Phần I Mở đầu I Lí chọn đề tài Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số toán quen thuộc học sinh lớp 12, có mặt hầu hết kì thi: tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp Vì có vị trí quan trọng chơng trình toán phổ thông Mặt khác đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy học phần gặp nhiều khó khăn Bài tập sách giáo khoa cha đa dạng Để việc dạy học phần chủ động có hiệu viết đề tài áp dụng cho học sinh đại trà Việc giải toán xác định tính đồng biến nghịch biến hàm số có tác dụng to lớn học sinh: - Thứ nhất: Thông qua toán xác định tính đồng biến nghịch biến hàm số giúp học sinh chủ động cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy đ ợc mối quan hệ toán học thực tiƠn, qua ®ã gióp häc sinh cã høng thó häc tập hơn, hiệu dạy cao - Thứ hai: Việc giải toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả sáng tạo Khi giải toán học sinh thờng xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan nh: Giải phơng trình, biến đổi tơng đơng, kiến thức đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ biến đổi - Thứ ba: Thông qua việc giải toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh rèn luyện thao tác t nh: Phân tích, tổng hợp, có khả đặc biệt hoá, khái quát hoá toán Mặt khác rèn luyện cho học sinh phÈm chÊt trÝ t nh: TÝnh cÈn thËn, chỈt chÏ, linh hoạt, nâng cao khả sáng tạo gặp toán suy nghĩ tìm tòi lời giải khác nhau, chọn cách giải hay Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số xen kẽ vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng tìm đờng lối giải có vận dụng cách máy móc dập khuôn Vì lí trên, tài liệu "Hệ thống số phơng pháp giải toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số sai lầm mà học sinh hay mắc phảitrong trình giải toán" II Nhiệm vụ mục đích nghiên cứu Nhằm đề xuất phơng pháp giúp việc dạy học nội dung toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số đạt kết cao III Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận dạy học, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phơng pháp giảng dạy trờng THPT IV Cấu trúc kinh nghiệm Chơng I Các kiến thức Chơng II Các dạng toán tính đơn điệu Phần II Nội dung kinh nghiệm Chơng I Các kiến thức I Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) Ta nói: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) ∀ x1 ; x ∈ (a;b) mµ x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) x1 ; x (a;b) mµ x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) - Hµm sè đồng biến, nghịch biến khoảng gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Điều kiện tơng đơng với định nghĩa Giả sử x1 ; x ∈ (a;b), x1 ≠ x ; y − y1 f ( x ) − f ( x1 ) = x − x1 x − x1 y > khoảng (a;b) x y < khoảng (a;b) - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) x - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) Từ suy ra: lim - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) kho¶ng (a;b) ⇒ f’(x) = ∆x→0 kho¶ng (a;b) lim - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) f(x)= x0 khoảng (a;b) y x y x II Liên hệ tính đơn điệu đạo hàm hàm số Định lí Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a, NÕu f’(x)>0 ∀ x ∈ (a;b) th× y = f(x) đồng biến khoảng b, Nếu f(x)0 y > Hàm số đồng biến a0 −∞ x y’ b 2a − +∞ - +∞ + NÕu a0 a hµm sè bËc ba đồng biến Nếu a< hàm số bậc ba nghịch biến * Bảng biến thiên: a>0 + x −∞ x y’ + y’ −∞ +∞ y a0 a< 8 6 4 2 -1 -1 -5 -5 10 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 * b, ∆ = b − 3ac = ⇒ y’ cïng dÊu víi a víi ∀x ≠ − b 3a  Nếu a> hàm số bậc ba đồng biến khoảng ; khoảng b đồng biến 3a b  ;+∞ 3a    NÕu a< hàm số bậc ba nghịch biến ; b nghịch biến khoảng 3a   b  ;+∞ −  3a  * Đồ thị: a>0 a< 8 6 4 2 -1 -1 -5 -5 10 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 * c, ∆ = b − 3ac > ⇒ y’ = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x ( x1 < x ) a>0 x1 x2 x −∞ y’ + 0 + y f( x1 ) −∞ x y’ y +∞ +∞ f( x ) a0 a ⇒ y’ = cã mét nghiƯm x = a< : Hµm sè đồng biến khoảng ( ;0) nghịch biến khoảng ( ; + ) a> : Hàm số nghịch biến khoảng ( ;0) đồng biến khoảng ( ; + ) * Bảng biến thiên: -6 10 x y’ y a>0 −∞ +∞ +∞ +∞ - + a0 a0 x −∞ y’ y +∞ b 2a − - + b 2a f( − b 2a 0 f(0) - +∞ ) + f( b 2a +∞ ) a0 -1 -5 10 -2 -4 -6 -8 a , ∀x ∈R ; Hàm số đồng biến khoảng ( +∞) c, y = x − x − - TX§: R - y’ = x − x = x( x − 1) Y’ = x = ⇔x = x =1 Bảng biến thiên: −∞ x y’ +∞ y -1 + 0 - + +∞ +∞ ;− ⇒ Hµm sè nghịch biến khoảng ( ) (0;1) Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) (1; + ) * Ví dụ2: Xác định khoảng đơn ®iƯu cđa hµm sè: a, y = e x - x b, y = x lnx Giải: a TXĐ: R y’ = e x - y’ > ⇔ e x - > ⇔ e x > = e ⇔ x > y’ < ⇔ x < ; ⇒ Hµm sè nghịch biến khoảng ( ) Hàm số đồng biến khoảng (0; + ) b, y = x lnx * TX§: R + y’ = lnx + x = lnx + x e y’ < ⇔ lnx < = ln e −1 ⇔ x < e −1 = e Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) e Hàm số đồng biến khoảng ( ;+ ) e y’ > ⇔ lnx > = ln e −1 ⇔ x > e −1 = Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến * Phơng pháp giải: - Tính y - Hàm số đồng biến y 0, x R Bài toán trở thành Tìm ®iỊu kiƯn ®Ĩ y’ ≥ 0, ∀x ∈R ” +) Gi¶ sư y’ = f’(x) = ax + bx + c (a 0) Để hàm số đồng biến +) Gi¶ sư y’ = f’(x) = ax + b a> ⇔ ∆ ≤ (a ≠ 0) Ta thấy: Hàm số có đạo hàm nhị thức bậc có đạo hàm đồng dấu với nhị thức bậc hàm số không đồng biến đợc +) Giả sử y = f(x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y’ = Lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiệm thực, hàm số tơng ứng đồng biến * Chú ý: Dạng toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) nghịch biến làm tơng tự nh * Ví dụ 1: Chứng minh hàm số sau đồng biến R y = x + cosx Giải: TXĐ: R y = - sinx ≥ 0, ∀x ∈R V× sin x Hàm số đồng biến R * VÝ dơ 2: Cho hµm sè y = x − 3( 2m + 1) x + (12m + 5) x + Tìm m để hàm số đồng biến Giải: y = 3x 6( 2m + 1) x + (12m + 5) ∆’ = 9( 2m +1) − 3(12m + 5) = 36m + 36m + − 36m − 15 = 36m − = 6( 6m 1) Để hàm số đồng biến ta ph¶i cã: y’ ≥ 0, ∀x ∈R ⇔ ∆' ≤ ⇔ ( 6m − 1) ≤ ⇔ Vậy giá trị m cần tìm − 1 ≤m≤ 6 1 ≤m≤ 6 * VÝ dơ 3: Cho hµm sè y =(m - 3)x - (2m + )cosx T×m m để hàm số nghịch biến Giải: y = (m - 3) + (2m + 1)sinx Để hàm số đồng biến ta phải có: y 0, x ∈R ⇔ ( m − 3) + ( 2m +1) sin x , x R Đặt t = sinx víi − ≤ t ≤ Bài toán trở thành: Xác định m để: t [ g(t) = (m - 3) + (2m + 1).t ≤ 0, ∀ ∈ −1;1]  g ( − 1) ≤  ( m − 3) − ( 2m + 1) ≤ ⇔ ⇔  g ( 1) ≤  ( m − 3) + ( 2m + 1) ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ Vậy giá trị m cần tìm là: ≤ m ≤ * VÝ dô 4: − m − ≤ ⇔ 3m − ≤ m≥ −4  ⇔  m ≤ Cho hµm sè y = x − ( 2m + 1) x − ( 2m − 3m + 2) x + 2m( 2m − 1) Chứng minh hàm số luôn đồng biÕn Gi¶i: y’ = x − 2( 2m + 1) x − ( 2m − 3m + 2) ∆’ = ( m + 1) + 3( 2m − 3m + 2) = m + 2m + + 6m − 9m + = 7( m − m + 1) V× ( m − m + 1) > 0, ∀m ⇒ ∆ > 0, ∀m Do ®ã, y’ = có hai nghiệm phân biệt, m Suy đạo hàm không > với x Vậy hàm số không luôn đồng biến * Bài toán Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( ;+) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến khoảng ( α;+∞ ) ⇔ y ' ≥ , ∀x > α +) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Hc y dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng ( ;+) a> hc a > ∆ >   ⇔  g(α ) >  α > S   +) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng ( ;+) a> ⇔  g( α ) ≥ * Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến khoảng ( ;+) * Ví dụ 1: Xác định m ®Ĩ hµm sè: y= ∞ x − 2mx + ( m − 2m − 1) x + đồng biến khoảng (1;+ ) Gi¶i: y’ = x − 4mx + ( m − 2m − 1) ∆’ = 4m − 2( m − 2m − 1) = 2( m + 2m + 1) = 2( m + 1) ≥ -) NÕu m = -1 ⇒ y ' = 2( x + 1) ≥ Hàm số luôn đồng biến Hàm số ®ång biÕn ∞ kho¶ng (1;+ ) Do ®ã, giá trị m = -1 thích hợp -) Nếu m ≠ -1 ⇒ ∆' > , y’ cã hai nghiệm phân biệt x1 ; x Giả sö x1 < x Ta cã, y’ ≥ 0, ∀x ∉ ( x1 ; x ) 10 Điều kiện để hàm số đồng biến khoảng ( 1;+ ) là: m ' >   ⇔  m − 6m + ≥ ⇔ m ≤ − 2 vµ m ≠ -1  y' (1) ≥ S m<    y ' ( − 1) >   S  > −1  ( )  6m − ≤    6m > ⇔  24m + 14 >    2( 2m + 1) > −   ≤m ≤ − 6   − 12 12  − ≤m≤  6   m < −   m > ⇔     m > − 12   m > −    VËy m > − 12 * Ví dụ 2: Xác định m để hàm sè: y= mx + x+m ;− nghÞch biÕn khoảng ( 1) Giải: TXĐ: R\ { m} y’ = m2 − ( x + m) ; ; Để hàm số nghịch biến khoảng ( 1) , y giảm khoảng ( 1)  m2 − <  − 2< m< ⇔ ⇔  − m ∉ ( − ∞ ;− 1)  − m ≥ − ⇔ < m * Bài toán 5: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( ; ) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞; α ) ⇔ y ' ≥ , ∀x < α +) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Hoặc y dấu với g(x) Nếu a>0   ∆ > ∆ >   Hc ∆ ≤ hc  g ( β ) > hc  g(α ) >  S S β <   NÕu a>0 th×  g ( α ) >  g( β ) >  +) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y dấu với g(x) Ta cÇn cã y’ ≥ 0, ∀x ∈(α; β ) a>  ⇔  g( α ) ≥  g( β ) ≥  hc a<  ⇔  g( α ) ≥  g( β ) ≥  13  g( α ) ≥ ⇔  g( β ) ≥ * Chó ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến khoảng ( ; ) * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = x + mx m đồng biến khoảng (1;2 ) Gi¶i: y’ = − 3x + 2mx x= y’ = ⇔ 3x − 2mx = ⇔  2m x=  Gi¶ sư x1 < x Ta cã, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x ) Hµm sè ®ång biÕn kho¶ng (1;2 ) ⇔ y ' > 0, (1;2 ) Điều kiện phải có là: x x1 = < < < x = 2m  − 3g ( 1) < ⇔  − 3g ( 2) ≤   − + 2m > m> ⇔ ⇔  − 12 + 4m ≥  m ≥ víi g(x) = − 3x + 2mx ⇔m≥3 VËy m ≥ * VÝ dô 2: Xác định a để hàm số: y= x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x đồng biến khoảng (0;3) y = − x + 2( a − 1) x + a + Gi¶i: ∆' = a − a + > 0, ∀a ⇒ y’ cã hai nghiệm phân biệt x1 ; x Giả sử x1 < x Ta cã, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x ) Hµm số đồng biến khoảng (0;3) y ' > 0, ( 0;3) Điều kiện phải có là: x x1 ≤ < ≤ x  − 1g ( 0) ≤ ⇔  − 1g ( 3) ≤ víi g(x) = − x + 2( a − 1) x + a + 14  g ( 0) ≥ ⇔  g( 3) ≥ VËy a ≥  a + 3≥ ⇔  − + 6( a − 1) + a + ≥ a≥ −3  ⇔  12  a ≥ ⇔a ≥ 12 12 Phần III: Kết kinh nghiệm Tài liệu đà đạt đợc số kết quả: - Hệ thống đợc phơng pháp giải toán xác định tính đơn điệu hàm số, phơng pháp đợc minh häa b»ng mét sè vÝ dơ thĨ 15 - Thông qua việc giải toán xác định tính đơn ®iƯu cđa hµm sè gióp häc sinh cïng cè, ®µo sâu kiến thức, thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức toán học - Việc giải toán xác định tính đơn điệu hàm số không nhằm hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà phát huy đợc tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh Đây vấn đề mấu chốt, mục tiêu dạy học đại Những két nhỏ bé nhng giúp cho việc giảng dạy học tập đợc chủ động đạt kết cao Học sinh có tiến yêu thích môn toán Tuy nhiên tài liệu sơ sài, mong đóng góp đồng nghiệp để tài liệu đợc đầy đủ hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 16 ... dạng toán tính đơn điệu hàm số Bài toán Cho hàm số y = f(x) HÃy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số * Phơng pháp giải: - TXĐ - Tìm điểm tới hạn - Lập bảng biến thiên - Suy chiều biến thiên hàm. .. đạo hàm không > với x Vậy hàm số không luôn đồng biến * Bài toán Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến khoảng ( ;+) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến. .. đồng biến khoảng ( ;+ ) e y’ > ⇔ lnx > = ln e −1 ⇔ x > e −1 = Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến * Phơng pháp giải: - Tính y - Hàm số đồng biến