Đang tải... (xem toàn văn)
Baøi 3 : Cho hình bình haønh ABCD coù taâm laø O. TOÅNG VAØ HIEÄU HAI VECTÔ.. Goïi A’ la ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua A, B’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi C qua B, C’ laø ñieåm ñoái xöùng cu[r]
(1)Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ đoạn thẳng có dịnh hướng Ký hiệu : AB;CD
a;b Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu 0 Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hai vectơ chúng hướng độ dài
B NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : 1, 2, 3, 4, trang SGK naâng cao
Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB ; OB
b) Có độ dài OB
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MNQP; NPMQ
Bài 5 : Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH B'C
Bài : Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NPDC, PQBC
Chứng minh AQ O
(2)A: Tóm tắt lý thuyết :
Định nghóa: Cho AB a
; BC b
Khi AC a b Tính chất : * Giao hốn : a b = b a
* Kết hợp (a b) +c = a(b +c) * Tín h chất vectơ –khơng a+0=a Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+BC
=AC Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB
+AD =AC Quy tắc hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có : OB OCCB
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1:
TRẮC NGHIỆM
Câu1: Phát biểu sau đúng:
a) Hai vectơ không có độ dài khơng b) Hiệu vectơ có độ dài vectơ – khơng
c) Tổng hai vectơ khác vectơ –không vectơ khác vectơ -không
d) Hai vectơ phương với vec tơ khác 0 vec tơ phương với
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O giao điểm AC BD, phát biểu a) OA=OB=OC =OD b) AC=BD
c) OA+OB+OC+OD =0 d) AC - AD = AB
Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) GA=GB=GC
c) AB+AC = 2a d) AB+AC=
2
AB-AC
Caâu 4: Cho AB khác cho điểm C Có điểm D thỏa AB=CD a) vô số b) điểm
c) điểm d) Không có điểm
(3)Câu 6: Cho tam giác ABC , trọng tâm G Phát biểu a) AB+BC= AC
b) GA+GB+GC= c) AB+BC =AC d) GA+GB+GC =
B2:
TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK ; Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a vaø b Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BC
+ AB ; AB
- AC theo a
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) AO
- AD = MO
b) AC
- AD = NB
Bài 5: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài : Cho tam giác OAB Giả sử OAOBOM,OA OBON Khi điểm M nằm
đường phân giác góc AOB? Khi N nằm đường phân giác ngồi góc AOB ?
Bài : Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh :
O OE OD OC OB
OA
Bài 8 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có:
' ' ' OB OC OA
OC OB
OA
Bài 9: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR : a) OA +OB +OC +OD +OE +OF =0
b) OA +OC +OE = 0
c) AB +AO +AF =AD
(4)Bài 10: Cho tam giác ABC ; vẽ bên hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh : RF + IQ + PS =0
Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB + HC = HD
b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH ' Bài 12: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA
+ CB = CA
- CB
§3: TÍCH CUẢ VECTƠ VỚI MỘT SỐ
(5)Cho kR , ka vectơ xác định:
* Nếu k k a hướng với a ; k < ka ngược hướng với a
* Độ dài vectơ ka k .a Tính chất :
a) k(ma) = (km) a
b) (k + m) a = ka + ma
c) k(a + b) = ka + kb
d) k a = 0 k = a = 0
b phương a(a 0) có số k thỏa b =ka
Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho AB =kAC
Cho b không cùngphương a, x biểu diễn x= ma + nb ( m, n )
B NOÄI DUNG BÀI TẬP : B1: trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm AC BD Tìm câu sai
a) AB+AD = AC b) OA =
2
(BA+CB) c) OA+OB=OC +OD d ) OB+OA = DA
Câu 2: Phát biểu sai
a) Nếu AB=ACthì AB =AC b) AB= CD A, B,C, D thẳng hàng c) 3AB+7AC = 0 A,B,C thẳng hàng d) AB-CD = DC-BA
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có M,N trung điểm AB CD Tìm giá trị x thỏa AC+ BD = xMN
a) x = b) x = c) x = -2 d) x = -3
Câu 4: Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Đặt P = AA' BB 'CC' Khi ta có
a) P = GG ' b) P = 2GG ' c) P = 3GG ' d) P = -GG ' Câu 5: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) AB+AC = 2a c) GB
+GC = 3 3
a
d)AB+ AC= 3AG
(6)a) b) c) vô số d) Không có điểm
Câu 7: Cho tam giác ABC cạnh a có I,J, K trung điểm BC , CA AB Tính giá trị AI BJ CK
a) b) 3 3
2
a c) 3
2
a d) 3a
Câu 8: Cho tam giác ABC , I trung điểm BC ,trọng tâm G Phát biểu a) GA = 2GI b) IB+IC = c) AB+IC =AI d) GB + GC = 2GI
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK : Bài 4, trang 17 SGK ; 21 đến 28 trang 23, 24 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = 13AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức
O AC NA
AB O MA
BC ; Chứng minh MN // AC
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , điểm M điểm : a) Tính MS = MA + MB + MC + MD theo MO
Từ suy đường thẳng MS quay quanh điểm cố định
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MA + MB + MC + MD = a ( a > cho trước ) c) Tìm tập hợp điểm N thỏa NA + NB = NC + ND
Baøi 5: Cho tam giác ABC ; BC lấy D ; E thỏa BD = DE = EC Gọi I trung điểm BC S điểm thỏa SA = AB + AD + AE + AC
Chứng minh điểm I ; S ; A thẳng hàng
Bài 6 :Cho tam giác ABC Điểm I nằm caïnh AC cho CI =
CA, J điểm mà AB
AC BJ
3 2
1
a) Chứng minh : BI AC AB
3
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
c) Hãy dựng điểm J thỏa điều kiện đề
Bài 7 : Cho tam giác ABC
(7)B) Tìm điểm M cho MAMB2MCO Bài 8: Cho tam giác ABC BI =
3
BC;CJ =
3
CA; AK=
3
AB a) Chứng minh rằng: IC+JA+KB=
AI+BJ +CK = Suy ABC IJK trọng tâm b) Tìm tập hợp M thỏa: MA+ MB+MC =
2
MB +MC 2MB+MC=2MA+MB
c) Tính IK;IJ theo ABvà AC
Bài 9: Cho tam giacù ABC có I, J , K trung điểm BC , CA , AB G trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh AI + BJ + CK = 0.Suy tam giác ABC IJK trọng tâm 2) Tìm tập hợp điểm M thỏa :
a) MA+MB +MC =
MB+MC b) MB +MC = MB -MC
3) D, E xác định : AD= 2ABvà AE= 52 AC Tính DEvàDG theo ABvà AC Suy điểm D,G,E thẳng hàng
Bài 10 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , M điểm nằm tam giác Vẽ MD ; ME ; MF vng góc với cạnh tam giác
Chứng minh MD + ME + MF = 32 MG
§4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
A TÓM TẮT LÝ THUYEÁT :
(8) A,B nằm trục (O; i) AB=AB i Khi AB gọi độ dài đại số AB
Hệ trục tọa độ vng góc gồm trục Ox Oy Ký hiệu Oxy (O; i; j
) Đối với hệ trục (O; i; j
), a=xi +yj (x;y) toạ độ a Ký hiệu a = (x;y) Cho a = (x;y) ;b = (x’;y’) ta có
a
b = (x x’;y y’) ka=(kx ; ky) ; k R
b phương a(a 0) có số k thỏa x’=kx y’= ky Cho M(xM ; yM) N(xN ; yN) ta có
P trung điểm MN xp =
2
M N
x x
vaø yP =
2
M N
y y
MN
= (xM – xN ; yM – yN)
Nếu G trọng tâm tam giác ABC xG =
3
A B C
x x x
vaø yG =
2
A B C
y y y
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a=(1 ; 2) b= (3 ; 4) Vec tơ m = 2a+3b có toạ độ
a) m =( 10 ; 12) b) m =( 11 ; 16) c) m =( 12 ; 15) d) m = ( 13 ; 14)
Câu 2: Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6) ; B ( ; -10) G(
3 ; 0) trọng tâm Tọa độ C : a) C( ; -4) b) C( ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Câu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 4: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
(9)a) a = b) b = c) a - b=( ; -3) d) b = 2
Caâu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) vaø C(
3 ; 0) Ta coù AB
= xAC giá trị x a) x = b) x = -3 c) x = d) x = -4
Câu 7: Cho a=(4 ; -m) ; b=(2m+6 ; 1) Tìm tất giá trị m để vectơ phương a) m=1 m = -1 b) m=2 m = -1 c) m=-2 m = -1 d) m=1 m = -2
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( ; 2) C(1 ; -3) có tâm đường trịn ngoại tiếp I a) I = (3 ;
2
) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ;
) d) I = (3 ; 2)
Câu 9:Cho a=( ; 2) b= (3 ; 4) ; cho c = 4a- b tọa độ c :
a) c=( -1 ; 4) b) c=( ; 1) c) c=(1 ; 4) d) c=( -1 ; -4)
Câu 10:Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) C(4 ; 3) Tìm D để ABCD hình bình hành a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2 :TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
Bài 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 4 : Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O trung
điểm BC, i hướng với OC, j hướng OA
a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC
c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 : Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O tâm lục giác
đều ,
i hướng với OD, j hướng EC
Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác
(10)b) AD – 2AB = 2BD + BC
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD
Bài :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ A, B
b) Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Baøi 8: Cho a=(2; 1) ;b=( ; 4) c=(7; 2)
a) Tìm tọa độ vectơ u= 2a - 3b + c
b) Tìm tọa độ vectơ x thỏa x + a =b - c
c) Tìm số m ; n thỏa c = ma+ nb
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC tam giác thỏa mãn điều kiện sau ? a) AB AC AB AC
b) Vectơ ABAC vng góc với vectơ ABCA
Bài :Tứ giác ABCD hình thỏa mãn điều kiện sau ? a) AC BCDC
b) DB mDCDA
Bài 3:Cho tam giác ABC , với số thực k ta xác định điểm A’ , B’ cho
CA k BB BC
k
AA' , ' Tìm q tích trọng tâm G’ trung điểm A’B’C
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P Q trung điểm AB, BC, CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ vMAMB 2MC khơng
phụ thuộc vào vị trí điểm M Hãy dựng điểm D cho CD v
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm tam giác , D điểm đối xứng A qua O
(11)OH OC OB OA
HO HC
HB HA
HO HD
HA
2
c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH 3OG Từ kết luận
điểm G, H, O
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh : a) BB'C'CDD'0
b) Hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm
Chương II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦAHAI VECTƠ VAØ ỨNG DỤNG
(12)Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = M( x ; y)
* sin góc y; ký hiệu sin = y
* cos góc x0; ký hiệu cos = y0 * tang góc
y
x ( x 0); ký hiệu tan = y x * cotang góc làx
y( y 0); ký hiệu cot = x y Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt
Hai góc bù nhau: Sin( 1800-
) = sin Cos ( 1800
-) = - cos Tan (1800
-) = - Tan ( 900) Cot ( 1800
-) = - Cot ( << 1800) B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác góc a 45
b 1200
Giaûi: a Sin 450 =
2
2 , cos 450 =
2
2 , tan 450=1, cot 450 = 1
00 300 450 600 900
Sin
2
2
2
3 1
Cos
2
2
2
0
tan
3
3 1 3
Cot
3
(13)b Sin 1200 =
2
3 , cos 1200 =
-2
, tan1200 = - 3, cot1200= -
3
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
Giaûi:
A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0 C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a A=( 2sin 300 + cos 135 0 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600)
b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2: Đơn gianû biểu thức:
a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640
b) B= Sin (1800-
) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900)
Bài 3 : a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00
x 1800) b)Tính sinx cosx =
5
c) Tính sinx.cosx sinx – cosx = d) Chứng minh + tan2 x =
2
1
cos x ( Với x 90
0 )
e) Chứng minh + cot2 x =
2
1
sin x ( Với
0 < x < 18000 )
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700
(14)Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B =
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) =
Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc
a) AB AC b) AB vaø BC c) AG vaø BC
d) GB GC c) GA AC
§2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÉCTƠ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
Cho OA
= a OB =b Khi góc AOB góc giũa vectơ a b Ký hiệu (a ;b) Nếu a=0hoặc b=0 góc (a ;b) tùy ý
Neáu (a ;b) = 900 ta ký hiệu a
(15) a.b= a b cos(a,b)
Bình phương vô hướng a2 =
a2
Các quy tắc: Cho a b c ; k R
a.b = b.a ( Tính giao hoán) a.b = <=> a b
(ka,b = k (a b)
a (bc) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng trừ ) Phương tích điểm đường tròn
Cho đường tròn (O,R) điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, qua điểm M cắt đường trịn (O,R) A, B
Phương tích điểm M, đường trịn (O,R): kí hiệu: PM/(O) PM/(O) = MO2 – R2 = MA MB .
Nếu M ngồi đường trịn (O,R), MT tiếp tuyến PM/(O) = MT2 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng
Cho →
a = (x, y) , →b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù
→
a.→b= x.x' + y.y' |→
a| = x2+ y2 Cos (→
a,→b) = 2+ 2. '2+ '2
' + '
y x y x
yy xx →
a→b xx' + yy' = MN = | →
MN | = ( _ )2 (+ _ )2 N M N
M x y y
x B :
CÁC VÍ DỤ : Ví dụ 1: Cho →
a = (1, 2), →b = (-1, m) a) Tìm m để →
a, →b vng góc b) Tính độ dài →
a, →b; tìm m để |→a| = |→b|
Giaûi
a) →
a→b -1 + 2m = 0 m =
b) |→
(16)|→
b| = 1+m2 |→
a| = |→b| 5= 1+m2
m = ±2
Ví dụ2: cho ABC cạnh a trọng tâm G; tính
AB.AC;AC.CB;AG.AB;GB.GC ;BG.GA;GA.BC
Giải AB.AC = a.a cos 600 =21 a2
AC.CB = a.a cos 1200 = -21 a2
AG.AB =
2 = 30 cos
3a a
a
GB GC= cos120 =
3 a
3
a
6 a2
-BG GA=
6 = 60
3
3
0 a a
a cos
GA BC=0 GABC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trục ox điểm P cách điểm M,N b)Tính cos góc MON
Giải
a) p ox => P( xp,0)
MP = NP <=> MP2 = NP2
<=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12
Vaäy P ( 43 ,0) b) OM=(-2,2),ON=(4,1)
(17)C.
BÀI TẬP:
A Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích vơ hướng CA CB
a) a2 b) 3a2 c) a2 3 d) 1
2 a
2
* Tính tích vơ hướng BA BC
a) a2 b) a2 3 c) - a2 d) 1
2 a
2
Câu 2: Cho a=(3; -1) b=(-1; 2) Khi góc a b
a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900
Câu 3:Cho a=( ; 5) b= (3 ; -7) Khi góc a b
a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200
Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC tam giác a) Cân b)Vng cân c) Vng d)Đều
Câu 7: Cho AB =(2x - ; 2) ; AC =(3 – x; -2) Định x để A , B , C thẳng hàng
a) x = b) x = -2 c) x = d) x = -1
Câu 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Phát biểu a) AB= AC b) AG=
3
AC c) AG.AB=AG AC d) GA2 +GB2 + GC =
02
Câu 9:Cho (O,5), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16
a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
(18)Câu 11:Đường tròn qua điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Câu 12: Phát biểu sai
a) Nếu AB=AC AB =AC b) Nếu a b=a.c b=c
c) AB.AC = BA.CA d) AB-CD = DC-BA
Câu 13: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) AB+AC = 2a c) AB.AC = a2 d) AG.BC=
Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh a Kết
a) AB.AC = a2 b) AB.AD = a2 c) AC.BD = 2a2 d) AB.CD =
Câu 15:Cho (O,30), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96 a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81
Câu 16:Chỉ công thức
a) a2 = a b) a2 = a c) a2 = a d ) a2 =
a
Câu 17 : Cho tam giác ABC cạnh a.Tích vơ hướng AB.BC nhận kết a) a2 23 b) -
2
2
a c)
2
2
a d) a2
Câu 18:Cho AB.CD = AB CD phát biểu sau đúng:
a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng c) AB hướng CD d) AB=CD
Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vng C giá trị m :
a) m = hay m = b) m = hay m = c) m = hay m = -7 d) m = hay m =
Câu 20: Cho a=(m2 -2m+2 ; 3m-5), b=(2;1) Tìm giá trị m để ab
a) m = b)m = -1
2 c)m = m = -1
2 d) Cả a ; b ; c
Câu 21: Cho a=(4;3) b=(1;7) Khi góc vec tơ (a,b) :
a) 300 b) 450 c) 600 d) Kết khác Câu 22: Cho tam giác ABC cạnh a có G trọng tâm:
* Phương tích G với đường trịn đường kính BC a) -
2
a
6 b)
2
a
4 c) -
2
a
3 d)
-2
(19)* Phương tích A với đường trịn đường kính BC a)
2
a
2 b)
2
a
4 c) a
2 d)
2
3a 4
Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:
* Phương tích A với đường trịn đường kính CD
a) a b)a2 c)2a2 d) a
2
* Phương tích A với đường trịn tâm C có bán kính = a a)
2
a
2 b)
2
a
4 c) a
2 d) 2a2
B.Tư luận
Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a) Chứng minh tam giác vuông
b) Xác định tâm đương trịn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác
Baøi 2: Cho A (-1 ; -1) B (5; 6)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân M b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông N
c) Xác định H,K để ABHK hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác định C thỏa 3AC - 4BC = 2AB
e) Tìm G cho O trọng tâm tam giác ABG
f) Xác định I x’Ox để IA +IB +IN đạt giá trị nhỏ
Baøi 3: Cho A(-2;1) B(4;5)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vng M b) Tìm C để OACB hình bình hành
Bài 4: Cho a=(1
2; -5) vaø b
=( k ; -4) Tìm k để: a) a phương b
b) a vuông góc b
c) a = b
Baøi 5: Cho a=(-2; 3) ;b=( ; 1)
a) Tính cosin góc hợp a b ; avà i ; a j; a+b a-b
(20)c) Tìm d biết a.d= vaø b.d= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2) a) Tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I trọng tâm , trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính G, H , I CMR GH +2GI = 0
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh A ; B ; C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông B d) Tam giác ABC tam giác ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC
Bài 8: Cho ABC có AB=7, AC=5, Â = 1200 a) Tính AB.AC,AB.BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M trung điểm BC)
Bài 9: Cho điểm A,B,C.D: chứng minh rằng: DA BC+DB CA+DC AB=0
Từ suy cách chứng minh định lý “3 đường cao tam giác đồng quy”
Baøi 10: Cho ABC có trung tuyến AD, BE,CF; CMR:
BC AD+CA BE+AB CF=0
Baøi 11 : Cho ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = AD phân giác góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị AD qua AB,AC
b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho điểm M,N nằm đường trịn đường kính AB= R, AM∩ BN =I
a) Chứng minh: AM AI =AB AI
BN BI =BA BI
(21)Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M cho:
a) MA MB = k
b) MA2 - MB2 = k2
Bài 12: Từ điển M đt (0) vẽ tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; tiếp tuyến A,B đường tròn (0) cắt I, IO AB D; đường thẳng qua I vng góc với MO H cắt AB C; cắt đường tròn (0) E, F
Chứng minh :
a MA.MB=MC.MD
b OF2 = OH.OM
c IE.IF=IC.IH
d PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH)
Bài 13: Cho hai đường thẳng AB CD cắt M chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn MA.MB=MC.MD
Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho → →i- 5→j
2 =
u
vaø → → →
i k
= -4j
v
Tìm giá trị k để : a → →
⊥v
u b →u = →v
Baøi 15: Cho →
a = (-2, 3), →b = (4,1)
a Tim cơsin góc cặp vectơ sau : * →
avaø →b, →a vaø →i , →a + →b vaø →a - →b
b Tìm số k l cho →
c = k→a + l→b Vng góc với →a + →b
c Tìm vectơ d biết a d b.d
(22)c Điểm K oy cho3 điểm A,K,B thẳng hàng d Điểm C cho ABC vuông cân C
Bài 17: Cho điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a Tính chu vi diện tích ABC
b Gọi A’ hình chiếu vng góc A BC; tìm toạ độ A’
c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ chứng minh điểm I,H,G thẳng hàng
Bài 18: Cho điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn
Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) hai đỉnh hình vng ABCD; tìm toạ độ đỉnh C D
Bài 20: Cho M cố định dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến CT CT’ Gọi D giao điểm TT’ AB H I trung điểm của TT’ AB
a) CMR : MA.MB =MO MH =MI MD
b) Cho AB = cm Gọi (C1) đường tròn tâm A, bán kính = cm, (C2) đường trịn tâm
B, bán kính = 3cm Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + PN/(C2) = 15
Baøi 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11 Qua I vẽ cát tuyến IAB ICD Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm (O;R), qua I vẽ dây AB CD Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
IC ID
Baøi 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Cho AB = a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO E Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ngồi đường trịn , vẽ cát tuyến IAB ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt đường tròn E F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
(23)Bài 26:Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B M điểm cạnh AB kéo dài Qua M vẽ tiếp tuyến MT, MT’, cát tuyến MCD, MC’D’ (O) (O’)
CMR MT = MT’ CDD’C’ nội tiếp
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Trên đường trịn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp (O), M trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC điểm thứ E cắt (O) D AD cắt BC F.Chứng minh rằng:
a) FB FC. =FE FM.
b) EB EC. =EF EM.
c) EA tiếp xúc với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A B cắt M Vẽ MH vng góc với OP
a) CMR : điểm O , A , B, M , H đường tròn b) Tìm tập hợp M PAB quay quanh P
c)Gọi I trung điểm AB, N giao điểm PAB MH CMR PA PB. =PI PN.
Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy điểm M (O) cho MA =
2
R
Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R
b) Gọi TH đường cao TMO Chứng minh : MH MO. =MA MB. c) Tính H/(O)
d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD vaø BC cắt N CMR : AN AD. +BN BC. = 4R2
Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M, N điểm phía tiếp tuyến kẻ từ B AM AN cắt (O) M1 N1
a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1
Bài 32: M diểm nửa đường trịn đường kính AB H hình chiếu M xuống AB Đường trịn đườg kính MH cắt MA ; MB P,Q cắt nửa đường tròn E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
(24)Bài 33: Cho điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = ; BC = Đường tròn di động qua A , B có tâm O Vẽ tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D giao điểm TT’ với AB Gọi H; I trung điểm đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR : CA CB. =CO CH. =CI CD.
c) CMR : Điểm D cố định Suy tập hợp H
Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngồi (O), AB = ; AC = AC , AB cắt (O) D E
a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH BC cắt (O) F ; K Lấy M (O) Gọi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh IF IK. =IH IJ.
Bài 35: Cho đường trịn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngồi A Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ I cắt tiếp tuyến chung qua A M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
b) CMR: IA2 = IB.IB’ Suy OO’ tiếp xúc đường trịn đường kính BB’
c) CMR : IM2 = IO.IO’ Suy BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’
§3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
Các ký hiệu ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C
ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C
P = a+2b+c : chu vi ABC S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp
B a
A
C
c b
(25) Định lý Côsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A Định lý sin : sinaA =sinbB =sincc =2R Công thức trung tuyến :
4 c + b
= 2
2 a
a -m
Cơng thức tính diện tích a S =
2 a.ha =
2 b.hb = c.hc
b S =
2 b.c sinA =
2 c.a sinB =
2 a.b sinC
c S = abc4R d S = p.r
e S = p(p-a)(p-h)(p-c)( Công thức Hê – rông)
B VÍ DỤ :
Cho ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma
Giaûi :
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ
Cos A = ½ Â = 600
S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5 2 =10
3
S = ½ a.ha =
3 20 = a S
S = R
abc
4 R = 3 = 4S abc
S = p.r r = p = S a m = 129 = +
2 2
a
-c
b
ma =
(26)C: BÀI TẬP
C 1: TRẮC NGHIỆM
Câu1 : Cho tam giác ABC có a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ; * Khi số góc A
a) 600 b) 450 c) 1200 d) 300
* Khi số góc B
a) 600 b) 450 c) 900 d) 300
* Bán kính đường trịn ngoại tiếp R :
a) cm b) 3 cm c) 2cm d) cm
* Chiều cao :
a) (1 3)
b)(1 3) 2
c) (1 2)
d)
Câu2 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; góc A = 1200 diện tích là
a) S = 10 b) S = c) S =5 d)S = 20
Câu3 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; a = 19 giá trị góc A : a) 450 b) 600 c) 900 d)1200
Câu 4: Cho tam giác ABC có a= ; c= ; góc B = 600 Độ dài cạnh b
a) b = 49 b) b= 61 c) b = d)b= 97
Câu 5: Cho tam giác ABC coù a= ; b= ; c= ; góc B
a) 600 b) 300 c) 450 d) 720
Câu 6: Cho tam giác ABC vng A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường trịn nội tiếp r
a) cm b) cm c) 2cm d) cm
Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= cm ; đường trung tuyến AM có độ dài
a) cm b) cm c) 6cm d) cm
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = a ; BC = a góc BAC = 450
Diện tích hình bình hành laø
a) 2a2 b) a2 c) a2 2
2 d) a
2
(27)Câu 9: Cho tam giác ABC có b= cm ; c= 5cm góc A = 600
* Cạnh BC
a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm
* Dieän tích tam giác :
a) S = 10 b) S = c) S = 10 d) S = 10
* Bán kính đường trịn ngoại tiếp R : a) R= 7
3 b) R =
7 3
3 c)R =
2 7
2 d) R =
* Chiều cao :
a) ha= 20
7 b) ha=
20
3 c) =
10
7 d) =
10 3
C2 : TỰ LUẬN
Bài 1: Cho tam giác ABC
1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r 2) a= ; b= 2; c= 6- Tính góc
3) b=8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , h a , ma
4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , , ma
5) A = 600; hc = 3; R = tính a , b, c
6) A=1200;B =450 ;R =2 tính cạnh
7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung điểm AB)
8) Cho góc A nhoïn, b = 2m 2,c = m , S = m2 Tính a la
9) C = , b = ; S = 3 Tính a
10) Nếu A = 900 CMR:
* la =
2
sin ( )sin
bc A A
b c *.r =
2
1
2(b c b c ) *
1 1
a b c
r h h h
* M BC; goùc BAM = CMR: AM =
.cos .sin
bc b c 11) Cho A=1200 CMR : 1 1
a b c l
12) CMR : * cotA + cotB + cotC = a2 b2 c R2
abc
(28)*
2 2
2 2
tan tan
A a c b B b c a
13)
3 3
2
2 .cos
b c a a b c a a b C
Tam giác ABC tam giác 14) S = p(p – c) Tam giác ABC tam giác 15) S =
4(a + b – c)(a + c - b) Tam giaùc ABC tam giác 16) acosB = bcosA Tam giác ABC tam giác
17) mb2 +mc2 = 5ma2 Tam giaùc ABC tam giác
18) sin 2.cos sin
A
C
B Tam giác ABC tam giác
19) Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 = 5
2
k
20) Gọi G trọng tâm tam giác Chứng minh *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2)
* ma2 +mb2 +mc2 =
4(a
2 +b2 +c2)
* 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA
21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC
S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB = 2RsinBsinC
sinB.cosC +sinC.cosB = sinA 22) Chứng minh a2 b2 c2 2p
b c a Nếu dấu “=” xảy ABC tam giác ?
2
1
b c a
a b c
h h h r h h h
23) Cho b + c = 2a Chứng minh 1
a b c
(29)24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 cạnh tam giác Khi CMR tam giác có góc = 1200
25) Đường trịn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam gíac A1;B1;C1 CMR : SA1B1C1 =
2
2
pr R
26) trung tuyến BM = 6, CN = hợp với góc 1200 tính cạnh
ABC
Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi góc hợp đường chéo AC BD
a) CMR SABCD =
1
2AC.BD.sin
b) Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh : SABCD = SACC’
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + IJ2
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG:
Trắc nghiệm : Từ đến 16 trang 71 Sách nâng cao