Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT HÀ TĨNH – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu ( 5.0 điểm) a Cho hàm số y = x − 3mx + 4m − có đồ thị ( Cm ) điểm C ( 1;4 ) Có giá trị ( ) nguyên m để đồ thị hàm số Cm có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4? b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Câu ( 5.0 điểm) a Tìm giá trị b Cho hàm số ¡ có m log 2018 x + log 2019 y =  để hệ phương trình sau có nghiệm  log 2019 x + log 2018 y = m y = f ( x) xác định f ( − 3) > 8, f (4) > , f (2) < 2 Biết hàm số y = f '( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y = | f ( x ) − ( x − 1) | có điểm cực trị? Câu ( 5.0 điểm) a Cho hình lăng trụ lên mp BC ( ABC ) ABC A′ B′C ′ có đáy tam giác cạnh trùng với trọng tâm tam giác a Hình chiếu vng góc A′ ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ a Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu lật ngược phễu lên ( hình H2 h1 = h ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính k h Câu ( 5.0 điểm) a Cho đồ thị hàm số bậc ba (x y= y = f ( x) hình vẽ + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  Hỏi đồ thị hàm số nhiêu đường tiệm cận đứng? b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật có bao ABCD có chiều dài AB = 70 km , chiều rộng AD = 10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B khu đất tư kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển A đến B để hết thời gian Hết LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu ( 5.0 điểm) a Cho hàm số nguyên 4? m y = x − 3mx + 4m − để đồ thị hàm số có đồ thị ( Cm ) điểm C ( 1;4 ) Có giá trị ( Cm ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC Lời giải TXĐ: D= ¡ x = y ' = 3x − 6mx = ⇔  Ta có:  x = 2m Để đồ thị hàm số có điểm cực trị điều kiện là: m ≠ (*) Tọa độ hai điểm cực trị là: A ( 0;4m − ) , B ( 2m; − 4m3 + 4m − ) Phương trình đường thẳng AB : 2m x + y − 4m + = d ( C; AB ) = − 2m + 4m ; uuur AB = ( 2m; −4m3 ) ⇒ AB = 4m + 16m = m + 4m Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019  m = ±1 S∆ABC = d ( C ; AB ) AB = 6m − 2m = ⇔  (tm(*)) Do đó:  m = ±2 Vậy có giá trị nguyên Câu m thỏa mãn yêu cầu tốn b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Lời giải Số phần tử không gian mẫu Gọi C n(Ω ) = C105 = 252 biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác nhau” TH 1: Đội tuyển Việt Nam bảng A, đội tuyển Thái Lan bảng Số cách xếp thỏa mãn C84 = 70 TH 2: Đội tuyển Việt Nam bảng B, đội tuyển Thái Lan bảngA Số cách xếp thỏa mãn C84 = 70 Số phần tử biến cố C n(C ) = 140 Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác P (C ) = Câu n(C) 140 = = n(Ω) 252 a.Tìm giá trị m log 2018 x + log 2019 y =  để hệ phương trình sau có nghiệm  log 2019 x + log 2018 y = m Lời giải (1) log 2018 x + log 2019 y =   log 2019 x + log 2018 y = m (2) Điều kiện: Đặt x; y ≥ t = log2019 y ; ≤ t ≤  log 2018 x = − t ⇒ ⇒ t  y = 2019 Phương trình (2) Xét  x = 20181− t  t  y = 2019 ⇔ (1 − t )log 2019 2018 + t log2018 2019 = m f ( x ) = (1 − t )log 2019 2018 + t log2018 2019 ;0 ≤ t ≤ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC f ′( x) = − log2019 2018 (1 − t ) f ′( x) = ⇔ ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 log 2018 2019 + t log 2019 2018 (1 − t ) = log 2018 2019 t ⇔ t.log 2018 2019 = ( − t ) log 2019 2018 ⇔ t= log 2019 2018 = t0 log 2018 2019 + log 2019 2018 Ta có f ( 0) = log2019 2018 f ( 1) = log 2018 2019 f ( t0 ) = log 2019 2018 + log 2018 2019 Yêu cầu toán ⇔ log 2019 2018 ≤ m ≤ log2019 2018 + log2018 2019 Câu b Cho hàm số y = f ( x) xác định y = f '( x) ¡ f ( − 3) > 8, f (4) > , f (2) < có 2 Biết hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số điểm cực trị? y = | f ( x) − ( x − 1) | có Lời giải Tác giả: Tô Minh Trường; Fb: Tô Minh Trường Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y = g ( x) số nghiệm phương trình Ta có g '( x ) = ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 y = | g ( x) | tổng số điểm cực trị hàm số g (x) = không trùng với điểm cực trị f '( x ) − ( x − 1) = 2[ f '( x ) − ( x − 1) ] Tư đồ thị hàm số y = f '( x ) đường thẳng y = x − ta được:  x = −1 x = g '( x ) = ⇔  x =  x = Bảng biến thiên Ta thấy hàm số y = g ( x) có điểm cực trị Theo giả thiết f ( −3) > ⇒ g ( −3) = f ( −3) − 16 > f (2) < ⇒ g (2) = f (2) − < f (4) > ⇒ g (4) = f (4) − > Tư suy phương trình g ( x) = có nghiệm phân biệt khác điểm cực trị hàm số y = g ( x ) Vậy hàm số y = | f ( x ) − ( x − 1) | có điểm cực trị Câu a Cho hình lăng trụ lên mp BC ( ABC ) ABC A′ B′C ′ có đáy tam giác cạnh trùng với trọng tâm tam giác a Hình chiếu vng góc A′ ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ a Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Gọi I Gọi H trung điểm BC Gọi G hình chiếu vng góc Ta có BC ⊥ A′ G; BC ⊥ AI Suy d ( AA′, BC ) = IH = Đặt Vậy A′ G = h Ta có: trọng tâm tam giác I nên suy lên ABC AA′ BC ⊥ ( AA′ I ) ⇒ BC ⊥ IH a A′G AI = IH AA′ ⇔ h VABC A′B′C′ = h.S∆ ABC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 a a a2 a = h + ⇒h = 3 a a2 a3 = = 12 Câu b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu lật ngược phễu lên ( hình H2 h1 = h ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính k h Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 Cho hình chóp hình vẽ bên Đặt SO1 = h1; SO = h; AO1 = r1; CO = r SO1 AO1 h r = =t⇔ = 1=t Ta có SO CO h r Gọi V1;V2 thể tích khối nón trịn xoay quay SA; SC quanh trục SO1 Ta có  V1 = π r12 h1   V1  r1  h1 3 =t ⇒ =  V  r ÷  h V1 = π r h  Áp dụng kết ta có : 3 V1  h1    7 =  ÷ =  ÷ = ⇒ V1 = V Thể tích phần chứa nước V  h    V2 = V Suy thể tích phần không chứa nước Chiều cao phần phễu không chứa nước V2  h − k  h k = = ⇒ 2( h − k) = h ⇒ k = = ÷ hình H h − k Ta có V  h  Vậy h Câu a Cho đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x) hình vẽ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC (x y= ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  có đường tiệm cận đứng? Hỏi đồ thị hàm số Lời giải Tác giả:Lê Thị Mai Hoa ; Fb: Mai Hoa Xét hàm số: (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  (1)  x ≤ −1 x + x ≥ ⇔  x ≥ (*) Điều kiện để x + x có nghĩa  a ≤ −1  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số (1) thì:  a ≥ Vậy: Nếu x = a Xét phương trình: 1) x 2) + x + = ⇔ x = −1∨ x = −3 ( nghiệm tử thức) x + x = ⇔ x = ∨ x = −1 (là nghiệm tử thức) 3) x = Với Với có nghiệm x1 = x ≥ , ta có: (x y= + x + 3) x + x  f ( x ) − f ( x )  Trường hợp có tiệm cận đứng x = x1 x ≤ − , ta có: (x y= + x + 3) − x − − x  f ( x ) − f ( x )  Khi nghiệm x1 = (loại)  f ( x) = f ( x) − f ( x) = ⇔   f ( x ) = 4) + Xét f ( x) = có nghiệm tiệm cận đứng: x = −3 (là nghiệm bội) x3 ∈ ( − 1;0) loại Trường hợp có x = x2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC + Xét f ( x) = có nghiệm gồm tử mẫu thức có nghiệm ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 x4 ; x5 ( x3 ; x4 ≠ − x4 < − 1; x5 < −1 ) x6 = − (loại x = − ) Trường hợp có hai tiệm cận đứng: x = x4 , x = x5 Vậy đồ thị có tiệm cận đứng gồm: x = Cách khác x1 , x = x2 , x = x4 , x = x5 x =  x  f ( x ) − f ( x )  = ⇔  f ( x ) =  f ( x) = Xét phương trình  Dựa vào đồ thị đề ta có: Phương trình Do f ( x) hàm số bậc Phương trình Do f ( x) (x y= f ( x ) = có nghiệm kép x = f ( x) = lim f ( x ) = −∞ x → +∞ nghiệm đơn Suy có ba nghiệm phân biệt hàm số bậc + x + 3) x + x lim f ( x ) = −∞ x → +∞ x = a ∈ ( − 1;0 ) f ( x ) = − ( x + 3) ( x − a ) x = { − 1; b; c} , với c < − 3; b ∈ ( − 3; − 1) Suy f ( x ) − = − ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x  f ( x ) − f ( x )  x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) lim y = lim = +∞ x →0 x →0 x x + x − a x + x − b x − c ( ) ( )( )( )( ) Khi đó: + + lim+ y = lim+ x →−3 x →−3 ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) = −∞ lim+ y = lim+ ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) = +∞ lim+ y = lim+ ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) = +∞ x →c x →b x →c x →b lim− y = lim− ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) lim+ y = lim+ ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x ( x + 3) ( x − a ) ( x + 1) ( x − b ) ( x − c ) x →−1 x →−1 x →−1 x →−1 Vậy đồ thị hàm số Câu = (x y= =0 không tồn + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  có đường tiệm cận đứng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! x = 0, x = −3, x = b, x = c Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 ABCD có chiều dài AB = 70 km , chiều rộng AD = 10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát tư A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B khu đất tư kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển A đến B để hết thời gian Lời giải Cách Trường hợp: xe máy không chạy CD, thời gian ngắn tư A đến B chạy AB suy t= 70 = 3,5 ( h ) 20 Trường hợp: xe máy có chạy CD Giả sử xe chạy tư A đến B qua EF Đặt DE = x, FC = y , ≤ x, y ≤ Khi thời gian xe chạy là: 70 ⇒ EF = 70 − ( x + y ); AE = x + 100; BF = y + 100 y + 100 70 − ( x + y ) =  x + 102 + y + 102 − x + y + 35  x + 100 t= + +  ÷ 20   20 20 40 1 x+ y r v r r  ≥  ( x + y ) + 400 − + 35 ÷ u + v ≥ u+ v ) 20   (áp dụng a h(a ) = a + 400 − + 35 Xét ; h' (a ) = ≤ a ≤ 70 a 20 − = 0⇔ a= a + 400 a 20 70 h′ ( a ) h ( a) – + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 7+  20  30 ⇒ h( a ) ≥ h  ÷ = + 35 ⇒ t ≥ (h) Dựa vào BBT  3 x=y  10  tmin ⇔  20 ⇔ x = y = x + y = a =  Tư trường hợp ta kết luận: Sau 3h xe chạy tư t= đến B được, với thời gian 10 7+ DE = CF = (h ) chạy ngắn Cách KN1: Để từ A đến B di chuyển đoạn AB hết số t= A S 70 = = 3,5 ( giờ), trường hợp không V 20 thể đến B kịp thời gian sau yêu cầu tốn Vì vận tốc khu đất ( trư cạnh CD) 20km/h, theo AB khơng kịp thời gian đường khác mà khơng CD khơng kịp thời gian Do ta xét khả B A D F E KN2: Để từ A đến B có cạnh CD Giả sử tư A đến E, tư E đến F tư F đến B (như hình vẽ) Đặt DE = a, FC = b 100 + a 100 + b2 70 − ( a + b) t= + + Khi thời gian để di chuyển tư A đến B 20 20 40 Áp dụng bđt a + b2 + c + d ≥ (a + c)2 + (b + d ) (10 + 10) + ( a + b)2 400 + ( a + b) 100 + a 100 + b2 + ≥ = Ta có , 20 20 20 20 dấu “=” xảy a= b 400 + ( a + b)2 70 − ( a + b) 100 + a 100 + b2 70 − ( a + b) t= + + ≥ + Vậy 20 20 40 20 40 Đặt a + b = x,(0 ≤ x ≤ 70) 400 + x 70 − x f ( x) = + Xét 20 40 , f '( x ) = x 20 400 + x − ≤ x ≤ 70 ,0 ≤ x ≤ 70 40 f '( x ) = ⇔ 400 + x = x ⇔ x = 20 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 C Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH 2018 -2019 BBT x 20 3 70 f’(x ) – f(x) + 3+7 3+7 Vậy GTNN f(x) Cách 3: t= 1 x+ y x+ y  1  2 + 35 ÷ ≥  ( x + y ) + 400 − + 35 ÷  x + 10 + y + 10 − 20  2  20   a A = a + 400 − ; f Xét  20  + 5a 2 ≤ a ≤ 70 ⇒ A = + 400 − a a + 400  ÷= 4   1  4a + a + 400  5a + 400 a a + 400 = ×2a a + 400 ≤  ÷= 2 Ta có:  5a 7+ ⇒ − a a + 400 ≥ − − 100 ⇒ A ≥ 300 ⇒ A ≥ 10 ⇒ t ≥ 10 + 35 = 20 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! ( ) Trang 12