Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.. 4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ.. trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định[r]
(1)Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc y = ax3 + bx2 + cx + d với a có đồ thị (C).
I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị
1) a > y’ = vô nghiệm hàm số tăng R (luôn tăng)
2) a < y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn
giảm)
3) Hàm số khơng có cực trị y' 0 vô nghiệm
4) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta cịn có:
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2)
5) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hồnh độ điểm uốn) Ta có:
+ hàm số giảm (, x1) (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2)
II/ Cách viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Thực phép tính y y: ' -Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q
-Gọi ( ; )x y0 0 tọa độ điểm cực trị y x'( ) 00 từ suy
0
y rx q
-Kết luận y rx q đường thẳng qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để hàm số có cực trị)
III/ Giao điểm đồ thị với trục hoành : 1) C) cắt Ox điểm phân biệt
0 ) 2 x( y ). 1 x( y
2 x, 1 x biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
2) Giả sử a > ta có: a) (C) cắt Ox điểm phân biệt >
0 ) 2 x ( y ). 1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
coù 0 'y
b) (C) cắt Ox điểm phân biệt <
0 ) 2 x ( y ). 1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
coù 0 'y
Tương tự a <
3) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách y’ = có nghiệm phân
biệt y (x0) = Với x0 hoành độ điểm uốn
IV/ Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a 0) x
= nghiệm (1).
Nếu x = nghiệm (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b 1x + c1)
nghiệm (1) x = với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau:
1) (2) vơ nghiệm (1) có nghiệm x =
2) (2) có nghiệm kép x = (1) có nghiệm x =
3) (2) có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt
4) (2) có nghiệm x = nghiệm khác (1) có nghiệm
5) (2) có nghiệm kép (1) có nghiệm
V/ Tiếp tuyến đồ thị : Gọi I điểm uốn Cho M (C)
Nếu M I ta có tiếp tuyến qua M Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M
Biện luận số tiếp tuyến qua điểm N khơng nằm (C) ta có nhiều trường hợp
Ghi : Đối với hàm bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có: i) Nếu a > tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ ii) Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình
y = x3 + mx2 m y = kx + k +
PHầN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A, B Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M với (C)
2) Gọi đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E
với (C)
3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vng góc với
4) Định p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ trung điểm hai tiếp điểm điểm cố định
5) Tìm M (C) để qua M có tiếp tuyến với (C)
PHầN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định vng góc
7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng
11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn
12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1)
13)Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn
Bài 2: Cho hàm số yx33mx23(1 m x m2) 3 m2 Viết phương trình đường thẳng qua cực trị hàm số
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng qua CĐ,
Bài 4: Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt :
3 )
1 ( 3 ) 1 4
(
3
x m x m x m
y
Bài 5: Định m để (Cm) cắt trục Ox điểm
( )
3
y=2x - 3 m x+ +6mx 2
-Bài 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) cắt đồ thị hàm số
3 3 4
y x x ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB
Bài 7:Tìm m để (Cm) y x 3 3mx29x 7cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành CSC
Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số
1 ) ( 3
x mx m x
y điểm có hồnh độ x=-1 qua điểm
A(1; 2)
Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số
3
1
2 3
2
y x x xvà cm tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài 10: Viết pt tt đồ thị (C) 1 2 3
3
y x x x , biết tt qua gốc tọa độ O
Bài 11: Cho hs y = x - 3x + 23 Tìm M y = -2 cho từ kẻ đến (C) hai TT vng góc nhau
Bài 12: Tìm m để đồ thị (Cm)yx3(2m1)x2 m1 tiếp xúc
với đường thẳng y2mx m 1
(2)CT vng góc với y 3x biệt đối xứng với qua gốc toạ độ
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình
y = x3 + mx2 m y = kx + k +
PHầN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A, B Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M với (C)
2) Gọi đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E
với (C)
3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vng góc với 4) Định p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ
trung điểm hai tiếp điểm điểm cố định 5) Tìm M (C) để qua M có tiếp tuyến với (C)
PHầN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định vng góc
7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +)
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn
12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1)
13)Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn
Bài 2: Cho hàm số yx33mx23(1 m x m2) 3 m2 Viết phương trình đường thẳng qua cực trị hàm số
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7x3 có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với y 3x
Bài 4: Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt :
3 )
1 ( 3 ) 1 4
(
3
x m x m x m
y
Bài 5: Định m để (Cm) cắt trục Ox điểm
( )
3
y=2x - 3 m x+ +6mx 2
-Bài 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) cắt đồ thị hàm số
3
3 4
y x x ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB
Bài 7:Tìm m để (Cm) y x 3 3mx29x 7cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành CSC
Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số
1 ) ( 3
x mx m x
y điểm có hoành độ x=-1 qua điểm
A(1; 2)
Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số
3
1
2 3
2
y x x xvà cm tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài 10: Viết pt tt đồ thị (C) 1 2 3
3
y x x x , biết tt qua gốc tọa độ O
Bài 11: Cho hs y = x - 3x + 23 Tìm M y = -2 cho từ kẻ đến (C) hai TT vng góc nhau
Bài 12: Tìm m để đồ thị (Cm)yx3(2m1)x2 m1 tiếp xúc
với đường thẳng y2mx m 1
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3x2mcó hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc toạ độ
Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d với a có đồ thị (C).
I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị
1) a > y’ = vô nghiệm hàm số tăng R (luôn tăng)
2) a < y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) R (ln ln giảm)
3) Hàm số khơng có cực trị y' 0 vô nghiệm
4) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngồi ta cịn có:
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2)
5) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có:
+ hàm số giảm (, x1) (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2)
II/ Cách viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Thực phép tính y y: ' -Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q
-Gọi ( ; )x y0 0 tọa độ điểm cực trị y x'( ) 00 từ suy
0
y rx q
-Kết luận y rx q đường thẳng qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để hàm số có cực trị)
III/ Giao điểm đồ thị với trục hoành : 1) C) cắt Ox điểm phân biệt
0 ) 2 x ( y ). 1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
coù 0 'y
b)(C) cắt Ox điểm phân biệt <
0 ) 2 x ( y ). 1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
Tương tự a <
3) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách y’ = có nghiệm phân
biệt y (x0) = Với x0 hoành độ điểm uốn
IV/ Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a 0) x
= nghiệm (1).
Nếu x = nghiệm (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b 1x + c1)
nghiệm (1) x = với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau:
1) (2) vơ nghiệm (1) có nghiệm x =
2) (2) có nghiệm kép x = (1) có nghiệm x =
3) (2) có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt
4) (2) có nghiệm x = nghiệm khác (1) có nghiệm
5) (2) có nghiệm kép (1) có nghiệm
V/ Tiếp tuyến đồ thị : Gọi I điểm uốn Cho M (C)
Nếu M I ta có tiếp tuyến qua M
Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M
(3)
0 ) 2 x( y ). 1 x( y
2 x, 1 x biệt ân nghiệm ph 2
coù 0 'y
2) Giả sử a >
a) ta có (C) cắt Ox điểm phân biệt >