TRƯỜNG THPT CAO LÃNH 2 TỔ TOÁN -------------------------------------------------------------------------- ĐỀ THI THỬ HKII MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (6,0 điểm) Câu I (3.0 điểm) Nguyên hàm, Tích phân 1. Cho hàm số: ( ) 2 2 os x x e f x e c x −   = +  ÷   . Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số biết ( ) 0 1F = − 2. Tính các tích phân sau: 1/ 1 1 ln e x I dx x + = ∫ 2/ 4 2 0 cos xdx J x π = ∫ Câu II (1,0 điểm) Ứng dụng của tích phân Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Câu III (2,0 điểm) Số phức 1. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z i z 2 3i+ = − − 2. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số phức: ( ) 2 z 1 i 1 i = + + − II. PHẦN RIÊNG (4,0 điểm). Học sinh chỉ được chọn phần riêng dành cho chương trình đó (câu IV.a; V.a hoặc IV.b; V.b) A. Chương trình Chuẩn Câu IV.a (4,0 điểm) HHKG toạ độ Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;3; 2 , 1;1;2 , 1;1; 3 .A B C− − − 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Viết PTTS của đường trung tuyến AM trong tam giác ABC. 3. Viết phương trình mặt (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC. 4. Tính khoảng cách từ điểm ( ) 2;1;2M đến mặt phẳng (P). Từ đó hãy viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P). B. Chương trình Nâng cao Câu IV.b (4,0 điểm) HHKG toạ độ Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;3; 2 , 1;1;2 , 1;1; 3 .A B C− − − 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Chứng tỏ 4 điểm O,A,B,C là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó. 3. Viết phương trình mặt (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC. 4. Cho điểm ( ) 2;1;2M , gọi (S) là mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tính thể tích khối cầu đó. --Hết--- TỔ TOÁN -------------------------------------------------------------------------- THI THỬ HKII LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỦ HKII MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 03 trang) I. Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẩn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. II. Đáp án và thang điểm Câu Ý Đáp án Điểm I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH 6,0 I Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 4.0 1 Tìm một nguyên hàm. 1.0 Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 tan os os x x x x e f x e e F x e x C c x c x −   = + = + ⇒ = + +  ÷   0.5 Do ( ) 0 1F = − nên ( ) 2 tan 1 2.1 0 3 x F x e x C C C= + + ⇔ − = + + ⇒ = − 0.25 Vậy ( ) 2 tan 3 x F x e x= + − là nguyên hàm cần tìm. 0.25 2 Tính các tích phân. 2.0 1/ 1 1 ln e x I dx x + = ∫ 1.0 + Đặt u = 1 ln x+ ⇒ u 2 = 1 + lnx ⇒ 2udu = 1 x dx 0.25 + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2 0.25 Khi đó J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ = 2 1 u.2udu ∫ = 2 3 2 3 1 u = 2 3 3 3 ( 2) 1− ) = 2 (2 2 1) 3 − . Vậy J 2 = 2 (2 2 1) 3 − 0.5 2/ 4 2 0 cos xdx J x π = ∫ 1.0 Đặt: 2 1 ; tan cos u x du dx dv dx v x x = ⇒ = = ⇒ = 0.25 Khi đó J 1 = ∫ 4 0 2 cos π x xdx = /4 0 .tanx x π – /4 0 tan xdx π ∫ 0.25 = /4 0 tan 0 ln cos 4 4 x π π π − + 0.25 = 2 ln 4 2 π + = ln 2 4 π − . Vậy: J 1 = ln 2 4 π − 0.25 II Tính thể tích vật thể tròn xoay 1.0 +Phương trình 2x – x 2 = 0 ⇔ x = 0 và x = 2 0.25 Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 2 ( ) b a f x dx π ∫ 0.25 Ta có V = 2 0 2 2 2 3 4 0 0 (2 ) (4 4 )x x dx x x x dx π π − = − + ∫ ∫ 0.25 = 5 2 3 4 0 4 ( ) 3 5 x x x π − + = 16 15 π (đvtt) 0.25 III Số phức 2.0 1 Biểu diễn số phức 0.5 Đặt z x yi= + , khi đó: z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i+ = − − ⇔ + + = + − − ⇔ + + = − + − 2 2 2 2 x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y 3 0⇔ + + = − + − ⇔ + − = 0.25 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y 3 0+ − = 0.25 2 Tìm mô đun… 0.5 Ta có: ( ) 2 z 1 i 1 i 1 i 2 1 i = + + = + + − = − 0.25 Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2= 0.25 II. PHẦN RIÊNG: 4.0 IV Hình học giải tích trong không gian. 4.0 CTC 1 Chứng minh tam giác vuông, tính diện tích. 1.0 Ta có: ( ) ( ) 2; 2;4 2 6; 0; 2; 1 5AB AB AC AC= − − ⇒ = = − − ⇒ = uuur uuur 0.25 ( ) ( ) . 2.0 2. 2 4. 1 0AB AC⇒ = − − − + − = uuur uuur 0.25 Suy ra tam giác ABC vuông tại A 0.25 Diện tích tam giác ABC: 1 1 . .2 6. 5 30 2 2 ABC S AB AC ∆ = = = 0.25 2 Viết PT TS của đường trung tuyến AM. 1.0 +Gọi M là trung điểm BC nên 1 0;1; 2 M   −  ÷   0.25 +Vectơ chỉ phương 3 1; 2; 2 u AM   = = − −  ÷   r uuuur 0.5 Khi đó PTTS của AM qua A có dạng: 1 3 2 ; 3 2 2 x t y t t z t   = −  = − ∈ℜ    = − +  0.25 3 PT mặt phẳng (P). 1.0 Hai véctơ: ( ) ( ) 2; 2;4 ; 0; 2; 1AB AC= − − = − − uuur uuur 0.25 Khi đó: ( ) , 10; 2;4n AB AC   = = −   r uuur uuur 0.25 Mặt phẳng (P) qua điểm A và nhận n r làm VTPT có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = 0.25 5 2 2 0x y z⇔ − + + = 0.25 4 Tính khoảng cách, mặt cầu. 1.0 +Khoảng cách: ( ) 5.2 1 2.2 2 15 30 ,( ) 2 25 1 4 30 d M P − + + = = + + 0.5 +Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên 30 2 R = và có tâm M có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 15 2 1 2 2 x y z− + − + − = 0.5 CTNC Hình học giải tích trong không gian. 4.0 1 Chứng minh tam giác vuông, tính diện tích. 1.0 Ta có: ( ) ( ) 2; 2;4 2 6; 0; 2; 1 5AB AB AC AC= − − ⇒ = = − − ⇒ = uuur uuur 0.25 ( ) ( ) . 2.0 2. 2 4. 1 0AB AC⇒ = − − − + − = uuur uuur 0.25 Suy ra tam giác ABC vuông tại A 0.25 Diện tích tam giác ABC: 1 1 . .2 6. 5 30 2 2 ABC S AB AC ∆ = = = 0.25 2 Chứng tỏ 4 điểm O,A,B,C là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó. 1.0 Ta có: ( ) ( ) ( ) 1;3; 2 ; 2; 2;4 ; 0; 2; 1OA AB AC= − = − − = − − uuur uuur uuur 0.25 Xét: ( ) ( ) ; . 1.10 3. 2 4. 2 10 6 8 4 0AB AC OA   = + − + − = − − = − ≠   uuur uuur uuur nên OABC là tứ diện. 0.5 Thể tích của tứ diện: 1 2 , . 6 3 OABC V AB AC OA   = =   uuur uuur uuur (Đvtt) 0.25 3 PT mặt phẳng (P). 1.0 Hai véctơ: ( ) ( ) 2; 2;4 ; 0; 2; 1AB AC= − − = − − uuur uuur 0.25 Khi đó: ( ) , 10; 2;4n AB AC   = = −   r uuur uuur 0.25 Mặt phẳng (P) qua điểm A và nhận n r làm VTPT có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = 0.25 5 2 2 0x y z⇔ − + + = 0.25 4 Thể tích khối cầu. 1.0 +Khoảng cách: ( ) 5.2 1 2.2 2 15 30 ,( ) 2 25 1 4 30 d M P − + + = = + + +Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên 30 2 R = và có tâm M có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 15 2 1 2 2 x y z− + − + − = 0.5 +Thể tích khối cầu: 3 3 4 4 30 . 5 30 3 3 2 V R π π π   = = =  ÷  ÷   (Đvtt) 0.5 . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỦ HKII MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 03 trang) I. Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu. điểm) Số phức 1. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: z i z 2 3i+ = − − 2. Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của số phức: