :
2
xq
S ( CV đáy lớn + CV đáy bé) x trung
đọan
Thể tích hình chóp :
1
V B h
B : diện tích đáy h : chiều cao
Thể tích hình chóp cụt :
' '
1
V h B B B B
B, B’ : diện tích hai đáy h : chiều cao
20 HÌNH TRỤ TRÒN XOAY
1/ Định nghóa :
* Hình chữ nhật OO’A’A quay quanh cạnh OO’ tạo nên hình gọi hình trụ trịn xoay( hay hình trụ)
(33)hình trịn gọi hai đáy _ Cạnh AA’ vạch thành mặt tròn xoay
gọi mặt xung quanh hình trụ _ OO’ gọi trục hay đường cao hình
trụ 2/ Sxq, STP, V :
Sxq 2Rh
STP 2R h R( )
V R h2
R : bán kính h : đường cao
21 HÌNH NÓN TRÒN XOAY – HÌNH NÓNCỤT
HÌNH NÓN TRÒN XOAY 1/ Định nghóa:
22 23 24 25
(34)