Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M và N[r]
(1)HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 ***
A.QUAN HỆ SONG SONG
1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng.
1.1 Các tính chất đường thẳng mặt phẳng không gian. i) Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt
B A
(d)
ii)Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A
B C
iii)Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng
B (d) A
iv)Tính chất 4: Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng A
D B
C
(2). α
α
α
A
1.2 Cách xác định mặt phẳng.
i) Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm khơng thẳng hàng A
B C
ii) Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng
A (d)
iii) Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt
(a) A (b)
1.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng.
a) Hai đường thẳng đồng phẳng: Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng
A B
D C
i) Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng gọi cắt chúng đồng phẳng có điểm chung
(b) (a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b
a b A
(3)α
α
γ
ii) Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung
(a)
b) Hai đường thẳng không đồng phẳng: Hai đường thẳng gọi không đồng phẳng chúng không nằm mặt phẳng
* Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng
(b)
( ) ( ) ( ) ( )
a b
(a) (a) chéo (b)
2 Hai đường thẳng song song :
2.1 Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng
A (b’)
(b)
2.2 Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với
2.3 Định lý giao tuyến: Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song
(a)
(b) (c) (a) (c)
(b) (b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b
a b
(4)α β
α α
A
α
P P
2.4 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng ( trùng với hai đường thẳng
(b) (c)
(a)
3 Đường thẳng song song với mặt phẳng :
3.1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng :
(a) (a)
(a)
3.2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng :
a) Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
Nhận xét: Cho đường thẳng a b Trong a // b bmp(P) Lấy Ia:
(b)
I (b)
(a)
I (a) Nếu Imp(P) amp(P) NếuImp(P) amp(P)
b) Định lý : Nếu đường thẳng a không nằm mp(P) song song với đường thẳng nằm mp(P) a // mp(P)
(a)
(a’)
( ) / /( ) ( ) / /( )
( ) ( ) ( ) / /( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a
a c b
b c a
c c b
(5)(6)P Q
α
β 3.3 Tính chất
i) Định lý : Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mp(P) giao tuyến mp(P) mp(Q) song song với a
(a)
(a’)
Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng
Hệ 2: Nếu mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng
(a’)
(a)
ii) Định lý : Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b
(b)
(a) (b) chéo
(7)(8)P
Q
A
α
β
A 4.Hai mặt phẳng song song :
4.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt :
(a)
4.2 Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung b) Định lý : Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mp(Q) mp(P) song song với mp(Q)
, ( )
( ) / /( ) / /( )
/ /( )
a b P
a b
P Q
a Q
b Q
(b) (a) 4.3 Tính Chất:
i) Tính chất 1: Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng
(a) (b)
Gọi
(a’) (b’)
α
β α
(9)Q
P
α
β
γ
P
Hệ 1: Nếu đường thẳng a song song với mp(Q) có mặt phẳng (P) chứa a song song với mp(Q)
(a)
Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song
ii) Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song
(a)
(10)(11)α β
γ
d 4.4 Định lý Talet không gian :
Định lý : Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
(a) (b)
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ SONG SONG
Dạng 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)
1 Phương pháp giải:
a) Định lý: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song d d’ giao tuyến (P) (Q) đường thẳng qua
S song song với d d’ b) Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điểm chung hai mp (P) (Q)
Bước 2: Tìm đường thẳng thuộc mp (P) đường thẳng thuộc (Q) cho hai đường thẳng song song với
Bước 3: Dựa vào định lý ta kết luận giao tuyến cần tìm
2 Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD S điểm khơng thuộc mặt phẳng hình bình hành Tìm giao tuyến (SAD) (SBC)
d
Ta có: S điểm chung (SAD) (SBC) Mà:
BC AD
BC SBC
AD SAD
// ) (
) (
giao tuyến đường thẳng d qua S song song C
S
(12)A
B
C
D M
N P
Q Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song.
1 Phương pháp giải:
a) Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song hình học phẳng
b) Chứng minh chúng song song với đường thẳng thứ ba
c) Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng
d) Dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng
2 Ví dụ:
Cho tứ diện ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Q điểm nằm cạnh AD P giao điểm CD với mặt phẳng (MNQ) Chứng minh PQ // MN PQ // AC
Giải
Ta có:
AC MN
PQ MNPQ ACD
AC ACD
ABC
MN MNPQ
ABC
//
) (
) (
) ( ) (
) (
) (
PQ // MN //AC // PQ (theo định lí giao tuyến ba
mặt phẳng)
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
1 Phương pháp giải:
a) Ta chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng
b) Ta chứng minh đường thẳng cho nằm mặt phẳng khác song song với mặt mặt phẳng cho
2.Ví dụ:
(13)(14)Giải Gọi I trung điểm AD
Xét Δ BCI ta có:
3 MC BM GI BG CI MG// ) //( ) ( : ACD MG ACD CI Mà
Dạng 4:Dựng thiết diện song song với đường thẳng.
1 Phương pháp giải:
Dùng định lí:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) Nếu mặt phẳng ( ) chứa d cắt (
) theo giao tuyến d’ d’ song song với d. 2 Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O giao điểm AC BD, M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD ( ) qua M đồng thời song song với SC AD
Giải Vì ( ) // AD (gt) nên:
( ) cắt hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.(1)
Tương tự, ( ) // SC nên:
( ) cắt hai mặt phẳng (SAC) (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.(2)
Theo giả thuyết: O = ACBD, ta có: SC // MO(đường trung bình Δ SAC) Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB CD Q P Qua M kẻ đường thẳng song song AD , cắt SD N
Theo nhận xét (1) v (2),ta có:
SC PN PQ MN // //
Vậy thiết diện hình thang MNPQ
(15)Dạng 5: Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau:
1 Phương pháp giải:
a) Chứng minh chúng song song với mặt phẳng thứ ba
b) Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng
2 Ví dụ:
Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh (DEF) // (MM’N’N)
Giải Ta có:
NN’ // AB (gt)
EF NN'//
( ABEF hình vng)
EF // (MM’N’N) (1)
Xét Δ ACD ta có:
MM’ // CD (vì MM’ // AB AB //CD)
AC AM AD
AM
' (*)
Tương tự, Δ ABF ta có: ANAF' BFBN (**)
Mà:
BF AC
AM BN
(gt) (***)
Từ (*),(**),(***),suy ra: AMAD' ANAF' M’N’ // DF
DF // (MM’N’N) (2)
Và:
F EF DF
DEF EF
DF, ( )
(3)
Từ (1), (2) (3), suy ra: (DEF) // (MM’N’N) (đpcm)
N N’
M’
A B
C D
E F
(16)M H
O
B QUAN HỆ VNG GĨC
1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: 1.1 Định nghĩa:
Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc vói đường thẳng chứa mặt phẳng
1.2.Tính chất
1.2.1 Điều kiện cần đủ để đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt chứa mặt phẳng
1.2.2
a//b a ()
1.2.3
() // ()
a ()
1.2.4
() ()
() a
() a
1.2.5
( ) / / ( )
a b
a a b
b
1.2.6
/ /( )
( ) a b
a
b
hay a ( )
2.Đoạn vng góc đoạn xiên: 2.1 Định nghĩa:
Cho mặt phẳng ( ) điểm O không thuộc ( ).
Gọi: + H hình chiếu O ()
+ M điểm khác H
Khi đó: + OH gọi đoạn vng góc từ O đến ( ).
Độ dài đoạn vng góc OH gọi khoảng cách từ O đến (
) Kí hiệu: d(O,( ))
+ OM gọi đoạn xiên
+ MH gọi hình chiếu đoạn xiên OM ( ).
=> b()
=> a ()
(17)d M H
O
x y
2.2 Tính chất:
a) Đoạn vng góc có độ dài ngắn đoạn xiên b) Định lí đường vng góc:
Cho OM đường xiên
MH hình chiếu vng góc OM ( ).
d( )
Ta có OM d MH d (Tức đường xiên vng góc
với d thuộc mặt phẳng ( ) hình chiếu vng góc với d và
ngược lại)
3 Hai mặt phẳng vng góc: 3.1 Các định nghĩa:
* Nhị diện
Là hình hợp nửa mặt phẳng phân biệt xuất phát từ đường thẳng
Kí hiệu:( ,c,)
*Góc phẳng nhị diện
Là góc có đỉnh nằm cạnh nhị diện cịn cạnh nằm mặt vng góc với cạnh nhị diện
Kí hiệu:( , )a b
*Góc mặt phẳng
+ Góc mặt phẳng góc nhị diện mà chúng tạo nên
+ Góc không tù mặt phẳng ( ) () kí hiệu là:
( , )
*Định nghĩa mặt phẳng vng góc
Hai mặt phẳng () () gọi mặt phẳng
(18)3.2.Tính chất: Định lí 1:
Điều kiện cần đủ để mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt thẳng
( ) ( ) a( ): a ()
Hệ 1:
Cho mặt phẳng cắt theo giao tuyến, đường thẳng nằm mặt vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
c
a a
a c
Hệ 2
Cho mặt phẳng ( ),() cắt theo giao
tuyến Đường thẳng qua điểm thuộc () vng góc( ) nằm mặt phẳng ( ).
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A
d A d
d
Định lí 2: ( ) ( )
( ) ( )
( ) c
c
(19)CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ VNG GĨC
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc: Phương pháp:
Cách 1: Để chứng minh hai đường thẳng a b vng góc với nhau, ta dựa vào định nghĩa:
a b (a, b) = 900
Cách 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng
Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc học hình học phẳng
Cách 4: Áp dụng định lí đường vng góc
Ví Dụ : Cho tứ diện ABCD gọi A’, B’ hình chiếu đỉnh A, B mặt đối diện CMR: Nếu A’ nằm đường cao BH tam giác BCD cạnh AB CD vng góc với (1)
B'
A'
H
D
C B
A
Giải
CM: AB CD
có: A’ hình chiếu A lên mp (BCD) AA’ (BCD)
Mà CD BCD nên AA'CD (1)
Theo giả thiết có: BH CD mà A’ BH nên BA’ CD (2)
(20)O
A B
S
C K
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt chứa mp( ) .
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vng góc với mp( ) .
Cách 3: Sử dụng định lí: “ Nếu a chứa mặt phẳng () vng góc với ( ) a
vng góc với giao tuyến ( ) () a vng góc với mp ( ) .
Cách 4: Sử dụng định lí: “Nếu a giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với ( )
thì a vng góc với ( ) ”.
Ví Dụ : Trong mp (P) cho đường trịn tâm O, đường kính AB, C điểm đường trịn đó, SA vng góc với mp (P) A
a) C/m BC (SAC)
b) Vẽ đường cao AK tam giác SAC C/m AK KB
GIẢI
a) C/m BC (SAC)
Ta có:
BC AC
SA P
P BC
SABC
Ta lại có: BC AC
Vậy: BC (SAC)
b) C/m AK KB
Ta có: BC (SAC) (cmt)
Do: AK (SAC)
Nên: AK BC (1)
Ta lại có: AK SC (gt) (2)
Từ (1) (2) suy ra: AK (SBC)
AK KB
Dạng 3: Chứng minh mặt phẳng vng góc:
Cách 1: Chứng minh mặt chứa đường thẳng vng góc với mặt Cách 2: Chứng minh góc mặt phẳng có số đo 90o.
Ví Dụ : Cho hình tứ diện ABCD có mặt (ABC),(ABD) vng góc với đáy (DBC).Vẽ đường cao BE,DF tam giác BCD;đường cao DK tam giác ACD a CMR:AB(BCD)
b CMR: (ABE)(ADC) (DFK)(ADC)
c Gọi O H trực tâm tam giác BCD ACD CMR:OH(ADC)
(21)a CMR AB(BCD)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB ABC ADC
ABC BCD AB BCD
ABD BCD
b.CM
+(ABE)(ADC)
Ta có: ( )
) (
:(AB BCD CD ABE vì
CD AB
CD BE
Mà CD (ADC) (ADC)(ABE)
+ (DFK)(ADC)
Ta có:
( )
DF BC
DF ABC DF AC
DF AB
(1) (vì: AC(ABC))
Mặt khác có:DKAC (2)
Từ (1) (2) AC(DFK)
Mà AC(ADC) (ADC)(DFK)
c C/m: OH(ADC)
Vì: CD(ABE) (cmt) nên
AC DK mà
AE CD
: H trực tâm tam giác ADC) H=DKAE (3)
Tương tự ta có: O trực tâm BCD O=BEDF (4)
Từ (3),(4) OH=(ABE)(DFK)
(22)C GĨC
1.Góc hai đường thẳng chéo nhau 1.1 Định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a b không gian.Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng cắt a’ b’ song song với a b
1.2.Cách xác định góc hai đường thẳng chéo nhau Từ O ta dựng:
' , ' , // ' // ' b a b a b b a a
;Với 00 900
Cơng thức tính:
a có vectơ phương u1
b có vectơ phương u2
Ta có:
1.3.Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a BC a
Tính góc hai đường thẳng SC AB Giải Ta tính góc hai vectơ SC AB
Ta có: ) ( ) , cos( a AB AC SA AB SC AB SC AB
SC
2 2
2
a a a AB AC AB SA 120 ) , (
SC AB
Vậy góc hai đường thẳng SC AB 600.
a’ b’ O a b 2 , cos , cos u u u u u u b
a
C A
(23)2.Góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.Định nghĩa:
+Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900.
+Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc đường thẳng a hình chiếu a’ mặt phẳng (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P)
Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt q 900.
2.2.Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Ta xác định a’ hình chiếu a (P)
(d,(P)) (d,d') , với 00 900
Công thức:
Gọi u vecto phương a
n vecto pháp tuyến (P)
Ta có:
n u
n u n u P
a
) , cos( ))
( ,
sin(
2.3.Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SAmp(ABCD)
Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) SAa 2, AB=a
Giải
Ta có AC hình chiếu SC mp(ABCD) Mặt khác:
2
a SA
a AC
Nên 450
SAC
Vậy góc SC mp(ABCD) 450.
D
B C
A D
(24)3.Góc hai mặt phẳng 3.1.Định nghĩa:
Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
3.2.Cách xác định góc hai mặt phẳng +Nếu ()//() ((),())00
+Nếu ( ) () ((),())900
+Nếu ()() 00 ((),())900
Để tính ((),()), ta xét mp(R), cho:
q R p R R ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Khi đó: ((),())(p,q)
Cơng thức:
Gọi n1 vecto pháp tuyến mp( )
n2 vecto pháp tuyến mp( )
Ta có: 2 ) , cos( )) ( ), cos(( n n n n n n
*Ngoài ra, ta cịn cách xác định ((),()) dựa vào diện tích
hình chiếu đa giác sau:
Nếu đa giác nằm mặt phẳng ( ) có diện tích S diện tích hình chiếu vng góc S’
mặt phẳng ( ) tích S cos
Khi đó: ((),())
3.3.Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt đáy.Gọi ((ABC),(SBC)).
Chứng minh rằng: SABC SSBC.cos, SABC diện tích tam giác ABC
Giải Ta dựng đường cao AH tam giác ABC Do SA(ABC) nên SH BC
SHA AH SH.cos
Khi đó: cos SH BC AH BC
SABC
=SSBC.cos
Vậy SABC SSBC.cos
(25)D KHOẢNG CÁCH 1 Định nghĩa
1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P) ) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a (hoặc lên mặt phẳng (P))
d(O;a) = OH d(O;(P))=OH
1.2.Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P)
d (a;(P))=OH
1.3 Khoảng cách mặt phẳng song song
Khoảng cách mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
d ((P),(Q))=OH
1.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
d (a;b) = AB
O
H a
O
H (P)
H
a
Q
O P
H
O
(P)
H
(26)Nhận xét :
+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại
+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng
2 Phương pháp giải dạng toán liên quan 2.1.Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Kẻ MH (P) H
+ d (M;(P))= MH
Phương pháp kẻ đường thẳng d qua M vng góc đến mp (P)
+ Xác định mp (Q) qua M (Q ) (P) theo giao tuyến c
+ Kẻ MH c H MH (P)
d (M; (P)) = MH
Ví Dụ : Cho hình chóp S.ABCD có SA mp (ABCD)
Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) Ta có :
+ BC (SAB)
(SBC) ( SAB)
+ (SBC)
(SAB) = SB
+ Nếu kẻ AH SB AH (SBC)
Vậy d (A;(SBC)) = AH
2.2.Khoảng cách đường thẳng đến mp (P) song song với
+ Lấy M
+ kẻ MH (P) H
+ d (; (P)) = MH
P O
H
P
Q
c M
H
M
P
S
D
A
H
B
C
(27)2.3.Khoảng cách từ mp song song (P) (Q) + Lấy M (P)
+ Kẻ MH (Q) H
+ d ((P);(Q)) = d(M;(Q))= MH
2.4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo a & b Cách 1
+ Xác định mp (P) a (P) // b
+ Tìm b điểm M kẻ MH (P) H d(a;b) = d(M;(P)) = MH
Ví Dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c,.Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’
Giải Ta có :
)' ' ( ' )' ' ( ' ' // ' A ACC BB A ACC CC CC BB ) ' ' //(
' ACC A BB
Kẻ BH AC
Do BH AA’ nên BH (ACC’A’) d(BB’;AC’) = d (BB’;(ACC’A’))=BH Ta có BH.AC = AB.BC
Suy : 2
b a ac AC BC AB BH
Vậy d(BB’;AC’) = BH = a2 b2 ac
Cách 2
Trường hợp a b
+Xác định mp (P) a (P) b A
+ Kẻ AH a H
AH đoạn vng góc chung a b
d(a;b) = AH A
(28)Cách 3
Trường hợp a chéo b
+ Xác định mp (P) a mp (P) // b
+ Lấy A b,
Kẻ AH (P) H
Kẻ b’ qua H b’ // b + Gọi M = b’ a,
kẻ MN // AH MN cắt b N
MN đoạn vng góc chung a b d(a;b) = MN
Ví Dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD)
Tính khoảng cách hai đường thẳng
a) SB AD b) BD SC
Giải a) Ta có :
+ AB AD SA AD ) (SBA AD
+ Kẻ AH SB AH đoạn vng góc chung SB AD
Vậy d(AD;SB) = AH Với AH =
2 a SB AB SA
b) Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mặt phẳng (SAC) vẽ OK SC
Ta có: BD AC BD SA nên BD ( SAC)
Do BD Ok
Mặt khác OK SC Vậy OK đoạn vng góc chung SC BD
Ta có SAC OHC đồng dạnh nên SCSA OCOK OK SASC.OC
Mà SA = a ; OC = 2
a ; SC= 2 2
3
SA AC a
(29)E THIẾT DIỆN
Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) đa giác giới hạn giao tuyến (P) với mặt hình chóp
Dạng 1: Th iết d iện c ủ a h ìn h chóp v i m ặ t p h ẳ ng ( P ) q ua đ iểm k hông t h ẳng
hàng.
Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến mặt phẳng (P ) với mặt hình chóp
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp ta điểm chung (P) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt
Bước 3: Tiếp tục tới đoạn giao tuyến tạo thành đa giác phẳng khép kín ta thiết diện
Bươc 4: Dựng thiết diện kết luận V
í d ụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm nằm cạnh SC (khơng trùng với S, C), N và P lần luợt trung điểm AB, AD Tìm thiết diện hình chóp với (MNP)
Giải Ta có : (MNP) (ABCD) = NP
Kéo dài BC NP cắt I
Gọi K = MI SB Khi : (MNP) (SBC) = KM
Kéo dài DC cắt NP J
Gọi Q = MJ SD Khi : (MNP) (SCD) =MQ
(MNP) (SAD) = PQ Vậy thiết diện ngũ giác MQPNK
Dạng 2: T hiết diện c ủ a h ì nh ch ó p v i m ặ t p h ẳ ng ( P ) , ( ( P ) ch ứ a m ộ t đ ườ ng t h ẳ ng a s ong s ong v i m ộ t đ ườ ng t h ẳ ng b cho tr ướ c ( a và b chéo nh a u)
Bước 1: Chỉ mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng a và b Bước 2: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng
Bước 3: Khi đó: (P) (Q) = Mt // b
Bước 4: Sử dụng cách tìm thiết diện biết ta tìm giao tuyến mặt P
S
A
B
C
D I
J M
N K
(30)Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình bình hành, M trung điểm SC, (P) mặt phẳng qua AM song song BD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P)
Giải :
Ta có : BD // (P), BD (SBD) S Gọi O tâm hình bình hành ABCD
Gọi I = SO AM
Khi (P) (SBD) = Ix // BD M
Ix cắt SB K, cắt SD N N Do :(P) (SBC) = MK K I
(P) (SCD) = MN A D (P) (SAB) = AK B O (P) (SAD) = AN C
Vậy thiết diện tứ giác KMNA
Dạng 3: T hiết diện c ủ a h ì nh ch ó p v i m ặ t p h ẳ ng ( P ) q ua m ộ t đ iểm M
s ong s ong v i hai đ ư ờ ng t h ẳ ng a b cho tr ư ớ c:
Bước 1: Chỉ mp (Q) chứa M đường thẳng a ( b)
Bước 2: Mp (P) qua M song song a (hoặc b) Suy giao tuyến (P) và
(Q) là đường thẳng qua M và song song a ( b )
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến mặt khác hình chóp với (P) bằng cách biết
Bước 4: Dựng thiết diện kết luận
V
í d ụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm thuộc AB và ( ) mặt phẳng qua M và song song với AD và SB. Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )
(31)Giải: S Ta có : M ( ) (ABCD)
( )// AD nên: ( ) ABCD= Mx // AD
Gọi N = Mx CD P K ( ) //SB nên: ( ) (SAB)=MP //SB
Tương tự , ta có:( ) (SAD) =PK //AD
( ) (SCD) = KN A D Vậy thiết diện hình thang MNKP M N
B C
D ạ ng 4: T hiết diện c ủ a h ì nh ch ó p v i m ặ t p h ẳ ng ( P ) đi q ua m ộ t đ i ể m M s ong s ong v i m ộ t mặt p h ẳ ng (Q) cho tr ư ớ c.
Bước 1: Tìm điểm chung M mặt phẳng (P) và mặt phẳng hình chóp
Bước 2 : Do (P) // (Q).Ta tìm giao tuyến (P) với mặt hình chóp Khi giao tuyến đường thẳng qua M, song song với a ( b)
Bước 3: Dựng thiết diện kết luận
V í d ụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB, CD < AB
( ) mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD). Tìm thiết diện hình chóp với ( ).
Giải: Ta có:
M()(ABCD). M ()(SAB).
Do( )song song với (SAD) nên: S (ABCD) ( ) = MN // AD
(SAB)( ) = MK // SA K P (SCD) ( ) =NP // SD
(SBC) ( ) =KP
Vậy thiết diện hình thang KMNP A D
(32)(33)D ạ ng 5: Thiết diện qua m ộ t điểm vu ng góc v i m ộ t đ ườ ng t h ẳ ng cho tr ướ c Giả sử cần xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d cho trước
Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b cắt vng góc với d ( đó đường thẳng qua điểm M)
Bước 2: Khi (P) ( a ,b)
Bước 3: Tìm giao tuyến (P) với hình chóp cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận
Chú ý: Nếu có sẵn đường thẳng cắt chéo mà vng góc với
d thì ta chọn (P) song song với a (hay chứa a ) b song song với (P) (hay chứa b) Rồi thực bước lại
V
í d ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SB Xác định thiết diện (P) cắt hình chóp (S.ABCD)
Giải :
Ta có : AD AB AD SA
AD (SAB) AD SB
Từ A kẻ đường thẳng vng góc với SB H S
Do (P) (HAD)
Khi : (P) (SAB) = AH (P) (SAD) = AD
(P) (ABCD) = AD
Do (P) AD // BC Nên (P) (SBC) = Hx // BC H I
Gọi I = Hx SC A D Khi : (P) (SBC) = HI
Vậy thiết diện cần tìm hình thang AHID B C
(34) D ạng 6: Thiết diện ch ứa đường thẳng a vng góc với mặt ph ẳng (Q)
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (Q) cách dễ dàng Bước : Khi mp (a , b) mp (P) cần dựng
Bước : Tìm giao tuyến (P) với hình chóp cách biết
Bước 4: Dựng thiết diện kết luận V
í d ụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, J trung điểm AB, CD Gọi (P) mặt phẳng qua IJ vng góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) Giải
S Ta có : IJ AB
IJ SA
IJ (SAB)
IJ SB
Từ I kẻ đường thẳng vng góc với SB K K A N D
Do (P) (KIJ)
Ta có : (P) (SAB) = KI I J (P) (ABCD) = IJ B C Do (P) IJ// BC (P) (SBC) = KN // BC
(P) (SCD) = NJ
(35)S D C B A O I J A B C
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD nằm mặt phẳng (P) điểm S không thuộc (P) a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD)
b) Nếu tứ giác ABCD hình thang, tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (SAD) (SBC)
Giải:
a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD:
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O giao điểm AC BD Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD)
) ( ) ( SDB BD O SAC AC O
O điểm chung (SAC)
(SBD)
SO giao tuyến (SAC) (SBD)
b) * Tìm giao tuyến (SAB) (SCD):
Ta có: S điểm chung (SAB) (SCD)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I giao điểm AB CD
) ( ) ( SCD CD I SAB AB I
I điểm chung (SAB) (SCD)
SI giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCD)
* Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC)
Ta có: S điểm chung (SAD) (SBC)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J giao điểm AD BC
) ( ) ( SBC BC J SAD AD J
J điểm chung (SAD) (SBC)
SJ giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC).
Bài 2: Cho mp (P) ba điểm A, B, C không thẳng hàng không nằm
mặt phẳng (P) Giả sử ba đường thẳng AB, BC AC cắt (P) CMR ba giao điểm thẳng hàng
(36)M, N, K giao điểm AB, BC, AC với (P)
N, N, K thuộc hai mặt phẳng (Q) (ABC)
(37)Bài 3: Cho tứ diện ABCD, M điểm bên tam giác ABD, N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
a) Mp(AMN) mp(BCD) b) MP(DMN) mp(ABC)
Giải:
a) Tìm giao tuyến mp(AMN) mp(BCD):
Trong ABD gọi I giao điểm AM BD
Trong ACD gọi J giao điểm AN CD
Ta có: ) ( ) ( BCD BD I AMN AM I
I điểm chung (AMN) (BCD)
Mặt khác: ) ( ) ( BCD CD J AMN AN J
J điểm chung (AMN) (BCD)
IJ giao tuyến mp(AMN) mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến mp(DMN) mp(ABC)
Trong ABD gọi K giao điểm DM AB
Trong ACD gọi H giao điểm DN AC
Ta có: ) ( ) ( ABC AB K DMN DM K
K điểm chung (DMN) (ABC)
) ( ) ( ABC AC H DMN DN H
H điểm chung (DMN) (ABC)
HK giao tuyến mp(DMN) mp(ABC)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD DA
a) CMR tứ giác NMPQ hình bình hành
b) Gọi R, S trung điểm AC BD Tứ giác MRPS hình gì? c) Nhận xét ba đoạn MP, NQ, RS ?
(38)C I A B D M N P Q S R a) CMR tứ giác MNPQ hình bình hành:
* Cách 1: Ta có:
MN // AC MN đường trung bình tam giác ABC PQ // AC PQ đường trung bình
tam giác ACD
MN // PQ (1) Mặt khác:
MQ // BD MQ đường trung bình tam giác ABD
NP // BD NP đường trung bình tam giác BCD
MQ // NP (2)
Từ (1) (2) Tứ giác MNPQ hình bình hành (đpcm)
* Cách 2: Ta có:
MN đường trung bình tam giác ABC
AC MN AC MN 2 1 // (*) Mặt khác:
PQ đường trung bình tam giác ACD
AC PQ AC PQ 2 1 // (**)
Từ (*) (**)
PQ MN PQ MN//
Tứ giác MNPQ hình bình hành (đpcm)
b)Nhận xét tứ giác MRPS:
* Cách 1: Ta có:
MR // BC MR đường trung bình tam giác ABC SP // BC SP đường trung bình tam giác BCD
MR // SP (3)
Mặt khác, ta lại có:
MS // AD MS đường trung bình tam giác ABD RP // AD RP đường trung bình tam giác ACD
(39)S d
N M
Từ (3) (4) Tứ giác MRPS hình bình hành Vậy tứ giác MRPS hình bình hành
* Cách 2: Ta có:
MR đường trung bình tam giác ABC
BC MR
BC MR
2 1 //
(***)
Ta lại có:
SP đường trung bình tam giác BCD
BC SP
BC SP
2 1 //
(****)
Từ (***) (****)
SP MR
SP MR//
Tứ giác MRPS hình bình hành
c) Nhận xét ba đoạn MP, NQ, RS
Ta có:
MP NQ hai đường chéo hình bình hành MNPQ
MP cắt NQ trung điểm I đoạn (5) Mặt khác ta lại có:
MP RS hai đường chéo hình bình hành MRPS
MP cắt RS trung điểm I đoạn (6)
Từ (5) (6) MN, NQ, RS cắt trung điểm đoạn.
Vậy MN, NQ, RS đồng quy trung điểm đoạn
Bài 5: Cho điểm S ngồi mặt phẳng hình bình hành ABCD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC)
b) Một mặt phẳng (P) qua AD cắt SB SC M N Tứ giác ADMN hình gì?
a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC):
Ta có:
S điểm chung (SAD) (SBC) Gọi d đường thẳng qua S song với AD
d (SAD) (*)
(40) BC // d
d (SBC) (**)
d giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (ABC)
b)Nhận xét tứ giác ADMN:
Ta có
(P) (SBC) = MN (P) (ABCD) = AD (ABCD) (SBC) = BC Mà BC // AD
MN // AD // BC ( Định lí giao tuyến ba mặt phẳng)
Trong tứ giác ADMN có MN // AD Tứ giác ADMN hình thang.
Bài : Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF CMR OO’//(ADF) OO’//
(BCE)
b) Gọi M N trọng tâm tam giác ABD ABE CMR MN// (CEF)
Giải
a) Chứng minh OO’ // (ADF) OO’ // (BCE)
* Chứng minh OO’ // (ADF)
Ta có: OO’ đường trung bình tam giác BDF
OO’ // DF Mà DF (ADF)
OO’ // (ADF) (đpcm) *Chứng minh OO’ // (BCE) Ta có:
tam giác ACE
OO’ // EC Mà EC (BCE)
OO’ // (BCE) (đpcm)
b) Chứng minh MN // (CEF)
Ta có:
AB
EF AB EF//
( Vì tứ giác ABEF hình bình hành)
CD
AB CD AB//
( Vì tứ giác ABCD hình bình hành)
CD EF
CD EF//
Tứ giác CDEF hình bình hành
A B
C D
E F
. M
.N O
O’ I
(41)A
ED (CEF)
Gọi I trung điểm AB ta có:
3 IE IN ID IM
(Vì M, N trọng tâm tam giác ABD ABE)
MN // ED (Định lí talet đảo)
Mà ED (CEF)
MN // (CEF) ( Điều phải chứng minh)
Bài 7: Chohình chóp S.ABCD Trong ABCD hình vng SA vng góc (ABCD)
a) Tìm hình mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Vì sao? b) Chứng minh (SBD) (SAC)
GIẢI a Ta có:
SA(ABCD) (giả thiết)
Mà SA(SAB) ,SA(SAD)
SA(SAC)
(SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) (SAC) (ABCD)
b CMR:(SBD) (SAC)
Ta có: ) ( )) ( : ( ) _ : ( SAC BD ABCD SA vì SA BD hv ABCD vì AC BD
MàBD(SBD) (SAC) (SBD)
+Ta có:
( : ( ) _ )
( ) ( ) ( ) ( )
( : ( ))
BD AC vi ABCD hv
BD SAC BD SBD SBD SAC
BD SA vi SA ABCD
Bài 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC.Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: OA BC
GIẢI Ta có
OI OA (do OA (OBC)) (1)
OI BC (do tam giác OBC vuông cân đỉnh O
(42)=> Từ (2) =>OI đoạn vng góc chung OA BC OI= =
Bài 9: Đáy hình chóp tam giác cạnh a Một mặt bên hình chóp vng góc với đáy, hai mặt bên lại tạo với đáy góc α Tính diện tích xung quanh hình chóp
GIẢI Ta có Sxq = S SAB + SSAC + SSBC
Gọi (SAC) mặt bên vuông góc với đáy (ABC) Gọi H hình chiếu S lên (ABC)
Kẻ HK AB
Do HK hình chiếu SK lên (ABC) nên SK
AB ( định lý ba đường vng góc)
=>Góc hai mặt phẳng (SAB) (ABC) => =
Tương tự kẻ HL BC => góc hai mặt phẳng
(SBC) (ABC) => = α
Có SHK vng H nên tanα =
=> HK =
SHL vuông H nên tanα =
=> HL =
Do đó: HK =HL
Mà HK =AH.sin 600 = AH (1)
Và HL =HC.sin 600 = HC (2)
Có AH + HC = AC = a nên AH = HC =
Do : HK = HL = = a
L K
H
C
B A
(43)Trong tam giác SHL có tanα =
SH = HL.tanα = a.tanα
Có cosα = => SL = = a
Trong SKH có SK = = a
Do đó: SSAB = SK AB = a.a = a2
SSBC = SL BC = a.a = a2
SSAC = SH BC = a.tanα.a = a2tanα
Vậy diện tích xung quanh hình chóp SABC:
Sxq = a2 + a2 + a2tanα = a2 + a2tanα
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) Xác
định rõ ?
Giải
Dựng AH SD H Ta có:
DC AD
DC SA (vì SA (ABCD))
=> DC (SAD)
=> DC AH
AH DC
AH SD
=> AH (SCD)
H A
(44)Bài 11:Cho tứ diện ABCD gọi A’, B’ hình chiếu đỉnh A, B mặt đối diện
a) CMR: Nếu A’ nằm đường cao BH tam giác BCD cạnh AB CD vng góc với (1)
b) Phát biểu chứng minh mệnh đề đảo mệnh đề (1)
c) CMR: Nếu A’ trực tâm tam giác BCD B’ trực tâm tam giác ACD
B'
A'
H
D
C B
A
Giải a) CM: AB CD
có: A’ hình chiếu A lên mp (BCD) AA’ (BCD)
Mà CD BCD nên AA'CD (1)
Theo giả thiết có: BH CD mà A’ BH nên BA’ CD (2)
Từ (1), (2) suy CD (AHB) mà AB (ABA’) nên CD AB
b)Phát biểu mệnh đề đảo: Nếu cạnh AB CD vng góc với A’ nằm đường cao BH ACD
CM:
có: A’ hình chiếu A lên mp (BCD) AA’ (BCD)
Mà CD BCD nên AA'CD (3)
Theo giả thiết: AB CD (4)
Từ (3) (4) suy CD (ABA’) mà BA’ (ABA’) nên CD BA’
Mặt khác A’ (BCD) nên A’ nằm đường cao BH tam giác ACD c) CM: A’ trực tâm BCD B’ trực tâm ACD.
(45)Theo câu a) có CD AB (5)
có : B’ hình chiếu B lên mp (ACD) BB’(ACD)
Mà CD BCD nên BB'CD (6)
Từ (5) (6) suy CD(ABB’) mà AB’ (ABB’) nên CDAB’ (*)
Mặt khác: có A’ trực tâm BCD nên DA’ BC
có A’ hình chiếu A lên mp (BCD) nên AA’(BCD) AA'BC
suy BC(ADA’) mà AD (ADA’) nên BCAD (7)
có BB’ (ACD) BB’AD (8)
T (7) (8) suy AD(BCB’) ADCB’ (**)
Từ (*) (**) ta có B’ trực tâm ACD
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) ABCD hình thang cân Gọi H, K,
L hình chiếu vng góc A lên SB, SC, SD
L
K
H
E
M N
O
C B
D S
A
a) CMR: Tứ giác AHKL nội tiếp đường tròn. Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp hình thang cân ABCD Gọi M, N, E trung điểm AB, AC, AD
Xét mp (SAB): Có: OM (SAB)
SA OM
AB OM
(46) MH, MA, MB hình chiếu OH, OA, OB Mặt khác:
Xét AHB vng H
Có: MA=MB=MH (đường trung tuyến 12 cạnh huyền) Nên :OA=OB=OH (1)
Tương tự:
Xét (SAC) có:OA=OC=OK (2) Xét (SAD) có:OA=OD=OL (3)
Từ (1) (2) (3) OA=OB=OC=OD=OH=OL=OK Suy ra:A, H, K, L thuộc mặt cầu (O,OA)(*) Mặt khác:
Có:
SD AL
SC AK
SB AH
A, H, K, L thuộc mặt cầu (I,
2
SA
)(**) Từ (*)(**) A, H, K, L nội tiếp đường trịn.
b) Nêu tốn tổng qt hóa:
Cho hình chóp S.A1…An có SA1 vng góc đáy Đáy đa giác nội tiếp đường
trịn Gọi B1,…, Bn-1 hình chiếu vng góc A lên SA2,…, SAn Chứng minh
đa giác A1B1…Bn-1 nội tiếp đường tròn
c) Nêu tốn đặc biệt hóa tốn tổng qt hóa câu b):
Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A
lên SB, SC Chứng minh tam giác AKL nội tiếp đường tròn
Bài 13: Cho tứ diện SABC có SA (ABC), AB AC Biết AB = 2a, AC=4a, SC = 6a
Tính góc mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính góc mp (SBC) (ABC)
Kẻ SH BC
Ta có AH hình chiếu SH lên mp(ABC)
Ta lại có:
BC ABC
SA ABC
SH BC
BCAH (theo
định lý đường vng góc) Mà BC = (SBC) (ABC)
Vậy góc mp (SBC) (ABC) góc đường thẳng SH AH
Xét ASC vng A (do SA
(ABC)) có:
SA = SC - AC2 36a2 16a2
= 20a2 2 5a
(47)Có AH đường cao nên AH = AC.AB BC 32 2 125
9 16
a a
a
a a
Ta có SAH vng A (do SA(ABC))
tan
SA 5
AHS
12
AH
5 a a
AHS
62
Vậy góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 62o.
Bài 14: Cho tia Ox, Oy, Oz vng góc với đôi a) Chứng minh Ox mp(Oy, Oz)
b) Lấy điểm A, B, C thuộc tia ấy, dựng OH (ABC).c/m OH(ABC)
chỉ H trực tâm tam giác ABC
GIẢI
N M H O
B
A
C
y
x
z
Giải
a.CMR:Ox(Oy Oz, )
Vì: ox oy ox ( , )oy oz ox oz
b.CMR:OH (ABC) H trực tâm ABC
( ) cmr: H trực tâm ABC
Vì: A,B,C nằm oz,ox,oy Nên : OA OB OA (OBC)
OA OC
OABC(vì BC (OBC)
Ta có:
( )
( : ( ) ( )
OA BC cmt
OH BC OH ABC BC OAH
(48)( : ( ))
( )
( : ( ))
OB AC cmt a
AC OBH
OH AC OH ABC
Mà:BH(OBC) BH AC(2)
Từ (1) (2):
H trực tâm ABC
H trực tâm ABC cm OH (ABC)
Có ( )
( )
( ) OA BC cmt
BC OAH
OH BC gt
Mà OH (OAH) nên OH BC (*)
Chứng minh tương tự ta có OH AC (**)