TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm)  P  : y  x  mx  3m  , đường thẳng  d  : x  y  m  Trong mặt phẳng Oxy cho parabol ( m tham số thực) hai điểm A  1;  1 B  2;   d  cắt parabol  P  , Tìm m để đường thẳng hai điểm phân biệt M , N cho A , B , M , N bốn đỉnh hình bình hành  x  y    xy Cho số thực x, y thỏa mãn: Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ biểu thức Câu (5.0 điểm) P   x4  y   4x2 y Giải phương trình  x  1 Tính M  m x  x  25  23x  13 3 � �x  y  3x  x  y   � ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y Giải hệ phương trình � Câu (2.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A(1;3) Gọi D điểm cạnh AB cho �1 � M � ; � �2 �là trung điểm HC Xác AB  AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm đường thẳng có phương trình x  y   Câu (6.0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh 15 Lấy điểm M , N , P cạnh BC , CA, AB cho BM  5, CM  10, AP  Chứng minh AM  PN Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c R, r bán kính đường trịn ngoại a  b  c 2r  4 abc R tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn Chứng tam giác ABC tam giác Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R  Đặt diện tích tứ giác ABCD S AB  a, BC  b, CD  c, DA  d  ab  cd   ad  bc  T S Tính giá trị biểu thức Câu (2.0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 a2 b2 c2 a  b2  c2   � 2a  2b  2c  a  b2  c2  -Hết - Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Thực lời giải sưu tầm tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC  P  : y  x  mx  3m  , đường thằng  d  : x  y  m  ( Câu 1.1 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol m tham số thực) hai điểm A  1;  1 , B  2;  Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P hai điểm phân biệt M , N cho A , B , M , N bốn đỉnh hình bình hành Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P  d : x  mx  3m   x  m � x   m  1 x  2m   1 � Đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt �  1 có hai nghiệm phân biệt m 1 � � m  10m   � � �    m  1   2m    m9 � Khi đó,  d cắt (giả sử x1  x2 )  P hai điểm M  x1 ; x1  m  N  x2 ; x2  m   1 , với x1 , x2 nghiệm � Bốn điểm A , B , M , N bốn đỉnh hình bình hành xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM uuu r uuuu r � AB  MN �  x2  x1 2m � �x1   �x1  x2   m � 4m � � �x1 x2  2m  � �x2  �x  x  � �2 �x1 x2  2m  � � Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:  Suy 2m 4m  2m  � m2  10m  � 2 m0 � � m  10 � M  1;  1 �A x  1 � � x2  x   � � �� x2 N  2;  �B  1 trở thành: � � Với m  , (loại) M  6;  x  6 � � x  x  18  � � �� x  3 � N  3;7   1 trở thành: � Với m  10 , thỏa mãn ABNM tạo thành hình bình hành Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 �1 � I�; � Khi đó, �2 �là trung điểm AB trung điểm MN nên �x1  x2  � � 2 �m0 � �x1  x2  2m  � 2 (loại) Vậy m  10  x  y    xy Câu 1.2 Cho số thực x, y thỏa mãn: Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ biểu thức P   x4  y   4x2 y Tính M  m Lời giải Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình P   x4  y   x2 y  �  4x2 y2 �x2  y   x y � � 2  xy � 2 � 2 2   x  y   10 x y  � � 10 x y   x y  xy  1  10 x y � � P 33 2 7 x y  xy  4 Đặt t  xy , ta có 1�  xy  x y2  xy 2� y  �2 xy � �۳ ۳xy  x  � � P M 33 7 t  t 4 xy 2 x y t xy xy t �1 1� t ��  ; � 3� � với 70 7 20 t xy  x2  y2  33 xảy 33 hay 33 Khi 33 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC � � � � � �x  � � � � � � � � �y  � � �� � � � � �x  � � � � xy  � � � � 33 � � � � 20 �x  y  � �y  � � 33 Ta có � m Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 34  33 11 34  33 11 34  33 11 34  33 11 18 1 t xy   x2  y2  25 xảy hay Khi � � � �x  � � � � �y   � � � �� � � � � x � xy   � � � � � � � �y  �x  y  � � � � Ta có � Vậy M m 2344 825 Câu 2.1 Giải phương trình  x  1 x  x  25  23x  13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia Ta có  x  1 x  x  25  23x  13 �  x  1 � x  x  25   x  3 � x  18 x  16   1 � � 3 � x� � �� � x  x  25   x  3  � x  x  25  2 x  (PTVN) TH1: x  x  25   x  3 �0 TH2: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC  1 �  x  1  2x  18 x  16  x  x  25   x  3 Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019  x  18 x  16  � � x 1 �  x  18 x  16  �  1� � � x  x  25   x  3 � � � x  18 x  16   1 � x 1 �� 1  � x  x  25   x  3 �  2 �x  � x  Giải   ta �  2 � Giải x  x  25  3 x  4 � � x� �� � x  5  � 3x  30 x   � Vậy tập nghiệm phương trình cho  S  1; 8;    Câu 2.2 Giải hệ phương trình 3 � �x  y  3x  x  y   � ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y � Lời giải Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ Điều kiện: y �1 3 3 Ta có x  y  x  x  y   � ( x  1)  3( x  1)  y  y (1) (t )  3t   0, t �� Do hàm số f (t ) đồng biến � Xét hàm số f (t )  t  3t , f � Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( y) nên x   y Do y �1 nên x �2 ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y ta có Thế x   y vào phương trình ( x  1) x   ( x  6) x   x  x  12 � ( x  1)( x   2)  ( x  6)( x   3)  x  x  x  (TM ) � ( x  1)( x  2) ( x  6)( x  2) � �   ( x  2)( x  4) � � x   x   x  (*) x2 2 x7 3 �x2 2 x7 3 Giải phương trình (*): x 1 x6 2( x  2) 2( x  6)   x4�  ( x  2)    ( x  6)  x22 x7 3 x2 2 x2 2 x7 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 � x  � � x   � � ( x  2) �   ( x  6) � � � x22� x2 2 � x7 3 � � � � � � (**) Dễ thấy vế trái phương trình (**) ln âm với x �2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (2;3) Bổ sung: Để đánh giá (*) vơ nghiệm có thể xét riêng Trường hợp 1: x �1 � VT  x 1 x    x  x4 2 Trường hợp 2: 1  x �2 � VP  VT   x    x 1 x6  x22 x7 3 x  � � 2x � x 1 �x  �  �  �  � x 7 3� � � x   �3 Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A(1;3) Gọi D điểm cạnh AB cho �1 � M � ; � �2 �là trung điểm AB  AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm HC Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm đường thẳng có phương trình x  y   Lời giải Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích Gọi F trung điểm BC Gọi E giao điểm CD với đường thẳng qua A song song với BC � AEBF hình chữ nhật � AEBF nội tiếp đường trịn (T ) có đường kính AB EF Ta có MF đường trung bình tam giác BHC � MF song song với BH �  900 � E , M , F � EMF nằm đường trịn đường kính EF � A, E , B, F , M nằm � đường tròn (T ) � AMB  90 � AM  BM Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC Vì Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 B � d  : x  y   � B(b; 7  b) uuuu r uuuu r Vì AM  BM � AM BM  � b  4 � B(4; 3) uuu r uuur AB  AD � AB  AD � D (2;1) D AB Do nằm cạnh � Phương trình đường thẳng CD là: x  y   � C (c; 1  c ) c  7 � C (7;6) � 2 AB  AC �  c  1   4  c   45 � � �� c2 C (2; 3) � � Do Câu 4.1 Cho tam giác ABC có cạnh 15 Lấy điểm M , N , P cạnh BC , CA, AB cho BM  5, CM  10, AP  Chứng minh AM  PN Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn rr r r 225 uuu r r uuur r uuur r r b.c  b c cos600  Đặt AB  b, AC  c Khi BC  c  b uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur r r r r r AM  AB  BM  AB  BC  b  (c  b)  c  b 3 3 Ta có uuur uuur uuur r r PN  AN  AP  c  b 15 uuuu r uuur �1 r r ��1 r r � r r 2 r r �1 � AM PN  � c  b � � c  b � c  b  b.c  �   � 225  ��3 15 � 45 15 �3 �9 45 15 � Khi Suy AM  PN Câu 4.2 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c R, r bán kính đường trịn ngoại a  b  c 2r  4 abc R tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn Chứng tam giác ABC tam giác Lời giải Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC S Ta có: � Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 abc abc r abc r  pr � S  p � p  p  a   p  b   p  c   p 4R R R 2r  a  b  c   a  b  c   b  c  a   R abc a  b  c 2r  4 abc R Do đó: � a3  b3  c3   a  b  c   a  b  c   b  c  a   4abc � a  b3  c3  � a2   b  c  �  b  c  a   4abc � � � a  b3  c  � a3  a  b  c    b  c   b  c   a  b  c  � 4abc � � � a 2b  ab  b 2c  bc  c a  a 2c  6abc (*) 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: a b  ab  b c  bc  c a  a c �6abc  Dấu xảy a  b  c Ta có: (*) � a  b  c � ABC tam giác (Đpcm) Câu 4.3 Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R  Đặt diện tích tứ giác ABCD S AB  a, BC  b, CD  c, DA  d Tính giá trị biểu thức T  ab  cd   ad  bc  S Lời giải Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến D c d O C A a b B Ta có : S ABC  S R a.b AC � ab  ABC 4R AC Tương tự ta có : cd  S ADC R S R S R ad  ABD bc  BCD AC , BD , BD Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC T Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019  ab  cd   ad  bc  S �S ABC R S ADC R � �S ABD R SBCD R � � AC  AC � � BD  BD � � � � �  S S S S S S S S �S � � ABC ABD  ABC BCD  ADC ABD  ADC BCD � AC BD AC BD AC BD AC BD �  � S   S ABC S ABD  S ABC S BCD  S ADC S ABD  S ADC S BCD  S AC.BD   S ABC S  S ADC S  S  S ABC  S ADC  S S   2 S AC.BD S AC.BD S 2S 4� S ABC  S ABD  S BCD   S ADC  S ABD  S BCD  � �  � S AC.BD Vậy T  Câu Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2 b2 c2 a  b2  c2   � 2a  2b  2c  a  b2  c2  Lời giải Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương Bất đẳng thức cho tương đương với a  b2  c a2 b2 c2    �0 2 2a  2b  2c  a  b  c  14444444244444443 VT Trong a2 a2 a2 3 a 11 a 2a   �   a a   a a.1.1 � a   2a  a  a 1 3 3 9 a.a.1 Tương tự ta có VT � Suy  b2 b 2b c2 c 2c �   �  2b  9 2c  9 a2  b2  c2 a  b2  c2   2 a  b2  c2    �2 a  b  c  2 3 �a  b  c � � t �� 3; 15 � � � � �a  b  c � a  b  c  2   Đặt t  a  b  c  Ta có � Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Lúc đó, với Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 t �� 3; 15 � � �ta có t  t    18� t2  2 t  t 9t  54  t   t  � � ��0 VT �   t  6      t t 9t 9t Dấu xảy t  , suy a  b  c  Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung a a2 a a2 a2 a a2    �   2a  2 a  a Ta có 2a  2a  2 a  a b2 b b2 c2 c c2     Tương tự có 2b  2 2b  b 2c  2 2c  c a2 b2 c2 � a2 b2 c2 �     �   � 2a  2b  2c  2 �2a  a 2b  b 2c  c � Suy Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có  a  b  c a2 b2 c2   �  2 2 2a  a 2b  b 2c  c  a  b  c    a  b  c   � a2 b2 c2 9   �    2 2 2a  2b  2c  2  a  b  c    a  b  c   Ta cần chứng minh a2  b2  c2  �  a  b2  c   a  b2  c  2 Đặt t  a  b  c  Ta có Suy t �� 3; 15 � � � Ta có Mặt khác, ta có  1 �2 a  b  c  2 a b c � 3 � � � a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca  �9 � t2  t2   � �  � 2 4t  18 t t  2t    1 � 2  2t �  9t 9 t  81 9 t4 9  2t   81 2t 81 t  � t 2t Ta cần chứng minh � 81 t t t t t 81 t 81 t t        �  5   � � � 2t 6 6 2t 2592 2 � �  �2 � Thật vậy, t �3 nên � t Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 81 t  � 2  t 2t 2 Suy Dấu ''  '' xảy t  , suy a  b  c  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 12