Đang tải... (xem toàn văn)
Vẽ ra phía ngoài của tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB với CD, K là giao điểm của AC với BF. Chứng minh rằng:. a).[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8.
Mơn thi: TỐN.
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2,0 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử x3 + 3xy + y3 - 1
Bài 2 (1,50 điểm): Giải phương trình:
x + x + x + x +
+1 +1 +1 +1
2006 2007 2008 2009
Bài 3 (1,50 điểm): Chứng tỏ khơng có giá trị x thỏa mãn bất đẳng thức sau: - 2x - x - > 02
Bài 4(1,0 điểm):
Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên:
x - 5x + 9x - A =
x -
Bài 5(1,0 điểm):(Khơng sử dụng MTBT tính trực tiếp) Tìm chữ số tận số A = 2009
2
Bài 6 (3,0đ): Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB với CD, K giao điểm AC với BF Chứng minh rằng:
a) HA = KA b) HA2 = HB.KC
(2)Mơn thi: TỐN Bài 1:(2,0 điểm)
x3 + 3xy + y3 - 1
= ( x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 - 1) - 3x2y - 3xy2 + 3xy (0,50 đ) = (x + y)3 - 1 - 3xy(x + y – 1) (0,50 đ) = (x + y – 1)(x2 + 2xy + y2 +x +y +1 – 3xy) (0,50 đ) = (x + y – 1)(x2 - xy + y2 +x +y +1). (0,50 đ)
Bài 2 (1,50 điểm):
x + x + x + x +
+1 +1 +1 +1
2006 2007 2008 2009
x + + 2006 x + + 2007 x + + 2008 x + + 2009
2006 2007 2008 2009
(0,25 đ)
x + 2010 x + 2010 x + 2010 x + 2010
2006 2007 2008 2009
(0,25 đ)
x + 2010 1 1
2006 2007 2008 2009
(*) (0,25 đ)
Do 1 1
2006 2007 2008 2009
(0,25 đ)
nên: (*) x + 2010 = (0,25 đ)
x = - 2010 (0,25 đ)
Bài 3 (1,50 điểm):
Ta có: -2x – x – = -2
16 24 2 x
x (0,25 đ)
-2 x + 22 x 23 16 16
(0,25 đ)
2
1 23
-2 x +
4 16 (0,25 đ) 23
2 x +
4
(0,25 đ)
Với x ta ln có: -2
2
1
x +
4
(0,25 đ)
Lại có 23
nên ta có:
2
1 23
2 x + < víi mäi x
4
Từ ta suy điều
phải chứng minh giá trị x thỏa mãn BĐT:
2
- 2x - x - > (0,25 đ)
(3)3
2
x - 5x + 9x -
A = x - 2x + +
x - x - (0,25 đ)
A có giá trị nguyên
x - nguyên, tức phải có (x – 3) ước (0,25 đ)
Do đó: x – = - => x = (0,125đ)
x – = => x = (0,125đ) x – = -7 => x = -4 (0,125đ) x – = => x = 10 (0,125đ) Bài 5 (1,0 điểm):
Ta thấy: 2009 2008
2 2 2 (0,25 đ)
4 502
2
= 502
16 2 (0,25 đ)
Số có chữ số tận dù nâng lên luỹ thừa tận 6, 16502 có chữ số tận 6. (0,25 đ)
Suy số A = 22009 = 16502.2 có chữ số tận (0,25 đ)
Bài 6 (3,0 đ):
a) (2,25đ)
Gọi cạnh AB, AC tam giác ABC c, b
AC AB
Theo gi¶ thiÕt AC // BD BD AB
(0,25 đ)
Tương tự ta có: AB // CF (0,25 đ)
Theo định lý Talet, ta có:
HA HC AC b
= = = (1)
HB HD BD c (0,25 đ)
KA KB AB c
= = = (2)
KC KF CF b (vỡ ACF vuông cân nên CF = CA) (0,25 đ)
Từ (1): HA b HA b
HB c HA + HB b + c (0,25 đ)
HA b bc
HA =
c b + c b + c
(0,25 đ)
Từ (2): KA c KA c
KC b KA + KC b + c (0,25 đ)
K H
F D
C B
(4)KA c bc KA =
b b + c b + c
(0,25 đ)
Vậy HA = KA = bc
b + c (0,25 đ)
b).Từ (1) (2) ta có: HA KC HA.KA = HB.KC
HB KA (0,25 đ)
mà HA = KA (C/m trên) nên suy HA2 = HB.KC (0,50 đ)
Lưu ý:
- Ở toán học sinh giải theo cách khác mà có kết cho điểm tối đa