Thông tin tài liệu
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ÂN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP a1 x b1 y c1 � Cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn: � (I) a2 x b2 y c2 � Nếu hai phương trình có nghiệm chung ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ (I) Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vụ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm Phương pháp Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi PT (1)), ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, vào phương trình thứ hai (PT (2)) để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho PT (2) hệ (PT (1) thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn kia) Phương pháp cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình cịn ẩn Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (giữ nguyên phương trình cịn lại) Chú ý: Trong phương pháp cộng đại số, trước thực bước 1, nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối Đôi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình cho hệ phương trình với hai ẩn mới, sau sử dụng hai phương pháp giải trờn II NỘI DUNG 3x y � Câu Giải hệ phương trình � �2 x y Lời giải Từ phương trình suy y x Thay vào phương trình ta có phương trình: x x � x � y 2.1 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; x y 11 � Câu Giải hệ phương trình: � �x y Lời giải �4 x 12 �x �� Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: � �x y �y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3; 1 �x y 3 Câu Giải hệ phương trình: � �x y Lời giải y 6 � �y 2 �� Trừ phương trình cho phương trình hệ, ta có: � �x y �x Hệ phương trình có nghiệm 1; 2 �x y Câu Giải hệ phương trình: � x y 1 � Lời giải �x y � x y 1 � (1) (2) Nhân hai vế phương trình (1) với ta x y 12 (3) Lấy (3) – (2) ta được: 13 y 13 � y Thay y vào (1) ta x y 3.1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;1 2x y � Câu Giải hệ phương trình sau: � �x y Lời giải 2x y � 3x � �x �x �� �� �� � �x y �x y �x y �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 2;1 �2 x y 3 Câu Giải hệ phương trình sau: � 3x y � Lời giải 17 x 17 �2 x y 3 � �x �� �� � 3x y 3x y � � �y 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1; 1 �x y Câu Giải hệ phương trình sau: � 3x y � Lời giải 3x 2( x 1) � 5x �x y � �x �� �� �� � x y �y x � �y x �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1;0 �x y 26 Câu Giải hệ phương trình sau: � x y 16 � Lời giải x 35 y 130 �x y 26 � �x y 26 �x 5 �� �� �� � x y 16 x y 16 38 y 114 � � � �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 5;3 x y 11 � Câu Giải hệ phương trình sau: � �x y Lời giải 3x y 11 � x 12 � �x �� �� � �x y �x y �y 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; 1 Câu 10 2x y � Giải hệ phương trình sau: � 4x y � Lời giải 2x 3y � 2x 3y x y �x � � �� �� �� � 4x y 12 x y 27 14 x 28 � � � �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 2;1 Câu 11 �x y Giải hệ phương trình: � �x y 1 Lời giải 3 y �x y � �y 3 �y 3 �� �� �� � �x y 1 �x y 1 �x (3) 1 �x Vậy hệ cho có nghiệm x; y 2; 3 Câu 12 2x y � Giải hệ phương trình: � �x y Lời giải 2x y � � � �x y �x �x �� � �x y �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 0;1 Câu 13 3x y � Giải hệ phương trình: � x y 23 � Lời giải 3x y x y 10 11x 33 � � � �� �� � x y 23 x y 23 3x y � � � �x �� �y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; Câu 14 3( x 1) 2( x y ) � Giải hệ phương trình � �4( x 1) ( x y ) Lời giải Hệ phương trình tương đương với: 3x x y 5x y 5x y � � � �� �� � 4x x y 3x y x y 10 � � � 11x 11 � �x �� �� x y 10 � �y 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1; 1 Câu 15 �2 y 3 � �x Giải hệ phương trình: � �1 y �x Lời giải Điều kiện x �2 �4 � y 3 2y � � � �x �x �x � �x �� �� � � (TM ) � �1 y �1 y �2 y � �y 1 �x �x �x �1 � Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y � ; 1� �2 � Câu 16 � 1 �x y � Giải hệ phương trình: � �2 x 7 � y � Lời giải Điều kiện y �0 Đặt t , hệ phương trình cho trở thành y 1 � � 1 x t t x � 1 �x 1 � � t x �x 1 � � � � 2 �� �� �� �� (thỏa mãn) � y t � � � � � x 5 x 3t x 3( x) � � � � 2 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; Câu 17 �3 x �x � Giải hệ phương trình � �2 x � �x 4 y2 5 y2 Lời giải �3 x �x � � �2 x � �x 4 y2 ĐK x �1; y �2 5 y2 �x a � �x b �0 Khi hệ phương trình trở thành: Đặt � � b �y � 3a 2b 3a 2b 7a 14 a2 � � � � �� �� �� � 2a b 4a 2b 10 b 1 � � �2a b � �x 2 � �x �x �� Khi ta có: � � �y 1 �y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2; 1 Câu 18 �4 �x y � Giải hệ phương trình: � �1 � �x y 5 y 1 1 y 1 Lời giải Hệ phương trình tương đương với: Đặt u 1 v Hệ phương trình thành : x y y 1 4u v 8u 2v 10 9u u 1 � � � � �� �� �� � u 2v 1 � u 2v v 1 � �2v u � Do đó, hệ cho tương đương : �1 �x y �x y �x 1 � �� �� � �y �y � 1 � �y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; Câu 19 � �4 x y Khơng dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: � �2 x y Lời giải � � � x 3 y 4 x 3 y y 0 � � � �� �� � x y 2 x 2 y 4 x y 2 � � � � �y �y 0 �� �� �x x 2 � Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;0 Câu 20 �x �x y � Giải hệ phương trình � � 3 � �x y Lời giải + Điều kiện: x �1; y �2 2 � �1 �5 1 6 5 � � �x � x 1 y �x y � �� �� �� �5 3 �5 3 �5 � � � �x y �x y �x 10 25 y2 3 y2 � � 11 � 22 �y y �y � � � � �� �� � �5 3 �5 3 � �x x y �x y � � � � � �y �� � �x � 5� 0; � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y � � 2� HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng Phương trình n ẩn x1 , x2 , , xn gọi đối xứng với n ẩn thay xi x j ; x j xi phương trình khơng thay đổi Khi phương trình ln biểu diễn dạng: x1 x2 xn x1 x2 x1 x3 x1 xn x2 x1 x2 x3 xn 1 xn x1 x2 xn Hệ phương trình đối xứng loại hệ mà gồm phương trình đối xứng Để giải hệ phương trình đối xứng loại ta phải dùng định lý Viét n n 1 * Nếu đa thức F x a0 x a1 x an , a0 � 0, �P có nghiệm P c1 , , cn thì: a � c1 c2 cn � a0 � � a c1c2 c1c3 c1 cn c2 c1 c2 c3 cn-1cn � a0 � � � a � c1c1 cn (1) n n � a0 � (Định lý Viét tổng quát) Phần – Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b � S x x2 � � a � c �P x x � a �x1 x2 S Ngược lại, số x1, x2 có � x1 , x2 nghiệm phương trình �x1 x2 P X SX P Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn có dạng �f ( x, y ) �f ( x, y ) f ( y , x ) , � � �g ( x, y ) �g ( x, y ) g ( y, x ) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S �4 P Bước 3: Thay x, y S , P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S , P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý: + Cần nhớ: x y S – P, x3 y S – 3SP + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u u x , v v x S u v, P uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình �x y xy 30 Ví dụ Giải hệ phương trình � 3 �x y 35 GIẢI Đặt S x y, P xy , điều kiện S �4 P Hệ phương trình trở thành: �P 30 � S � �S �� � � 90 � P � �S � �S S � 35 �� � �xy ( x y ) 2 Ví dụ Giải hệ phương trình � �x y �SP 30 � � �S ( S 3P ) 35 �x y � � �xy �x �x �� � �y �y GIẢI Đặt t y , S x t , P xt , điều kiện S �4 P Hệ phương trình trở thành: �xt ( x t ) �SP �S �x �x � �3 �� �� �� �3 �x t �S 3SP �P �t �y 1 �x y � x y � Ví dụ Giải hệ phương trình � �x y x2 y2 � GIẢI Điều kiện x �0, y �0 ��x � �y � � �� � � �� x � � y � Hệ phương trình tương đương với: � 2 ��x � �y � � � � �� � x� � y� � � 1� � 1�� 1� ,P � x � , S �4 P ta có: Đặt S �x � �y � � � �y y � � x�� y� � x� � � ��x � �y � �x � x�� y� � � S S � � �� � x �x �� � �� �� �� �� �2 1� 1� y 1 �P � � �S P �� � y 2 �x � �y � � y �� x � � y� � x y xy (1) Ví dụ Giải hệ phương trình � (2) � x y 4 GIẢI Điều kiện x, y �0 Đặt t xy �0 , ta có: xy t (2) � x y 16 2t Thế vào (1), ta được: t 32t 128 t � t Suy ra: �xy 16 � � �x y �x � �y Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt S x y , P xy với điều kiện S , P * + Bước 3: Thay x, y S , P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S , P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u u x , v v x S u v, P uv nhớ tìm xác điều kiện u , v Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: � x y 1 � �x x y y 3m GIẢI Điều kiện x, y �0 ta có: � x y 1 � x y 1 �� � 3 �x x y y 3m �( x ) ( y ) 3m Đặt S x y �0, P xy �0 , S �4 P Hệ phương trình trở thành: �S �S �� �3 �P m �S 3SP 3m Từ điều kiện S �0, P �0, S �4 P ta có �m � �x y xy m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình � có nghiệm thực �x y xy 3m GIẢI �x y xy m � �2 �x y xy 3m �( x y ) xy m � �xy ( x y ) 3m �S P m �SP 3m Suy S P nghiệm phương trình t mt 3m �S �S m �� �� �P m �P 32 �4(m 3) � 21 m m 3 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ��ڳ � ( m 3) �12 � Đặt S x y, P xy, Hệ phương trình trở thành: � � x4 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình � y 1 �x y 3m có nghiệm GIẢI Đặt u x �0, v y �0 hệ trở thành: �u v � �2 �u v 3m �u v � � 21 3m uv � � 21 3m (*) Suy u, v nghiệm (không âm) t 4t Hệ có nghiệm � (*) có nghiệm không âm � / �0 � ۳�� � S � �P �0 � �3m 13 �0 � � �21 3m �0 � 13 m �x y x y 10 có nghiệm thực �xy ( x 4)( y 4) m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình � GIẢI �( x x) ( y y ) 10 �x y x y 10 � � � 2 �xy ( x 4)( y 4) m �( x x)( y y ) m Đặt u ( x 2)2 �0, v ( y 2) �0 Hệ phương trình trở thành: �u v 10 �S 10 �� S u v, P uv � �uv 4(u v) m 16 �P m 24 �S �4 P � Điều kiện �S �0 � 24 �m �1 �P �0 � Loại 3: Một số toán giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình: x 1 x GIẢI � �x u Đặt: �3 Vậy ta có hệ: �1 x v � uv � � 3 � u v 1 � � uv � � � 19 � u.v � 36 � uv � � � � (u v ) � ( u v ) uv � � � 19 36 � �9 9 � x � � � � 12 � - � �9 x � � 12 � � � � u, v hai nghiệm phương trình: X - X � u � � � u � � � �9 � � Vậy phương trình có hai nghiệm: x = �� � 12 � �; � � � � 5� � 12 � � - 5� � 12 � � �9 �� � � � 12 � �� � �� II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI ẨN A Định nghĩa: �f ( x, y ) � �f ( y , x) Cách giải: Lấy (1) (2) (2) (1) ta được: (x y ) g x, y Khi x y g x, y + Trường hợp 1: x y kết hợp với phương trình 1 suy nghiệm + Trường hợp 2: g x, y kết hợp với phương trình 1 suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) thông thường vô nghiệm B Các ví dụ: � �x x y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình � (I) �y y x GIẢI Lấy (1) (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = 2 �� x �x x y �x - 11x �� �� � �� Trường hợp 1: (I) � � x � 11 �x y �x y � �x y 2 � �x xy y Trường hợp 2: (I) � �3 (hệ vô nghiệm) �x y 11 x y Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm: (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) - Khi a x ta có phương trình x – x – x1,2 � 21 � y1,2 � 21 - Khi a x ta có phương trình x x – x3,4 1 � 17 3 � 17 � y3,4 2 � x xy y 5(2 x y ) � Câu 12 Giải hệ phương trình: �2 �x xy y 15 Lời giải � 2x y � (I ) �� 2x y � �2 (2 x y )( x y 5) � �� �x xy y 15 � x 2y � �� �� �2 x xy y 15 �x y � �2 � ( II ) �2 �x xy y 15 � �x xy y 15 � � �x � � �y x �y x �y � )( I ) � � � � � 2 � �x 1 �x x.2 x 3.(2 x) 15 �x � � � �y 2 � �x 2 y )( II ) � � (2 y 5) 2(2 y 5) y y 15 � � �x � � �x 2 y �x 2 y �y � � �2 �� � � ( y 2)( y 4) �x 3 � �y y � � � �y � �x �x 1 �x 3 ;� ;� Vậy hệ có ba nghiệm: � �y �y 2 �y x | y | � Câu 13 Giải hệ phương trình: � 4x 3y � Lời giải � 13 x � 2x y � � 10 � (TM ) + Nếu y �0 ta hệ: � 4x 3y � �y � � 11 �2 x y �x � (L) + Nếu y ta hệ: � �4 x y � �y � 13 x � � 10 Vậy nghiệm hệ phương trình � �y � � ( x x ) 4( x x) 0(1) � Câu 14 Giải hệ phương trình: �1 �x y (2) � Lời giải �x �0 Điều kiện: � �y �1 � x2 – x x2 – x 4 � x x – x2 – x � x 0 L � �� x2 � x x 3 � Phương trình 3 vơ nghiệm ' 3 Thế x vào phương trình ta 1 � � y � y 2(TM ) y2 y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 2; ( x y ) 3( x y ) 4 Câu 15 Giải hệ phương trình: x y 12 Lời giải Đặt x y a ta pt: a 3a � a 1; a 4 � �x y 1 � � x y 12 � ( x y ) 3( x y ) � � � Từ ta có � � x y 12 �x y 4 � � 2 � x y 12 � � � Giải hệ 1 ta x 3; y Giải hệ ta x 0; y Vậy hệ phương trình có nghiệm x 3; y x 0; y �x y z � �1 1 Câu 16 Giải hệ phương trình: � �x y z � �xy yz zx 27 Lời giải �x y z 1 � �1 1 (2) � 1 �x y z �xy yz xz 27 3 � §KX§ : x �0 , y �0 , z �0 � x y z 81 � x y z xy yz zx 81 � x y z 81 xy yz zx � x y z 27 � x y z xy yz zx � 2( x y z ) xy yz zx � ( x y ) ( y z) ( z x) � ( x y)2 � �� ( y z)2 � ( z x) � �x y � � �y z �z x � �x yz Thay vµo 1 � x y z Ta thÊy x y z thỏa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x y z 2 � �x y x y 18 Câu 17 Giải hệ phương trình: � �x x 1 y y 1 72 Lời giải � u x x 1 � §Ỉt : � v y y 1 � u v 18 � � u; v nghiệm phơng trình : Ta có : uv 72 � X 18 X 72 � X 12; X u 12 u6 � � ; � �� v6 v 12 � � � �x x 1 12 � � �y y 1 ; � �x x 1 � �y y 1 12 Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hƯ lµ : ; ; 4 ; ; ; 3 ; ; hoán vị �x ( y 2) ( x 2)( y 4) ( x 3)(2 y 7) (2 x 7)( y 3) � Câu 18 Giải hệ phương trình: � Lời giải �x( y 2) ( x 2)( y 4) �xy x xy y x �� � ( x 3)(2 y 7) (2 x 7)( y 3) xy y x 21 xy y x 21 � � �x y 4 �x 2 �� � � �x y �y � 2x2 y � Câu 19 Giải hệ phương trình: � �xy x Lời giải Từ hệ cho ta suy ra: xy x x - y � x xy y 2 2 xy � � ( x y )(3 x y ) � � x 2 y � Nếu x y thì: x � x �1 Nếu x 2 y thì: y2 (khơng thỏa mãn) Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho là: S 1; 1 , 1; 1 2 2 � �x y x y Câu 20 Giải hệ phương trình: � ( x y )(1 xy ) x y � Lời giải Với x y nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x �0 y �0 ngược lại Xét x �0 ; y �0 hệ phương trình tương đương với �1 �x y � � �1 � � � � � � � � � x y xy � � � � � (1) �1 �x y � �� �1 � � � (2)� � � � � � x y xy � � � � � �1 � Thay (1) vào (2) ta � � �x y � �1 �x y � �� � x y 1 �1 � �xy Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (0;0) (x;y)=(1;1) 2 � �x y xy y Câu 21 Giải hệ phương trình: � ( x 1)( x y 2) y � Lời giải � �x y ( x y ) y �2 ( x 1)( x y 2) y � 2 � �x + Với y Hpt trở thành: � (vô nghiệm) ( x 1)( x 2) � �x x y � � y + Với y �0 Hệ trở thành � (1) � � x � x y 2 � � � � y � � + Đặt a �a b x2 , b x y thay vào hpt(1) ta � y �a(b 2) + Giải được: a 1, b �x 1 � + Với a 1, b � � y �x y � Giải nghiệm hệ: ( x; y ) (1; 2) (x;y)=(-2;5) � 17 x y 2011 xy �x y 3xy Câu 22 Giải hệ phương trình: � Lời giải 17 � �1 1007 � x �y x 2011 �y � � � � 490 �� �� Nếu xy (1) � � (phù hợp) �1 �1 490 �y � 1007 � �x � �y x 17 � �1 1004 �y x 2011 �x � � �� � xy (loại) Nếu xy (1) � � 1031 � 3 � 18 � � �y �y x Nếu xy 1 � x y (nhận) � �9 KL: Hệ có nghiệm 0;0 � ; � �490 1007 � �x 3x y �3 Câu 23 Tìm x , y , z thoả mãn hệ sau: �y y z �z z x � Lời giải Biến đổi tương đương hệ ta có � x x 1 y � � y y 1 z � � z z 1 x � � Nhân vế phương trình với ta được: x y z x 1 y 1 z 1 � x 2 y 2 z 2 � x 1 � 2 6 x y z y 1 z 1 2 � � � x 2 y 2 z 2 � x y z Với x y z thay vào hệ ta có x y z Vậy với x y z thoả mãn hệ cho �x � x2 �y Câu 24 Giải hệ phương trình: � �y y � �x Lời giải ĐK x �0 , y �0 Đặt x ky k �0 �x �k k y � x2 � �y �� �2 �1 � �y y � � 1�y �k � � � �x Nếu k 1 hệ phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vơ nghiệm Nếu k �1 k 1 � k k k 1 � k k 2 �2 � Nếu k � x; y � ; � �3 � Nếu k 2 � x; y 2;1 � 2x y x2 � Câu 25 Giải hệ phương trình: � y x y2 � Lời giải x y 0 � �x y 2 �� Trừ vế hai phương trình ta có: x y x y � x y x y 1 � � x 1 y �x y � �x y �x y � � �� x0 Ta có � �x x 3 �� x3 �� Vậy x; y 0; ; 3;3 x 1 y � � � x 1 y � x 1 y � � x 1 y � � � * � � � � 2 2x y x2 2 1 y y 1 y y 1 y � �y y � � Vì phương trình y y vô nghiệm nên hệ (*) vơ nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm x; y 0;0 ; 3;3 � �x y Câu 26 Giải hệ phương trình � y x � Lời giải Đặt A x �0, B y �0 �A B �A B �A B �A �� �� �� Ta có � Thỏa mãn 3.B A � � A 3B � B 10 �B �| x 1| | x 1| � � �� �� � � y2 2 �y ��x �� x 1 � �� � y2 � x; y 2; ; 0; nghiệm hệ �� x2 �� x0 �� �y � �x y � Câu 27 Giải hệ �1 1 �x y � Lời giải �x y �x y �x y �x y �x 18 � � � � �� �� y9 1 � �2 �1 1 � � �y �y y 54 �x y �9 y y �� y 6( l ) � � � � �x xy x y (1) � Câu 28 Giải hệ �2 (2) �x y 3 Lời giải (1) � x y x y g y 4(4 y 2) 16 y 24 y y �0; y 2 � y 1 y x 4y � �� y 1 y � x 1 � (2) x �� � y � y �2 (2) x y �� � y y 3 � 15 y 16 y 0( � PTVN ) � ( x; y ) � 1; , 1; 2 � � � � � x y 1 Câu 29 Giải hệ � x y 1 � Lời giải ĐK: x �0; y �1 � � � x 9 � x y 1 � x y 1 � � � � � � x y 1 x y 1 � x y 1 � � � �x �x � x 1 � �� �� �� (thỏa mãn điều kiện) 1 y 1 � y 1 �y � Vậy nghiệm hệ phương trình 1;5 � �x y xy 1 � x y 2 Câu 30 Giải hệ: � Lời giải Bình phương vế phương trình (2) ta được: x y � x y xy 3 � �x y a �0 Đặt � � xy b �0 Khi ta có hệ phương trình gồm phương trình (1) (3) là: � b 1 � � � a b2 a b2 b 2b � �x y �x y �� �� �� �� �� � a2 a 2b a 2b a 2b � �xy � � � � xy Khi hai số x, y hai nghiệm phương trình t 2t � t � x y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CĨ CHỨA THAM SỐ PHẦN I MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m Phương pháp: Bước 1: Đưa hệ phương trình phương trình bậc dạng ax b (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…) Bước 2: Xét phương trình ax b 1 ( a, b số) TH 1: Phương trình 1 có nghiệm ۹ a b � phương trình có nghiệm x a �a TH 2: Phương trình 1 vơ nghiệm � � b �0 � �a TH 3: Phương trình 1 có vơ số nghiệm � � b0 � Bước 3: Kết luận Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m ; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x, y theo tham số m ; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m ; Bước 3: Kết luận PHẦN II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài x by a � Tìm a, b biết hệ phương trình: � có nghiệm x ; y bx ay � Lời giải Thay x ; y vào hệ ta có: � 1 b � 2.1 b a a b a b 10 b � � � � � 10 � � � � � � � � � b.1 a.3 3a b 3a b 3a b � � � � �a 17 � 10 1 17 Vậy a ; y hệ phương trình có nghiệm x ; y 10 10 �x y m I ( m tham số) Bài Hải phịng 2013-2014_Cho hệ phương trình � 2x 3y m � a) Giải hệ phương trình I m b) Tìm m để hệ I có nghiệm x; y thỏa mãn x y 3 Lời giải a) Với m , hệ phương trình I có dạng: 2x y �x y � �x �� �� � 2x 3y �2 x y � �y Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y 2;1 � 5m x � x y m x y m x y m � � � � �� �� �� b) � 2x 3y m 2x 3y m 7y m � � � �y m � �5m m � ; Hệ phương trình có nghiệm x; y � � � � Lại có x y 3 hay 5m m 3 � 5m m 21 � 6m 36 � m 6 7 Vậy với m 6 hệ phương trình I có nghiệm x, y thỏa mãn x y 3 Bài �2 x y 5m Hịa bình 2014-2015_Cho hệ phương trình: � �x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x y 2 Lời giải x y 5m �y 5m x � �y 5m x �x 2m �� �� �� � x 10m �x y �x 2(5m x ) � �y m Thay vào ta có m0 � x y 2 � (2m) 2( m 1) 2 � 2m 4m � � m 2 � Vậy m � –2;0 Bài (m 1) x y � Cho hệ phương trình: � ( m tham số) �mx y m a) Giải hệ phương trình m ; b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm x; y thỏa mãn: x y �3 Lời giải a) Giải hệ phương trình m �x y �x y �x �� �� Ta có: � x y �x � �y Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 b) Ta có y – m 1 x vào phương trình cịn lại ta phương trình: mx – m 1 x m � x m –1 suy y – m 1 với m Vậy hệ phương trình ln có nghiệm x; y m 1; – m 1 2 x y m 1 – m 1 m 4m – m �3 với m Bài �2 x ay 4 Cho hệ phương trình : � �ax y a) Giải hệ phương trình với a b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Lời giải a) Với a , ta có hệ phương trình: x y 12 x 7 x y � � �x 1 �x 1 �� �� �� �� �x y �x y �1 y �y 2 x y 5 Vậy với a , hệ phương trình có nghiệm là: x; y 1; 2 b) Ta xét trường hợp: x + Nếu a , hệ có dạng: y 5 x Vậy hệ có nghiệm y + Nếu a �0 , hệ có nghiệm khi: a �۹ a 3 a2 (ln đúng, a 0 với a ) Do đó, với a �0 , hệ ln có nghiệm Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm với a Bài x ay 5b � Cho hệ phương trình: � Tìm a, b biết hệ có nghiệm bx y � �x � �y Lời giải x ay 5b � �x Hệ phương trình: � có nghiệm � bx y � �y 2 2a 5b �2a 5b �2 a 62 a 31 � � �� �� �� �� b8 b 13 b 13 b 13 � � � � Bài (m 2) x y 5 � ( I ) ( m tham số) Cho hệ phương trình: � �x my a) Giải hệ phương trình I với m b) Chứng minh hệ phương trình I có nghiệm với m Tìm nghiệm theo m Lời giải a) Thay m ta có hệ phương trình � x y �2 y 2 �y �y �y �� �� �� �� � �x y �x y �x �x �x y (m 2) x y 5 � (m 2)(3 my ) 3y 5 � 3m m y 2my y 5 � � � b) � � � �x my �x my �x my � ( m 2m 3) y 3m �� �x my (1) (2) Ta có: m 2m ( m 1) 0m nên PT 1 có nghiệm m Hệ phương trình có nghiệm m Từ 1 ta có: y Bài 3m 5m thay vào ta có x m 2m m 2m 3 x y 2m � Cho hệ phương trình � có nghiệm x; y Tìm m để biểu thức A xy x �x y đạt giái trị lớn Lời giải x y 2m � �x m 2 �� � A xy x m 1 � Amax m � �x y �y m Bài �x my m Cho hệ phương trình: � ( m tham số) mx y 2m � a) Giải hệ phương trình m �x �2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn � �y �1 Lời giải � x � x y x y 3 x � � � � �� �� �� a) Thay m ta có hệ phương trình � 2x y 4x y 2x y � � � �y � � 1 �x my m b) Xét hệ � 2 �mx y 2m 2 Từ (2) � y 2m mx thay vào (1) ta x m 2m mx m � 2m m x x m � m x 2m2 m � m 1 x 2m2 m (3) Hệ phương trình cho có nghiệm � 3 có nghiệm m �۹� m � 2m x � � m 1 Khi hệ cho có nghiệm � �y m � m 1 �2m � 1 �2 �0 � � x � � �m �m �� �� � m � m 1 Ta có � �y �1 � m �1 � 1 �0 �m �m Kết hợp với * ta giá trị m cần tìm m 1 Bài 10 � a 1 x y a � Cho hệ phương trình: � �x a 1 y 1 2 ( a tham số) * a) b) c) d) Giải hệ phương trình a Giải biện luận hệ phương trình Tìm số ngun a để hệ phương trình có nghiệm nguyên Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN Lời giải a) � x � 3x y � 4x � � �� �� Khi a hệ phương trình có dạng: � �x y �y x �y � �5 � Vậy với a hệ phương trình có nghiệm x; y � ; � �4 � b) Giải biện luận: Từ PT 1 ta có: y a 1 x a 1 3 vào PT ta được: 2 2 x a 1 � a 1 x a 1 � � � � x a 1 x a 1 � a x a TH1: a �0 , phương trình có nghiệm x 4 a2 Thay vào 3 ta có: a2 a 1 a 1 a a 1 a a a a a a a2 y a 1 a 1 a a2 a2 a �a a � x ; y � ; � Suy hệ phương trình cho có nghiệm a � �a TH2: Nếu a , phương trình vơ nghiệm Suy hệ phương trình cho vơ nghiệm �a a � x ; y � ; � a �0 hệ phương trình cho có nghiệm a � �a KL: a hệ phương trình cho vơ nghiệm c) �a a � Với a �0 hệ phương trình cho có nghiệm x; y � ; � a � �a �a �� �x �� � � a2 �� Hệ phương trình có nghiệm nguyên: � �y �� �a �� � a2 Điều kiện cần: x a �� a2 1 ��� ��� a � a �1 a a a Điều kiện đủ: a 1 � y ��(nhận) a � y ��(nhận) Vậy a �1 hệ phương trình cho có nghiệm nguyên �a a � d) Với a �0 hệ phương trình cho có nghiệm x; y � ; � a � �a Ta có x y Đặt t a2 a a2 a 2 1 2 a a a a a ta được: a 2 �2 1 � � � 1� � � 1� 7 x y 2t t � t t � � t � � � t � � � � 2� � � � 16 � � � 8 Dấu " " xảy t , a 4 Vậy a 4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y đạt GTNN Bài 11 � �x x y y 2015 Cho hệ phương trình: � �x x y y k 1 2 ( k số cho trước) Biết hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x; y a; b ; c; d Tính tổng a b c d theo k Lời giải Trừ vế theo vế 1 cho ta có: x y 2015 k � x y 2015 k 3 Vì hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt nên ta có: x y a b c d Từ 3 suy a b c d 2015 k HẾT 4 ... �1 100 7 � x �y x 2011 �y � � � � 49 0 �� �� Nếu xy (1) � � (phù hợp) �1 �1 49 0 �y � 100 7 � �x � �y x 17 � �1 ? ?10 04 �y x 2011 �x � � �� � xy (loại) Nếu xy (1) � � 103 1... � ? ?48 x y z � 19 � 48 ? ?48 x �x 19 � � �17 � 48 � �y ? ?48 y � 17 �23 � 48 � �z 23 � ? ?48 z Câu �xy 3x y Giải hệ phương trình � HSG ĐÀ Nẵng 2008-20 09 �x y x y Lời... 1 ? ?4 x y �3 1 � ? ?4 x y �5 1 � xy 4( x y ) � � � �5 1 �6 y z yz 6( y z ) � � � � �6 y z �7 zx 8( z x ) � �7 1 �8 z x � � �8 z x � 59 � ? ?48 x y z �19
Ngày đăng: 11/05/2021, 10:53
Xem thêm:
