Chương 33 CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH đường thẳng ∆ : ax + by + c = với a + b2 > Khi Câu 1: Cho điểm M ( x0 ; y0 ) khoảng cách d( M ;∆ ) A d( M ;∆ ) = C d( M ;∆ ) = ax0 + by0 + c a +b +c ax0 + by0 + c 2 a +b 2 B d( M ;∆ ) = D d( M ;∆ ) = ax0 + by0 + c a2 + b2 Lời giải ax0 + by0 + c a + b2 + c Chọn D Xem lại công thức sách giáo khoa  x = + 3t Câu 2: Khoảng cách từ điểm M ( 15;1) đến đường thẳng ∆ :  y = t 16 A B C 10 D 10 Lời giải Chọn C Đường thẳng có phương trình tổng qt là: x − y − = 15 − − 10 = = 10 Vậy d ( M , ∆ ) = 1+ 10 Câu 3: Khoảng cách từ điểm M ( 5; −1) đến đường thẳng ∆ : x + y + 13 = A 13 B C 28 13 D 13 Lời giải Chọn D 15 − + 13 26 = 13 4+9 13 Câu 4: Khoảng cách từ điểm M ( 0;1) đến đường thẳng ∆ : x − 12 y − = Ta có: d ( M , ∆ ) = A 11 13 B = 13 17 C D 13 Lời giải Chọn C Ta có: d ( M , ∆ ) = −12 − =1 25 + 144 Câu 5: Cho ba điểm A ( 0;1) , B ( 12;5 ) , C ( −3;5 ) Đường thẳng sau cách ba điểm A , B , C ? A x − y + = B x − y + 21 = C x + y = Lời giải D x − y + = Chọn B Ta có d( A;∆ ) = d ( B ; ∆ ) = d ( C ;∆ ) = , với ∆ : x − y + 21 = Trang 1/12 Câu 6: Tìm tọa độ điểm M nằm trục Ox cách đường thẳng: ∆1 : x − y − = ∆ : x − y + = ( ) A 0; 1  B  ; ÷ 2  C ( 1; ) D ( ) 2; Lời giải Chọn B Giả sử M ( m; ) Ta có: d ( M , ∆1 ) = d ( M , ∆ ) ⇔ 3m − 4+9 = 3m + 4+9 ⇔m= 1  Vậy M  ;0 ÷ 2   x = + 3t Câu 7: Khoảng cách từ điểm M ( 2; ) đến đường thẳng ∆ :   y = + 4t 10 A B C D Lời giải Chọn A Đường thẳng có phương trình tổng quát là: x − y + = 8+ = Vậy d ( M , ∆ ) = 16 + Câu 8: Khoảng cách từ điểm M ( 1; −1) đến đường thẳng ∆ : x − y − 17 = A 10 B C D − 18 Lời giải Chọn C Ta có: d ( M , ∆ ) = + − 17 = 16 + Câu 9: Khoảng cách từ điểm M ( 1;0 ) đến đường thẳng ∆ : 3x + y − = A B 10 C D 25 Lời giải Chọn A Ta có: d ( M , ∆ ) = Câu 10: −1 16 + = Khoảng cách từ điểm M ( −1;1) đến đường thẳng ∆ : 3x − y − = A B C 5 Lời giải Chọn B −3 − − = Ta có: d ( M , ∆ ) = 16 + D 25 Trang 2/12 Khoảng cách từ điểm O ( 0;0 ) đến Câu 11: x y đường thẳng ∆ : + = A 4,8 B 10 C 48 14 D 14 Lời giải Chọn A x y ∆ : + = ⇔ x + y − 48 = −48 = 4,8 Ta có: d ( O, ∆ ) = 64 + 36 Câu 12: đường thẳng ∆ : 3x + y + = A 10 B Khoảng cách từ điểm M ( 1; −1) đến 10 C D Lời giải Chọn B Ta có: d ( M , ∆ ) = −1 + 1+ = 10 Câu 13: điểm O ( 0;0 ) đến đường thẳng ∆ : x − y − = B −5 A C Khoảng cách từ D Lời giải Chọn C Ta có: d ( O, ∆ ) = Câu 14: −5 = 16 + Cho hai điểm A ( 1; −2 ) , B ( −1; ) Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A x + y = B x + y = C x − y = Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm đoạn AB ⇒ M ( 0; ) D x − y + = uuu r Đường trung trực đoạn thẳng AB qua điểm M có vtpt AB ( −2; ) nên có phương trình là: x − y = Khoảng cách từ điểm M ( 0;3) đến Câu 15: đường thẳng ∆ : x cos α + y sin α + ( − sin α ) = A C 3sin α B D sin α + cos α Lời giải Chọn B Ta có: d ( M , ∆ ) = 3sin α + ( − sin α ) =6 Trang 3/12 Cho đường thẳng ∆ : x + 10 y − 15 = Câu 16: Trong điểm M ( 1; −3) , N ( 0; ) , P ( 8; ) , Q ( 1;5 ) điểm cách xa đường thẳng ∆ nhất? A N B M C P D Q Lời giải Chọn D − 30 − 15 38 = Ta có: d ( M , ∆ ) = 2 149 + 10 d ( N, ∆) = d ( Q, ∆ ) = d ( P, ∆ ) = Câu 17: 40 − 15 + 102 + 50 − 15 + 102 56 − 15 + 10 2 = = = 25 149 42 149 41 149 Tính diện tích tam giác ABC biết A ( 2; −1) , B ( 1; ) , C ( 2; −4 ) A B 37 C D Lời giải Chọn D uuu r uuur uuur Ta có: AB = ( −1;3) ⇒ AB = 10 , AC = ( 0; −3) ⇒ AC = , BC = ( 1; −6 ) ⇒ BC = 37 ⇒ p= + 10 + 37 + 10 + 37 10 + 37 − 3 + 10 − 37 − 10 + 37 × × × = 2 2 Câu 18: Tính diện tích tam giác ABC biết A ( 3; ) , B ( 0;1) , C ( 1;5 ) ⇒S= A 11 17 B 17 C 11 D 11 Lời giải Chọn D uuur Ta có: BC = ( 1; ) ⇒ BC = 17 Phương trình đường thẳng BC : x − y + = 1 11 11 ⇒ S = BC ×d ( A, BC ) = 17 × = 2 17 Câu 19: Tính diện tích tam giác ABC biết A ( 3; −4 ) , C ( 3;1) , B ( 1;5 ) A 10 B C 26 D Lời giải Chọn A uuur Ta có: BC = ( 2; −4 ) ⇒ BC = 20 Phương trình đường thẳng BC : x − y − = Trang 4/12 ⇒S= Câu 20: 1 10 BC ×d ( A, BC ) = 20 × = 10 2 Tính chiều cao tương ứng với cạnh BC tam giác ABC biết A ( 1; ) , C ( 4;0 ) , B ( 0;3) A B 25 C D Lời giải Chọn B uuur Ta có: BC = ( 4; −3) Phương trình đường thẳng BC : x + y − 12 = + − 12 ⇔ d ( A, BC ) = = 5 Câu 21: Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x + y + 12 = A 50 B C D 15 Lời giải Chọn C Lấy M ( 0;3) ∈ ∆1 + 12 + 49 Câu 22: Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 : x − y = ∆ : x − y − 101 = Ta có: ∆1 //∆ ⇒ d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) = A 1, 01 B = C 10,1 101 D 101 Lời giải Chọn C Lấy M ( 0; ) ∈ ∆1 101 101 = 10,1 36 + 64 10 Câu 23: Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 : x − y + = ∆ : x − y + = 10 A B C D 74 74 74 74 Lời giải Chọn C Ta có: ∆1 //∆ ⇒ d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) = = Lấy M ( 2; ) ∈ ∆1 Ta có: ∆1 //∆ ⇒ d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) = Câu 24: 10 − 14 + 25 + 49 74 Cho đường thẳng qua hai điểm = A ( 3; −1) , B ( 0;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB 7  A M  ;0 ÷ M ( 1;0 ) B M 13;0 2  ( ) Trang 5/12 C M ( 4; ) D M ( 2; ) Lời giải Chọn C uuu r Ta có: AB = ( −3; ) Phương trình đường thẳng AB : x + y − = m = 4m − 7  ⇒ M  ;0 ÷ M ( 1;0 ) Gọi M ( m;0 ) ⇒ d ( M , AB ) = =1 ⇔  m = 2   Câu 25: Cho hai điểm A ( 2;3 ) , B ( 1; ) Đường thẳng sau cách A B ? A x + y − = B x + y = C x − y + 10 = D x − y + 100 = Lời giải Chọn A Vì d ( B, ∆ ) = d ( A, ∆ ) = Câu 26: Cho đường thẳng qua hai điểm A ( 3; ) , B ( 0; −4 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy cho diện tích tam giác MAB A M ( 0;1) B M ( 0; ) M ( 0; −8) C M ( 1;0 ) D M ( 0;8 ) Lời giải Chọn B uuu r Ta có: AB = ( −3; −4 ) Phương trình đường thẳng AB : x − y − 12 = m = 1 3m + 12 Gọi M ( 0; m ) ⇒ S ∆MAB = d ( M , AB ) ×AB = ⇔ × ; ×5 = ⇔  2  m = −8 Vậy M ( 0; ) M ( 0; −8) Câu 27: Cho đường thẳng qua hai điểm A ( 1; ) , B ( 4;6 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy cho diện tích tam giác MAB  4 A M ( 0;1) B M ( 0; ) M  0; ÷  3 C M ( 0; ) D M ( 1;0 ) Lời giải Chọn B uuu r Ta có: AB = ( 3; ) Phương trình đường thẳng AB : x − y + = m = 1 m−3 × 32 = ⇔  Gọi M ( 0; m ) ⇒ S ∆MAB = d ( M , AB ) ×AB = ⇔ × m = 2   4 Vậy M ( 0; ) M  0; ÷  3 Trang 6/12 Cho M ( 1; −1) đường thẳng Câu 28: ∆ : x + y + m = Tìm m > cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ A m = B m = ±9 C m = D m = −4 m = −16 Lời giải Chọn C m = 3−4 + m Ta có d ( M , ∆ ) = ⇔ =1 ⇔   m = −4(loai ) Vậy m = Câu 29: Cho M ( 2;5 ) đường thẳng ∆ : x + y − m = Tìm m cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ A m = 31 m = 11 B m = 21 m = 31 C m = 11 m = 21 D m = ±11 Lời giải Chọn B  m = 21 + 20 − m Ta có d ( M , ∆ ) = ⇔ =1 ⇔   m = 31 Câu 30: Cho hai điểm A ( 1;1) , B ( 3; ) Tìm phương trình đường thẳng qua A cách B khoảng là: A x − = 21x − 20 y − = B x + y − = 21x − 20 y − = C x − y − = 21x − 20 y − = D − x + y = 21x − 20 y − = Lời giải Chọn A Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm qua điểm A có dạng: a ( x − 1) + b ( y − 1) = ( a + b ≠ ) b = = ⇔ 21b + 20ab = ⇔  Ta có ⇒ d ( B, ∆ ) = ⇔ 2 b = − 20 a a +b  21 21 x − 20 y − = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm : x − = , Câu 31: Cho hai điểm A ( 3; ) , B ( −2; ) Tìm phương trình đường thẳng qua A cách B khoảng là: A x + y − 17 = x + y − 23 = B x + y − = x − y + = C x − y − = x − y + = D x + y − 17 = x − y − = 2a + 5b Lời giải Chọn D Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm qua điểm A có dạng: a ( x − 3) + b ( y − ) = ( a + b ≠ )  a = b = ⇔ 16a = 9b ⇔  Ta có ⇒ d ( B, ∆ ) = ⇔ 2 a +b a = − b  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm : x + y − 17 = , x − y − = −5a Trang 7/12 Điểm A ( a; b ) thuộc đường thẳng Câu 32: x = + t d : cách đường thẳng ∆ : x − y − = khoảng a > y = 2+t Khi ta có a + b A 23 B 21 C 22 D 20 Lời giải Chọn A uuu r Ta có: AB = ( −3; ) Phương trình đường thẳng AB : x + y − = t +1 t = ⇒ A ( 12;11) =2 ⇔ Gọi A ( + t ; + t ) ⇒ d ( A, ∆ ) = t = −11(loai ) ⇒ a + b = 23 Câu 33: Cho hai điểm A ( 3; ) , B ( −4;1) , C ( 0;3 ) Tìm phương trình đường thẳng qua A cách B C A x + y − = x + y − 23 = B x + y − = x − y + = C x + y − = x − y + = D y − = , x − y + = Lời giải Chọn D Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm qua điểm A có dạng: a ( x − 3) + b ( y − ) = ( a + b ≠ ) 7a + b −3a + b  a + b = −3a + b a = ⇔ ⇔  b = −2a a + b2 a + b2  a + b = 3a − b  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm : y − = , x − y + = Câu 34: Bán kính đường tròn tâm I (0; −2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x − y − 23 = là: A 15 B C D Lời giải Chọn D Ta có R = d ( I , ∆ ) = Câu 35: Với giá trị m đường thẳng ∆ : x + y + m = tiếp xúc với Ta có d ( B, ∆ ) = d ( C , ∆ ) ⇔ = đường tròn ( C ) : x + y − = A m = −3 C m = −3 B m = m = −3 D m = −15 m = 15 Lời giải Chọn D Đường trịn ( C ) có tâm I ( 0;0 ) , bán kính R = m = ⇔ m = ±15 Câu 36: Bán kính đường trịn tâm I (2; 2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x + y + = là: A 15 B C D Lời giải Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C ) ⇔ R = d ( I , ∆ ) ⇔ Trang 8/12 Chọn D Ta có R = d ( I , ∆ ) = Câu 37: Đường thẳng sau song song x −1 y +1 = khoảng 10 ?  x = + 3t B x + y + = C  D x − y + =  y = 1+ t cách đường thẳng A x + y + = Lời giải Chọn D x −1 y + ∆: = ⇔ x − y − = Lấy M ( 7;1) ∈ ∆ Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng : x − y + C = ( C ≠ −4 ) C = = 10 ⇔  10 C = −14 Phương trình đường thẳng d cần tìm : x − y − 14 = , x − y + = Câu 38: Đường thẳng ∆ :5 x + y = 15 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bao nhiêu? A 7,5 B C 15 D Lời giải Chọn A ∆ ∩ Ox = A ( 3; ) , ∆ ∩ Oy = B ( 0;5 ) Theo ta có: d ( M , d ) = 10 ⇔ 4+C 15 Vậy S ∆OAB = OA ×OB = = 7,5 2 Câu 39: Cho đường thẳng ∆ : x − y + = điểm O ( 0;0 ) , A ( 2; ) Ttìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ A O′ ( −2; ) B O′ ( −1;1) C O′ ( 2; −2 ) D O′ ( 2; ) Lời giải Chọn A r ∆ : x − y + = có vtcp u = ( 1;1) r Phương trình đường thẳng OO′ qua điểm O có vtpt u là: x + y = Có OO′ ∩ ∆ = I ( −1;1) Vì I trung điểm OO′ nên suy O′ ( −2; ) Câu 40: Tìm tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng sau : d : x − 12 y + = 13 ∆ : x − y − 10 = A x − y − 14 = x − y − = B x − y − = x − y + 14 = C x + y − 14 = x + y − = D x − y + 14 = , x − 15 y − = Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y ) d ( M,d ) = Câu 41:  x − y + 14 = 5 x − 12 y + x − y − 10 ⇔ d ( M , ∆) ⇔ = 13 13 13 9 x − 15 y − = Cho đường thẳng ∆1 : x + y + = , ∆ : x − y − = , ∆ : x − y = Biết điểm M nằm đường thẳng ∆ cho Trang 9/12 khoảng cách từ M đến ∆1 hai lần khoảng cách từ M đến ∆ Khi tọa độ điểm M là: A M ( −2; −1) M ( 22;11) B M ( −22; −11) C M ( −2; −1) D M ( 2;1) M ( −22; −11) Lời giải Chọn D Lấy M ( 2t ; t ) ∈ ∆ t = ⇔ ⇒ M ( 2;1) ; M ( −22; −11) t = − 11 2  Câu 42: Cho đường thẳng qua hai điểm A ( 2; ) , B ( 5;1) Tìm tọa độ điểm C đường thẳng ∆ : x − y + = cho diện tích tam giác ABC 17  76 18  A C ( 12;10 ) C  − ; − ÷ B C ( −12;10 ) 5  d ( M , ∆1 ) = 2d ( M , ∆ ) ⇔ 3t + =2 t−4  41  D C  ; ÷  10  C C ( −4; ) Lời giải Chọn A uuu r Ta có: AB = ( 3; −1) Phương trình đường thẳng AB : x + y − = c = 10 1 5c − 16 × 10 = 17 ⇔  Gọi C ( 2c − 8; c ) ⇒ S ∆CAB = d ( C , AB ) ×AB = 17 ⇔ × c = − 18 2 10   76 18  Vậy C ( 12;10 ) C  − ; − ÷ 5  Câu 43: Cho đường thẳng ∆ : x − y + = điểm O ( 0;0 ) , A ( 2; ) Trên ∆ , tìm điểm M cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn  10   10   4 A M  ; ÷ B M ( −1;1) C M  − ; ÷ D M  − ; ÷ 3   3  3 Lời giải Chọn D Nhận xét O A nằm phía so với đường thẳng ∆ Gọi điểm O′ điểm đối xứng với O qua đường thẳng ∆ Ta có OM + MA = O′M + MA ≥ O′A Vậy độ dài đường gấp khúc ngắn M = O′A ∩ ∆ Phương trình đường thẳng OO′ : x + y = Có OO′ ∩ ∆ = I ( −1;1) Vì I trung điểm OO′ nên suy O′ ( −2; ) Phương trình đường thẳng AO′ : x + y − =  4 ⇒ M  − ; ÷  3 Câu 44: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: x − y + = , x + y − = đỉnh A ( 2; −3) Tính diện tích hình chữ nhật Trang 10/12 A 126 13 B 126 26 C D 12 Lời giải Chọn A Gọi d : x − y + = ; ∆ : x + y − = Nhận xét d ⊥ ∆ , A ( 2; −3) ∉ d ; ∆ + + − + 126 × = 13 13 13 Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa đợ Oxy , tính diện tích hình vng có đỉnh nằm hai đường thẳng song song: d1 : 3x − y + = d : x − y − 13 = Diện tích hình chữ nhật : S = d ( A, d ) ×d ( A, ∆ ) = A 10 B 25 C 10 D 25 Lời giải Chọn B Lấy M ( −2;0 ) ∈ d1 Nhận xét cạnh hình vng có độ dài là: a = d ( d1 , d ) = d ( M , d ) = −12 − 13 = 10 25 Diện tích hình vng : S = a = Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ∆ABC có A ( 1; −1) , B ( −2;1) , C ( 3;5 ) Tính diện tích ∆ABK với K trung điểm AC 11 A S ∆ABK = 11đ( vdt ) B S∆ABK = ( đvdt ) C S∆ABK = 10đ( vdt ) D S∆ABK = 5đ( vdt ) Lời giải Chọn B Ta có K ( 2; ) uuur AB = ( −3; ) ⇒ Phương trình cạnh AB : x + y + = 1 + +1 11 d ( K , AB ) ×AB = × × 13 = 2 13 Câu 47: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng x + y − = và x − y + = Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I ( 3;3) Ta có: ⇒ S∆KAB = A S ABCD = 74đ( vdt ) B S ABCD = 55đ( vdt ) C S ABCD = 54đ( vdt ) D S ∆ABCD = 65đ( vdt ) Lời giải Chọn B Gọi hình bình hành ABCD d : x + y − = ; ∆ : x − y + = Không làm tính tổng quát giả sử d ∩ ∆ = A ( −1; ) , B ∈ ∆ , D ∈ d Ta có d ∩ ∆ = A ( −1; ) Vì I ( 3;3) tâm hình bình hành nên C ( 7; ) uuur AC = ( 8; ) ⇒ Đường thẳng AC có pt là: x − y + = Trang 11/12 r Do BC //∆ ⇒ Đường thẳng BC qua điểm C ( 7; ) có vtpt n = ( 3; −1) có pt là: x − y − 17 = 9 7 Khi d ∩ BC = B  ; − ÷ 2 2 + 14 + Ta có: S ∆ABCD = d ( B, AC ) ×AC = ×2 17 = 55 17 Câu 48: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ∆ABC có đỉnh A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) và diện tích ∆ABC bằng Biết trọng tâm G của ∆ABC thuộc đường thẳng d : 3x − y − = Tìm tọa độ điểm C A C ( 1; −1) C ( 4;8 ) B C ( 1; −1) C ( −2;10 ) C C ( −1;1) C ( −2;10 ) D C ( −1;1) C ( 2; −10 ) Lời giải Chọn B uuu r AB = ( 1;1) ⇒ Đường thẳng AB có pt là: x − y − = Gọi G ( a;3a − ) ⇒ C ( 3a − 5;9a − 19 ) a = 1 −6a + d ( C , AB ) ×AB = × × 2= ⇔ 2 2 a = Vậy C ( 1; −1) C ( −2;10 ) Ta có: S ∆CAB = Câu 49: Cho đường thẳng ∆ : 21x − 11 y − 10 = Trong điểm M ( 20; −3) , N ( 0; ) , P ( −19;5 ) , Q ( 1;5 ) điểm cách xa đường thẳng ∆ nhất? A N B M C P D Q Lời giải Chọn C 21.20 + 33 − 10 443 = Ta có: d ( M , ∆ ) = 562 212 + 112 −44 − 10 44 = Ta có: d ( N , ∆ ) = 562 212 + 112 −399 − 55 − 10 464 = Ta có: d ( P, ∆ ) = 562 212 + 112 21 − 55 − 10 44 = Ta có: d ( Q, ∆ ) = 562 212 + 112 Câu 50: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + = 0, ∆ : x + y − = và điểm P ( 2;1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm P và cắt hai đường thẳng ∆1 , ∆ lần lượt tại hai điểm A , B cho P là trung điểm AB A x − y − = B x − y − = C x + y − = D x − y + 14 = Lời giải Chọn A Ta có ∆1 ∩ ∆ = I ( 0;1) Trang 12/12 Vì A ∈ ∆1 ⇒ A ( a; a + 1) Vì P ( 2;1) trung điểm đoạn AB ⇒ B ( − a;1 − a ) Mặt khác B ∈ ∆ ⇒ a =  11  ⇒ A ; ÷ 3  uuu r  8 AP =  ; ÷ ⇒ Đường thẳng AP : x + y − = có pt là: x − y − =  3 Trang 13/12