Đang tải... (xem toàn văn)
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).. Gọi M là điểm đối xứng với [r]
(1)Trần Sĩ Tùng
Trung tâm BDVH & LTĐH THÀNH ĐẠT
Đề số
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn thi: TỐN – Khối A–B–D–V
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y 1x3 x2 3x 8
3 3
= - - + (1)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O gốc toạ độ)
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: (1 4sin )sin32x x 1
2
- =
2) Giải phương trình: x2 3x 1 tan x2 x2 1
6
p
- + = - + +
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x x x dx
5 2
( ) 4
-+
-ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z số dương thoả mãn x2+y2+z2 =1 Chứng minh:
P = x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
3 3 2
+ + ³
+ + +
II PHẦN TỰ CHỌN(3 điểm) 1 Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ +(y 2)2 =9 đường thẳng d: x y m+ + =0 Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) cho tam giác ABC vuông (B, C hai tiếp điểm)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x y z+ + =0 cách điểm M(1; 2; –1) khoảng 2
Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niu–tơn (x2+2)n, biết: An3-8Cn2+Cn1 =49 (n Ỵ N, n > 3)
2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y- - =1 0 hai đường trịn có phương trình: (C1): (x-3)2+ +(y 4)2 =8, (C2): (x+5)2+ -(y 4)2 =32
Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc ngồi với (C1) (C2)
2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: x y 2 z
1 2 2
-= = mặt phẳng (P): x y z- + - =5 0 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A, nằm (P) hợp với đường thẳng D góc 450
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y xy
x y x y
2 2
lg lg lg ( ) lg ( ) lg lg 0
ìï = +
í
- + =
ïỵ
(2)Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m
PT hoành độ giao điểm (C) d: 1x3 x2 3x 8 m
3 - - + =3 Û x3-3x2-9x+ -8 3m=0 (1)
Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho DOAB cân O (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 hồnh độ A, B) Þ x1, x2 nghiệm phương trình: (x2-x12)(x x- 2) 0= Û x3-x x2 2-x x x x12 + 1 22 =0 (2)
Đồng (1) (2) ta được:
x x
x x m
2 2
3 9
8 3
ì =
ï =
í
ï =
-ỵ
Û x x m
1
3 3
19 3
ì = ± ïï = í ï = -ïỵ
Kết luận: d: y 19
3
= - Câu II: 1) Nhận xét: cosx = nghiệm PT Nhân vế PT với cosx, ta được:
PT Û 2sin3 (4 cosx 3x-3cos ) cosx = x Û 2sin3 cos3x x=cosx Û sin 6x sin x
2
p
ổ ử
= ỗ - ÷
è ø
Û x k2 x k2
14 7 10 5
p p p p
= + Ú = +
2) PT Û x2 3x 1 3 x4 x2 1
3
- + = - + + (1)
Chú ý: x4+x2+ =1 (x2+ +x 1)(x2- +x 1), x2-3x+ =1 2(x2- + -x 1) (x2+ +x 1) Do đó: (1) Û 2(x2 x 1) (x2 x 1) 3 (x2 x 1)(x2 x 1)
3
- + - + + = - + + - +
Chia vế cho x x ( x x )
2+ + =1 2+ +1 đặt t x x t
x x
2
2 1, 01 - +
= >
+ +
Ta được: (1) Û 2t2 3t 1 0 3
+ - = Û
t t
3 0
2 3 1
3
é = - < ê
ê ê = êë
Û x x
x x
2
1 1
3 1
- + =
+ + Û x=1
Câu III: I = x x x dx
5 2
( ) 4
-+
-ò = x x dx
2
5 2
4
-ò + x x dx
2
2 2
4
-ò = A + B · Tính A = x5 x dx2
2
4
-ò Đặt t= -x Tính được: A = · Tính B = x2 x dx2
2
4
-ị Đặt x=2sint Tính được: B = 2p
Câu IV: Gọi P = MN ầ SD, Q = BM ầ AD ị P trọng tâm DSCM, Q trung điểm MB · MDPQ
MCNB
V MD MP MQ
V MC MN MB
1 1
. . .
2 6
= = = Þ VDPQCNB 5VMCNB
6
=
· Vì D trung điểm MC nên d M CNB( ,( )) ( ,(= d D CNB)) Þ VMCNB 2VDCNB VDCSB 1VS ABCD.
2
= = =
Þ VDPQCNB 5 VS ABCD.
12
= Þ VSABNPQ 7 VS ABCD.
12
= Þ SABNPQ
DPQCNB
V V
7 5
= Câu V: Từ giả thiết x2+y2+z2 =1 Þ 0<x y z, , <1
(3)Trần Sĩ Tùng
x2 x2 x2 x2 x2
2 (1 ) (1 ) 2 (1 )
3
+ - + - ³
Û 32 (1x2 x2 2) 2
3
- £
Û x(1 x2) 2 3 3
- £ Û x x
x
2
3 3 2
1- ³ Û
x x
y z
2 2
3 3 2
³
+ (1)
· Tương tự ta có: y y
z x
2 2
3 3 2
³
+ (2),
z z
x y
2 2
3 3 2
³
+ (3)
· Từ (1), (2), (3) Þ x y z x y z
y z z x x y
2 2 2 2 2
3 3( ) 3 3
2 2
+ + ³ + + =
+ + +
Dấu "=" xảy Û x y z 3
3
= = =
II PHẦN TỰ CHỌN 1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = Vì tiếp tuyến AB, AC vng góc nên ABIC hình vng có cạnh Þ IA = 3 2 Giả sử A(x; –x – m) Ỵ d
IA2 =18 Û (x-1)2+ - - +( m x 2)2 =18 Û 2x2-2(3-m x m) + 2-4m-13 0= (1) Để có điểm A (1) có nghiệm Û D¢ = -m2+2m+35 0= Û m
m 75
é = ê =
-ë
2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz+ + =0 (với A2+B2+C2¹0) · Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A+1.B+1.C=0 Û C= - -A B (1)
· d M P( ,( ))= 2 Û A B C A2 B2 C2
2 2
+
-=
+ + Û A B C A B C
2 2
( +2 - ) =2( + + ) (2) Từ (1) (2) ta được: 8AB+5B2=0 Û B
A 0 B (3)
8 5 0 (4)
é =
ê + =
ë
· Từ (3): B = Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z- =0
· Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 Þ C = Þ (P): 5x-8y+3z=0 Câu VII.a: Ta có: An3-8Cn2+Cn1 =49 Û n n( 1)(n 2) 8 (n n 1) n 49
2
- - + = Û n3-7n2+7n-49 0= Û n=7
n k k k
k
x2 x2 7 C x7 2(7 )
( 2) ( 2) - 2
=
+ = + = å Số hạng chứa x8Û 2(7-k) 8= Û k = Þ Hệ số x8 là: C73 3.2 =280
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 tâm bán kính (C), (C1), (C2)
Giả sử I(a; a – 1) Ỵ d (C) tiếp xúc với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 Û (a-3)2+ +(a 3)2 -2 2 = (a-5)2+ +(a 5)2 -4 2 Û a = Þ I(0; –1), R = 2
Þ Phương trình (C): x2+ +(y 1)2=2
2) Gọi u u nr r rd, ,D P VTCP d, D VTPT (P) Giả sử urd =( ; ; ) (a b c a2+b2+c2 ¹0) · Vì d Ì (P) nên urd ^nrP Þ a b c- + =0 Û b a c= + (1)
· ( )·d,D =450 Û a b c a2 b2 c2
2 2 2
2 3
+ + =
+ + Û a b c a b c
2 2
2( +2 + ) =9( + + ) (2) Từ (1) (2) ta được: 14c2+30ac=0 Û c
a0 c
15 7 0
é =
ê + =
ë
· Với c = 0: chọn a = b = Þ PTTS d: {x= +3 ;t y= - -1 ;t z=1
(4)Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Điều kiện: x > y >
Hệ PT Û x y x y
x y x y
2 2
2
lg lg (lg lg )
lg ( ) lg lg 0
ìï = + +
í
- + =
ïỵ Û
y x y
x y x y
2
lg (lg lg ) 0 lg ( ) lg lg 0
ì + =
í - + =
ỵ
Û y x y
lg 0 (1)
lg ( ) 0
ì =
í
- =
ỵ
x y
x y x y
2
lg lg 0
lg ( ) lg lg 0
ì + =
í
- + =
ỵ (2)
· (1) Û y
x y1 1
ì = í - =
ỵ Û
x y 12
ì = í =
ỵ
· (2) Û y x
x x
x x
2
1
1 1
lg lg lg 0
ì = ïï
í ỉ ư
ï ỗ - ữ+ =
ù ố ứ
ợ
Û y
x
x x
x
2
1 1
lg lg
ì = ïï
í ỉ - ư
ù ỗ ữ=
ù ố ứ
ợ
Û y x x2
1 2
ì = ï í
ï =
ỵ
Û x y
2 1
2
ì = ï í = ïỵ Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) 2; 1
2
æ ử
ỗ ữ
ố ứ