Đang tải... (xem toàn văn)
b) EFGH là hình thoi vì hình bình hành có đường chéo là đường phân giác của một góc c) IKMN là hình thoi vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. d) PQRS không phải là hình thoi vì[r]
(1)ĐẠI SỐ CHƯƠNG I:
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC. Tuần 1: § NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
I Bài tập sách giáo khoa: Bài ( SGK – ): Làm tính nhân:
a) x2 ( 5x3 – x -
2
) = 5x5 – x3 -
2
x2
b) ( 3xy – x2 + y )
3
x2y = 2x3y2 –
3
x4y2 +
3
x2y2
c) ( 4x3 – 5xy + 2x ) ( -
2
xy ) = - 2x4y +
2
x2y2 – x2y
Bài ( SGK – 5): Thực phép nhân, rút gọn tính giá trị biểu thức: a) x ( x – y ) + y ( x + y ) = x2 + y2
Tại x = - y = có giá trị ( - )2 + 82 = 100;
b) x ( x2 – y ) – x2 ( x + y ) + y ( x2 – x )
= x3 – xy – x3 – xy + x2y – xy = - 2xy
Tại x =
y = - 100 có giá trị –
( - 100) = 100 Bài ( SGK – 5)
a/ 3x(12x – 4) – 9x (4x – 3) = 30 b/ x(5-2x) + 2x(x-1) = 15 36x2 – 12x – 36x2 + 27x = 30 5x – 2x2 + 2x2 – 2x =15
15x = 30 3x = 15 x = x = Bài ( SGK – ).
Nếu gọi số tuổi x ta có kết cuối là: [ (x + ) + 10] – 100 = 10x
Thực chất kết cuối đọc lên 10 lần số tuổi bạn
Vì vậy, đọc kết cuối việc bỏ chữ số tận số tuối bạn Chẳng hạn bạn đọc 140 tuổi bạn 14
Bài ( SGK – 6).
b/ xn-1(x + y) –y(xn-1yn-1) = xn-1.x + xn-1.y – xn-1.y – y.yn-1
= xn-1+1 + xn-1.y – xn-1.y – y1+n+1
= xn - yn
Bài ( SGK – ) Đánh dấu “x” vào ô 2a.
II Bài tập Sách Bài tập: Bµi ( SBT – 3). Rót gän biÓu thøc sau:
a) x(2x2 - 3) - x2 (5x + 1) + x2 = - 3x2 - 3x
(2)Bµi 3 ( SBT – 3). Tính giá trị biểu thức sau: a) P = 5x(x2 - 3) + x2(7 - 5x) - 7x2 t¹i x = -5 b) Q = x(x - y) + y(x - y) t¹i x= 1,5 ; y = 10
Gi¶i :
a) Rót gän P = - 15 T¹i x = -5 P = 75
b) Rót gän Q = x2 – y T¹i x= 1,5 ; y = 10 B = - 97,75
Bµi 5 ( SBT – ). T×m x:
2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26 2x2 – 10x – 3x – 2x2 = 26 - 13x = 26 x = -
§ NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC I Bài tập sách giáo khoa: Bài ( SGK – ): Làm tính nhân:
a) ( x2 – 2x + ) ( x - ) = x3 – 3x2 + 3x – 1;
b) ( x3 – 2x2 + x – ) ( – x ) = - x4 + 7x3 – 11x2 + 6x – 5
(x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) –y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
= x3 – y3
Bài ( SGK – ):
(x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) –y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
= x3 – y3
Bài 10 ( SGK – ): Thực phép tính:
a, (x2 – 2x + 3).(1
2x – ) = x
2 1
2x – 2x 2x +
1 2x + x
2.(-5) – 2x.(-5) + 3.(-5)
=
2x
3 – x2 + 3
2x – 5x
2 + 10x – 15
=
2x
3 – 6x2 + 23
2 x – 15
b, (x2 – 2xy + y2).(x – y ) = x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Bài 11 ( SGK – 8):
Ta có: (x - 5)(2x + 3) – 2x.(x – 3) + x +
Giá trị x, y Giá trị biểu thức(x – y) (x2 + xy + y2)
x = -10 ; y = -1008
x = -1 ; y = -1
x = ; y = -1
x = -0,5 ; y = 1,25
(Trường hợp dùng máy tính bỏ túi) - 64
(3)= x.2x + x.3 – 5.2x – 5.3 – 2x.x – 2x(-3) + x + = 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + 7
= -8
VËy giá trị BT không phụ thuộc vào giá trị cña biÕn
Bài 12 ( SGK – 9):
Rót gän biĨu thóc ta cã: (x2 – 5).(x + 3) + (x + 4).(x – x2)
= x2.x + x2.3 – 5.x – 5.3 + x.x + x(-x2) + 4.x + 4.(-x2)
= x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x - 4x2
= - x – 15
a, x = Giá trị biểu thức là: - 15; b, x = 15 Giá trị biểu thức là: - 30 c, x = -15 Giá trị biểu thức là: 0; d, x = 0,15 Giá trị biểu thức là: - 15,15
Bài 13 ( SGK – 9): T×m x, biÕt: (12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 -16 x) = 81 48x2 – 12x – 20x + + 3x – 48x2 – + 112x = 81 83x – = 81
83x = 81 + 83x = 83 x = 83 : 83 x =
Bài 14 ( SGK – 9):
Gäi số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a; a + 2; a +
- Ta cã: (a + 2)(a + 4) = a(a + 2) + 192 a2 + 6a + = a2 + 2a + 192 4a = 184
a = 46
Bài 15 ( SGK – 9): Lµm tÝnh nh©n:
a, (1
2x + y)(
2x + y) b, (x -
1
2y)(x - 2y)
=
2x 2x +
1
2x.y + y
2x + y.y = x
2 - 1
2xy - 2xy +
1 4y
2
=
4x
2 + xy + y2 = x2 – xy + 1
4y
2
Bµi ( SBT – ).Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1) = 5x2 - 7x2y + 2xy2 + 5x - 2y
b) (x - 1)(x + 1)(x + 2) = x3 + 2x2 - x –
c) 21 x2y2 ( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x4y2 -
2
x2y4
Bµi ( SBT – ):Cho a b hai số tự nhiên a ghia cho d 1, b chia cho d chøng minh r»ng ab chia cho d 2.
Giải:
Đặt a = 3q + ; b = 3p + (p, q N) Ta cã a.b = (3q + 1)( 3p + )
= 9pq + 6q + 3p + VËy a.b chia cho d
(4)Bµi (SBT - ): Chøng minh: a) (x 1)(x2 x 1) ( x31)
Biến đổi VT ta có:
3 2
3
( 1)( 1)
1
VT x x x
x x x x x
x VP
Bµi 10 ( SBT – )
Gi¶i:
Ta cã: n ( 2n – 3) – 2n(n + 1)
= 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = - 5n 5
Tuần + + 4: § 3; 4; NHỮNG HẰNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ I Bài tập sách giáo khoa:
Bài 16 ( SGK – 11) Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng một hiệu:
a) ( x2 + 2x + ) = ( x + 1)2 b) 9x2 + y2 + 6xy = ( 3x + y)2
c) 25a2 + 4b2 – 20ab = ( 5a + 2b)2 d) x2 – x +
4
= ( x - 12 ) Bài 17 ( SKG – 11) Chứng minh rằng:
( 10a + 5)2 = 100a (a + 1) + 25
Giải: Ta có: ( 10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25
= 100a (a + 1) + 25 Bài 18 ( SGK – 12)
Kết quả:
a) x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2 b) x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
Bài 19 ( SGK – 12)
Phần diện tích lại (a + b) 2 - (a - b) 2 = 4ab không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài 20 (SGK – 12)
(x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2
= x2 + 4xy + 4y2 x2 + 2xy + 4y2 Vậy kết x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai Kết là:
x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2
Bµi 21 (SGK – 12)
a) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + = (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12
= [(2x + 3y) + 1]2 = (2x + 3y + 1)2
b) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2
b) (x3x y xy2 y3)(x y )x4 y4 Biến đổi VT ta có:
3 2
4 3 2 2 3
4
( )( )
VT x x y xy y x y
x x y x y x y x y xy xy y x y VP
(5)Tương tự: x2 + 6x + = (x + 3)2
Bài 22 (SGK 12).
Giải:
a, 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100.1 + 12 = 10000 + 200 + = 10201.
b, 1992 = (200 - 1)2 = 2002 – 2.200.1 + 12 = 40000 – 4000 + = 39601
c, 47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – = 2491
Bµi 23 (SGK – 12) Chóng minh r»ng:
Gi¶i:
a, C/M (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
XÐt VP = (a - b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT (®pcm) b, C/M (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
XÐt VP = (a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab +b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a -b)2 = VT (đpcm)
* Làm tập áp dơng
a, Theo C/M trªn ta cã: (a - b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1 b, Theo C/M trªn ta cã: (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 202 + 2.3 = 400 + = 406
Bµi 24 (SGK – 12)
Ta cã: 49x2 – 70x = 25 = (7x – 5)2
a) Tại x = giá trị biểu thức lµ : (7 – 5)2 = 302 = 900 b) T¹i x =
7
, giá trị biểu thức (7
7
- 5)2 = (- 4)2 = 16
Bµi 25 (SGK – 12) Tính:
a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2.(a +b) c + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc
Bµi 26 (SGK – 12) TÝnh:
a) (2x2 + 3y)3 = 8x8 + 36x4y + 53x2y2 + 27y3; b) ( 27
2 27
9 )
1 3
x x x
x
Bµi 27 (SGK – 12) ViÕt biểu thức sau dới dạng lập phơng tỉng hc mét hiƯu:
a) – x3 + 12x2 + 48x + 64 = (1 – x)3; b) (8 – 12x + 6x2 – x3) = (2 x)3
Bài 28 (SGK 12) Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = (x + 4)3 t¹i x = ta có giá trị biểu thức là: (10 + 4)3 = 203 = 1 000
b) x3 – 6x2 + 12x – = (x – 2)3, x = 22 ta có giá trị biểu thøc lµ: (22 – 2)3 = 203 = 000
Bµi 29 (SGK – 12)
(x – 1)3 (x + 1)3 (y – 1)2 (x – 1)3 (1 + x)3 (y – 1)2 (x + 4)2
N H Â N H Â U
Bµi 30 (SGK – 16) Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27
b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3
Bµi 31 (SGK – 16) Chøng minh r»ng: a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Biến đổi vế phảI ta có: VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Vậy đẳng thức đợc chứng minh
(6)Biến đổi vế phảI ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 = VT Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Bài 32 (SGK – 16) Điền đơn thức thích hợp vào trống:
a, (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) = 27x3 + y3;b, (2x – 5)(4x2 + 10x + 25) = 8x3 – 125
Bµi 33 (SGK – 16) TÝnh:
a, (2 + xy)2 = + 4xy + x2y2 ; b, (5 – 3x)2 = 25 – 30x + 9x2
c, (5 – x2)(5 + x2) = 25 – x4 ; d, (5x – 1)3 = 125x3 – 75x2 + 15x –
e, (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – y3 ; f, (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 + 27
Bài 34 (SGK 17) Rút gọn biểu thøc sau:
a, (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) – (a – b)][(a + b) + (a – b)] = 2b.2a = 4ab
b, (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) – 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 – 2b3 = 6a2b
c, (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [ x + y + z – (x + y)]2 = z2
Bµi 35 (SGK – 17) TÝnh nhanh:
a, 342 + 662 + 68.66 b, 742 + 242 – 48.74
= 342 + 2.34.66 + 662 = 742 – 2.74.24 + 242
= (34 + 66)2 = (74 – 24)2
= 1002 = 10000 = 502 = 2500
Bµi 36 (SGK – 17).
a, x2 + 4x + = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2
Thay x = 98 vào biểu thức ta đợc: (98 + 2)2 = 1002 = 10000 b, x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3
Thay x = 99 vào biểu thức ta đợc: (99 + 1)3 = 1003 = 1000000
Bài 38 (SGK – 17) Chứng minh đẳng thức sau: a) (a – b)3 = - (a - b)3
Ta có: VT = (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = - (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3) = - (a - b)3 Vậy ĐT đợc chứng minh
II Bài tập sách tập: Bµi 11 (SBT – 4) TÝnh:
a) (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2; b) (5 - x)2 = 25 – 10x + x2; b) c)(x - 3y)(x + 3y) = x2 – 9y2
Bµi 12 (SBT – 4) TÝnh:
a) (x – 1)2 = x2 - 2x + 1; c) (x -
2
)2 = x2 – x +
4
; b) (3 – y)2 = – 6y + y2;
Bµi 13 (SBT 4) Viết biểu thức sau dới dạng bình phơng tổng:
a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) x2 + x +
4
= (x + 12 )2
c) 2xy2 + x2y4 + = (xy2)2 + 2xy2 + = ( xy2 + 1)2
(7)= ( x + y + x – y)2 = = 4x2
Bµi 15 (SBT 5)
Giải:
Đặt a = 5q + ( q N), ta cã:
a2 = 25q2 + 40q + 16 = (25q2 + 40q + 15) + chia cho d 1.
Bµi 16 (SBT – 5)
a) Ta cã: x2 - y2 = (x + y) (x – y) Tại x = 87 ; y = 13 giá trị biểu thức là: (87 + 13) (87 13) = 100 74 = 400
b) Ta cã: x3 - 3x2 + 3x – = (x 1)3 Tại x = 101 gía trị cđa biĨu thøc lµ: (101 – 1)3 = 1003 = 000 000
c) Ta cã: x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 T¹i x = 97, giá trị biểu thức là: ( 97 + 3)3 = 1003 = 000 000.
Bµi 17 (SBT – 5)
a) (a + b)(a2 - ab + b2) + (a - b)( a2 + ab + b2) = 2a3 Biến đổi vế trái ta có : a3 + b3 + a3 - b3 = 2a3 VP = VT Vậy đẳng thức đợc chứng minh
b) a3 + b3 = (a + b)[(a - b)2 + ab] Biến đổi vế phải ta có : (a + b)[(a - b)2 + ab]
= (a + b)(a2 - 2ab + b2+ ab) = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 VP = VT. Vậy đẳng thức đợc chứng minh
c) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2
Biến đổi vế trái ta có : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac)2 +(ad)2 + (bc)2 + (bd)2 Biến đổi vế phải ta có VP : (ac + bd)2 + (ad - bc)2
= (ac)2 + 2abcd + (bd)2 +(ad)2 - 2abcd + (bc)2 = (ac)2 +(ad)2 + (bc)2 + (bd)2
VP = VT Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Bµi 18 (SBT – 5) Chøng tá r»ng:
a) x2 – 6x + 10 = (x2 – 2.x.3 + 32) + = (x + 3)2 + 1 V× (x + 3)2
(x + 3)2 +
Víi x
c) 4x – x2 – = - - (x2 – 4x + 4) = - (x – 2)2 – < víi
x
Bài 19 (SBT 5) Tìm giá trị nhỏ đa thức:
Giải:
a) P = x2 - 2x + = (x - 1)2 + Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A = t¹i x = 2 b) Q = 2x2 - 6x = 2(x2 - 3x) = 2(x - 3
2)
2 - 9
2
9
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa B =
2 t¹i x =
Bài 20 (SBT 5) Tìm giá trị lớn đa thức:
Giải:
A = 4x - x2 + = - (x2 - 4x + 4) + = - (x - 2)2 + 7 Vậy giá trị lớn nhÊt cđa C = t¹i x =
Tu
ần 5+6+7 § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
(8)Bài 39 (SGK 19) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x 6y = 3(x 2y)
b) )
5 (
5
2x2 x3 x2y x2 x y
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x – 3y + 4xy) d)
5
x(y – 1) -
5
y(y – 1) =
5
(y – 1) (x – y)
Bµi 40 (SGK – 19) Tính giá trị biểu thức:
a) 15 91,5 + 150 0,85 = 15 91,5 + 15 8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15 100 = 500 b) x(x – 1) – y(1 x) x = 2001 y = 999
Ta cã: x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) + y(x – 1) = (x 1)(x + y)
Tại x=2001 y = 1999,giá trị biểu thức là: (2001 1)(2001 + 1999) = 8000000
Bµi 41 (SGK – 19) T×m x, biÕt: a) 5x(x – 2000) – x + 2000 =
(x – 2000)(5x – 1) =
x – 2000 = x = 2000 hc 5x – = x =
5
; b) x3 – 13x = 0
x(x2 – 13) = 0 hc x = ho Ỉc x = 13
Bài 42 (SGK 19)
Giải:
Ta cã: 55n +1 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n 54 54, víi n lµ sè tự nhiên.
Đ PHN TCH A THC THNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
I.Bài tập sách giáo khoa Bµi 43 (SGK 20) Phân tích da thứuc sau thành nhân tö:
a) x2 + 6x + = (x + 3)2; b) 10x – 25 – x2 = -(x – 5)2 hc = -(5 – x)2
c) 8x3 - )
4
)( 2 (
1
x x x d) )
5 )( ( 64 25
1 x2 y2 x y x y
Bài 44 (SGK 20) Phân tích đa thứuc sau thành nhân tử:
a) x3 + )
9 )( ( 27
1
x x x ; b) ( a + b)3 – ( a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
c) ( a + b)3 + ( a – b)3 = 2a(a2 + 3b2); d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 e) –x3 + 9x2 – 27x + 27 = -( x3 - 9x2 + 27x – 27) = - (x – 3)3.
Bài 45 (SGK 20) Tìm x, biết: a) – 25x2 =
5
x ; b) x2 – x +
2
1
x Bµi 46 (SGK – 21) TÝnh nhanh:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100 46 = 4600; b) 372 – 132 = ( 37 + 13)(37 – 13) = 50 24 = 1200;
c) 20022 – 22 = (2002 +2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 008 000.
(9)BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ I.Bài tập sách giáo khoa
Bµi 47 (SGK 22) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a) x2 – xy + x – y = x(x – y) + ( x – y) = (x-y)(x + 1); b) xz + yz – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5) c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = 3x(x – y) -5(x – y) = ( x- y)(3x – 5)
Bµi 48 (SGK 22) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x2 + 4x – y2 + = (x + 2)2 – y2 = ( x + y +2)( x- y + 2);
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] = 3( x+y+z)( x+y – z);
Bµi 49 (SGK – 22). TÝnh nhanh:
b) 452 +402 -152 +80 45 = ( 452 + 45.40+402 ) – 152 = ( 45 + 40 )2 – 152
= 852 – 152 = ( 85 – 15 ) ( 85 + 15) = 70 100 = 000
Bµi 50 (SGK – 23) T×m x, biÕt:
a) x(x – 2) + x – = b) 5x(x- 3) – x + =0 (x – 2)(x + 1) = ( x – 3) ( 5x – 1) =
x = hc x = -1 x = hc x =
5
§ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
I.Bài tập sỏch giỏo khoa Bài 51 (SGK 24) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) = x(x – 1)2;
b) 2x2 + 4x + – 2y2 = 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2( x+ y + 1)(x – y + 1)
c) 2xy - x2 - y2 +16 = -(-2xy + x2 + y2 - 16) = -[(x - y)2 - 42] = -(x – y + 4)(x – y - 4) = (y – x - 4)(-x + y + 4) =(x – y - 4)(y – x + 4)
Bµi 52 (SGK – 24).
Ta cã: (5n+2)2- = (5n+2)2-22 = [(5n+2)-2][(5n+2)+2] = 5n(5n+4)5 (n lµ số nguyên)
Bài 53 (SGK 24) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - 3x + ( Tách -3x = - x -2x); b) x2 + x - (Tách x = 3x - 2x)
= x2 - x - 2x + = x2 + 3x - 2x -
= (x2 - x) - (2x - 2) = (x2 + 3x) - (2x + 6)
= x(x - 1) - 2(x - 1) = x(x + 3) - 2(x + 3)
= (x - 1)(x - 2) = (x + 3)(x - 2)
c) x2 + 5x + ( Tách 5x = 2x + 3x)
= (x2 + 2x) + (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)
Bài 54 (SGK 25) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3+ x2y + xy2- 9x =x[(x2+2xy+y2)-9] =x[(x+y)2-32] =x[(x+y+3)(x+y-3)] b) 2x- 2y-x2+ 2xy- y2 = 21(x-y)-(x2-2xy+x2) = 2(x-y)-(x-y)2=(x-y)(2- x+y)
(10)a) x3-1
4x = x(x
2-1
4) = x[x
2-(1
2)
2] = x(x-1
2)(x+
2) =
x = x-1
2= x=
x+1
2= x=-1
VËy x= hc x =1
2 hc x=-1
b) (2x-1)2-(x+3)2 = [(2x-1)+(x+3)][(2x-1)-(x+3)]= (3x+2)(x-4) = 0 (3x+2) = 0 x=-2
3
(x- 4) = x = VËy x =
3
hc x=
c) x2(x-3)3+12- 4x =x2(x-3)+ 4(3-x) =x2(x-3)- 4(x-3) =(x-3)(x2- 4) =(x-3)(x2-22) =(x-3)(x+2)(x-2)=0
Ta cã: (x-3) = x = (x+2) = x =-2 (x-2) = x =
Bµi 57 (SGK 25) Phân tích đa thứuc thành nhân tử:
d) x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 ={(x2)2 + x2.2 + 22 }– (2x)2 =(x2 + 2)2 – (2x)2 =( x2 + + 2x )(x2 + – 2x) =( x2 + 2x + )(x2 – 2x + 2) Bµi 58 (SGK – 25)
Ta cã: n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n –1) số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
3 , maø (2; 3) = nên chia hết cho 2.3 =
Tu
ần 8 § 10 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC I.Bài tập sách giáo khoa Làm tính chia:
Bµi 59 (SGK – 26)
a) 53 : (-5)2 = 5; b) )2
4 ( ) ( : )
( ; c) ( -12)3 : 83 = - 27 Bµi 60 (SGK – 27)
a) x10 : (-x)8 = x2; b) (-x)5 : (-x)3 = (-x)2 = x2 c) = -y
Bµi 61 (SGK – 27)
a) 5x2y4 : 10x2y =
2
y ; b) = - xy
2
; c) = -x5y5
Bµi 62 (SGK – 27)
(11)§ 11 CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 63 (SGK – 27) Khơng làm tính chia, xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B không:
A = 15xy2 + 17xy3 + 18y2; B = 6y2 ĐS: A chia hết cho B
Bài 64 (SGK – 27) Lµm tÝnh chia:
a) ( - 2x5 + 3x2 – 4x3 ) : 2x2 = -x3 + 3/2- 2x
b) ( 3x2y2 + 6x2y3 – 12xy ) : 3xy = xy + 2xy2 - 4
c) (x3 – 2x2 + 3xy2) : ( - )
2
x -2x2 + 4xy – 6y2
Bµi 65 (SGK – 28)
= 3(x – y)2 + 2(x – y) – 5.
Bµi 66 (SGK – 28).
- Quang trả lời xét tính chia hết đơn thức A cho đơn thức B ta quan tâm đến phần biến mà không cần xét đến chia hết hệ số đơn thc
- Hà trả lời sai
Tuần 9: § 12 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN SP XP
Bài 67 (SGK 31) Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần biÕn råi lµm phÐp chia:
a) ( x3 - x2- 7x + ) : (x - 3)
x3 - x2- 7x + x - 3
x3- 3x2
x2 + 2x - 1
+ 2x2- 7x +3
2x2- 6x
- x + - x +
Bài 68 (SGK – 31) áp dụng đẳng thức đáng nhớ để làm tính chia:
a) (x2 + 2xy + 1) : (x + y) = x + y
b) (125 x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1)2
c) (x2 - 2xy + y2) : (y - x) = y – x
Bµi 69 (SGK – 31).
2
3
5
3
5
3 3
3
1
6
2
2
2
2
4
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
3x4+x3+6x – = (x2+1)(3x2+x – ) + 5x –
(12)a) Có b) có Bµi 72 (SGK – 32) Lµm tÝnh chia:
2x4 + x3 - 3x2 +5x - x2 – x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 2x2 +3x - 2
+ 3x3 – 5x2 + 5x - 2
3x3 – 3x2 + 3x
- 2x2 + 2x -
- 2x2 + 2x - 2
Bµi 73 (SGK – 32) TÝnh nhanh:
a) (4x2 - 9y2 ) : (2x-3y) = [(2x)2 - (3y)2] : (2x-3y)
= (2x - 3y)(2x + 3y) : (2x-3y) = 2x + 3y
b) (27x3 - 1) : (3x - 1) = [(3x)3 - 1] : (3x - 1) = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1)
= 9x2 + 3x + 1
c) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1) = [(2x)3 + 1] : (4x2 - 2x + 1)
=(2x + 1)( 4x2 - 2x + 1) : (4x2 - 2x + 1) = 2x + 1
d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) = [x(x - 3) + y (x - 3)] : (x + y)
= (x + y) (x - 3) : ( x + y) = x – Bµi 74 (SGK – 32)
2x3 - 3x2 + x +a x + 2
- 2x3 + 4x2 2x2 - 7x + 15
- 7x2 + x + a
- -7x2 - 14x
15x + a - 15x + 30 a - 30
G¸n cho R = a - 30 = a = 30
VËy a = 30 th× ®a thøc 2x3 - 3x2 + x +a chia hÕt cho đa thức x + 2.
Bài 75 (SGK 33) Làm tính nhân:
a , 5x2 ( 3x2 – 7x + ) = 15x4 – 21 x3 +10x2
b ,
xy ( 2x2y – 3xy + y2 ) =
3
x3y2 – 2x2y2 +
3
xy3
Bµi 76 (SGK – 33) Làm tính nhân:
a) ( 2x2 3x ) ( 5x2 – 2x + ) = 10x4 – 4x3 + 2x2 – 15x3 + 6x2 – 3x = 10x4 – 19x3 + 8x2 – 3x
(13)a , M = x2 + 4y2 – 4xy x = 18 y = M = ( x – 2y )2 = ( 18 – ) 2 = 102 = 100 b , N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 taïi x= y = -8 N = ( 2x – y ) 3 = [ – (-8 ) ]3 = 203 = 8000
Bài 78 ( SGK – 33): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) (x + 2)(x -2) - ( x- ) ( x+ 1) = x2 - - (x2 + x - 3x- 3)
= x2 - - x2 - x + 3x + = 2x – 1 b) (2x + )2 + (3x - )2+2(2x + 1)(3x- 1)
= 4x2+ 4x+1 + 9x2- 6x+1+12x2- 4x + 6x -2 = 25x2
Bài 79 ( SGK – 33): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - + (x - 2)2 = x2 - 2x2 + (x - 2)2 = (x - 2)(x + 2) + (x - 2)2
= (x - )(x + + x - 2) = (x - ) 2x b) x3 - 2x2 + x - xy2 = x(x - 2x + - y2) = x[(x - 1)2 - y2] = x(x - y - )(x + y - 1) c) x3 - 4x2 - 12x + 27 = x3 + 33 - (4x2 + 12x) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) - 4x (x + 3)
= (x + ) (x2 - 7x + 9)
Bài 80 ( SGK – 33): Làm tính chia:
a) 6x3 – 7x2 – x + 2x +
6x3 + 3x2 3x2 – 5x + 2
- 10x2 – x + 2
- 10x2 – 5x
4x + 4x +
b) x4 – x3 + x2 + 3x x2 – 2x + 3
x4 – 2x3 + 3x2 x2 + x
x3 - 2x2 + 3x
x3 - 2x2 + 3x
0
Bài 81 ( SGK – 33) T×m x, biÕt: a)
2
2
( 4)
3
0
3
x x
x x x x
(14)c) x + 2x2 + 2x3 = x +
2x2 +
2x2 + 2x3 = 0 x( 2x + 1) + 2x2 (
2x + 1) = ( 2x + 1) (x +( 2x2) = 0
x( 2x + 1) ( 2x + 1) = x( 2x + 1)2 =
x =
( 2x + 1) = x =
2
Bài 82 ( SGK – 33) Chóng minh: a) x2 - 2xy + y2 + > Mäi x, y R
(x -y )2 + > v× (x - y2)
mäi x, y VËy ( x - y)2 + > mäi x, y R
Bài 83 ( SGK – 33)
3 1
2
2
2
n n
n n n
Với n Z n – Z 2n2 – n + chia hết cho 2n + Khi 2n31 Z Hay 2n + Ư ( ) 2n + { ; 3
Vaäy: 2n2 – n + chia heát cho 2n + Khi n
{ ; -1 ; -2 ;
CHƯƠNG II:
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Đ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Bài tập sỏch giỏo khoa: Bài 1(SGK – 36): Dùng định nghĩa hai phân thức để chúng tỏ rằng: :a) 20
7 28
y xy x
v× 5y.28x = 7.20 xy = 140 xy
c) ( 2)(2 1)
1
x x x
x x
; V×: (x+2)(x
2 -1) =( x+2)(x+1)(x-1)
d) 2
1
x x x x
x x
vì:(x
2 – x –2)( x –1 ) = ( x + ) ( x – ) ( x – 1)
(x2 – 3x+ 2)( x +1)=( x– )( x– )( x + 1)
(x2 – x–2 )( x – )( x2 – 3x + 2)( x +1 )
(15)Bài 4(SGK – 38):
Lan : ( 3)
2 (2 5)
x x x x x x
Hïng sai v× : 2
1) 1
1
x x x
x x x
Giang : 4
3 x x x x
Huy sai ( x- )3 = - ( – x ) 3 = - ( – x )3 Phải sửa : 2(9(x 9)x3) (92x)2
Hoặc 2(9(9 x)x3) (92x)2
( Sửa vế trái )
Bài 6(SGK – 38): *
Cách 1: Chia x5 -1 cho x – thương x4+x3+x2+x + x5 – = ( x -1 ) (x4+x3+x2+x + )
5
2
4
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)( 1)
1
x x x x x x
x x x
x x x x
x * Cách 1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( 1 4 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
§ RÚT GỌN PHÂN THỨC Bài 7.(SGK – 39): Rút gọn phân thức:
: 5 )
x y x a
xy ;
2
3
10 ( )
)
15 ( ) 3( )
xy x y y b
xy x y x y
;
2
2 2 ( 1)
)
1
x x x x
c x x x 2 ( ) ( ) ) ( ) ( )
( )( 1)
( )( 1)
x xy x y x x y x y d
x xy x y x x y x y x y x x y
x y x x y
Bài 8(SGK – 40):
Câu đúng, câu sai? a)
9
xy x
y ; b)
3
9 3
xy x y
; c)
3 1
9 3
xy x x y
; d)
3
9
xy x x y
(16)Câu a, d đáp số
Câu b, c sai( Cha phân tích tử & mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung mà rút gọn)
Bài 9(SGK – 40):
3 3
2
36( 2) 36( 2) 36( 2)
)
32 16 16(2 ) 16( 2)
9( 2)
4
x x x
a
x x x
x 2 ( ) ( ) )
5 5 ( ) ( )
5
x xy x x y x y x
b
y xy y y x y y x
x y
Bài 10 (SGK – 40):
1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 1 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Bài 12 (SGK – 40): a) ) ( ) ( ) )( ( ) 4 ( 12 12 2 x x x x x x x x x x x x x x
Bài 13 (SGK – 40):
a) 3
45 (3 ) 45 ( 3)
15 ( 3) 15 ( 3) ( 3)
x x x x
x x x x x
§ QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Bài 14 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức phân thức:
a) MTC = 12x5y4
5 5
2
5 5.12 60
.12 12
7
12 12
y y
x y x y y x y x
x y x y
Bài 15 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức phân thức: b) 16 2 x x x
vµ x x
x 12 b) x x x x x x x x x x x x x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 14 2 2
Bài 11 (SGK – 40):
3 2 2
5 3
3
2
12 2
)
18 3
15 ( 5) 3( 5)
)
20 ( 5)
x y xy x x a
xy xy y y x x x b
x x x
b) 2
3 2 3
3
( )( )
3 ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
y x y x y x x x y xy y x y
x y x y x y x y x y
(17)16 2 x x x ) ( x x
; x x
x 12
=3x(x 4) x
MTC: 3x(x-4)2
16 2 x x x
=( 4)2
2
x x
=3 ( 4)2
3 x x x x = 2 ) ( x x x x x x 12
=3x(x 4) x
=3 ( 4)2
) ( x x x x
Bài 16 (SGK – 43):
a) ( 1)( 1)
5 2 x x x x x x x x ) )( ( ) )( ( 2 x x x x x x x x
-2 = ( 1)( 1) ) ( 2 x x x x
Bài 17 (SGK – 43):
2
3 2
2
5 5
6 ( 6)
3 18 ( 6) 36 ( 6)( 6)
x x
x x x x x
x x x x
x x x
Bài 18 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức hai phân thức: a ) 2x3x4
vaø
3 x x
2x + = ( x +2 ); x 2 – = ( x- ) ( x + ) MTC : ( x – ) ( x + )
2
3 3 ( 2)
2 2( 2) 2( 2)( 2)
3 ( 3).2
4 2( 2)( 2) 2( 2)( 2)
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
Bài 19 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức phân thức: a)
2
x , 2x x
2x – x2 = -x(x – 2)
2 2x x =
8
( 2) ( 2)
x x x x
MTC = x(x + 2)(x – 2)
b )
4
x x x
vaø 3( 2)
x x
MTC : 3(x + )2
2 2
2
5 ( 5).3 15
4 ( 2) 3( 2) 3( 2)
( 2)
3( 2) 3( 2)( 2) 3( 2)
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
c)
3 3 3
x
x x y xy y , x y xy
x3 -3x2y + 3xy2 – y3 = (x - y)3
y2 – xy = -y(x – y)
2
x
y xy = ( ) x y x y
MTC = y(x – y)3
3
3 3 3
x
x x y xy y =
3
3
( ) ( )
x x y x y x y y
2
x
y xy = ( ) x y x y
= ( ) ( )
x x y y x y
-Hai bạn trả lời đúng, bạn Lan tìm mẫu thức chung đơn giản bạn rút gọn phân thức
b) 6( 2)( 2)
) ( 60 ) ( ) ( ) ( 10 10
x x
x x x x x ) ( ) ( ) ( ) ( 5
x x
x x x = ) )( ( ) ( 15 x x x ) )( ( ) ( ) ( 3
x x
x x
(18)1
x =
1 ( 2) ( 2)
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x x x x
2 2x x =
8
( 2) ( 2)
x x x x
=
8( 2)
( 2)( 2)
x x x x
b) x2 + ,
2
x x
MTC = x2 –
x2 + = 2
2
1 ( 1)( 1)
1 1
x x x x
x x
4
1
x x
Bài 20 (SGK – 44): Ta chøng tá MTC chia hÕt cho MT cña PT Vì: x3+ 5x2 - 4x 20 = x3+ x2 + x2 + 6x – 10x – 20
= x2 (x + 2) + 3x(x + 2) – 10(x + 2) = (x + 2)( x2+ 3x – 10)
vµ x3+ x2 - 4x – 20 = x3+ x2 - x2 + 10x – 14x – 20 = x2 (x – 2) + 7x(x – 2) + 10(x – 2) = (x – 2)( x2 + 7x + 10)
(x3 + 5x2 – 4x –20):(x2 + 3x –10) = (x+2)
(19)H èNH H C
CHNG I: Tứ GIáC
Đ tø gi¸c
I Bài tập sách giáo khoa: Bài ( SGK – 66): T×m x ë h×nh 5, h×nh 6:
Hình 5a: Tứ giác ABCD có : Â+Bˆ Cˆ Dˆ 3600
1100 + 1200 + 800 + x = 3600
x = 3600 – (1100 +1200 + 800) x = 500
Hình 5b : x= 3600 – (900 + 900 + 900) = 900 Hình 5c : x= 3600 – (650 +900 + 900) = 1150 Hình 5d : x= 3600 – (750 + 900 +1200) = 950 Hình 6a : x= 3600 – (650 +900 + 900) = 1150 Hình 6a : x= 3600 – (950 + 1200 + 600) = 850
Hình 6b : Tứ giác MNPQ có : Mˆ Nˆ PˆQˆ = 3600
3x + 4x+ x + 2x = 3600
10x = 3600 x = 10 3600
= 360 Bài ( SGK – 66):
a) Hình 7a : Góc cịn lại Dˆ 3600 – (750 + 1200 + 900) = 75 Góc ngồi tứ giác ABCD :
AÂ1 = 1800 - 750 = 1050 Bˆ = 1800 - 900 = 900
(20)Dˆ 1 = 1800 - 750 = 1050 b) Hình 7b :
Ta có : Â1 = 1800 - AÂ Bˆ = 1800 - Bˆ
Cˆ 1 = 1800 - Cˆ
Dˆ = 1800 - Dˆ
AÂ1+Bˆ 1+Cˆ 1+Dˆ 1= (1800-AÂ)+(1800-Bˆ )+(1800-Cˆ )+(1800-Dˆ ) AÂ1+Bˆ 1+Cˆ 1+Dˆ 1= 7200 - (AÂ+Bˆ Cˆ Dˆ)7200 - 3600 = 3600
Bài ( SGK – 67):
a)Do CB = CD C nằm đường trung trực đoạn BD
AB = AD A nằm đường trung trực đoạn BD
Vậy CA trung trực BD b) Nối AC
Hai tam giaùc CBA CDA có : BC = DC (gt)
BA = DA (gt) CA cạnh chung
Bˆ =Dˆ
Ta coù : Bˆ +Dˆ = 3600 - (1000 + 600) = 2000 Vaäy Bˆ =Dˆ =1000
Bài ( SGK – 67):
Đây tập vẽ tứ giác dựa theo cách vẽ tam giác học lớp Ở hình vẽ hai tam giác với số đo cho
Ở hình 10 (vẽ đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác) vẽ tam giác thứ với số đo góc 700, cạnh 2cm, 4cm, sau vẽ tam giác thứ hai với độ di cnh 1,5cm v 3cm
Đ hình thang Bài ( SGK – 71):
Hình a: Hình thang ABCD (AB // CD) có Â + Dˆ = 1800 x+ 800 = 1800
x = 1800 – 800 = 1000
Hình b: Â = Dˆ (đồng vị) mà Dˆ = 700 Vậy x=700 Bˆ = Cˆ (so le trong) mà Bˆ = 500 Vậy y=500 Hình c: x=Cˆ = 900
 +Dˆ = 1800 mà Â=650
CBA = CDA (c- A
B
C
(21) Dˆ = 1800 – AÂ = 1800 – 650 = 1150 Bài ( SGK – 71):
Hình thang ABCD có : Â -Dˆ = Mà Â +Dˆ = 1080
 =
2 20 1800
= 1000;
Dˆ = 1800 – 1000 = 800
Bˆ +Cˆ =1800 Bˆ =2Cˆ Do : 2Cˆ +Cˆ = 1800 3Cˆ = 1800
Vaäy Cˆ =
3 1800
= 600; Bˆ =2 600 = 1200 Bài ( SGK – 71):
Tam giaùc ABC có AB = AC (gt)
Nên ABC tam giác can Â1 = Cˆ1
Ta lại có : Â1 = Â2 (AC phân giác Â) Do : Cˆ1 = Â2
Mà Cˆ1 so le Â2
Vậy ABCD hình thang
Đ hình thang cân Bi 11 ( SGK 74):
Đo độ dài cạnh ô vuông 1cm Suy ra: AB = 2cm
CD = 4cm
AD = BC = 1232 10
Bài 12 ( SGK – 74):
Hai tam giác vuông AED BFC có :
AD = BC (cạnh bên hình thang cân ABCD) Dˆ Cˆ (2 góc kề đáy hình thang cân ABCD)
Vậy AEDBFC (cạnh huyền – góc nhọn)
DE = CF
Bài 13 ( SGK – 74):
Hai tam giác ACD BDC có :
AD = BC (cạnh bên hình thang cân ABCD) AC = BD (đường chéo hình thang cân ABCD) DC cạnh chung
Vaäy ACDBDC (c-c-c)
1 Cˆ
Dˆ
EDCcan ED = EC;Mà BD = AC Vậy EA = EB
Bài 14 ( SGK – 74):
BC // AD
1
1 A
B C
D
D C
(22)Tứ giác ABCD hình thang cân (dựa vào dấu hiệu nhận biết) Tứ giác EFGH hình thang
Bài 15 ( SGK – 74):
a) Tam giác ABC cân A nên :
2 Aˆ 180 Bˆ
0
Do tam giác ABC cân A (có AD = AE) neân :
2 Aˆ 180 Dˆ
0
; Do Bˆ Dˆ1
Mà Bˆ đồng vịDˆ1; Nên DE // BC
Vậy tứ giác BDEC hình thang
Hình thang BDEC có Bˆ Cˆ nên hình thang cân
b) Biết Â= 500 suy ra:
2 50 180 Bˆ
Cˆ 0 650 0
2
2 Eˆ 180 65 115
Dˆ
Bài 16 ( SGK – 74):
2 Bˆ Bˆ
Bˆ1 2 (BD tia phân giác Bˆ )
2 Cˆ
Cˆ1 (CE laø phân giác Cˆ )
Mà Bˆ Cˆ (ABCcân)
Hai tam giác ABD ACE có : Â góc chung
AB = AC (ABCcân) Bˆ1 Cˆ1
Vaäy ABDACE(g-c-g) AD = AE
Chứng minh BEDC hình thang cân câu a 15 DE // BC Dˆ1 Bˆ2 (so le trong)
Maø Bˆ1 Bˆ2 (cmt)
Vaäy BE = DE
Bài 17 ( SGK – 74):
Gọi E giao điểm AC BD
Tam giác ECD có : Dˆ1 Cˆ1 (do ACD = BDC)
Nên ECDlà tam giác cân ED = EC (1)
Do Bˆ1 Dˆ1 (so le trong)
Aˆ1 Cˆ1 (so le trong)
Maø Dˆ1 Cˆ1 (cmt)
1 Bˆ
Aˆ
nên EABlà tam giác cân EA = EB (2)
Từ (1) (2) AC = BD
1 Cˆ
Bˆ
1 Bˆ
Dˆ
BED
(23)Vậy hình thang ABCD có hai đường chéo hình thang cân Bài 18 ( SGK – 74):
a) Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng : AC = BE
maø AC = BD (gt)
b) Do AC // BE Cˆ1 Eˆ(đồng vị) mà Dˆ1 Eˆ (BDEcân B) Tam giác ACD BCD có :
+ AC = BD (gt) + Dˆ1 Cˆ1 (cmt)
+ DC cạnh chung Vậy ACDBDC (c-g-c)
c) Do ACDBDC (cmt) ADC = BCD
Hỡnh thang ABCD coự hai goực kề moọt ủaựy baống nẽn laứ hỡnh thang cãn Đ đờng trung bình tam giác
Cđa h×nh thang Bài 20 ( SGK – 79):
Tam giác ABC có Kˆ Cˆ 500
; Mà Kˆ đồng vị Cˆ
Do IK // BC
Ngồi KA = KC =
IA = IB maø IB = 10 Vaäy IA = 10
Bài 21 ( SGK – 79):
Do C trung điểm OA, D trung điểm OB
CD đường trung bình OAB cm cm CD AB AB
CD
Bài 22 ( SGK – 80): Tam giác BDC có :
DE = EB BM = MC
Do EM // DC EM // DI
Tam giác AEM có : AD = DE EM // DI Bài 23 ( SGK – 80):
Khoảng cách từ trung điểm C AB
BE = BD BDE
cân
1 ˆ
ˆ C
D
EM đường trung bình
AI = IM
(24)đến đường thẳng xy : 16cm
20 12
Bài 25 ( SGK – 80)
Tam giaùc ABD coù :
E, F trung điểm AD BD nên EF đường trung bình
EF // AB
Mà AB // CD
EF // CD (1)
Tam giaùc CBD coù :
K, F trung điểm BC BD nên KF đường trung bình
KF // CD (2)
Từ (1) (2) ta thấy : Qua F có FE FK song song với CD nên theo tiên đề Ơclit E, F, K thẳng hàng
Bài 26 ( SGK – 80)
Hình thang ABFE có CD đường trung bình nên : 12
2 16
EF AB
CD
Vậy x =12
Hình thang CDHG có EF đường trung bình nên : 20
12 16 CD EF GH
EF GH CD
GH CD EF
Vaäy y = 20 Bài 27 ( SGK – 80):
a/ Tam giác ADC có :
E, K trung điểm AD AC nên EK đường trung bình
2 CD
EK (1)
Tam giác ADC có :
K, F trung điểm AC BC nên KF đường trung bình
2 AB KF (2)
b/ Ta có : EFEKKF (bất đẳng thức EFK) (3)
Từ (1), (2) (3) EF
2 AB CD
AB
CD KF
EK
Bài 28 ( SGK – 80):
(25)Tam giác ABC có : BF = FC (gt)
FK // AB (do EF // AB) Tam giác ABD có :
AE = ED (gt)
EI // AB (do EF // AB)
b/ Do EF đường trung bình hình thang nên :
2 10
CD AB
EF
Do EI đường trung bình ABDnên : EIAB2 26 3
Do KF đường trung bình ABCnên :
2 AB KF Maø EI + IK + KF = EF neân KF = EF – (EI + IK) = – (3+3) =
Đ dựng hình thớc compa Dựng hình thang Bài 29 ( SGK – 83):
Cách dựng :
Dựng đoạn thẳng BC = 4cm Dựng CBx = 650
Dựng CABx
(bằng cách dựng đường thẳng qua C vng góc với Bx) Chứng minh :
ABC
coù AÂ = 900, BC = 4cm, ˆ 650
B thỏa mãn đề
Cách dựng :
Dựng đoạn thẳng BC = 2cm Dựng CBx = 900
Dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm, cắt tia Bx A Dựng đoạn thẳng BC
Chứng minh : ABC
coù Bˆ 900
, AC = 4cm, BC = 2cm
KC AK
(26)thỏa mãn đề Bài 31 ( SGK – 83): Cách dựng :
-Dựng tam giác ACD có : DA = 2cm, DC = AC = 4cm
-Dựng tia Ax // CD (tia Ax điểm C nằm nửa mặt phẳng bờ AD) -Dựng hình trịn tâm A bán kính 2cm, cắt tia Ax B
-Kẻ đoạn thẳng BC Chứng minh :
Tứ giác ABCD hình thang AB // CD
Hình thang ABCD có AB = AD = 2cm, DC = AC = 4cm nên thỏa mãn yêu caàu Bài 32 ( SGK – 83):
-Dựng tam giác để có góc 600 (chẳng hạn ABC hình bên) -Dựng tia phân giác góc 600 (tia phân giác  chẳng hạn) -Ta góc 300 (BAx CAx) Bài 33 ( SGK – 83):
Cách dựng :
Dựng đoạn thẳng CD = 3cm Dựng CDx = 800
Dựng cung trịn tâm C bán kính 4cm, cắt tia Dx A Dựng tia Ay // DC
(Ay C thuộc nửa mặt phẳng bờ AD)
Để dựng điểm B có hai cách : đựng Cˆ 800
(hoặc dựng đường chéo DB = 4cm) Chứng minh :
Tứ giác ABCD hình thang AB // CD Hình thang ABCD có CD = 3cm, Dˆ 800
, AC = 2cm
Hình thang ABCD có Dˆ Cˆ 800
nên hình thang cân
Đ đối xứng trục Bài 36 ( SGK – 87):
(27)Do Oy đường trung trực AC OAOC OB
OC
b/ Tam giác AOB cân O Oˆ1Oˆ2 12AOB Tam giác AOC cân O Oˆ3 Oˆ4 21AOC
AOB + AOC = 2(Oˆ1 Oˆ3) = xOy = 500 = 1000
Vaäy BOC = 1000 Bài 37 ( SGK – 87):
Hình 59h khơng có trục đối xứng, cịn tất hình khác có trục đối xứng Bài 39 ( SGK – 88):
a) Do C đối xứng với A qua d nên d đường trung trực AC nên DA = DC Do : AD + DB = CD + DB = CB (1)
Vì Ed nên AE = EC Do : AE + EB = CE + EB (2)
Tam giác CBE có : CB < CE + EB (3) Từ (1), (2) (3) AD + DB < AE + EB
b) Con đường ngắn mà bạn Tú phải đường ADB Bài 41 ( SGK – 88):
Các câu a, b, c
Câu d sai : Một đoạn thẳng có hai trục đối xứng (là đường trung trực nó) Bài 42 ( SGK – 89):
HS dùng kéo, gấp giấy cắt chữ D theo dẫn GV Các chữ có trục đối xứng:
A,M,T,U,V,Y,B,C,D,§,E,K,H,I,O,X
b) Có thể gấp tờ giấy làm t để cắt chữ H chữ H có trục đối xứng vng góc
D
Đ hình bình hành Bi 44 ( SGK – 92):
A B F
E F D C
Hình Bình Hành ABCD => DE // BF (AD // BD) (1)
ED = AD2 ( E trung điểm AD) BF = BC2 ( F trung điểm BC) Mà AD = BC (ABCD hình bình hành) Vậy DF = BF (2)
(28)Bài 45 ( SGK – 92): A E B D F C
) ;
2
(
2
D B B D D
B
Bài 46 ( SGK – 92): Câu a,b đúng; c,d sai Bài 47 ( SGK – 92):
a) Δ AHD = Δ CKB (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = CK AH // CK => Tứ giác AHCK HBH
b) O trung điểm HK AC đường chéo hình bình hành AHCK => O trung điểm AC => O, A, C thẳng hàng
Bài 48 ( SGK – 92):
Tứ giác EFGH HBH ( EF // GH ( // với AC) EF = GH (
AC ) Đ đối xứng tâm
Bài 52 ( SGK – 96):
E
B A
D C F
Bài 56 ( SGK – 96)
a) Hình a, c có tâm đối xứng
b) Hình b, d khơng có tâm đối xứng Bài 55 ( SGK – 96):
1
2
AB // CD =>
1 F
B (sole tg)
Vaäy:D1 F1 DE//BF
(hai góc đồng vị nhau) => DEBF hình bình hành (do DE // BF ;
EB // DF)
AB // BC (ABCD hình bh, EAD)
AE= BC (AE = AD,AD= BC) =>AEBC hình bình hành =>AC // EB, BF = AC (1)
Tương tự: ABFC hinh bh =>AC = BF, AC // BF (2) Từ (1),(2) =>E,B,F thẳng hàng BE = BF
(29)Ta có ABCD hình bình hành => AB//CD OA= OC
=> MAO NCOˆ ˆ (so le trong)
Xét NOC MOA ta có : OA = OC (cmt :Oˆ1Oˆ2 (đối đỉnh)
ˆ ˆ
MAO NCO
Vậy:NOC=MOA(g-c-g) Suy : OM=ON
Nên O trung điểm MN
Do M đối xứng với điểm N qua O
§ hình chữ nhật
Bi 58 ( SGK 99): điền vào chỗ trống, biết a, b độ dài cạnh, d độ dài đờng chéo hình chữ nhât:
a 2 13
b 12 6 6
d 13 10
Bài 60 ( SGK – 99): Ta có:
2 2
BC AB AC ( ĐL Py TaGo)
2 2
2
7 24
49 576 625 25
BC BC
BC
Khi đó: AD= BC : 2= 12,5 ( T/C đường trung tuyến tam giác vuông) Bài 63 ( SGK – 100):
Tìm x hình sau :
D C
B A
x
15
13 10
Ta có : A D Hˆ ˆ ˆ 900
; Nên ABCD hình chữ nhật
Suy : AB = DH = 10 ; AD = BH Do : HC = DC – DH = 15 – 10 =
BT 55/ 96
N
M
O
D C
B A
BT 60/99
?
24c m 7cm O
C B
A
GT
ABCD hình thang vuông AB = 10; BC = 13; CD = 15
(30)Áp dụng định lí Pytago vào BCH : BC2 = BH2 + HC2
BH2 = BC2 – HC2 = 132 – 52 = 12
=> AD = 12
Bài 64 ( SGK – 100):
Tứ giác EFGH có góc vng nên HCN Bài 65 ( SGK – 100):
GT
Tứ giác ABCD ; ACDB
EA = EB ; FB = FC GC = GD ; HA = HD
KL Tứ giác EFGH hình ?Vì ?
Chứng minh Ta có : E trung điểm AB (gt); F trung điểm BC (gt)
Nên : EF đường trung bình ABC EF // AC EF =
2 AC
Tương tự : HG đường trung bình củaADC HG // AC HG = 1
2AC Do : HG //
EF HG = EF
Nên : EFGH hình bình hành (có cạnh đối ssong bg nhau) Ta lại có : EF // AC (cmt) ; ACBD (gt) => EFBD
Mà EH // BD (EH đường trung bình ABD) => EFEH => HEFˆ 900
Vậy : Hỡnh bỡnh hành EFGH hỡnh chữ nhật (cú gúc vuụng) Đ 10 đờng thẳng song song Với đờng thẳng cho trớc Bài 67 ( SGK – 102):
Giải: Ta có CC’//DD’//EB (gt) ; AC = CD = DE (gt)
Nên CC’, DD’ BE đường thẳng song song cách Do AC’ = C ‘D’ = D’B
Bài 69 ( SGK – 103): (1) (7) ; (2) (5) ; (3) (8) ; (4) (6) Bài 70 ( SGK – 104):
Kẻ CH Ox, chứng minh CH = 1cm => Điểm C cách Ox khoảng CH = 1cm
=> C nằm đthẳng // Ox, cách Ox khoảng 1cm
Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp
H G
F E
D
C B
A
x
D' C'
D E
C
B A
BT 70/ 103
C B
(31)Ta có AOB vng O có OC trung tuyến OC =
2 AB = AC Vậy C nằm đường trung trực Cm đoạn thẳng AO
Bài 71 ( SGK – 104):
GT
ABC (Â = 900) M BC
MD AB, ME AC O trung điểm DE KL a) A, O, M thẳng hàng
b) Khi M di chuyển O di chuyển đường
c) Tìm M BC đểAM ngắn Chứng minh:
a) Ta có A D Eˆ ˆ ˆ 900 (gt)
Tứ giác ADME hình chữ nhật (có góc vng) Mà O trung điểm đường chéo DE
Nên O trung điểm đường chéo AM Do A, O, M thẳng hàng
b) - OP // BM (OP đường trung bình tam giác ABM) - OQ// MC (OQ đường trung bình tam giác ACM) - O thuộc đường trung bình PQ
- Khi M di chuyển O di chuyển đường trung bình PQ c) Ke AH BC Vậy M trùng H AH ngắn
§ 11 HÌNH THOI Bài 73 ( SGK – 105): Tìm hình thoi hình 102: a) ABCD hình thoi có cạnh
b) EFGH hình thoi hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc c) IKMN hình thoi hình bình hành có hai đường chéo vng góc
d) PQRS khơng phải hình thoi khơng phải hình bình hành e) ABCD hình thoi AC=AD=AB=CB=BD= r
Bài 74 ( SGK – 105):
BT 71/103
H
Q P
E D
M C
B A
O
A
B C
M D
E
P Q
H O
A
D C
B E F
G H
b) a)
S
R Q
P I
N M
K
(32)Hai đờng chéo hình thoi có độ dài 8cm 10 cm nên hai nửa đờng chéo cm cm Vậy cạnh hình thoi dài 4252 41 (cm) => chọn đáp án (B).
Bài 75 ( SGK – 105):
GT
ABCD hcn
AG =GB, BK = KC CI = ID, DH = HA KL KGHI hình thoi Chúng minh:
Ta có: AG =GB ; BK = KC
=> GK đường trung bình ABC
=> GK = //1
2 AC Tương tự : HI đường trung bình ADC => HI = // 2AC
Vậy : GHIK hình bình hành Mà GH=
2BD (GH đường trung bình ABD) Và GK = 2A
BD = AC (đường chéo hình chữ nhật ) Nên : GH = GK
Vậy trung điểm cạnh hcn đỉnh hình thoi Bài 76 ( SGK – 105):
GT
ABCD hình thoi AE = EB, BF = FC CG = GD, DH = HA KL EFGH hcn
Chứng minh
Ta có EA = EB(gt) ; FB = FC(gt)
=> EF đường trung bình ABC => EF = //
2 AC
Tương tự : HG đường trung bình ADC => HG=//1
2AC
Vậy : EFGH hình bình hành (có hai cạnh đối vừa // vừa =)
Ta lại có HE//BD (HE đường trung bình ABD) BDAC (đường chéo hình thoi)
EF//AC(cmt) Nên : EFHE => HEF = 900
- Vậy hình bình hành EFGH hình chữ nhật( có góc vng)
§ 12 HÌNH VNG Bài 81 ( SGK – 105):
AEDF hình vng AEDF A = 450 + 450= 90 = 900 (gt) , AEDF hcn , K H
I G
A B
D C
F E
H G
A C
B
(33)Bài 83 ( SGK – 109): a S d S; b § e §; c §
Bài 84 ( SGK – 109):
GT
ABC, D BC DE//AB ; DF//AC
KL AEDF hình gì? Vì Sao? Vtrí D để AEDF hthoi AEDF h`gì Â= 1v Vị trí D để AEDF hvg Chứng minh:
a) Ta có: DE//AB; DF//AC DE//AF, DF//AE AEDF hình bhành
b) AD phải phân giác  Vậy D giao diểm tia phân giác  với BC hbh AEDF hình thoi
c) Â = 1v hbh AEDF hcnhật
Nếu D giao điểm tia phân giác góc A với BC hcn AEDF có đường chéo AD pgiác hình vng
Bài 85 ( SGK – 109):
Chứng minh:
a) Ta có: AE//DF AE = DF AEFD hbh Hbh AEFD có Â = 1v nên hcn, lại có AD = AE =
1
2 AB nên hình vng
b) Tứ giác DEBF có EB//DF, EB = DF nên hbh, DE//BF Tương tự AF//EC => EMFN hbhành
ADFE hvuông (câu a) nên ME = MF ME MF Hình bhành EMFN có:
ˆ
M = 1v nên hcn, lại có ME = MF nên hvng
Bài 86 ( SGK – 109): GT
hcn ABCD; AB = 2AD
AE = EB; DF = FC AF cắt DE M; CE cắt BF N
KL ADFE hình ? EMFN hình gì? Vì
a) BT 84/109
F
E
C B
A
D
BT 85/ 109
N M
F E
D C
(34)Tứ giác nhận đợc hình thoi có đờng chéo cắt trung điểm đờng vng góc với
Nếu có thêm OA=OB hình thoi nhận đợc có đờng chéo nên hình vng
Bài 88 ( SGK – 111):
a) EFGH hbh; ta có HG // AC; EF // AC HG =
2 AC; EF =
2AC; HG // EF; HG = EF
=>Tứ giác EFGH hình bình hành ( dhnb ) Để EFGH hcn phải có thêm đk: EH EF
AC BD (vì EH // BD; EF // AC)
Vậy đk đường chéo ABCD vng góc với b) EFGH trở thành hình thoi EF = EH
=> AC = BD
c) hbh EFGH hình vng EFGH hcn EFGH hình thoi AC BD AC = BD
Bài 89 ( SGK – 111):
AB lµ trung trùc cđa EM a) ta cã:
ED =DM (gt) (1) MB =MC (gt) (1’)
=> DM//AC A = 1V => MDAB (2)
Từ (1) (2) => AB trung trực EM Vậy điểm E đối xứng với điểm M qua AB b) Từ (1) (1’) =>DM đờng trung bình ABC => DM=1/2AC
Mµ DE =DM (gt), EM =AC Và EM//AC => AEBC hình bình hành
Chứng minh tơng tự AEBM hình bình hành, AB ME (cmt) => AEBM hình thoi
CHNG II
BT 88/ 111
H
G
F E
D C
B A
BT 89/ 111 E
D
M C
B
(35)ĐA GIÁC DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
§ ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU Bài (SGK – 115):
§2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT Bài (SGK – 119):
Hình vng ABCD Tìm x = ? để SABE = 3
1
SABCD
SABCD = 122 = 144 cm2
SABE =
2
.12.x = 6x Từ SABE = 3
1
SABCD x = (3
1
.144 ) : = 18 144
cm Bài 10 (SGK – 119):
Cho tam giác ABC vuông A SABMN + SACHG = AB2 + AC2
SBCEF = BC2
Áp dụng định lí Pytago, ta có: AB2 + AC2 = BC2
Vậy : SABMN + SACHG = SBCEF
Bài 13 (SGK – 119):
GT ABCD hình chữ nhật HK//DC FG//AD KL SEFBK = SEGDH
Chứng minh:
SABC = SCDA; SAHE = SEFA; SEGC = SCKE
SABC = SEFA + SCKE +SEFBK
SCDA = SAHE + SCGE+ SEGDH
Mà: SABC = SCDA ;SAHE = SEFA; SEGC = SCKE
Nên : SEFBK = SEGDH
Bài 14 (SGK – 119):
S= 700.400 = 280.000 (m2) = 0,28km2 =
Bài 15 (SGK – 119):
a) SABCD 5x315(cm2) Chu vi ABCD = (5 + 3) x = 16 (cm)
chẳng hạn hình chữ nhật có kích thớc 7cm 2cm diện tích 14cm2 chu vi là 18cm
b) -Chu vi hình vuông 4a (với a cạnh hình vuông) Để chu vi hình vuông chu vi hình chữ nhËt th×: 4a = 16 a = 4(cm)
- Diện tích hình chữ nhật ABCD 15cm2
Diện tích hình vuông có chu vi 42=16(cm2) S hình chữ nhật nhỏ S hình vuông
x
12
B C
D
A E
e f b
a c n
m
g h
e A
D C
B f
g
(36)§3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC Bài 16 (SGK – 121):
H×nh128
a) S = 1/2 a.h; S hcn = a.h => S hcn = S
b); c) tơng tự phần a
Bi 17 (SGK – 121): GT ABO, O = 900
OM AB
KL AB.OM = OA.OB Ta có: SABC = 2
1
OA.OB SABC = 2
1
OM.AB
Suy : 21 OA.OB = 12 OM.AB Vậy : AB.OM = OA.OB Bài 18 (SGK – 121):
Bài 20 (SGK – 122): * Cách 1:
SBCMN = SBNE + SDCM + SBCDE
SABC = SAEK + SAKD + SBEDC
Mà : SBNE = SAEK SDCM = SAKD
Nên : SBCMN = SABC
* Cách 2: Dựa vào diện tích tam giác diện tích hình chữ nhật Vì: SBNE = SAEK Nên NB = EA
Mà BHKN HCN nên BN = HK; Suy BN =12 AH SBCMN = BC.NB = 2
1
BC.AH = SABC
Bài 21 (SGK – 122): SAED =
2
AD.HE = 12 5.2 = cm
Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp
m n e d
A
B C k
m a
b c
x x
2 cm
A D E
(37)SABCD = AB.BC
= x.5 = 5x cm Vì : SABCD = 3.SAED
5x = Nên : x = cm Bài 22 (SGK – 122):
a) SPIF= SPAF điểm I thuộc đường thẳng d qua A // PF
b) SPOF = SPAF điểm O thuộc m //PF cách PF khoảng lần khoảng cách từ A đến đường thẳng PF
c) SPNF = 2
SPAF
Vậy N thuộc n’ // PF cách PF khoảng 12 khoảng cách từ A -> PF Bài 23 (SGK – 122):
A b c a
B H C
Bài 25 (SGK – 122):
Đờng cao là:
2
4
3
2
2 a a a
a
VËy diÖn tÝch lµ:
4
3
1 a a a2
§4 DIỆN TÍCH HÌNH THANG Bài 26 (SGK – 125):
ABCD hình chử nhật nên AB = CD = 23 (cm) Suy chiều cao AD = 828:23 = 36 (cm)
SABED = (23+31).36:2 = 972 (cm2)
ABC cân vẽ AH BC => AH trung tuyến
=> BH = BC2 = a2 AH2 =AB2-BH2= b2
-4
2
a
(Đlí Pitago ABH vuông H) SABC =
2
AH BC
= 2
2
1 b2 a2 a
= 2
4
1 b2 a2
a
a
(38)