Đang tải... (xem toàn văn)
¸p dông hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ABC.. BD AC AB AC[r]
(1)Chuyên đề bám sát
hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng
A Mơc tiªu
1 KiÕn thøc bản
- Hc sinh c khc sõu cỏc định lý, hệ thức
- Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền - Một số hệ thức liên quan đến đờng cao
2 Kĩ bản.
- Rốn cho học sinh vận dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông để làm tốn tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức
- Rèn cho học sinh kỹ trình bày lời giải toán hình
3 V t thái độ.
- CÈn thËn chÝnh x¸c tÝnh to¸n, lËp ln
- Ph¸t triĨn t lôgíc, trí tởng tợng không gian Biết quy lạ quen B Néi dung.
I Lý thuyÕt:
KiÕn thức bản.
1 Hệ thức liên hệ cạnh góc vuông hình chiếu cạnh hun.
Định lí 1: Trong tam giác vng, bình phơng cạnh góc vng tích các cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền
b2 = a.b'; c2 = a.c'
2 Các hệ thức liên quan đến đ ờng cao.
Định lý 2: Trong tam giác vng, bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền
h2 = b'.c'
Định lý 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền với đờng cao tơng ứng
b.c = a.h
Định lý 4: Trong tam giác vng nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phơng hai cạnh góc vng
2 2 2 c
1 b
1 h
1
II Bµi tËp.
H
B C
A
c'
b
(2)D¹ng 1: Trắc nghiệm.
Bài 1:
HÃy điền biểu thức thích hợp vào ô trống (.)
Xột tam giỏc ABC vng với yếu tố đợc cho hình
b2 = ……….
c2 = ……….
h2 = ……….
2
h
= ……… a.h = ……… Bài 2: Chọn câu trả lời đúng: Tính x hình vẽ bên A: x = 0,08cm
B: x = 6,4cm C: x = 3,2cm D: x = 6cm
Bài 3: Chọn câu trả lời đúng. Tính y hình vẽ bên:
cm 74 35 y : D
cm 74 y : C
cm 74
35 y
: B
cm 35
74 y
: A
Bài 4: Chọn câu trả lời đúng.
3 16 x :
A vµ y=
B: x = 4,8 vµ y = 10
H
B C
A
c'
b
b' c
x
10
7
y
(3)C: x = vµ y = 9,6
D: Cả ba trờng hợp sai
Bài 5: Cho hình vẽ Chọn câu trả lời đúng.
2 y vµ x : C
3 y vµ x : B
3 y vµ x : A
D: Cả ba trờng hợp sai Bài 6:
Cho ΔABC vuông A, đờng cao AH = 32 HC = 4BH HB a 16; b 4; c 8; d Số khác
Bài 7: Cho ΔABC vuông A, đờng cao AH = a; HC = 2AH kết sau đây
a BC = 3a; b BH = a; c AC = a ; d AB = 2a
Bài 8:
Tam giác ABC vuông A có
4 AC AB
; đờng cao AH = 15cm Khi độ dài CH
b»ng:
A 20cm; B 15cm; C.10cm; D 25cm Bµi 9:
Tam giác PQR vng P có đờng cao PH = 4cm
2 HR QH
độ dài QR
A 2cm; B 2cm; C 2cm; D 3cm
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Biết AB = trung tuyến AM = kết sau đúng:
a DiÖn tÝch ΔABC = 24 c BH = 6,4
b AH = 4,8 d Cả ba Đáp án:
2.b 3.b 4.b 5.b 6.a 7.c 8.a 9.a 10.d D¹ng 2: TÝnh to¸n yÕu tè tam gi¸c.
1 VÝ dô:
Cho tam giác ABC; vuông A; đờng cao AH Biết BH = 9cm; CH = 16cm a Tính độ dài cạnh AB; AC
b TÝnh chiỊu cao AH
Phân tích: Biết độ dài đoạn BH; CH nên biết độ dài cạnh huyền BC
Trong tam giác ABC vuung A, biết độ dài cạnh huyền, hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền nên sử dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ta tính đợc độ dài cạnh góc vng AB; AC đờng cao AH
1 x
3
B
A
H C
(4)Híng dÉn gi¶i:
Ta cã BC = BH + HC = + 16 = 25 (cm) ABC; A = 10; AHBC
=> AB2 = BH.BC (¸p dụng hệ thức cạnh góc vuông hình chiếu cña nã
= 9.25 = 225 cạnh huyền) => AB2 225 15 (cm)
AC2 = CH.CB = 16.25 = 400
=> AC 400 20(cm)
b Cách1: Theo hệ thức liên hệ đờng cao thuộc cạnh huyền hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền, ta có:
AH2 = BH.HC = 9.16 = 144
=>AH 144 12(cm)
Cách 2: áp dụng định lí pitago vào tam giác vng ABH. AH2 = AB2 - BH2 = 152 - 92 = 225 - 81 = 144.
=> AH 144 12 (cm)
Cách 3: Theo hệ thức liên hệ cạnh góc vng đờng cao tơng ứng với cạnh huyền, ta có:
AH.BC = AB.AC
=> 12(cm)
25 20 15 BC
AC AB
AH
2 Bµi tËp t ¬ng tù:
Bài 1: Cho Δ ABC vuông A, đờng cao AH; AB = 6cm; AC = 8cm Tính BC; BH; CH AH
Bài 2: Cho Δ ABC vuông A, đờng cao AH.
a BiÕt AH = 6cm; BH = 4,5cm; TÝnh AB, AC, BC, HC b BiÕt AB = 6cm; BH = 3cm TÝnh AH; AC; CH
Bài 3: Cho tam giác ABC, vuông A, đờng cao AH = 12cm, trung tuyến
AM = cm
2 25
Tính cạnh tam giác
Bi 4: Cho Δ ABC vuông A, đờng cao AH Biết AB:AC = 3:4 AH = 8cm Tính HB; HC; AB AC
Bài 5: Cho Δ ABC, A = 900; AB = 12cm; AC = 16cm phân giác AD; đờng cao AH.
(5)Bài 5: Cho Δ ABC; A = 900; AB = 12cm; AC = 16cm phân giác AD; đờng cao AH.
Tính độ dài đoạn BH; HC
Bài 6: Cho Δ ABC vng A; đờng cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết; AH = 14cm;
4 HC HB
Bµi : cho tam giác ABC vuông A có hai trung tuyến Am = Bn = Tính các cạnh tam giác ABC
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 6, ABC = 600 ACB = 450 TÝnh BC vµ AC.
Bài 9: Cho tam giác ABC; AB = 6cm; BC = 10cm góc ABC = 1200 Kẻ đờng cao
AH
a TÝnh BH; AH vµ AC
b Lấy điểm M đoạn BC với CM = x Đờng song song với AB kẻ từ M cắt AC N Tính x để chu vi tam giác MNC chu vi hình thang ABMN
D¹ng 3: Chøng minh c¸c hƯ thøc tam gi¸c.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A = 900; đờng cao AH Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu
của H AB AC Chứng minh hệ thøc HC
HB AC
AB a 2
2
BC CE BD DE
b
EC DB AC
AB c 3
3
Híng dÉn:
a áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ABC AB2 = BH.BC
AC2 = CH.BC
=>
HC HB AC
AB
2
b áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng ABC; AH BC Ta có AH2 = HB.HC.
=>AH4 = HB2.HC2 (1)
Trong tam giác vuông AHB có HB2 = BD.AB
Trong tam giác vuông AHC có HC2 = EC.AC.
Thay HB2, HC2 vµo (1) ta cã
AH4 = BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH.
=> AH3 = BD.EC.BC (2)
Mà AEHD hình chữ nhật nên đờng chéo AH = DE Thay vào (2) ta có: B
A
H C
D
(6)DE3 = BD.CE.BC
c Theo c©u a ta cã:
) ( HC HB AC AB HC HB AC AB 2 4 2
Thay HB2 = BD.AB vµo (3)
HC2 = EC.AC
EC BD AC AB EC BD AB AC AC AB AC EC AB BD AC AB AC EC AB BD AC AB 3 4 4 4
Chú ý: Khi làm số tốn cha cho tam giác vng để áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông phải kẻ thêm đờng phụ xuất tam giác vuông
VD2: Cho Δ ABC cân A có AH; BK đờng cao CMR:
AC KC BC b AH BC BK a 2 2 Híng dÉn:
Trong tam giác vng AHC kẻ đờng cao AH ta có: HD//BK (cùng AC)
Do BK= 2HD (tính chất đờng trung bình tam giác BCK)
¸p dụng hệ thức lợng tam giác AHC Có HD AC cho ta hÖ thøc
2
2 2 2 BC AH BK BC 1 AH BK 1 HC AH HD
b áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông AHC Cho HC2 = CD.CA.
Mà BC = 2HC vµ CK = 2CD => BC2 = 2KC.AC.
Bài tập tơng tự:
Bi 1: Cho hỡnh vuụng ABCD Một đờng thẳng qua A cắt cạnh BC M đờng thẳng CD N
CMR: 2 2 2
AN AM AB
Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông A vµ D CMR:
AB2 + CD2 + AD2 = BC2+ 2AB.CD.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Kẻ HD vng góc với AB HE vng góc với AC
(7)CMR:
2
AC AB CE
BD Vµ AC AB HC
HB
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Đờng thẳng song song với BC cắt AB D AC E
CMR:
2
AC AB HC HB