Đang tải... (xem toàn văn)
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F. Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N.. c) AC song song víi FG. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm củ[r]
(1)Chuyên đề: tứ giác nội tiếp
I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gi tt l t giỏc nt tip)
2) Định lÝ
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
-Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đờng tròn
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800.
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc II) Bài tập
Bµi tËp 1
Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đờng trịn đờng kính MC Kẻ BM cắt đ-ờng tròn D Đđ-ờng thẳng DA cắt Đđ-ờng tròn S Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp b) ABD· =ACD·
c) CA phân giác SCBÃ Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc với AD Chứng minh:
a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA phân giác BCF
c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bµi tËp 4
O A
B
C
(2)Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy
Bài tập 5
Cho tam giác vuông ABC (A 900
; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D lần lợt giao điểm thứ hai BC MB với đơng trịn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đờng trịn đờng kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, N B thuộc đờng trịn b CM phân giác góc BCS
c TA TC TD TB Bµi tËp 6
Cho đờng tròn (O) điểm A nằm ngồi đờng trịn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đờng tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đờng trịn P, Q Gọi L trung điểm PQ
a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N thuộc đờng tròn b/ Chứng minh LA phân giác MLNã
c/ Gäi I lµ giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL d/ Gọi K giao điểm ML với (O) Chøng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh KLN cân
Bài tập 7
Cho ng trũn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH <R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H)
1 Chứng minh góc ABE góc EAH ∆ABH đồng dạng với ∆EAH.
2 Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H để AB= R Bµi tËp 8
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
(3)2 Bốn điểm B, C, E, F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đờng trịn nội tiếp ∆DEF
Bµi tËp 9
Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh:
a) Bốn điểm A, B, H, E nằm đờng tròn tâm N HE// CD b) M tâm đờng trịn ngoại tiếp HEF
Bµi tËp 10
Cho đờng tròn tâm O điểm A bên ngồi đờng trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đờng tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE
a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn b) Chứng minh: HA tia phân giác BHC
c) Gọi I giao điểm BC DE Chøng minh: AB2 = AI.AH d) BH c¾t (O) K Chứng minh: AE // CK
Bài tập 11
Từ điểm S ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đờng trịn
a) Gäi E lµ trung điểm dây CD Chứng minh điểm S, A, E, O, B thuộc đ-ờng tròn
b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? t¹i sao? c) Chømg minh r»ng:
2 AB CD AC BD BC DA
Bµi tËp 12
Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bµi tËp 13
Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vng góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vng góc với CI C cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P
(4)3) Giả sử A, B, I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bµi tËp 14
Cho ABC vuông A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng trịn đờng kính AH, đờng trịn cắt AB E, cắt AC F
a) Chứng minh AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh: BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gäi M lµ lµ giao điểm CE BF HÃy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Bài tập 15
Cho tam giỏc cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED =
2
BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = cm, AH = cm
Bµi tËp 16
Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB; CE MA; CF MB Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF
c) IK CD Bµi tËp 17
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC
a) Chứng minh DMC b) Chứng minh MB + MC = MA
c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp
d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đờng cố định ?
Bµi tËp 18
(5)1 Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Chứng minh OAHB hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tỡm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d
Bµi tËp 19
Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B C (BC khơng đờng kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC
2 Tø gi¸c AEOF néi tiÕp
3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đờng thẳng cố định
Bµi tËp 20
Cho ABC có góc nhọn Aà =450 Vẽ đờng cao BD CE ABC Gọi H gia
điểm BD CE
a) Chứng minh tứ gi¸c ADHE néi tiÕp b) TÝnh tØ sè DE
BC
c) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE
Bµi tËp 21
Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đờng trịn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đờng tròn Hãy xác định tâm bán kính đờng trịn
b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC
c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vu«ng ABC ( 90 A
); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đờng trịn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng trịn đờng kính DC điểm F (F không trùng với D) Chứng minh:
a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn
(6)Bµi tËp 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD
a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI
c/ §êng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng ứng R S Chứng minh:
* I trung điểm RS *
RS CD AB
2 1
Bµi tËp 24
Cho đờng trịn (O; R) có hai đờng kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng trịn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đờng trịn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao?
c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng nào?
Bµi tËp 25
Cho nửa đờng trịn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đờng tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vng góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng trịn đ-ờng kính BH cắt AB E, nửa đđ-ờng trịn đđ-ờng kính HC ct AC ti F
a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ gi¸c néi tiÕp
c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R
Bµi tËp 26
Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đờng tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay đổi qua M, N T, T’ thuộc đờng trịn cố định
b) Gäi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM I J K trung điểm MN Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N TT’ ln qua điểm cố định
d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT’ = 600 Bài tập 27
Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A C) Vẽ đờng trịn đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
(7)b) Khi M chuyển động AC ADMã có số đo khơng đổi c) AB//ST
Bµi tËp 28
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vng góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') N giao điểm hai đờng thẳng CM, DN P
a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn
c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP
Bµi tËp 29
Cho ABC vng A (AB < AC) H nằm A C Đường trịn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bµi tËp 30
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
1 Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC.
4 Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2
5 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bµi tËp 31
Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K
a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KHAB
c) Cho BC = R Tính PK
Bµi tËp 32
(8)1 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
3 Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bµi tËp 33
Cho điểm A bên ngồi đờng tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đờng tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC .
c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 AI.AH
d) Cho AB=R 3 vµ OH=R
2 TÝnh HI theo R
Bµi tËp 34
Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB.
c) Chứng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH h×nh thoi
e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Bµi tËp 35
Cho hai đường trịn (O1), (O2) có bán kính cắt A B
Vẽ cát tuyến qua B không vng góc với AB, cắt hai đường trịn E F (E (O1); F (O2))
1 Chứng minh AE = AF
2 Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O1); D (O2)) Gọi P
giao điểm CE DF Chứng minh rằng:
a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn
b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng
3 Khi EF quay quanh B I P di chuyển ng no?
Bài tập 36
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F cho EAF 450
BiÕt BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh:
a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiÕp
(9)Bµi tËp 37
Cho đờng trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H
a Chứng minh: BMD = BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chứng minh: HK // CD
c Chøng minh: OK.OS = R2. Bµi tËp 38
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2 = AE.AC. c Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2.
d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bµi tËp 39
Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) Chøng minh: TÝch CM CD kh«ng phơ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao?
d) Chng minh trng tâm G tam giác MAB chạy đờng trịn cố định
Bµi tËp 40
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn (M khác B C) Gọi H; K; I lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB
a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp b/ Chøng minh:MHI· =MKH·
c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK. Bµi tËp 41
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
(10)2 Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp
3 Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a Gãc CID b»ng gãc CKD
b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng trịn c IK // AB
Bµi tËp 43
Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D
a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA
c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD
d Cho biÕt 45 BAM
vµ BAE300 Tính diện tích tam giác ABC theo R
Bài tËp 44
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vng góc với MN K Gọi C giao điểm Ax với tia BI
a/ Chøng minh r»ng: BN// MC
b/ Chøng minh rằng: Tứ giác OIKC hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax với (O) Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp
Bµi tËp 45
Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho
AD = AC
a) Tam giác BCD tam giác gì? t¹i sao?
b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn
c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân
Bµi tËp 46
Cho đờng trịn (O) bán kính R, đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng trịn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đờng trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K
a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO
(11)d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bµi tËp 47
Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt H (DBC; E CA; FAB)
4 Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích ABC, 2p chu vi DEF Chứng minh:
a d // EF b S = p.R
Bµi tËp 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K
a Chøng minh c¸c tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC
c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành
Bµi tËp 49
Cho đờng tròn (O;R) điểm A nằm đờng trịn Một góc xAy = 900 quay quanh A và thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng trịn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giỏc AOP Chng minh rng
a) AMON hình chữ nhật b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiÕp
d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
Bµi tËp 50
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51
(12)b) Chứng minh: D điểm chÝnh gi÷a cung MB
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đờng trịn
Bµi tËp 52
Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH
a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM
c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng trịn (O)
Bµi tËp 53
Cho đờng trịn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đ ờng trịn đờng kính BC I
1 Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD
4 Chøng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chng minh MI l tip tuyến đờng trịn đờng kính BC
Bµi tËp 54
Cho đờng tròn (0) điểm A nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đờng tròn
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đờng trịn b) Chứng minh: góc AOC góc BIC
c) Chøng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
Bµi tËp 55
Cho đờng trịn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng trịn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b IABAMO
c O trung điểm FE
(13)Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB Đờng thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành
Bµi tËp 57
Cho đờng tròn (O) đờng thẳng xy ngồi đờng trịn Đờng thẳng qua O vng góc với xy H cắt đờng trịn (O) A B M điểm (O), đờng thẳng AM cắt xy E, đờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K
a) Chøng minh: IM = IF
b) Chứng minh: điểm E, M, K, F thuộc đờng tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O)
d) Tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp AMH M di động (O) Bài tập 58
Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vng góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đờng trịn (O; R)
3) Ba ®iĨm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59
Cho ng trũn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng SO ; OM P Q
a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC
c) Chøng minh OM OQ kh«ng phơ thuộc vào vị trí điểm S d) Khi BC // SA Chứng minh tam giác ABC cân A
e) Xác định vị điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC // SA Bài tập 60
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc mt ng trũn
b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp c) Tam giác HMK tam giác ?
d) Chứng minh : OH phân gi¸c cđa gãc MOK
e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB)
Bµi tËp 61
(14)a) Chøng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK
Bµi tËp 62
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA
3
Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh : Tứ giác IECB néi tiÕp
b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chứng minh : AE AC – AI IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bµi tËp 63
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chứng minh: IK // AB
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
e) Chứng minh : AP tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED
f) Gọi R1 , R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AED BED.Chứng minh: R1 + R2 = 4R2 PA2
Bµi tËp 54
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cắt đờng thẳng CD K
1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vng cân
2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF, suy điểm A, B, F, I nằm đờng trịn
Bµi tËp 65
Cho góc vng xOy , Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N
1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi
(15)Cho điểm A bên ngồi đường trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn
b) Chứng minh HA tia phân giác BHC.
c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 AI.AH
Bµi tËp 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đ-ờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đđ-ờng phân giác I , đđ-ờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N
1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?
Bài tập 68
Cho tam giỏc ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK
BC tứ giác BHOC nội tiếp
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK v MM
a) CMR: BCHK tứ giác néi tiÕp b) TÝnh AH.AK theo R
Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài tập 70
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD
1) Chøng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông
2) Gäi M lµ giao diĨm cđa CO1 vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m đ-ờng tròn
3) E l trung im IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn
Bµi tËp 71
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E F
(16)2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn
3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bài tập 72
Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm giữa cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F
1) Chøng minh tø gi¸c MEFI tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh gãc CAE b»ng gãc MEB
3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73
Cho ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR
a/ MAOH tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM phân giác góc AHB
c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF
Bµi tËp 74
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75
Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P ngồi đờng trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O)
a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn
b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gỡ?
c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng
Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( khơng chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chøng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh AMB HMK
3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK Bài tập 77
(17)a, Chứng minh ABE vuông cân
b, Chứng minh ABF BDF
c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d, Chứng minh AC.AE = AD.AF
Bµi tËp 78
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng trịn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn Bài tập 79
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bµi tËp 80
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; 45 B
), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đ ờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB
a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK ni tip
c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chøng minh PQMI
Bµi tËp 81
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng:
1 Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng trịn Tìm tâm I đờng trịn MN// DE
3 Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đờng trịn ngoại tiếp CDE khơng đổi
Bµi tËp 82
(18)1) Chøng minh :
a) MECF lµ tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn
Bµi tËp 83
Cho ABC vng cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M
thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK
a/Tứ giác AIMK hình gì?
b/ A, I, M, H, K thuộc đường trịn Tìm tâm đường trịn c/ B, M, H thẳng hàng
Bµi tËp 84
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đờng cao AD BF gặp H
a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = góc KBH
c/ Gi¶ sư CH = AB Tính số đo góc ACB
Bài tập 85
Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh:
a
2
CAB AOD
b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB
Bµi tËp 86
Cho đường trịn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh:
a/ AD // BI
b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI
d/ DM2 = AM.MC
e/ Tứ giác DMBI nội tiếp
Bµi tËp 87
(19)b Chøng minh AD.CD = ED.BD
c Từ D kẻ DK vng góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKEABE
Bµi tËp 88
Từ điểm A ngồi đờng trịn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, M B M; C Từ M hạ đờng vng góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH
a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC
Bµi tËp 89
Cho đờng trịn tâm O, bán kính R hai đờng kính vng góc AB CD Trên AO lấy điểm E
mà OE =
3AO, CE cắt (O) ë M a TÝnh CE theo R
b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM
Bµi tËp 90
Cho hai đờng trịn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I
a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD
b Chóng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF
Bµi tËp 91
Cho đường trịn tâm O cát tuyến CAB (C đường trịn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F
1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB
3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB
(20)Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC F
a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chøng minh AE.AB = AF.AC
c Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp
Bài tập 93
Cho đờng trịn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đ-ờng trịn (O') đđ-ờng kính AC Đđ-ờng trịn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đờng trịn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh:
a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD
c Ba điểm E, A, F thẳng hàng
d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bµi tËp 94
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành
b Chng minh rng bn im O, B, I, O' nằm đờng tròn c Chứng minh rằng: BP = BA
Bµi tËp 95
Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng:
a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn
b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân
d PM2 = PE.PF. e PHM PHN Bµi tËp 96
Cho ABC, đờng phân giác góc B C gặp S Các đờng thẳng phân giác ngồi cảu góc B C gặp E Chứng minh rằng:
a) Tø giác BSCE nội tiếp b) A; S; E thẳng hàng
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB cà dây CD Qua C vẽ đờng thẳng vng góc với CD cắt AB I Các tiếp tuyến A B nửa đờng tròn cắt đờng thẳng CD theo thứ tự M N Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c AMCI; BNCI néi tiÕp
(21)Bµi tËp 97
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm bên ngồi đờng trịn Dựng hai tiếp tuyến AM, AN (M, N tiếp điểm) cát tuyến APQ Gọi L trung điểm của PQ
a Chứng minh điểm O; L; M; A; N nằm đờng tròn b LA tia phân giác góc MLN
c Gäi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL.
d Gọi K giao điểm ML với đờng tròn (O) Chứng minh rằng: KN//AQ e Chứng minh KLN cân
Bµi tËp 98
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB, C điểm thuộc nửa đờng tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AD = AB, Trên AB lấy điểm E cho AE = AC, DE cắt BC H AH cắt nửa đ ờng tròn K Chứng minh:
a) Gãc DAH = gãc BAH b) OK BC
c) Tø gi¸c ACHE néi tiÕp d) B; K; D tẳng hàng Bài tập 99
Cho hai đờng trịn (O) (O’) có bán kính R R’ (R>R’) tiếp xúc C Gọi AC, BC hai đờng kính qua C đờng tròn (O) (O’) DE dây cung đờng trịn (O) vng góc với AB trung điểm M AB, CD cắt đờng tròn (O’) F
a/ Tứ giácAEBD hình gì? b/ B; E; F thẳng hàng
c/ Tứ giácMDBF; MCFE nội tiếp
d/ BD cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng quy e/ Chứng minh
2
MF DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi tËp 100
Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB Tại B vẽ tia tiếp tuyến Bx nửa đờng trịn (Bx phía với nửa đờng trịn bờ AB) Trên Bx lấy hai điểm C; D cho C nằm B D, tia AC AD lần lợt cắt nửa đờng tròn E F Hai dây AE BF cắt M, hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng:
a MN//Bx
b Tø gi¸cMFNE nội tiếp c Tứ giác CDFE nội tiếp Bài tập 101
Từ điểm M bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B hai tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CDAB; CE MA; CF MB Gọi I giao điểm AC DF; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng:
a Tø gi¸c AECD; BFCD néi tiÕp b CD2 = CE.CF = DE.DF.
(22)Đặng Ngọc Dơng
Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
R.