Nêu Phương Pháp Giải Các Bài Toán Tổng Quát Và Các Ví Dụ Minh Họa Các tốn tổng qt : Nguyễn Văn Quý- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Phương pháp giải ví dụ minh họa làm tập thể thầy STRONG Bài tốn 1: P Bài tốn 1a: Trong khơng gian cho hai điểm A, B , mặt phẳng   đường thẳng d P 1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian cho hai điểm A  1; 2;  , B  1;1;  , mặt phẳng  P : x  y  z   Tìm P tọa độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ A 0;1;1 , B  2;1;1 P : x  y  z 3  Ví dụ 2: Trong khơng gian cho hai điểm  , mặt phẳng   Tìm tọa P độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ Bài toán 1b: Trong không gian cho hai điểm A, B đường thẳng d 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Các ví dụ minh họa x 1 y  z  d:   Oxyz 2 hai điểm A  4;1;1 Ví dụ 1: Trong không gian , cho đường thẳng B  3; 6; 3 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ x 1 y  z 1 d:   2 hai điểm A  1;1;1 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng B  1; 4;0  Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Bài toán 2: Cho hai điểm A, B đường thẳng ( d ) Tìm (d ) điểm M để 2 a ( MA  MB ) đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA  MB b đạt giá trị nhỏ MAB c Tam giác có diện tích nhỏ �x   t � () : �y  2  t �z  2t � Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) 2 a Tìm điểm M ( ) cho : MA  MB đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA  MB b Tìm điểm M ( ) cho : đạt giá trị nhỏ c Tìm điểm M ( ) cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Bài A  3; 2;3 ; B  1;0;5  Ví dụ 2: a Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y  z    2 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho MA2  MB đạt giá trị nhỏ d: A  0;1;5  ; B  0;3;3 b Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng uuur uuur x  y 1 z d:   MA  MB 1 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho đạt giá trị nhỏ A  1;5;  ; B  3;3;  c Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y 1 z   1 Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ Khoảng cách điểm A C d: Bài toán 3: Bài toán Cho điểm A đường thẳng d  A , Q   d  Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d  có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: x 1 y  z    d : A  1; 4;  Oxyz 1 Viết Bài 1:Trong không gian cho điểm đường thẳng phương  Q  chứa  d  cho d  A ,  Q   lớn , nhỏ trình mặt phẳng x 1 y z  d :    A 0;0;1   Viết Bài 2:Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d  cho d  A ,  Q   lớn , nhỏ Bài toán  P  chứa d tạo với đường Bài toán 4: Cho hai đường thẳng d , d � Viết phương trình mặt phẳng thẳng d � góc lớn Bài tập ví dụ: d: x 1 y  z x  y 1 z   d� :   1 1 Lập phương trình d: x  y 1 z 1 x2 y2 z 2   d� :   2 1 Lập phương Bài 1: Cho hai đường thẳng  P  chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d �một góc lớn mặt phẳng Bài 2: Cho hai đường thẳng  P  chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d �một góc lớn trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d �( d �khơng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng song song với d ) góc lớn Bài tốn 4.1 Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d: x 1 y 1 z    2 tạo với đường thẳng x 1 y z 1 d� :   góc lớn �x   2t � d : �y  2  4t x 1 y  z  d� :   �z   t � 1 1 Viết phương trình mặt Bài tốn 4.2.Cho hai đường thẳng , Bài toán 5: Câu Câu  P  : x  y  z   đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y  z     d : 2 hai điểm A  1; 2; 2  , B  2;0; 1 Viết phương trình mặt phẳng  Q   P  góc nhỏ chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng A x  y  z  10  B x  y  3z   C x  z   D x  y  z   A  1;1;0  B  2;3;  Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm , mặt phẳng    : x  y  z   Gọi  P     góc mặt phẳng qua hai điểm A , B tạo với  P  có dạng ax  by  cz  d  ( a, b, c, d �� nhỏ Phương trình mặt phẳng a, b, c, d  ) Khi tích a.b.c.d bao nhiêu? A 120 B 60 C 60 D 120 Bài toán Câu 6a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng lớn A  2;3;1 B  1; 1;0  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y z    1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn A  0; 2; 1 B  2; 1;1 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y 1 z    2 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Câu 6b Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A  0; 1;  , B  2;1;1 đường thẳng x 1 y z    1 Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ �x   t � d : �y  1  t �z  A  1; 2;  B  1; 2; 2  � Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt cách điểm B khoảng nhỏ Bài toán 7:  P  , điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M  P  cho: Bài toán 7: Cho uuur uuur uuuu r m MA  n MB  k MC 2 a) m.MA  n.MB  k MC nhỏ b) nhỏ A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M d: 2 mặt phẳng Oyz cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Câu A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M  P : x  2y  z   2 cho MA  MB  MC đạt giá trị lớn A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r MA  2MB  4MC mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r  P  : x  y  z   cho MA  5MB  3MC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng Bài toán mặt phẳng  S  :  x  a Bài toán 8.1 Cho mặt cầu   x  b   x  c  r2 2 , mp    : Ax  By  Cz  D  Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ đến mặt cầu đạt max đạt ? Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  49 2 mặt phẳng    là: Tìm điểm M thuộc cho khoảng cách từ M đến mp a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? S : x  a Bài toán 8.2 Cho mặt cầu      x  b   x  c  R2    : x  y  z  72  đường thẳng d : �x  x0  a1t � �y  y0  b1t ,  t �� �z  z  c t  S  cho khoảng cách từ � Tìm điểm M mặt cầu đến đường thẳng d đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ nhất? Bài tập minh họa S : x  2 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu     y   z  2  đường �x   t � d : �y   t �z  6  t  S  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng � thẳng Tìm điểm M thuộc d là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Phungthan.ddn@gmail.com Bài toán 1: P Bài tốn 1: Trong khơng gian cho hai điểm A, B , mặt phẳng   đường thẳng d P 1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng P 1/ Xét vị trí tương đối hai điểm A, B so với   P - Nếu A, B nằm hai phía so với   khơng tồn điểm M P - Nếu A, B nằm phía so với   : P Tìm điểm A�đối xứng với A qua   B Viết phương trình đường thẳng A� I  A� B � P  Gọi P  MB �A� B Với điểm M thuộc   ta có MA  MB  MA� � Chu vi tam giác MAB MA  MB  AB �A B  AB B  AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� Các ví dụ minh họa A  1; 2;  , B  1;1;  P :x y z20 Ví dụ 1: Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng   Tìm P tọa độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng P suy A, B nằm phía so với   �x   t � �y   t �z   t P Gọi  đường thẳng qua A vng góc với   Đường thẳng  có phương trình : � �x   t �x  �y   t �y  � � � � � �z   t �z  � t  1 � H  0;1;1 H   �( P ) , tọa độ nghiệm hệ � �x  y  z   � Gọi A� P  1; 0;0  Gọi A�đối xứng với A qua   , �x  1  2t � �y  t uuur � A� B   2;1;  B : �z  2t Ta có , phương trình đường thẳng A� � �x  � �y  � �� �x  1  2t �z  �y  t � � � � z  t �1 � � � t  �I�; ; � � � I  A B � P  � �5 5 � , tọa độ nghiệm hệ �x  y  z   Gọi Ta có  x A  y A  z A    xB  y B  z B     P  MB �A� B Với điểm M thuộc   ta có MA  MB  MA� � Chu vi tam giác MAB MA  MB  AB �A B  AB B  AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� A 0;1;1 , B  2;1;1 P : x  y  z 3  Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm  , mặt phẳng   Tìm tọa P độ điểm M thuộc   cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng x  y A  z A    xB  y B  z B     P Ta có  A suy A, B nằm phía so với   �x  t � �y   t �z   t P Gọi  đường thẳng qua A vng góc với   Đường thẳng  có phương trình : � �x  t �x  �y   t �y  � � �� � �z   t �z  � t  � H  1; 0;  H   �( P ) , tọa độ nghiệm hệ � �x  y  z   � Gọi A� P  2; 1;3 Gọi A�đối xứng với A qua   , �x  � �y   t uuur � A� B   0; 2; 2  B : �z   t Ta có , phương trình đường thẳng A� �x  � �y  � � �x  �� �y   t �z  � � � � 3� �z   t � �I� 2; ; � t   � I  A� B � P  � x  y  z   2 � � � � , tọa độ nghiệm hệ Gọi P  MB �A� B Với điểm M thuộc   ta có MA  MB  MA� � Chu vi tam giác MAB MA  MB  AB �A B  AB B  AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� tanbaobg@gmail.com Bài tốn 1: Trong khơng gian cho hai điểm A, B đường thẳng d 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo 2/ Trường hợp 1: Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d Ta làm sau:    qua A, B vng góc với d + Viết phương trình mặt phẳng + Sử dụng mệnh đề: chu vi tam giác MAB nhỏ M giao điểm    với đường thẳng AB    d kết luận M điểm cần tìm + Xác định giao điểm M Trường hợp 2: Đường thẳng AB khơng vng góc với đường thẳng d Ta làm sau + Tham số hố điểm M theo phương trình đường thẳng d cho Tính độ dài MA; MB + Sử dụng mệnh đề: Chu vi tam giác MAB nhỏ MA  MB nhỏ + Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA  MB kết luận Chú ý Người ta thường tìm giá trị nhỏ MA  MB bất đẳng thức hàm số Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng B  3; 6; 3 d: x 1 y  z    2 hai điểm A  4;1;1 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo uuur r AB   7;5; 4  u   2; 2;1 Ta có Chọn véc tơ phương d uuu rr Vì AB.u  nên d  AB    mặt phẳng qua A, B vng góc d Suy phương trình    là: Gọi    : 2x  y  z   Vì A B cố định nên chu vi tam giác MAB nhỏ MA  MB    đường thẳng AB nhỏ Điều xảy M giao điểm M   2m; 2  2m;3  m  �d ,  m �� Giả sử Thay tọa độ điểm M vào phương trình  ta Vậy   2m     2m    m  1   � m  2 M  3; 2;1 điểm cần tìm Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d: x 1 y  z 1   2 hai điểm A  1;1;1 B  1; 4;0  Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo M   2m;  2m;1  m  �d , m �� Giả sử Khi uuuu r 2 � � �AM   2m  2; 2m  1; m  �AM  9m  12m    3m    �� r �uuuu �BM   2m; 2m  2; m  1 �BM  9m  6m    3m  1  � A B MAB Vì cố định nên chu vi tam giác nhỏ MA  MB nhỏ f m  9m  12m   9m  6m  Điều xảy biểu thức   đạt giá trị nhỏ r r r � �u  AM ; v  BM u   3m  2;1 � � � �r r �r u  v   3;3 v    3m;  � � Đặt r r r r f  m   u  v �u  v  Do r r Dấu xảy u hướng v Điều xảy �1 � M �; ; �  3m    1  3m  � m   Suy �3 3 � �1 � M �; ; � Vậy �3 3 �là điểm cần tìm f  m Cách khác để tìm giá trị nhỏ dùng hàm số sau: 9m  9m  f�   m  9m  12m  9m  6m  3m   3m f�   m  � 9m  12m  9m2  6m  (*)  3m     3m  �0 �  �m � 3 Điều kiện cần để t nghiệm (*) Khi (*) �  3m    9m  6m      3m  � m  3m    3m  � � �� ��  3m     3m � � m � � m Đối chiếu điều kiện Bảng biến thiên:  9m  12m   �  3m     3m  1 2 Do f  m m nhỏ �1 � M �; ; � Vậy �3 3 �là giá trị cần tìm Bài tốn 2: honghacma@gmail.com Bài Cho hai điểm A, B đường thẳng ( d ) Tìm (d ) điểm M để 2 a ( MA  MB ) đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA  MB b đạt giá trị nhỏ c Tam giác MAB có diện tích nhỏ �x   t � () : �y  2  t �z  2t � Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) 2 a Tìm điểm M ( ) cho : MA  MB đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA  MB b Tìm điểm M ( ) cho : đạt giá trị nhỏ c Tìm điểm M ( ) cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Lời giải a M �() nên M (1  t;   t ; 2t ) uuur � �MA  (t;6  t;  t) � �uuur �MB  (2  t ;  t ;  2t ) MA2  MB  (t )  (6  t )  (2  t)  ( 2  t )  (4  t )  (4  2t )  12t  48t  76  12(t  2)  28 �28 2 Vậy Min(MA  MB )  28 t  � M (1;0; 4) uuur � �MA  (t;  t;  t) �uuur uuur uuur MB  ( 2  t ;  t ;  2t ) � MA  MB  (2t  2;10  2t ;  4t ) � b uuur uuur � MA  MB  (2t  2)  (10  2t )  (6  4t )  24t  96t  140 2 Xét hàm số f (t )  24t  96t  140  24(t  2)  44 �44 uuur uuur Min MA  MB  11 Vậy t  � M ( 1; 0; 4) uuu r c Ta có AB  ( 2;  2; 2) � AB  SABM  d (M; AB).AB Vậy diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ khoảng cách từ M đến AB đạt giá trị nhỏ Khi khoảng cách từ M đến AB độ dài đoạn vng góc chung AB (  ) �x   t ' � �y   t ' �z   t ' Phương trình đường thẳng AB � M �( ) nên M (1  t ;   t ; 2t ) N �AB � N (1  t ';  t ';  t ') Giảusử uuu r uuur uur � MN   t ' t ;6  t �  t  4;  t �  2t  u AB  (1;  1;1), u  (1;1; 2) , � 22 uuuu r uuur t' � � MN u   ( t  t ')  (6  t  t ')   t '  t  � � � AB �� �� r uu r �uuuu (t  t ')   t  t ' 2(2  t ' 2t )  � 19 � �MN u  t � 12 38 M ( ; ; ) 7 Vậy Tác giả:Trương Hồng Hà ; Fb:Trương Hồng Hà hieule1031993@gmail.com A  3; 2;3 ; B  1;0;5  Ví dụ 2: a Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y  z    2 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho MA2  MB đạt giá trị nhỏ uu r uu r rLời giải Gọi I điểm thỏa mãn cho IA  IB  I trung điểm AB d: Khi uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r2 uuu r uu r uur uu r uur2 MA2  MB  MA  MB  MI  IA  MI  IB  2MI  2MI IA  IB  IA  IB       AB 2 2 MA  MB đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d  2MI  �x   t � d : �y   2t �z   2t � Phương trình tham số đường thẳng uuu r I  2; 1;  ; M �d � M  t  1;  2t ;3  2t  � IM  t  1;3  2t ; 2t  1 Ta có Cách 1: uuur 2 2 IM  t  1;3  2t; 2t  1 � IM   t  1    2t    2t  1  9t  18t  11   t  1  �2 MI đạt giá trị nhỏ t  � M  2; 0;  Cách 2: uu r ud   1; 2; 2  Ta có uuu r uu r IM ud  � 1 t      2t    2t  1  � 9t   � t  Ta có hệ phương trình � M  2; 0; 5 Lấy K điểm thuộc d , vẽ đường thẳng Kt // d �  M �K  gọi H , I hình chiếu vng góc M  P  d Lấy M �Kt MH MI  � � sin  d � ,  P    cos KMH KM KM Khi Vậy góc d  P  lớn H trùng I uuu r Hay  P  mặt phẳng nhận IM làm vectơ pháp tuyến Q Hay  P  mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng   (chứa d , song song với d � ), r uur uuu r uur � � n� ud , ud � , ud � � � � � VTPT mặt phẳng  P  cần tìm x 1 y 1 z  d:   2 tạo với đường thẳng Bài tốn 4.1 Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa x 1 y z 1 d� :   góc lớn Lời giải r uur uuu r uur � � n� ud , u d � , ud �  3;12; 3  3  1; 4;1 � � � � Ta có   P  qua điểm A  1; 1;  nên có phương trình x  1   y  1   z    � x  4y  z   trichinhsp@gmail.com �x   2t � d : �y  2  4t x 1 y  z  d� :   �z   t � 1 1 Viết phương trình mặt Bài tốn 4.2.Cho hai đường thẳng , phẳng  P chứa d tạo với d �một góc lớn Lời giải Tác giả: Nguyễn Trí Chính; Fb: Nguyễn Trí Chính �x   2t � d : �y  2  4t r �z   t a   2; 4;1 A  1; 2;3 � có véc tơ phương d qua x 1 y  z  r d� :   1 1 có véc tơ phương b   1; 1;1 d �đi qua B  1;6;  uuur r r r r � �  5; 3;  AB   2;8; 1 a , b � � Có a b khơng phương, có , r r r uuu � � a , b AB  10  24   36 �0 ar.br  5 �0 Có � � , Suy d d �chéo khơng vng góc Có d � P  , Lấy N �d , qua N vẽ đường thẳng  cho ∥ d � MH   P  Lấy điểm M � , vẽ MK  d K , H Có N , M , K ,  yếu tố cố định, MH thay đổi MH �MK Có Có � ,  P    MNH  d� sin  d � , P   MH MK �  const MN MN , , P   d� sin  d � ,  P   � MH  MK H K lớn � uuuu r  P MK Suy véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ur    ,    chứa d MN m Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ur r r ur r ur r � � m  a �, b �  5; 3;  Có m  a , m  b Suy r  P Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r �r ur � r r r r n � a , m �  11;1; 26  Thì n  a , n  m Suy  P Mặt phẳng qua điểm A  1; 2;3   P Nên phương trình mặt phẳng Bài tốn 5: Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com Câu có vec tơ pháp tuyến r n   11;1; 26  là: 11x  y  26 z  69   P  : x  y  z   đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y  z     d : 2 hai điểm A  1; 2; 2  , B  2;0; 1 Viết phương trình mặt phẳng  Q   P  góc nhỏ chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng A x  y  z  10  B x  y  3z   C x  z   D x  y  z   Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Hải; Fb:Nguyen Dinh Hai Chọn A  P   Q  Khi góc  P   Q  nhỏ Gọi  giao tuyến hai mặt phẳng   d uu r r uu r r uu r � n , u P n   1;1;  1 ud   1; 2;1 � u  �  d � �  1; 2; 3 Ta có có véctơ pháp tuyến uuur uu r uu r � n  u , u Q    Q �d  � �  8; 2; 4    4;1; 2  Suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng �  Q  :  x  1   y     z    � x  y  z  10  Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com Câu A  1;1;0  B  2;3;  Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm , mặt phẳng    : x  y  z   Gọi  P  mặt phẳng qua hai điểm A , B tạo với    góc  P  có dạng ax  by  cz  d  ( a, b, c, d �� nhỏ Phương trình mặt phẳng a, b, c, d  ) Khi tích a.b.c.d bao nhiêu? A 120 B 60 C 60 D 120 Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Hải; Fb:Nguyen Dinh Hai Chọn D  P   Q  Khi góc  P   Q  nhỏ Gọi  giao tuyến hai mặt phẳng   AB uu r r uuur r uuu r � n P n   1; 2;  AB   1; 2;  � u  �  �, AB �  2;0;1 Ta có có véctơ pháp tuyến uuur uuur uu r �  2;5; 4  n Q   � AB , u Q   � � Suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng Phương trình mặt phẳng � 2x  y  4z    Q  : 2  x  1   y  1  z  � 2 x  y  z   a.b.c.d   5  4.3  120 Vậy Bài toán Congnhangiang2009@gmail.com Câu 6a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng lớn Phương pháp giải � d  B,    BH �AB Gọi H hình chiếu B  � d  B,   lớn   AB Cách 1:  P mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng d �  � P  Do  qua A cắt d  cách B khoảng lớn   AB uur uuur � u   AB Do   AB uur uur  � P  � u  nP Do uur uur uuur u  � nP , AB � � � � chọn uur uuuu r uur � nP  � AM � , ud � Bước 1: Lấy M �d suy tìm uur uur uuur u  � nP , AB � � � Bước 2: Gọi Bước 3: viết phương trình đường thẳng  qua A có vecto phương Chú ý: kiểm tra xem  có cắt d khơng? Cách 2: uur uur uuur u  � nP , AB � � �  Q  qua A vng góc AB Do qua A   AB nên  nằm mặt phẳng  Q  qua A vng góc AB Bước 1: dựng C  d � P  Bước 2: tìm giao điểm Bước 3: viết phương trình đường thẳng  qua A C A  2;3;1 B  1; 1;  Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y z    1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Cách 1:  P  mặt phẳng xác định A d Gọi M  1;0;  �d Lấy uuuu rhai điểm AM   1; 3;1 uu r ud   2;3; 1 uur uuuur uur � � nP  � �AM , ud �  0;1;3  uuu r AB   1; 4; 1 uur uur uuur � u  � nP , AB � � �  11; 3;1 x  y  z 1 �:   11 3 uu r uur � u  11; 3;1 u Ta có khơng phương với d nên  thỏa mãn Cách 2:  Q  mặt phẳng qua A vng góc với AB Gọi uuu r AB   1; 4; 1 Ta có �  Q  x    y  3  z   �  Q  : x  y  z  15  C   Q  �d Gọi C �d � C   2t;3t;  t  12 C � Q  �  2t  12t   t  15  � t  13 uuur � 11 � � AC  � ;  ; � 13 13 13 � � uuur � 11 � AC  � ;  ; � 13 13 13 �làm vectơ phương � Ta có  qua A nhận x  y  z 1 �:   11 3 A  0; 2; 1 B  2; 1;1 Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y 1 z    2 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Gọi  P  mặt phẳng xác định A d M  1; 1; 2  �d Lấy uuuu rhai điểm AM   1;1; 1 uu r ud   2;1;3 uur uuuur uuur � � nP  � �AM , AN �  4; 1;3 uuu r AB   2;1;2  uur uur uuur uu r �  5; 2;6  � u  � n , AB u   2;1;3 P � � không phương với d nên  thỏa mãn x y  z 1 �:   6 nguyenminhduc.hl@gmail Câu 6b Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Phương pháp giải Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng  Do  qua A cắt d nên  � P  Ta có d  B,    BK �BH d  B,   nhỏ K �H hay  qua hai điểm A H Do uur uuur � u  k AH , (k �0) Chú ý: Ta phải kiểm tra xem đường thẳng  có cắt đường thẳng d khơng? ( Do D d nằm uur uur u ,u ( P ) mặt phẳng nên  d khơng phương  cắt đường thẳng d ) A  0; 1;  B  2;1;1 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng x 1 y z    1 Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Ducminh Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu d: vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng  Do  qua A cắt d nên  � P  d  B,    BK �BH Ta có d  B,   nhỏ K �H Do uur uuur � u  k AH , (k �0) M (1;0; 2) �d Lấy uuuu r uur AM  (1;1;0), ud   2;1; 1 Ta có uuuu r uuuu r uur � � n( P )  � AM � , ud � (1; 1; 3) hay  qua hai điểm A H uuuu r uur � AM , ud � � (1; 1; 3) , � Phương trình mặt phẳng ( P) : 1( x  0)  1( y  1)  3( z  2)  � x  y  3z   �x   t � �y   t (t ��) �z   3t Phương trình đường thẳng BH � H   t ;1  t ;1  3t  Tọa độ điểm ứng với tham số t thỏa mãn:  t   t  3(1  3t )   � t  11 u u u r �21 10 � �21 21 14 � � H � ; ; �� AH  � ; ; � �11 11 11 � �11 11 11 � uur 11 uuur u  AH   3;3; 2  Chọn uur uur u ,u Dễ thấy  d không phương nên  cắt đường thẳng d x y 1 z    2 Vậy phương trình đường thẳng  �x   t � d : �y  1  t �z  � A  1; 2;  B  1; 2; 2  Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng Viết phương trình đường thẳng  qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Ducminh Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng  Do  qua A cắt d nên  � P  d  B,    BK �BH Ta có d  B,   nhỏ K �H hay  qua hai điểm A H Do uur uuur � u  k AH , (k �0) M (2; 1; 2) �d Lấy uuuu r uur uuuu r uur AM , ud � AM  (1; 3; 2), ud   1;1;0  � � (2; 2; 2) , � Ta có uuuu r uuuu r uur � n( P )  � AM , ud � � (1;1; 1) 2� Phương trình mặt phẳng ( P) : 1.( x  1)  1.( y  2)  1.( z  4)  � x  y  z   �x   s � �y   s ( s ��) �z  2  s Phương trình đường thẳng BH � H   s;  s : 2  s  Tọa độ điểm ứng với tham số s thỏa mãn:  s   s  (2  s)   � s  2 uuur � H  1;0;0  � AH   2; 2; 4  uur uuur u   AH   1;1;2  Chọn uur uur u ,u Dễ thấy  d không phương nên  cắt đường thẳng d x 1 y  z    Vậy phương trình đường thẳng  Bài toán 7: Hahoangduong30@gmail.com lanh78vb@gmail.com  P  , điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M  P  cho: Bài toán 7: Cho uuur uuur uuuu r m MA  n MB  k MC 2 a) m.MA  n.MB  k MC nhỏ b) nhỏ A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M 2 mặt phẳng Oyz cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I  x; y; z  Gọi điểm thỏa mãn: IA  IB  IC  1 x   x    x  � �x  1 � �  y   2  y    1  y   � �y  � I  1;1; 2  � � � 1  z   z    z   �z  2 � Khi : IA2  IB  IC     1   16      36   16   16 uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MA2  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC  Câu       MI  IA2  IB  IC 2 2 Với điểm I cố định, IA  IB  IC  16 điểm M mặt phẳng Oyz cho MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng Oyz M  0;1;   Vậy lanh78vb@gmail.com A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M  P : x  2y  z   2 cho MA  MB  MC đạt giá trị lớn Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uur uur uur r I  x; y ; z  Gọi điểm thỏa mãn IA  IB  IC  mặt phẳng 1 x    x    x  � �x  � �  y   2  y    1  y   � �y  5 � I  7; 5;  � � �z  1  z    z     z   � � Khi IA2  IB  IC   36  49  25    16       16    52 uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MA2  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC   MI  IA2  IB  IC       2 Với điểm I cố định, IA  IB  IC  52 điểm M mặt phẳng  P  cho MA2  MB  MC đạt giá trị lớn � M hình chiếu I mặt phẳng  P  Gọi đường thẳng d qua I vuông góc với mặt phẳng �x   t � � d : �y  5  2t �z   t �  P M hình chiếu I mặt phẳng  P  giao điểm  P  d �x   t �y  5  2t � �  t   5  2t    t   � z   t � � �x  y  z   � t  � M  9;  1;3 Vậy Câu M  9;  1;3 A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r MA  2MB  4MC mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I  x; y ; z  Gọi điểm thỏa mãn IA  IB  IC  � 1 x    x    x  �x  13 � �  y   2  y    1  y   � �y  2 � I  13;  2;7  � � �z  1  z    z     z   � Khi � uuur uuur uuuu r uuu r � MA  2MB  4MC   MI  MI uuur uuur uuuu r MA  MB  MC Với điểm I cố định điểm M mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng Oxz Vậy Câu M  13;0;   A  1; 2;  1 B  3;  2;1 C  5;  1;  Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r  P  : x  y  z   cho MA  5MB  3MC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I  x; y ; z  Gọi điểm thỏa mãn IA  IB  3IC  �  x  5  x  3  x  �x  1 � �  y   2  y    1  y   � �y  11 � I  1; 11;  � � �z  1  z    z     z   � � Khi uuur uuur uuuu r uuu r � MA  5MB  3MC   MI  MI uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  P  cho Với điểm I cố định điểm M mặt phẳng đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng P  P Gọi đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng �x  1  t � � d : �y  11  t �z  2t � M hình chiếu I mặt phẳng  P  giao điểm  P  d �x  1  t �y  11  t � � 1  t   11  t   4t   � �z  2t � �x  y  z   � t  � M  0;  10;   M  0;  10;   Vậy Bài toán cunconsieuquay1408@gmail.com  S  :  x  a Bài toán 8.1 Cho mặt cầu   x  b   x  c  r2 2 , mp    : Ax  By  Cz  D  Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ đến mặt cầu đạt max đạt ? Lời giải Nguyễn Thị Thanh Mai ; Fb: Thanh Mai Nguyen Giả sử mặt cầu có tâm I  a; b; c   , bán kính r Gọi H hình chiếu I lên mp IH  R �  S  �    � * TH1: + Gọi :      ,    cắt  S  hai điểm M 1; M đường thẳng qua I vng góc với d  M ,    d  M1,   + Giả sử Σ� M  S  : d  M1,     Suy ra: d  M ,    d  M2,       đạt max M1 điểm thuộc mặt Vậy M điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp    đạt IH  R �  S  �     H  : Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng cầu có khoảng cách đến mp * TH2: +   H    ,    cắt  S  hai điểm H ; M đường thẳng qua I vng góc với + Khi * TH3: d  H ,       min; d  M ,      max  IH  R �  S  �    H , R  r  IH :  C  tâm H bán kính R  r  IH    đường thẳng qua I vuông góc với    ,    cắt  S  hai điểm M 1; M ( + Gọi M thuộc tia HI) M điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp    đạt max tập  C  điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp    hợp tất điểm thuộc đường tròn Mặt cầu cắt với mp  theo giao tuyến đường tròn tức đạt Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho:  S  :  x  1 mặt cầu   y     z  3  49 2 mặt phẳng     : x  y  z  72  Tìm điểm M thuộc cho khoảng cách từ M đến mp là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Lời giải  S  có tâm I  1;2;3 bán kính r   1  3.2  6.3  72 62 + d  I ,     22   32   62 +  r 49  �  S  �    � �x  1  2t   : � �y   3t ,  t �� �z   6t    đường thẳng qua I vng góc với    , � +    S  + Giao điểm nghiệm hệ phương trình �x  1  2t �y   3t � M  1; 1;9  � �� �z   6t M  3;5; 3 � � 2 �  x  1   y     z  3  49 � d  M1,      + d  M 2,     a) Vậy 2.1   1  6.9  72 22   32   62  3  3.5   3  72 22   32   62 M  3;5; 3 � S  M  1; 1;9  � S  b) Vậy thongqna@gmail.com  13  ; 111    lớn khoảng cách từ M đến mp    nhỏ khoảng cách từ M đến mp S : x  a Bài toán 8.2 Cho mặt cầu      x  b   x  c  R2 2 đường thẳng d : �x  x0  a1t � �y  y0  b1t ,  t �� �z  z  c t  S  cho khoảng cách từ � Tìm điểm M mặt cầu đến đường thẳng d đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải Trần Văn Thông; Fb: Trần Thông I  a; b; c  Mặt cầu có tâm , bán kính R Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d Khi sảy trường hợp sau  S  d khơng có điểm chung Trường hợp 1: IH  R hay  S  Không Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tínhtổng quát, ta giả sử HM  HM  S  , ta có M H �d  M ; d  �M 1H , dấu xảy M �M Với M thuộc mặt cầu M �M Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M �M đạt giá trị nhỏ M �M  S  d tiếp xúc với Trường hợp 2: IH  R hay  S  Khơng tính Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tổng quát, ta giả sử M �H  S  , ta có M H �d  M ; d  �0 , dấu xảy M �M Với M thuộc mặt cầu M �H Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M �M đạt giá trị nhỏ M �H  S  d cắt hai điểm A B Trường hợp 3: IH  R hay  S  M nằm Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tia HO Khi M H �d  M ; d  �0 d  M ; d   M 2H Hơn nữa, d  M ;d   M �A M �B M �M Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M  M đạt giá trị nhỏ M �A M �B Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu  S  :  x  2  y   z  2  đường �x   t � d : �y   t �z  6  t  S  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng � thẳng Tìm điểm M thuộc d là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Lời giải  S  có tâm I  2;0;2  bán kính r  Mặt cầu Gọi H hình chiếu vng góc I lên d u.uu r H  t ;1  t ;   t HI    t ; 1  t ;8  t    Vì H �d nên Khi uur uu r Mà IH  d suy HI ud  �  t   t   t  � t  2 H  1;3; 4   S  d khơng có điểm chung Khi đó, ta tìm IH  54  R nên �x   t � �y   t �z  2t Đường thẳng IH có phương trình �  S Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu �x   t �y   t � �z  2t � 2 � x   y  z  6     M ; M � Khi đó, tọa độ điểm thỏa mãn hệ M  1;1;0  ; M  3; 1;4  Giải hệ ta tìm Khi M H  , M H  Với M thuộc mặt cầu M �M  S  , ta có �d  M ; d  �2 , dấu sảy M �M M �M  3; 1;  Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d lớn nhỏ M �M  1;1;0  ... d: Bài toán 3: Bài toán Cho điểm A đường thẳng d  A , Q   d  Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d  có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: x 1 y  z    d : A  1; 4;  Oxyz 1 Viết Bài. .. A 0;0;1   Viết Bài 2:Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d  cho d  A ,  Q   lớn , nhỏ Bài toán  P  chứa d tạo với đường Bài toán 4: Cho hai... Ta có Bài toán 3: tuthinguyen2310@gmail.com Bài toán Cho điểm A đường thẳng d  A , Q   d  Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  d  có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: A  1; 4;  Bài 1:Trong