chuyen de csc csn cuc hay

Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó1. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương.[r]

11a thpt tien lu

A Kiến thức bản

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N* với mọi n mà thử trực tiếp được, ta dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc phương pháp quy nạp) sau:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k 

(gọi giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh vớii n = k + 1. 2 Các kiến thức cần nhớ:

* Cách viết số tự nhiên:

 Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + ; n + ; …

 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + ; n + ; …  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + ; 2n + ; n + ; … * Tính chất chia hết:

 Các số chẵn thí chia hết cho 2.

 Các số tận chia hết cho 5.

 Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 3.  Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 9.  Số tạo hai chữ số tận chia hết cho chia hết cho 4.  Số tạo hai chữ số tận chia hết cho 25 chia hết cho 25.  Số tạo chữ số tận chia hết cho chia hết cho 8.  Số tạo chữ số tận chia hết cho 125 chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho vừa chia hết cho chia hết cho 6.  Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

 Tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho 2, 6.  Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8. * Tính chất lũy thừa:

 am an = am+n  am:an = am – n  (ab)n = an bn  (am)n = am.n

 nn

n b a b a

      

 n

m n am a

 * Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử :

I Chứng minh n N*



 ta ln có đẳng thức sau :

1 ) (

1  nn n 2 ) )( (

12 2  

  

 n n n n

3. ) ( 2 3

3  n n n 4. ) ( ) ( 2 2     

 n n n

5 1 3 5 (2n 1) n2

     

6 1.4 2.7 .(3 1) ( 1)2

   



 n n n n

7. ( 1) 1

3 2 1       n n n n

8. 1.2 2.5 3.8 (3 1) 2( 1)

     

 n n n n

9 1 23 4  2n(2n1)n1

10. n n n n n

n ) ( 1 ) ((         11 ) ).( ( ) (

22 2  

 



 n n n n

II Chứng minh n N*



 ta ln có :

1 n32n chia hết cho 3

2 13n  chia hết cho 6

3 n3 11n

 chia hết cho 6

4. 92 14



n chia hết cho 5 5. 10n chia hết cho 3 6 16n  15n chia hết cho 225 7. 4n15n chia hết cho 9

8. 10n 18n 28 chia hết cho 27 9 62n 3n 3n



  chia hết cho 11 10 7.22 2 32 1

 n

n chia hết cho 5

11 5.23 2 33 1

 n

n chia hết cho 19

12 n4 6n3 11n2 6n

 

 chia hết cho 24 13 4.32 32 36

 

 n

n chia hết cho 64 14 62



n chia hết cho 35

15 2n2.3n5n chia hết cho 25 16 52 1 2 4 2 1



 n n

n chia hết cho 23 17 7n 3n chia hết cho 9 18 32 40 67

 

 n

n chia hết cho 64 19. n6 3n5 6n4 7n3 5n2 2n

   

 chia hết cho 24

20. (2 1)



 n

n

n chia hết cho 6 21 11 1 122 1

 n

III Cho số thực xk2,kZ Chứng minh n N*



 , ta ln có :

1 sin ) ( sin sin sin sin sin x x n nx nx x x      2 sin cos ) ( sin cos cos cos x nx x n nx x x      

IV Cho số thực x 1 Chứng minh rắng : (1x)n 1nx , nN* V Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có bđt :

1. n n

1   

2

1 1      

 n n

n

3 22 21 31 4     n n n

VI Chứng minh với số nguyên dương n2, ta có :

n n n 1 1

1 2  

                   

VII Cho n số nguyên lớn Hãy chứng minh bđt :

24 13 1     

 n n

n

IX Chứng minh với số tự nhiên n2, ta ln có đẳng thức : ( ). 1 2 . 2 1

     

 b a b an an b abn bn

a

X Chứng minh với số tự nhiên n 3, ta có :

2 2n  n

BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :

I Tìm số hạng dãy số sau : 1 Dãy số  un với

n n

un

2   2 Dãy số  un với

4 sinn

un 

3 Dãy số  un với un (1)n 4n

II Tìm số hạng dãy số sau : 1 Dãy số (un) với un 3n 2n

2 Dãy số (un) với 33 n u

III Cho dãy số (un) với

3 cos

sinn n

un   Hãy điền số thích hợp vào trống sau :

n 1 2 3 4 5

un

IV Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số

1

1

2

  

x x

y có đồ thị (C). Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm (C) với đường thẳng d : x n Xét dãy số (un) với un tung độ điểm An Hãy tìm cơng thức xác định cơng thức tổng quát dãy số

V Hãy xét tính đơn điệu dãy số sau : 1 Dãy số (un) với un 2n3 5n1

2 Dãy số (un) với un 3n  n 3 Dãy số (un) với

1

2

 

n n un

4 Dãy số (un) với 1

3



 n

n n

u 5 Dãy số (un) với

1

   

n n n un

6 Dãy số (un) với un n n21

Bai tap luyen

BÀI : Tìm số hạng thứ ba và thứ năm của mỗi dãy số sau: a) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = và

1

2

n n u

u 



 với mọi n2

b) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = -2 và un un1 2un2 với mọi n3

BÀI : Cho dãy số

1

1

2 1;

n n

u

u  u n n

  

   



a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

BÀI : Cho dãy số

1

1

3;

n n

u

u  u n

  

  



a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n –

BÀI : Cho dãy số 2

1

3

1 ;

n n

u

u  u n

   

  

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

BÀI : Cho dãy số (un) xác định bởi công thức

2

1

3

1; 2

n n n

u

u  u u n

   

   

 

a) Tính u2, u3, u4

Chứng minh rằng un + = un với mọi n *

BÀI :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (Un) biết :

a) Un = 2n + g) Un =

2n n

b) Un = 2n3 – 5n + f) Un = 32 n n

c) Un = 3n – n h) Un =

3 1

n n

n

  

d) Un = 2

1

n

n  i) Un =

2

1

n n

n

  

e) Un =

2

n n



 j) Un = n -

2

1 n 

f) Un = 1

2

n

n k) Un =

1

n n

n

 

l) un

n

  m)

1

n n u

n

 



BÀI : Với giá trị nào của a thì dãy số (un), với

1

n na u

n

 

 ,

a) là dãy số tăng ? b) Là dãy số giảm ?

BÀI :Cho dãy số (Un) xác định bởi : U1 = và Un+1 = Un +7 ,   n 

a) Tính U2 ; U4 ; U6

BÀI 10 : Cho dãy số (Un) xác định bởi : U2 = và Un+1 = 5.Un ,   n 

a) Tính U2 ; U4 ; U6

b) Cmr : Un = 2.5n-1 ,   n 

BÀI 11 : Cho dãy số (Un) xác định bởi : U1 = và Un+1 = 3Un +10 ,   n 

Cmr : Un = 2.3n – ,   n 

BÀI 12: Cho dãy số (Un) xác định bởi : U1 = và Un+1 = 3Un +2n-1 ,   n 

Cmr: Un = 3n - n ,  n 

BÀI 13 : Cho dãy số (Un) xác định bởi :

a)

1

1

2

n

n U

U

U 

   

  



, n 

   b)

1

2

n n

U

U  U

  

  

, n 

   c)

1

1

1

n n

U

U  U

   

 

 ,

n 

  

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số

BÀI 14 :Xét tính bị chặn của các dãy số (Un) xác định bởi :

a)

2

1

n n U

n

 

 , n



  

b) Un =

5

n n



 , n



  

c) Un = 2n2 + ,   n 

d) Un =

1 ( 1)

n n , n



  

e) Un =

1

2n  , n



  

f) un = 2n2 –

g)

1

n u

n

 

h) un sinncosn

BÀI 15 : Ch ng minh r ng day s (uư ă ô n) v i

2 3

n n u

n

 

 la day s gi m va b ch n.ô a i ă

BÀI 16 : Cho day s (uô n )v i uơ n = + (n – 1).2n

b) Tim công th c truy h iư ô

c) Ch ng minh day s t ng va b ch n d iư ô ă i ă ươ

BÀI 17 : Cho day s (sô n) v i sin(4 1)

6

n

s  n 

a) Ch ng minh r ng sư ă n = sn +

Hay tinh t ng c a 15 s h ng đ u tiên c a day s đa cho.ô u ô a â u ô

BÀI 18 : Cho day s (uô n) xac đ nh b i công th c i

1

3

1

;

n n

u

u  u n n

   

  

 

a) Tim công th c c a s h ng t ng quatư u ô a ô Tinh s h ng th 100 c a day sô a u ô

Bài 3 :CẤP SỐ CỘNG

A/ LÝ THUYẾT : 1/ Định nghĩa :

Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn vơ hạn ) , kể từ sớ hạng thứ hai trở ,mỗi số hạng bằng sớ hạng đứng trước cộng với sớ không đổi d

Số d gọi là công sai của cấp số cộng

Như vậy : (Un)là cấp số cộng  Un+1= Un + d ,  n  2/ Số hạng tổng quát :

Nếu cấp sớ cộng (Un) có sớ hạng đầu U1 và công sai d thì số hạng tổng quát Un xác

định bởi công thức :

Un = U1 + (n-1)d ,   n và n2 3/ tính chất số hạng cấp số cộng :

Trong cấp số cộng ,mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và ći ) là trung bình cộng

của hai sớ hạng đứng kề với ,nghĩa là : 1

2

k k

k

U U

U   

 , n 

   và n2

4/ tổng n số hạng đầu cấp số cộng :

Cho cấp số cộng (Un) đặt Sn U1U2U3 Un.khi

( )

2

n n

n u u

S   hay

 ( 1) 

2

n

n u n d

B/BÀI TẬP :

Bài : dãy số (Un) xác định sau ,dãy CSC :

a) Un = 3n-1 b) Un = 2n +

c) Un = (n+1)2 – n2 d)

1

3

n n

U

U  U

  

  

e) Un = 2n + f) un = 3n –

g) un = 2n + h)

1

1

n n

u

u  u

  

  

i) un = 3n j)

2

n n

u  

k)

n

n

u   l) un = – 2n

bài : dãy số (Un) xác định sau ,dãy CSC ,xác định công

sai CSC :

a) dãy (Un) xác định U1 = Un+1 = + Un với  n

b) dãy (Un) xác định U1 = Un+1 = Un –n với  n

c) dãy (Un) xác định Un+1 = Un + với  n

bài : cho dãy số (Un) với Un = - 5n

a) viết số hạng đầu dãy

b) cmr : dãy số (Un) CSC rõ U1 d

c) tính tổng 100 số hạng đầu

bài : tính số hạng đầu U1 công sai d CSC (Un) biết :

a)

4

2 14

U U

S

 

 

 

b)

7

10 19

U U

  

 

c)

1

10

U U U

U U

  

 

  

d)

2

8 75

U U

U U

  



e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

bài : CSC (Un) có S6 = 18 S10 = 110

a) lập công thức số hạng tổng quát Un

b) tính S20

bài 6: tìm CSC (Un) biết :

a) 12 22 32

1

27 275

U U U

U U U

  

  

  

 

b) 12 22 32 2 2

1

n n

U U U U a

U U U U b

    

  

    

 

bài : tính số số hạng CSC (Un) biết :

2

126 42

n n

U U U

U U

   

 

 



Bài 8: tìm x từ phương trình :

a ) +7 +12 + +x = 245 biết , , 12 , … , x là CSC

b) (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +… +(2x+96) =1010 biết 1,6,11 … là CSC

Bài9ặt -6 và sáu số để CSC bài 10 : cho (Un) là CSC có U3+U13 = 80

Tìm tổng S15 của 15 sớ hạng đầu của cấp sớ

Bài 11 :cho (Un) CSC có U4 + U11 = 20

Tìm tổng S14của 14số hạng đầu của cấp sớ

Bài 4: CẤP SỐ NHÂN

A/lý thuyết :

1/định nghĩa :

Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn vơ hạn),trong kể từ sớ hạng thứ hai trở ,mỗi số hạng là tích của số hạng đứng trước với sớ khơng đổi q Số q gọi là công bội của CSN

un+1 = un q ,  n .

2 ) Số hạng tổng quát CSN :

Nếu cấp số nhân có sớ hạng đầu u1và cơng bội q thì số hạng tổng quát un xác định

bởi công thức :

Un = u1 qn-1 , n 2.

3) Tính chất số hạng CSN :

Trong CSN ,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) là tích của hai số hạng đứng kề với ,nghĩa là :

2

1

k k k

u u  u  ,  k 2. 4/ Tổng n số hạng đầu CSN :

Cho cấp số nhân (un) với công bội q1.đặt

Sn = u1 + u2 + … +un

Khi : sn =

(1 )

n

u q

q

 

B/Bài tập :

Bài 1 : Cho dãy số (un) với un=22n+1

a) Cmr dãy số (un) là CSN

b) Số 2048 là số hạng thứ của dãy số này ?

Bài 2 : Viết năm số xen các số và 729 để CSN có sớ hạng Tính tổng các sớ hạng của cấp số này

Bài : Viết số xen các số -2 và 256 để CSN có sớ hạng Sớ hạng thứ 15 là ?

Bài : Một CSC và csn là các dãy tăng các số hạng thứ bằng ,các số hạng thứ bằng Tỉ số các số hạng thứ của csn và csc là

5 Tìm hai cấp số

Bài : Cho sớ ngun dương ,trong sớ đầu lập thành csc ,3 số sau lập thành csn biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37 ,tổng của hai số hạng là 36 Tìm sớ

Bài 5 : Các dãy số (un) sau ,dãy số nào là csn ?

a) un=(-5)2n+1 ; b) un=(-1)n.33n+1 ;

c) 2

1

2

n n

u

u  u

  

 

d)

1

1

1

n n n

u

u  u u

   

  

Bài 6 : CSN (un) có :

1

2

51 102

u u

u u

  



  

a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN ;

b) Hỏi tổng của số hạng đầu tiên bằng 3069 ? c) Số 12 288 là số hạng thứ ?

Bài 7 : Tìm các số hạng của CSN (un) ,biết

a) q=2 , un=96 ,sn=189 ;

b) u1=2 , un=1

8 ,sn= 31

8

Bài : Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un) ,biết :

a)

4

15

u u

u u

  



 

 ; b)

2

3

10 20

u u u

u u u

   



   

Bài : Bốn số lập thành cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số cho 2,6,7,2 ta nhận cấp sớ nhân Tìm các sớ

Bài10 : Viết số xen các số và 160 để cấp số nhân

Bài 11 : Ba sớ khác có tổng bằng 114 coi là ba sớ hạng liên tiếp của cấp số nhân ,hoặc coi là các số hạng thứ , thứ tư và thứ 25 của cấp sớ cộng Tìm các sớ

Bài 11 : Ba sớ có tổng là 217 coi là các sớ hạng liên tiếp của cấp số nhân ,hoặc là các số hạng thứ ,thứ và thứ 44 của cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?

Bài 12 : Một cấp số cộng và cấp sớ nhân có sớ hạng thứ bằng ,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,cịn các sớ hạng thứ bằng Tìm các cấp số

BÀI TẬP luyen VỀ CẤP SỐ NHÂN :

I Cho cấp số nhân (un ) có u1 = & u2 =

II Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số nhân ? Hãy xác định cơng bội mổi cấp số nhân

1 Dãy số (an) xác định a1=1 an+1 =

7

n

a

1  n

2 Dãy số (bn) xác định b1=3 bn+1 =

n bn

1  n

3 Dãy số (cn) xác định c1=2 cn+1 =

n

C

6

1  n

4 Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn n 1

III Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = 4un + n 1

Chứng minh dãy số (vn) xác định : = un + n1 cấp số

nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân IV Xét dãy số (un)xác định u1= a un+1 =

n

u

12

n 1 a số

thực khác Hãy xác định tất giá trị a để dảy số (un) cấp số

nhân

V Cho cấp số nhân có số hạng với cơng bội dương Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân