De thi Hoc sinh gioi Toan 9 va Dap an

Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB.[r]

1

a b c d

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2009-2010

-MÔN THI : TOÁN

Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/01/2010

Bài 1(4đ)

a) Tính tổng:

b) Cho a, b, c, d số dương a c

b d Hãy trục thức mẫu biểu thức sau:

Bài 2: (4đ)

a) (2đ) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh :

2

2

a b

a b 

 

b) (2đ) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho :

 

2 2 abc n

cba n

   



  



với n số nguyên lớn Bài 3: (4đ)

a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = x x3 x2 x

   

 với x1

b) (2đ) Giải phương trình x x 26 x

    

Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x m( 2) ( m 3)y m  a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1)

b) (1,5đ) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) ln ln qua điểm cố định

Bài 5: (2 đ)

Cho ABC điểm M nằm ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ? Bài 6 : (4,0 đ )

Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB

a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2

b) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R

1

2 2

15 35 63 399

P    

a d b c a d b c    

  

HẾT ĐÁP ÁN

Bài 1(4đ, điểm) a)

2 2

15 35 63 399

P    

2 2

3.5 5.7 7.9 19.21

    

1 1 1 1

3 5 7 19 21

        

1 21  

2  b)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm) (0,5 điểm)

2

a c

do ad bc ad bc

b d

 

    

 

  (0.5 điểm)

Bài 2: ( điểm )

* Vì a.b = nên      

2

2 2 2

2

a b ab a b

a b

a b

a b a b a b a b

   



    

    ( đ )

* Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Ta có : a b 2 a b

a b a b

    

 

Vậy

2

2

a b

a b 



 ( 1đ ) 1) ( đđiểm )

Viết

2

100 10

100 10 4

abc a b c n

cba c b a n n

     

 

     

 

Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n –  99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31

        

39 4n 119

    (4) ( 0,75đđ )

2 (0,5 điểm)

(0,75 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a d b c

a d b c a d b c

   

         

   

1

( a d) ( b c)



  

2 ( 2 )

a d b c

a d ad b c bc

  



    

2

a d b c

a d ad b c bc

  



    

1

Từ (3) (4) => 4n – = 99 => n = 26

Vậy số cần tìm abc675 ( 0,5 đ ) Bài 3( 4đ)

a) (2 điểm) M = x x3 x2 x

   

 với x1

) x x (

x   

 (0,25đ) ) 25 1 x x (

x        (0,5đ)                     25 1 x x (0,5đ)

 x 3 x 2

1

x    



 (0,5đ)

3 x 1 x 2

1

x    

 (0,25đ)

b) (2đ) Giải phương trình x2 26 x x

   

 (1)

Ta nhận thấy x = nghiệm PT (1) (0,75đ) Với 0x1 thì:

8 1 26 x x 26

x

3          

Nên PT vơ nghiệm với 0x1 (0,5đ) Với x >1 Thì:

8 1 26 x x 26

x

3          

Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ) Vậy PT (1) có nghiệm x = (0,25đ) Bài 4: (2 điểm)

a) Vì đường thẳng (d) qua P(-1;1) nên

(m2).( 1) (  m 3).1 m 8 5 m 8 m3. (0,5 điểm) b) Gọi x y0; 0 tọa độ điểm cố định mà (d) qua

Ta có: (m2)x0(m 3)y0  m m (0,5đ)

 

0 0

0 0

0 0

( 1)

1

2

x y m x y m

x y x

x y y

                       

Vậy điểm cố định mà (d) qua (-1;2) (1đ) Bài 5:

Vẽ tam giác CMN

(1 điểm)

màAM2 BM2 CM2

   BN2 BM2MN2 BMN

  vuông M

   900 600 1500

BMC BMN NMC

      (1 điểm)

Bài 6: (4,0 đ)

a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2

Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật (1,0 đ)

3

BCN ACM

BN AM

  

AB . EB = HB2

AC . EH = AC AD = AH2 => ĐPCM (1 điểm)

b) S(ADHE)= AD.AE

2 2

2 2

AD AE DE AH

  (0,75 đ)

 S(ADHE) 

2 2

2 2

AH AO R

  (0,75 đ) Vậy Max S(ADHE)=

2 R

Khi AD = AE

Hay A điểm cung AB (0,5 đ)

4

O B

C

A

H D