LTĐH Hình Học Không Gian GV Nguyễn Vũ Minh MỘ T SÔ ́ ĐÊ ̀ THI ĐA ̣ I HỌ C-HI ̀ NH HỌ C B06 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2 a , SA = a và SA ⊥(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ∆ABD ⇒ BI = 2 3 BM = 2 3 a và AI = = 1 3 3 3 a AC ∆ABI có BI 2 + AI 2 = + = = 2 2 2 2 2 3 3 9 a a a AB ⇒ BI ⊥ AI và BI ⊥ SA ⇒ BI⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥ (SAC) Khô ́ i tư ́ diê ̣ n SABC co ́ thê ̉ chia la ̀ m 3 tư ́ diê ̣ n: SABN ; CNBI ; ANIB. Gọi V = V SABC ; V 1 = V SABN ; V 2 = V CNBI Ta có : + = + 1 2 . . . . . . . . V V SN SA SB CN CI CB V V SC SA SB SC CACB + = + = + = 1 2 1 1 2 1 1 5 . 2 2 3 2 3 6 V V V ⇒ V ANIB = = 1 1 1 . . . 6 6 6 SABC V BA BC SA = 1 . 2. 36 a a a ⇒ V ANIB = 3 2 36 a Cách 2: Xét ∆ABM và ∆BCA vuông đồng dạng ? · · · · 0 ABM +BAC =BCA+BAC =90 ⇒ · = 0 90 AIB ⇒ MB ⊥AC (1) SA ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ MB (2). Từ (1) và (2) ⇒MB ⊥ (SAC) ⇒ (SMB) ⊥ (SAC). Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình∆SAC ⇒ NH = SA/2= a/2 và NH//SA nên NH ⊥ (ABI), do đó V ANIB = = 3 1 2 . 3 36 ABI a NH S A06 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O & O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính thể tích khối tứ diện OO'AB. Kẻ đường sinh AA'. Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O' và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A'D. Do BH ⊥ A'D và BH ⊥ AA' nên BH ⊥ (AOO'A') V OO’AB = 1 3 BH.S AOO’ Ta có: A'B 2 = AB 2 - A'A 2 = 3a 2 va ̀ BD 2 = A'D 2 - A'B 2 = a 2 ,suy ra ∆BO'D đều BH= ? . Vì ∆AOO' vuông cân cạnh bên bằng a nên: S AOO' =a 2 / 2 Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB: = = 2 3 1 3 3 . 3 2 2 12 a a a V D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. ∆ = = 3 . 1 3 . . 3 6 S ABC ABC a V SA S (đvtt) + ∆SAB vuông tại A có AM là đường cao ⇒ SM.SB = SA 2 ⇒ = = 2 2 4 5 SM SA SB SB + ∆SAC vuông tại A có AN là đường cao ⇒ SN.SC = SA 2 ⇒ = = 2 2 4 5 SN SA SC SC = = ⇒ = 16 16 . . 25 25 SAMN SAMN SABC SABC V SA SM SN V V V SA SB SC ⇒ V ABCMN = V SABC – V SAMN = = 3 9 3 3 25 50 SBAC a V (đvtt) A07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Gọi H là trung điểm của AD. Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD. Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BP (1) Xét hình vuông ABCD ta có ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP (2) . Từ (1) và (2) ⇒ BP⊥ (SHC) . Vì MN//SC và AN // CH ⇒(AMN) // (SHC) Do đo ́ : BP⊥(AMN) ⇒ BP⊥ AM. Kẻ MK ⊥ (ABCD) , Ta có: V CMNP = (1/3)MK.S CNP = = = = = 2 3 1 3 1 3 ; . ; 2 4 2 8 96 CNP CMNP a a a MK SH S CN CP V B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Gọi H là tâm ABCD ⇒SH ⊥(ABCD) . Tư ̀ BH ⊥ AC va ̀ BH ⊥ SH suy ra BH ⊥ (SAC) Gọi I,K là trung điểm SA,AB: IH// BE va ̀ MK// BE nên IH//MK MK//IH (1) va ̀ KN//AC (2) 1(1) và (2) ⇒ (MKN) // (SAC) (MKN) ⊥ BD ⇒MN ⊥ BD Khoảng cách giữa MN và AC bằng khoảng cách từ H đến (KMN) = HQ/2 D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, go ́ c ABC= BAD= 90 0 , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh ∆SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) . Kẻ CE ⊥ AD ⇒ OBCE là hình vuông nên CE = AE = ED=a. Theo định lý Pythago ta có:CD 2 ==2a 2 ,SC 2 =4a 2 ,SD 2 =6a 2 ; SD 2 =SC 2 + SD 2 ⇒ ∆ SCD vuông tại C. b) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; 2a; 0); S(0; 0; a). 1 A B C S M N I N K H D A B C S E M K M P N H D A B C S O A O' A' D C B H I H M N D A B C E y z x B S C D A N M I a a a 2 C LTĐH Hình Học Không Gian GV Nguyễn Vũ Minh Hạ HI vuông góc với AB, HK vuông góc SA. Ta có = = = 2 3; ; 2 3 a SB a AI AK a (SCD): + + − =2 2 0 x y z a ⇒ a d(H;(SCD))= 3 A08 . Lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3 a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A'H ⊥(ABC) và  AH = = + = 2 2 1 1 3 2 2 BC a a a Do đó : A'H =A'A 2 – AH 2 = 3a 2 ⇒A'H = 3 a Vậy = = 3 '. 1 ' . 3 2 A ABC ABC a V A H S Trong tam giác vuông A'B'H có: HB' 2 = A'B' 2 + A'H 2 =4a 2 nên ∆B'BH cân tại B'. Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì · ϕ ϕ = = = BH/2 1 ' ;cos = BB' 2.2 4 a B BH a B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3 a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN. Ta có: SA 2 + SB 2 = AB 2 nên ∆SAB vuông tại S, suy ra SM = AB/2. Do đó ∆SAM đều, suy ra SH = 3 a /2 . Diện tích tứ giác BMDN là S BMDN =S ABCD /2 = 2a 2 . Thể tích khối chóp S.BMDN là V SBMDN = 3 3 3 a (đvtt). Kẻ ME//DN. Đặt ϕ = góc [SM, DN]. Ta có (SM,ME) = ϕ Theo định lý ba đường vuông góc ta có SA ⊥ AE SE 2 = SA 2 + AE 2 = 5a 2 /4 ; ME 2 = AM 2 + AE 2 = 5a 2 /4 . Suy ra tam giác SME cân tại E nên · ϕ ϕ = = = ME/2 / 2 1 ;cos = SM 5 / 2 5 a SME a D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ∆ABC vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2 a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Từ giả thiết suy ra ∆ABC vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ là V ABC.A'B'C' = AA’.S ABC = = 3 2 1 2 2. 2 2 a a a (đvtt). Gọi E là trung điểm của BB’. Khi đó (AME) // B’C nên d[AM,B’C] = d[B’C, (AME)]. Nhận thấy d[B, (AME)] = d[C, (AME)]. Gọi h =d[B, (AME)]. Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đươ ̀ ng cao : = + + ⇒ = 2 2 2 2 1 1 1 1 7 7 a h h BE BA BM Vậy d[B’C, AM] = 7 7 a . CĐA08 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, · · = = 0 90 BAD ABC , AB=BC=a, AD=2a, SA ⊥ đáy ABCD, SA= 2a. gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. ĐS: V = 3 3 a CĐA09 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = 2 a gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, CD. Cmr MN ⊥ SP. Tính thể tích khối tứ diện AMNP. MN//CD, SP ⊥ CD ⇒ MN ⊥ SP Gọi O là tâm ABCD có SO = 2 2 6 2 a SA OA− = . V AMSP = 1 4 V ABSP = 1 8 V S.ABCD = 3 2 1 1 6 . . 8 3 48 a SO AB = . A09 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng [(SBC), (ABCD)] = 60 0 . Gọi I là trung điểm AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD). Ta có = =5; 5; IB a BC a = 2; IC a Hạ ⊥ IH BC tính được = 3 5 5 a IH ; ∆ vuông SIH có = 0 3 15 SI=IH tan60 5 a . S ABCD = S AECD +S EBC = 2a 2 + a 2 = 3a 2 (E là trung điểm của AB). = = = 3 2 1 1 3 15 3 15 3 3 3 5 5 ABCD a a V S SI a . B09 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc [BB’, (ABC)] = 60 0 ; ∆ABC vuông tại C và · BAC = 60 0 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm của ∆ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. ĐS: V = 3 9 208 a . D09 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). 3 1 1 1 4 4 2 3 3 2 3 9 IABC ABC a a V S IH a a = = × × = d(A,IBC) 3 2 3 4 3 2 2 5 3 9 5 2 5 5 IABC IBC V a a a S a = = = = . 2 H A C B C' B' A' N M D A B C S H E E M A B C A' B' C' A C E S K D I B H . (ABCD) , Ta có: V CMNP = (1/3)MK.S CNP = = = = = 2 3 1 3 1 3 ; . ; 2 4 2 8 96 CNP CMNP a a a MK SH S CN CP V B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là. ANIB = = 3 1 2 . 3 36 ABI a NH S A06 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O & O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn